ESFERAS E CILINDRO

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ESFERAS 
Consideremos um ponto O e um segmento de medida r. Denomina-se esfera de centro O e raio r o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto O é menor ou igual a r.
SEÇÕES NA ESFERA
A seção de uma esfera de raio R por um plano a uma distância h de seu centro é um círculo de raio r tal que 
R2 = h2 + r2, ou seja, r2 = R2 − h2.
 O círculo máximo da esfera tem raio igual ao da esfera.
A seção de uma superfície esférica de raio R por um plano a uma distância h de seu centro O é uma circunferência de raio r tal que
 R2 = h2 + r2. 
A circunferência máxima da superfície esférica tem raio igual ao da superfície esférica.
ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Para calcular a área da superfície de uma esfera de raio R, considere uma esfera com raio r < R. Suponha que as duas esferas sejam concêntricas, onde d = R − r. 
A razão entre a diferença dos volumes e a diferença entre os raios aproxima-se da área da superfície quando d tende a zero. Os volumes da esfera maior e da menor são:
Subtraindo os volumes temos:
A razão da diferença dos volumes pela diferença dos raios é:
Quanto menor for d, mais a razão fica mais próxima da área da superfície. Quando d = 0, temos a área lateral: 
VOLUME DA ESFERA
Para calcular o volume de uma esfera de raio R utilizamos o princípio de Cavalieri com um cilindro de altura 2R = AB A B = ′ ′ e base de raio R. Considere os cones circulares retos com vértices coincidentes V no interior do cilindro, alturas iguais a R e com as bases coincidentes com as bases do cilindro.
Considere o sólido gerado pela diferença entre o cilindro e os cones circulares. Usando o princípio de Cavalieri, a seção plana transversal do cilindro que passa por A e A′ define as bases coincidentes de um cone com o cilindro e o ponto A da esfera. Portanto, esta seção não possui área. As demais seções de planos entre A e O definem círculos de raio r na esfera, e coroas circulares de raios R e h no sólido considerado. As áreas podem ser calculadas da seguinte forma:
considerado. Entre O e B as seções planas são análogas. Logo, para todos os planos paralelos à base do cilindro temos seções equivalentes, e o volume da esfera é igual ao volume do cilindro menos os volumes dos cones, ou seja,
CUNHA E FUSO
DEFINIÇÃO: Cunha esférica é o sólido obtido de uma rotação incompleta de um semicírculo em torno de um eixo que contém o seu diâmetro. 
O volume de uma cunha esférica é proporcional ao ângulo θ da rotação que a gerou.
DEFINIÇÃO: Fuso esférico é a superfície obtida de uma rotação incompleta de uma semicircunferência em torno de um eixo que contém o seu diâmetro.
A área do fuso esférico é proporcional ao ângulo θ da rotação que o gerou.
EXERCICIOS 
(UFPR – DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA) - Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta por 12 gomos exatamente iguais. Calcular a superfície total de cada gomo.
(Matemática: ciência e aplicações) - Calcule o volume de uma esfera, sabendo que a área de sua superfície é igual a 576π cm².
(UFPR – DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA) - Um ponto luminoso está situado a uma distância d de uma esfera cujo raio é o dobro de d. Sabendo-se que o comprimento t do raio luminoso que tangencia a esfera é igual a 3 5 cm: 
-Calcular o volume V da esfera; 
-Calcular a área lateral A da superfície cônica gerada pelos raios luminosos de comprimento t que tangenciam a esfera; 
-Calcular a área S da porção iluminada da esfera.
(Fundamentos de Geometria Espacial -UECE) - Calcule o volume de uma esfera de raio 4.
(Fundamentos de Geometria Espacial -UECE) O diâmetro de uma certa esfera é igual ao raio de uma outra esfera. Responda:
(a) Qual é a razão entre os raios das esferas?
(b) Qual é a razão de seus volumes
CILINDROS 
DEFINIÇÃO: Cilindro circular é um prisma de base regular com o número de vértices das bases tendendo ao infinito. 
Quando as arestas são perpendiculares às bases, temos o cilindro circular reto. Uma definição análoga para cilindros é a seguinte: 
DEFINIÇÃO: Cilindro circular é um prisma de base regular com a medida da área de cada face lateral tendendo a zero.
ELEMENTOS: 
- As arestas são denominadas geratrizes do cilindro; 
- Suas bases são circunferências que estão contidas em planos paralelos; 
- A reta que contém os centros das circunferências é o eixo do cilindro; 
- A altura do cilindro é a distância dos planos das bases; 
- R é o raio da base do cilindro. 
O cilindro circular reto é um dos sólidos de revolução. A altura do cilindro circular reto é a geratriz do mesmo. Uma definição para este tipo de cilindros é a seguinte:
DEFINIÇÃO: Cilindro de rotação ou de revolução é o sólido gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados. 
ÁREAS DO CILINDRO CIRCULAR RETO 
ÁREA DA BASE (AB)
 A área da base é a área de um círculo de raio de medida r.
ÁREA LATERAL (AL)
 Dá-se o nome de área lateral à área de um retângulo de base 2πr (comprimento da circunferência da base) e altura h, em que r é a medida do raio da base do cilindro e h a medida da altura do cilindro. Isso pode ser visualizado se planificarmos a superfície lateral do cilindro.
ÁREA TOTAL (AT)
A área total de um cilindro é a soma da área da superfície lateral com a área dos círculos das bases.
VOLUME (V) DO CILINDRO
Consideremos um cilindro de altura de medida h e área da base Ab. Consideremos também 
um prisma de altura de medida h e área da base Ab. Note que o cilindro e o prisma têm alturas iguais e bases equivalentes. 
Suponhamos que os dois sólidos tenham as bases contidas em um mesmo plano a e fiquem no mesmo semi espaço de origem a. Qualquer plano b paralelo a a que secione o cilindro também seciona o prisma, e as seções B1 e B2 têm áreas iguais a Ab, pois são congruentes às respectivas bases. Então, pelo princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes iguais.
EXERCICIOS 
(Fundamentos de Geometria Espacial -UECE) - Se S é a área total de um cilindro circular reto de altura h, e se m é a razão direta entre a área lateral e a soma das áreas das bases, encontrar o valor de h em função dos dados.
(Matemática: ciência e aplicações) - Uma lata de óleo cilíndrica possui as seguintes medidas internas: raio da base 5 4 cm e altura 5 22 cm. Nessa lata, é possível armazenar mais que um litro de óleo?
(Matemática: ciência e aplicações) - Numa feira livre, o caldo de cana é vendido em dois recipientes cilíndricos: o copo grande, que tem 5 cm de raio da base e 12 cm de altura, e o copo médio, com 3 cm de raio da base e altura de 10 cm. Para o consumidor, qual copo é mais vantajoso, se o maior custa o triplo do médio?
(Cefet-PR) Secciona-se um cilindro de revolução de raio da base de 5 cm por um plano paralelo ao seu eixo, a uma distância de 4 cm do mesmo. Se a área da secção obtida é 12 cm2, então a altura do cilindro é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
REFERENCIAS 
PAULO, M. Fundamentos de Geometria Espacial, 2013. 120. Universidade Estadual do Ceará, Ceará, 2013.
DEISE, M. JOSE, L. PAULO, H. LUIZA, V. ELEMENTOS DE GEOMETRIA : GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL , 2012. 177. Universidade Federal do Paraná. 2012.
IEZZI, Gelson. Matemática: ciência e aplicações. 2. São Paulo: Saraiva, 2016. 289