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UNA
8a Lista de Exerc´ıcios de Equac¸o˜es Diferenciais
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
1. Resolva o problema de valor inicial usando o me´todo dos coeficientes
indeterminados:
a) y′′ + y = ex + x3, y(0) = 2 y′(0) = 0 Resposta: y = 3
2
cos x +
11
2
senx+ 1
2
ex + x3 − 6x
b) y′′−y′ = xex y(0) = 2, y′(0) = 1 Resposta: y = ex
(
1
2
x2 − x+ 2
)
2. Escreva uma soluc¸a˜o tentativa para o me´todo dos coeficientes indeter-
minados. Na˜o determine os coeficientes.
a) y′′ + 9y = e2x + x2senx Resposta: yp = Ae
2x + (Bx2 + Cx +
D) cos x+ (Ex2 + Fx+G)senx
b) y′′ + 2y′ + 10y = x2e−x cos(3x) Resposta: yp = xe
−x[(Ax2 +Bx+
C) cos(3x) + (Dx2 + Ex+ F )sen(3x)]
3. Resolva a equac¸a˜o diferencial usando o me´todo dos coeficientes inde-
terminados e o me´todo de variac¸a˜o dos paraˆmetros.
a) y′′ − 2y′ + y = e2x Resposta: y = c1e
x + c2xe
x + e2x
4. Resolva a equac¸a˜o diferencial usando o me´todo de variac¸a˜o dos paraˆmetros.
a) y′′ + y = sec2x 0 < x < pi
2
Resposta: y = c1senx + c2 cos x +
sen x ln(sec x+ tg x)− 1
b) y′′ − 3y′ + 2y =
1
1 + e−x
Resposta: y = [c1 + ln(1 + e
−x)ex + [c2 −
e−x + ln(1 + e−x)]e2x
1
5. A posic¸a˜o x(t) de um ponto mo´vel e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
x′′ − 4x′ + 3x = 10 sen(t). Existe um ponto mo´vel cujo movimento e´
perio´dico e e´ dado por x(t) = Asen(t) +B cos(t). Encontre A e B.
Resposta A = 1 e B = 2
6. A equac¸a˜o diferencial x′′ − x′ = 2t caracteriza a posic¸a˜o x(t) de uma
part´ıcula em movimento no instante t. Usando o me´todo dos coeficien-
tes a serem determinados, podemos afirmar que uma soluc¸a˜o particular
da referida equac¸a˜o diferencial e´:
Resposta: x(t) = −t2 − 2t
7. Um sistema massa-mola, sem amortecimento, esta´ sujeito a uma forc¸a
externa e e´ modelado pela equac¸a˜o diferencial:
x′′ + x = e2t + t cos(t).
Para determinarmos uma soluc¸a˜o particular xp(t) dessa equac¸a˜o dife-
rencial, pelo me´todo dos coeficientes a serem determinados, a tentativa
correta e´:
Resposta: xp(t) = Ae
2t + t(Bt+ C)sen(t) + t(Dt+ E) cos(t).
8. Um sistema massa-mola com uma massa de 1kg e uma mola com cons-
tante ela´stica 9 N/m e´ colocada em movimento, num instante t = 0,
em um meio sem amortecimento. Tal problema pode ser modelado por
meio da equac¸a˜o diferencial
u′′ + 9u = 0
onde u(t) e´ a posic¸a˜o da massa no instante t. Verifique que a func¸a˜o
u(t) = A cos(3t) + Bsen(3t) e´ soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial, para
2
qualquer A e B constantes. Em seguida, determine os valores de A e
B se a posic¸a˜o incial da massa e´ 2 m, e a velocidade inicial e´ −2m/s.
Resposta: A = 2 e B = −2
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