Exercícios de Equações Diferenciais

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UNA
9a Lista de Exerc´ıcios de Equac¸o˜es Diferenciais
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
1. Uma prensa industrial de 200 quilos esta´ montada sobre uma camada
de borracha para isola´-la de sua base. Se a borracha esta´ comprimida
0, 005 metros pelo pro´prio peso da prensa, ou seja, a prensa faz uma
forc¸a de 1690N sobre a borracha. Determine a equac¸a˜o diferencial que
descreve a experieˆncia.
Resposta: x(t) = c1 cos(41, 11)t + c2sen(41, 11)t
2. Uma mola tem comprimento natural 0, 75 m e uma massa de 5 kg
esta´ presa a ela. Uma forc¸a de 25 N e´ necessa´ria para manter a mola
esticada ate´ o comprimento de 1 m. Se a mola for esticada para um
comprimento de 1, 1 m e enta˜o solta com velocidade 0, encontre a
posic¸a˜o da massa apo´s t segundos.
Resposta: x = 0, 35 cos(2
√
5t)
3. Uma mola, na horizontal, tem um comprimento natural de 0, 5m, uma
massa de 2 kg, k (constante de mola) igual a` 16 e constante de amor-
tecimento 12. sabendo-se que a equac¸a˜o diferencial desta situac¸a˜o e´:
2
d2x
dt2
+ 12
dx
dt
+ 16x = 0.
Pelos dados acima, pode-se afirmar que a posic¸a˜o da massa em qualquer
instante t, se ele iniciar da posic¸a˜o de equil´ıbrio e for dado empurra˜o
para inicia´-lo com velocidade inicial de 0, 6 m/s e´?
Resposta: x(t) = 0, 3(e−2t − e−4t)
1
4. Admitindo-se que a func¸a˜o que da´ a posic¸a˜o da mola do exerc´ıcio ante-
rior e´ x(t) = c1e
−t+c2e−2t e que sua derivada e´ x′(t) = −c1e−t−2c2e−2t,
a posic¸a˜o da massa se for dado um empurra˜o com velocidade inicial de
0, 12 m/s apo´s 2 segundos e´?
Resposta: 0, 014 metros
5. Em um sistema acoplado verificamos que ao puxarmos a mola por
um dinamoˆmetro da esquerda para a direita com uma forc¸a de 6 N ,
este produz um deslocamento de 0, 03 m. A seguir removemos o di-
namoˆmetro e colocamos uma massa de 0, 5 kg em seu lugar. Puxa-
mos a massa a uma distaˆncia de 0, 05 metros e observamos o movi-
mento harmoˆnico simples, aplicando uma velocidade inicial ao sistema
de 0, 4 m/s, determine a posic¸a˜o x(t) da massa em qualquer instante t.
Resposta: x(t) = 0, 05 cos(20t) + 0, 02sen (20t)
6. Uma mola presa a uma massa de 2 kg tem uma constante de amorte-
cimento c = 14 e uma forc¸a de 6 N e´ necessa´ria para manter a mola
esticada 0, 5 m ale´m de seu comprimento natural. A mola e´ esticada
1 m ale´m de seu comprimento natural e enta˜o solta com velocidade 0.
Determine a posic¸a˜o da massa em qualquer instante t.
Resposta: x(t) = −1
5
e−6t + 6
5
e−t
7. Dado o circuito onde R = 100Ω, L = 1H,C = 4 × 10−4 e E(t) =
cos(20t). Este circuito, ao chamarmos a carga do capacitor de Q no
instante t, gera a seguinte equac¸a˜o diferencial:
L
d2Q
dt2
+ R
dQ
dt
+
1
C
Q = E(t).
Determine a soluc¸a˜o complementar dessa equac¸a˜o diferencial.
Resposta: c1e
−50t + c2te−50t
2