Transformada de Fourier EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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Exercicios Resolvidos - Transformada de Fourier
Prof. Paulo Cupertino de Lima
Departamento de Matema´tica - UFMG
1
1 Transformada de Fourier
Exerc´ıcio 1.1 Neste exerc´ıcio mostraremos a propriedade 11 da tabela de transformadas de
Fourier.
Sejam α > 0 e β ≥ 0.
(a) Fazendo integrac¸a˜o por integrac¸a˜o por partes mostre que∫
e−αx cos(βx) dx =
(
β sen (βx)− α cos(βx)
α2 + β2
)
e−αx + C,
onde C e´ uma constante.
(b) De (a) conclua que ∫ ∞
0
e−αx cos(βx) dx =
α
α2 + β2
.
(c) De (b) mostre que
ê−α|x|(ω) =
√
2
pi
α
α2 + ω2
,
que a propriedade 11 da tabela de transformadas de Fourier.
(d) Finalmente, da fo´rmula para transformada inversa de Fourier, conclua que∫ ∞
−∞
cos(ωx)
α2 + ω2
dω =
pi
α
e−α|x|. (1)
Exerc´ıcio 1.2 (A equac¸a˜o da onda em uma corda infinita) Resolva o seguinte problema
utt = c
2uxx, −∞ < x <∞, t > 0 (2)
u(x, 0) = f(x), −∞ < x <∞, (3)
ut(x, 0) = g(x), −∞ < x <∞. (4)
Asuma que f , g sejam cont´ınuas, limitadas e absolutamente integra´veis.
Resoluc¸a˜o. Defina a transformada de Fourier de u(x, t) em relac¸a˜o a` varia´vel x como
uˆ(ω, t) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωxu(x, t) dω.
Assim, de (2)-(4), teremos
∂2
∂t2
uˆ(ω, t) = −c2ω2uˆ(ω, t) (5)
uˆ(ω, 0) = fˆ(ω) (6)
∂
∂t
uˆ(ω, 0) = gˆ(ω). (7)
2
A soluc¸a˜o geral de (5) e´
uˆ(ω, t) = c1 cos(ωct) + c2 sen (ωct),
e de (6) e (7), temos que
c1 = fˆ(ω) e c2 =
gˆ(ω)
cω
,
respectivamente. Poranto,
uˆ(ω, t) = fˆ(ω) cos(ωct) +
sen(ωct)
ω
gˆ(ω).
Logo,
u(x, t) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
eiωx
(
fˆ(ω) cos(ωct) +
sen(ωct)
ω
gˆ(ω)
)
dω.
Note que
1√
2pi
∫ ∞
−∞
eiωxfˆ(ω) cos(ωct)dω =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
(
eiω(x+ct) + eiω(x−ct)
2
)
fˆ(ω)dω =
f(x + ct) + f(x− ct)
2
.
Por outro lado, se fizermos
h(x, t) =
1
2c
∫ x+ct
x−ct
g(s)ds,
enta˜o, da equac¸a˜o (8), veja Observac¸a˜o 1.1,
∂
∂x
h(x, t) =
1
2c
(g(x + ct)− g(x − ct)) ,
portanto,
iωhˆ(ω, t) =
1
2c
(
eiωct − e−iωct) gˆ(ω),
ou seja,
hˆ(ω, t) =
sen(ωct)
ω
gˆ(ω).
Logo,
1√
2pi
∫ ∞
−∞
eiωx
sen(ωct)
ω
gˆ(ω) dω =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
eiωxhˆ(ω, t) dω = h(x, t) =
1
2c
∫ x+ct
x−ct
g(s)ds
e concluimos que a soluc¸a˜o desejada pode ser escrita como
u(x, t) =
f(x + ct) + f(x− ct)
2
+
1
2c
∫ x+ct
x−ct
g(s)ds,
que e´ a fo´rmula de D’Alembert.
3
Observac¸a˜o 1.1 Suponha que ux(x, t) e vx(x, t) existam e que g seja cont´ınua, enta˜o,
∂
∂x
∫ u(x,t)
v(x,t)
g(s)ds = g(u(x, t)) ux(x, t)− g(v(x, t)) vx(x, t). (8)
Exerc´ıcio 1.3 Resolva o problema de convecc¸a˜o num fio infinito (isto e´ existe troca de calor do
fio com o ambiente):
ut = c
2uxx + kux, −∞ < x <∞, t > 0
u(x, 0 = f(x), −∞ < x <∞.
