a+ FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1ª PARTE ALUNO

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III Prof. Luiz Elpídio M. Machado 
2ª PARTE 
 
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MINAS GERAIS – UEMG 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
 
 
ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Me. Luiz Elpídio de Melo Machado 
2016/1 
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FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
1 – Introdução 
Muitas grandezas dependem de mais de uma variável: a quantidade de alimento produzida depende de quantidade de 
chuva e da quantidade de fertilizante usada; a taxa de uma reação química depende da temperatura e da pressão do ambiente 
em que se processa; a intensidade da atração gravitacional entre dois corpos depende de suas massas e da distância que os 
separa; a taxa de matéria ejetada numa explosão vulcânica que cai num lugar depende da distância ao vulcão e do tempo 
decorrido desde a explosão. Cada exemplo envolve uma função de duas ou mais variáveis. 
Uma função de duas variáveis pode ser representada graficamente, numericamente por uma tabela de valores, ou 
algebricamente por uma fórmula. 
Suponha que se queira obter um empréstimo para comprar um carro é necessário calcular quanto se deve pagar por 
mês; isto dependerá tanto da quantidade de dinheiro emprestada, do tempo de quitação do empréstimo quanto da taxa de juro. 
Estas quantidades podem variar separadamente: o valor do empréstimo pode variar e a taxa de juro e o tempo podem 
permanecer constantes, ou a taxa de juro pode mudar enquanto a quantia emprestada e o tempo permanecem constantes. 
Para calcular o pagamento mensal você precisa conhecer estes valores. Se o pagamento mensal é PR$ , a quantia 
emprestada é CR$ , o tempo de quitação t e a taxa de juros é %i , então exprimimos o valor de P em função de C , t e i 
escrevendo: ( )itCPP ,,= . É exatamente semelhante à notação para função de uma variável. A variável P chama-se a 
variável dependente e as variáveis C , t e i se dizem independentes. 
A função para calcular o valor da prestação a ser paga trinta dias após o contrato do empréstimo é definida por 
( ) ( ), , 1 1C t i t
CiP
i −
=
− +
 onde C é dão em $R , i em am% e t em meses. 
Exemplo 
Ex.-1 Calcule o valor da prestação de um empréstimo de R$5.000,00, nas condições dadas: mesest 24,18,12,6= e 
ami %5,4,3,2= , pela função ( ) ( ) tit i
iP
−+−
=
11
5000
,
. 
• Para mesest 6= e ami %2= , 
( ) ( ) $63,892112029,0
100
887971,01
100
02,011
02,05000
62,6 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 6= e ami %3= 
( ) ( ) $99,922162516,0
150
837484,01
150
03,011
03,05000
63,6 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 6= e ami %4= 
( ) ( ) $81,953209685,0
200
790315,01
200
04,011
04,05000
64,6 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 6= e ami %5= 
( ) ( ) $09,985253785,0
250
746215,01
250
05,011
05,05000
65,6 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
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• Para mesest 12= e ami %2= 
( ) ( ) $80,472211507,0
100
788493,01
100
02,011
02,05000
122,12 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 12= e ami %3= 
( ) ( ) $31,502298620,0
150
701380,01
150
03,011
03,05000
123,12 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 12= e ami %4= 
( ) ( ) $76,532375403,0
200
624597,01
200
04,011
04,05000
124,12 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 12= e ami %5= 
( ) ( ) $13,564443162,0
250
556837,01
250
05,011
05,05000
125,12 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 18= e ami %2= 
( ) ( ) $51,333299841,0
100
700159,01
100
02,011
02,05000
182,18 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 18= e ami %3= 
( ) ( ) $54,363412605,0
150
587395,01
150
03,011
03,05000
183,18 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 18= e ami %4= 
( ) ( ) $97,394506372,0
200
493628,01
200
04,011
04,05000
184,18 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 18= e ami %5= 
( ) ( ) $73,427584479,0
250
415521,01
250
05,011
05,05000
185,18 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 24= e ami %2= 
( ) ( ) $36,264378279,0
100
621721,01
100
02,011
02,05000
242,24 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 24= e ami %3= 
( ) ( ) $24,295508066,0
150
491934,01
150
03,011
03,05000
243,24 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 24= e ami %4= 
( ) ( ) $93,327609878,0
200
390112,01
200
04,011
04,05000
244,24 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
• Para mesest 24= e ami %5= 
( ) ( ) $35,362689932,0
250
310068,01
250
05,011
05,05000
243,24 RP ==
−
=
+−
×
=
−
 
