Lista_X_-_Integrais_de_fluxo

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LISTA X – INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES (integrais de fluxo) 
Integrais de fluxo 
1) Nos exercícios abaixo, determine o fluxo do campo vetorial �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) através da superfície 𝜎 dada. 
a) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 2𝑧 �⃗⃗�, onde 𝜎 é a porção da superfície 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦² acima do plano 𝑥𝑦, orientada por vetores 
normais para cima. 
b) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) 𝑖 + (𝑦 + 𝑧) 𝑗 + (𝑧 + 𝑥) �⃗⃗�, onde 𝜎 é a porção do plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 do primeiro octante, orientada 
por vetores normais com componentes positivos. 
c) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 2𝑧 �⃗⃗�, onde 𝜎 é a porção do cone 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦² entre os planos 𝑧 = 1 e 𝑧 = 2, orientada para cima. 
d) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 𝑗 + �⃗⃗�, onde 𝜎 é a porção do paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦² abaixo do plano 𝑧 = 4, orientada para baixo. 
e) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 �⃗⃗�, onde 𝜎 é a porção do paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦² abaixo do plano 𝑧 = 𝑦, orientada para baixo. 
f) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + �⃗⃗�, onde 𝜎 é a porção do paraboloide cuja equação paramétrica é 𝑟(𝑢, 𝑣) = 𝑢 𝑐𝑜𝑠(𝑣) 𝑖 +
𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑣) 𝑗 + (1 − 𝑢2) �⃗⃗�, sendo que 1 ≤ 𝑢 ≤ 2 e 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋. 
g) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒−𝑦 − 𝑦 𝑗 + (𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑧)) �⃗⃗�, onde 𝜎 é a porção do cilindro elíptico descrito por 𝑟(𝑢, 𝑣) = 2 𝑐𝑜𝑠(𝑣) 𝑖 +
 𝑠𝑒𝑛(𝑣) 𝑗 + 𝑢 �⃗⃗�, sendo que 0 ≤ 𝑢 ≤ 5 e 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋. 
Teorema de Stokes 
2) Nos exercícios abaixo, utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral ∮ �⃗�
𝐶
𝑑𝑟. 
a) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧² �⃗⃗�, onde 𝜎 é a porção do cone 𝑧 = √𝑥² + 𝑦² abaixo do plano 𝑧 = 1. 
b) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧 − 𝑦)𝑖 + (𝑧 + 𝑥)𝑗 − (𝑥 + 𝑦) �⃗⃗�, onde 𝜎 é a porção do paraboloide 𝑧 = 9 − 𝑥2 − 𝑦² acima do plano 𝑥𝑦. 
c) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧2𝑖 + 2𝑥 𝑗 − 𝑦³ �⃗⃗�, onde 𝐶 é o círculo 𝑥² + 𝑦² = 1 no plano 𝑥𝑦 com orientação anti-horária olhando o eixo 𝑧 
positivo de cima para baixo. 
d) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −3𝑦2𝑖 + 4𝑧 𝑗 + 6𝑥 �⃗⃗�, onde 𝐶 é o triângulo no plano 𝑧 =
1
2
𝑦 com vértices (2,0,0), (0,2,1) e (0,0,0), com 
orientação anti-horária olhando o eixo 𝑧 positivo de cima para baixo. 
e) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 𝑖 + 𝑥² 𝑗 + 𝑧² �⃗⃗�, onde 𝐶 é a intersecção do paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦² e o plano 𝑧 = 𝑦 com orientação anti-
horária olhando o eixo 𝑧 positivo de cima para baixo. 
f) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 𝑖 + 𝑦𝑧 𝑗 + 𝑧𝑥 �⃗⃗�, onde 𝐶 é o triângulo no plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 com vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), com 
orientação anti-horária olhando do primeiro octante para a origem. 
Teorema de Gauss 
3) Utilize o Teorema de Gauss para determinar o fluxo do campo vetorial �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) através da superfície 𝜎, com orientação 
para fora. 
a) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 𝑖 − 𝑦 𝑗 + 𝑧² �⃗⃗�, onde 𝜎 é o paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦² coroado pelo disco 𝑥² + 𝑦² ≤ 1 no plano 𝑧 = 1. 
b) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 𝑖 + 𝑦𝑧 𝑗 + 𝑥𝑧 �⃗⃗�, onde 𝜎 é a superfície do cubo limitado pelos planos 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0, 𝑦 = 2, 𝑧 = 0 e 
𝑧 = 2. 
c) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 + 𝑦) 𝑖 + 𝑧² 𝑗 + (𝑒𝑦 − 𝑧) �⃗⃗�, onde 𝜎 é a superfície do sólido retangular limitado pelos planos coordenados 
e os planos 𝑥 = 3, 𝑦 = 1 e 𝑧 = 2. 
d) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧3𝑖 − 𝑥³ 𝑗 + 𝑦³ �⃗⃗�, onde 𝜎 é a esfera 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 𝑎². 
e) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑧) 𝑖 + (𝑦 − 𝑥) 𝑗 + (𝑧 − 𝑦) �⃗⃗�, e 𝜎 é a superfície do sólido cilíndrico limitado por 𝑥² + 𝑦² = 𝑎², 𝑧 = 0 e 
𝑧 = 1. 
f) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 �⃗⃗�, onde 𝜎 é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥² − 𝑦² e o plano 𝑥𝑦. 
g) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3𝑖 + 𝑦³ 𝑗 + 𝑧³ �⃗⃗�, onde 𝜎 é a superfície do sólido cilíndrico limitado por 𝑥² + 𝑦² = 4, 𝑧 = 0 e 𝑧 = 3. 
h) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 + 𝑦)𝑖 + 𝑥𝑦 𝑗 − (2𝑥𝑧 + 𝑦) �⃗⃗�, onde 𝜎 é a superfície do tetraedro do primeiro octante limitado por 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 e os planos coordenados. 
 
 
RESPOSTAS 
 
Questão 1 
a) 2𝜋 
b) 1 
c) 
14𝜋
3
 
d) 4𝜋 
e) 0 
f) 18𝜋 
g) 10𝜋 
 
Questão 2 
a) 0 
b) 18𝜋 
c) 2𝜋 
d) 14 
e) 0 
f) −
1
2
 
 
Questão 3 
a) 
4𝜋
3
 
b) 24 
c) 12 
d) 0 
e) 3𝜋𝑎² 
f) 
3𝜋
2
 
g) 180𝜋 
h) 
1
24