Resoluc¸a˜o. Se tomarmos a transformada de Fourier em relac¸a˜o a` varia´vel x das equac¸o˜es acima
teremos
∂
∂t
uˆ(ω, t) = −(c2ω2 − iωk)uˆ(ω, t), uˆ(ω, 0) = fˆ(ω).
Logo,
uˆ(ω, t) = e−(c
2ω2−iωk)tfˆ(ω) ≡ hˆ(ω, t)fˆ(ω) (9)
e pelo Teorema da Convoluc¸a˜o,
u(x, t) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
h(x− y, t)f(y)dy.
Resta-nos calcular h(x, t). Note que
hˆ(ω, t) = eiωkt e−c
2ω2t ≡ eiωkt pˆ(ω, t)
e pela propriedade do deslocamento, temos
h(x, t) = p(x + kt, t),
onde p(x, t) e´ a transformada inversa de Fourier de
e−c
2ω2t =
1√
2c2t
 1√
1
2c2t
e
− ω2
2 1
2c2t
 ≡ √a 1√
a
e−
ω2
2a , a =
1
2c2t
.
Portanto, p(x, t) =
√
a e−
ax2
2 = 1√
2c2t
e
− x2
4c2t . Finalmente,
4
u(x, t) =
1√
4pic2t
∫ ∞
−∞
e
− (x−y+kt)2
4c2t f(y)dy. (10)
Exerc´ıcio 1.4 Fac¸a f(x) = e−
a x2
2 , a > 0, no exerc´ıcio anterior e resolva-o.
Sugesta˜o. Ao inve´s de usar (10), parta de (9).
Exerc´ıcio 1.5 (O problema de Dirichlet para a equac¸a˜o de Laplace no semi-plano)
Resolva o seguinte problema
uxx + uyy = 0, −∞ < x <∞, y > 0 (11)
u(x, 0) = f(x), −∞ < x <∞. (12)
Assuma que u(x, y), ux(x, y) → 0 quando x → ±∞ e que f seja absolutamente integra´vel.
Resoluc¸a˜o. Seja
û(ω, y) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωxu(x, y) dx,
como u(x, y), ux(x, y) → 0 quando x±∞, vimos que
1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωxuxx(x, y) dx = −ω2û(ω, y),
logo, tomando-se a transformada de Fourier das equac¸o˜es (11) e (12) em relac¸a˜o a` varia´vel x, temos
∂2
∂y2
û(ω, y) = −ω2uˆ(ω, y), (13)
uˆ(ω, 0) = fˆ(ω). (14)
A soluc¸a˜o geral de (13) e´
uˆ(ω, y) = c1e
−|ω|y + c2e|ω|y
e se quisermos que uˆ(ω, y) seja limitada devemos fazer c2 = 0. Portanto,
uˆ(ω, y) = c1e
−|ω|y, (15)
de (14) e (15) devemos ter c1 = fˆ(ω). Portanto,
uˆ(ω, y) = e−|ω|y fˆ(ω) = gˆ(ω, y) fˆ (ω), (16)
5
onde gˆ(ω, y) = e−|ω|y. Pelo Teorema da convoluc¸a˜o, temos
u(x, y) =
1√
2pi
g(x, y) ∗ f(x) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
g(x− t, y)f(t) dt. (17)
Note que
g(x, y) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
eiωxgˆ(ω, y) dω
=
1√
2pi
∫ ∞
−∞
eiωxe−|ω|y dω
=
1√
2pi
(∫ ∞
0
eiωxe−|ω|y +
∫ 0
−∞
eiωxe−|ω|y
)
dω
=
1√
2pi
(∫ ∞
0
eiωxe−ω y +
∫ 0
−∞
eiωxeω y
)
dω
=
1√
2pi
(∫ ∞
0
eiωxe−ω y +
∫ ∞
0
e−iωxe−ω y
)
dω
=
1√
2pi
∫ ∞
0
(
eiωx + e−iωx
)
e−ω ydω
=
2√
2pi
∫ ∞
0
cos(ωx)e−ω ydω
=
√
2
pi
[
e−ωy
x sen (ωx)− y cos(ωx)
x2 + y2
]∞
0
=
√
2
pi
2y
x2 + y2
.
Substituindo este valor de g(x, y) em (17), temos
u(x, y) =
y
pi
∫ ∞
−∞
f(t)
y2 + (x− t)2 dt. (18)
As hipo´teses feitas acima para a resoluc¸a˜o do problema de Dirichlet no semi-plano podem ser
enfraquecidas, este e´ exatamente o conteu´do do teorema abaixo, veja refereˆncia [1].