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P t 
6 12 18 24 
 
 
%i 
2 892,63 472,80 333,51 264,36 
3 922,99 502,31 363,54 295,24 
4 953,81 532,76 394,97 327,93 
5 985,09 564,13 427,73 362,35 
 
Ex.-2 Seja R uma região retangular, o valor do momento de Inércia, desta região, em relação ao eixo X é calculado pela 
expressão 
3
12X
b hI = . Veja a representação da região R e do eixo X abaixo. 
 
Calcule o valor do Momento de Inércia para 10,11,12,13b = cm e 15,16,17,18h = cm, pela função 
( )
3
, 12X b h
b hI = . 
• Para 10=b e 15=h temos ( ) 4
3
15,10 5,812.212
750.33
12
1510
cmI X ==
×
= 
• Para 10=b e 16=h temos ( )
4
3
16,10 33,413.312
960.40
12
1610
cmI X ==
×
= 
• Para 10=b e 17=h temos ( )
4
3
17,10 17,094.412
130.49
12
1710
cmI X ==
×
= 
• Para 10=b e 18=h temos ( )
4
3
18,10 860.412
320.58
12
1810
cmI X ==
×
= 
• Para 11=b e 15=h temos ( ) 4
3
15,11 75,093.312
125.37
12
1511
cmI X ==
×
= 
• Para 11=b e 16=h temos ( )
4
3
16,11 67,754.312
056.45
12
1611
cmI X ==
×
= 
• Para 11=b e 17=h temos ( )
4
3
17,11 83,503.412
043.54
12
1711
cmI X ==
×
= 
• Para 11=b e 18=h temos ( )
4
3
18,11 346.512
152.64
12
1811
cmI X ==
×
= 
• Para 12=b e 15=h temos ( ) 4
3
15,12 375.312
500.40
12
1512
cmI X ==
×
= 
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• Para 12=b e 16=h temos ( )
4
3
16,12 096.412
152.49
12
1612
cmI X ==
×
= 
• Para 12=b e 17=h temos ( )
4
3
17,12 913.412
956.58
12
1712
cmI X ==
×
= 
• Para 12=b e 18=h temos ( )
4
3
18,12 832.512
984.69
12
1812
cmI X ==
×
= 
• Para 13=b e 15=h temos ( ) 4
3
15,13 25,656.312
875.43
12
1513
cmI X ==
×
= 
• Para 13=b e 16=h temos ( )
4
3
16,13 33,437.412
248.53
12
1613
cmI X ==
×
= 
• Para 13=b e 17=h temos ( )
4
3
17,13 42,322.512
869.63
12
1713
cmI X ==
×
= 
• Para 13=b e 18=h temos ( )
4
3
18,13 318.612
816.75
12
1813
cmI X ==
×
= 
 
XI
4cm 
b (cm) 
10 11 12 13 
h 
(cm) 
15 2.812,50 3.093,75 3.375,00 3.656,25 
16 3.413,33 3.754,67 4.096,00 4.437,33 
17 4.094,17 4.503,83 4.913,00 5.322,42 
18 4.860,00 5.346,00 5.832,00 6.318,00 
 
Exercício: 
 
E-1. Seja R uma região retangular, o valor do momento de Inércia,desta região. em relação ao eixo Y é calculado pela 
expressão 
3
12Y
b hI = . Veja a representação da região R e do eixo Y abaixo. 
 