Teorema 1.1 Seja f : R → R cont´ınua e limitada. Enta˜o, a expressa˜o (18) define uma func¸a˜o
que e´ infinitamente diferencia´vel em y > 0, satisfaz (11) e limy→0+ u(x, y) = f(x).
Observac¸a˜o 1.2 A menos que fac¸amos a restric¸a˜o que u(x, y) → 0 quando x2+y2 →∞, a soluc¸a˜o
do problema de Dirichlet dado por (11) e (12) na˜o sera´ u´nica. De fato o problema de Dirichlet dado
por (11) e (12) com f(x) = 0 para todo x tem duas soluc¸o˜es, ou seja, u(x, y) = 0 e u(x, y) = y.
Exerc´ıcio 1.6 Resolva o problema de Dirichlet dado por (11) e (12) para f(x) = senx.
6
Resoluc¸a˜o. De (18), temos
u(x, y) =
y
pi
∫ ∞
−∞
sen (t)
y2 + (t− x)2 dt
=
y
pi
∫ ∞
−∞
sen (s + x)
y2 + s2
ds, t− x = s
=
y
pi
∫ ∞
−∞
sen s cos x + senx cos s
y2 + s2
ds
=
y senx
pi
∫ ∞
−∞
cos s
y2 + s2
ds
=
y senx
pi
pie−y
y
(usamos (1))
= e−ysenx.
Exerc´ıcio 1.7 (O problema de Dirichlet para a equac¸a˜o de Laplace no quadrante)
Resolva o seguinte problema
uxx + uyy = 0, x, y > 0 (19)
u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x <∞, u(0, y) = 0, y > 0. (20)
Assuma que f seja cont´ınua, limitada e que f(0) = 0
Resoluc¸a˜o. Seja h(x) a extensa˜o ı´mpar de f e considere o seguinte problema de Dirichlet no
semi-plano
uxx + uyy = 0, −∞ < x <∞, y > 0
u(x, 0) = h(x), −∞ < x <∞.
Pelo Teorema 1.1
u(x, y) =
y
pi
∫ ∞
−∞
h(t)
y2 + (x− t)2 dt (21)
e´ soluc¸a˜o do problema acima. Em particular, como ∆u = 0 para todo −∞ < x < ∞ e y > 0,
∆u = 0 para todo x, y > 0. Ale´m disso, para todo x ≥ 0, limy→0+ u(x, y) = h(x) = f(x) e se y ≥ 0,
u(0, y) =
y
pi
∫ ∞
−∞
h(t)
y2 + t2
dt = 0,
pois, h e´ uma func¸a˜o ı´mpar. Portanto, a expressa˜o (21) e´ soluc¸a˜o do problema de Dirichlet dado
por (19) e (20). Note que (21) pode ser re-escrita como
u(x, y) =
y
pi
∫ ∞
0
(
1
y2 + (x− t)2 −
1
y2 + (x + t)2
)
f(t) dt. (22)
7
Exerc´ıcio 1.8 Mostre que
u(x, y) =
x
pi
∫ ∞
0
(
1
x2 + (y − t)2 −
1
x2 + (y + t)2
)
f(t) dt. (23)
e´ soluc¸a˜o do problema de Dirichlet
uxx + uyy = 0, x, y > 0
u(x, 0) = 0, 0 < x <∞, u(0, y) = f(y), y ≥ 0.
Assuma que u(x, y), uy(x, y) → 0 quando y → ∞, f(0)= 0 e f seja absolutamente integra´vel em
(0,∞)
Exerc´ıcio 1.9 Usando a linearidade da equac¸a˜o de Laplace e os resultados acima, resolva o
seguinte problema de Dirichlet
uxx + uyy = 0, x, y > 0
u(x, 0) = f(x), x ≥ 0, u(0, y) = g(y), y ≥ 0.
Assuma que f(0) = g(0), f e g sejam cont´ınuas e limitadas.
Exerc´ıcio 1.10 Resolva o seguinte problema
uxx + uyy = 0, x, y > 0
u(x, 0) = senx, x ≥ 0, u(0, y) = sen y, y ≥ 0.
Refereˆncias
[1] Djairo Guedes de Figueiredo, Ana´lise de Fourier e Equalc¸o˜es Diferenciais Parciais, Projeto
Euclides, 1997.
8