Calcule o valor do Momento de Inércia quando 15,16,17,18b = e 21, 22, 23,24h = , pela função 
( )
3
, 12Y b h
b hI = . 
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Respostas 
R - 1 
XI 
b 
15 16 17 18 
h 
20 25,906.5 00,168.7 75,597.8 00,206.10 
21 50,187.6 33,509.7 16,007.9 00,692.10 
22 75,468.6 66,850.7 58,416.9 00,178.11 
23 00,750.6 00,192.8 00,826.9 00,664.11 
 
2 – Valor numérico 
 
Exemplo: 
Ex.-3 Seja f a função definida por ( ) 22, +++= yxyxf yx . Calcule ( )0,0f , ( )2,1f , ( )1,2f . 
( ) 220000
2
0,0
=++×+=f 
( ) 9242122211
2
2,1
=+++=++×+=f 
( ) 7212221122
2
1,2
=+++=++×+=f 
Ex.-4 Seja f a função definida por ( ) zyyzxf zyx 323,, −+−= . Calcule ( )1,0,2−f , ( )1,2,1 −f , ( )2,1,1−f . 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 113008130102 231,0,2 −=−+−−=×−+×−−=−f 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 43221132121 231,2,1 =++−=−×−+−×−=−f 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 106141231211 232,1,1 −=−+−−=×−+×−−=−f 
 
Exercícios: 
E-2. Seja ( ) 432, −+= yxf yx . Calcule ( )0,0f , ( )1,0f , ( )2,1f e ( )1,2 −f . 
E-3. Seja ( )
22
,
2 yxg
yx
−= . Calcule ( )2,1g , ( )1,2g , ( )1,1g , ( )1,1−g e ( )1,2 −g . 
E-4. Seja ( ) yx
yxh
yx
−
+
=
,
. Calcule ( )1,0h , ( )1,1 −h , ( )1,2h e ( )pipi ,−h , ( )3,3h 
E-5. Seja ( ) 23, ++= sttsg ts . Calcule ( )2,1g , ( )1,2g , ( )4,0g e ( )9,4g . 
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E-6. Seja ( ) .
22
,
yx
yx
xyef += Calcule ( )0,0f , ( )1,0f , ( )1,1f e ( )1,1 −−f . 
E-7. Seja ( ) sttsh ts lnln, += . Calcule ( )eh ,1 , ( )1,eh e ( )eeh , . 
E-8. Seja ( )
ts
tsr
reg =
,,
. Calcule ( )1,1,1g , ( )1,0,1g e ( )1,1,1 −−−g . 
Respostas 
R - 2 a) 4− ; b) 1− ; c) 4 ; d) 3− 
R - 3 a) 2− ; b) 7 ; c) 1; d) 1; e) 7 
R - 4 a) 1− ; b) 0 ; c) 3 ; c) 0 ; e) ∃ 
R - 5 a) 24,8234 =+ ; b) 41,928 =+ ; c) 2 ; d) 56 . 
R - 6 a) 0 ; b) 0 ; c) 39,72 =e ; d) 39,72 =e . 
R - 7 a) 1; b) 1; c) 44,52 =e . 
R - 8 a) e ; b)1; c) e− . 
 
2 – Funções de duas variáveis 
Apesar de que vamos lidar com funções de várias variáveis, a maioria das nossas definições e resultados serão 
enunciadas em termos de uma função de duas variáveis. A razão para adotar este tipo de procedimento, como veremos em 
breve, é que existe uma interpretação geométrica para este caso especial, o que serve como importante auxilio visual. 
Poderemos então nos beneficiar da experiência adquirida pelo estudo de duas variáveis para ajudar a entender os conceitos e 
resultados relacionados ao caso mais geral, que nada mais será do que uma extensão do caso de duas dimensões. 
Uma função de duas variáveis, f , consiste em 
• Um conjunto A de pares ordenados de números reais ( )yx , chamados de domínio da função. 
• Uma regra que associa cada par ordenado no domínio de f um único número real, denotado por 
( )yxfz ,= . 
As variáveis x e y são chamadas de variáveis independentes e a variável z, que dependente dos valores de x e y, é 
chamada de variável dependente. 
Como no caso de uma função real de uma variável, o numero ( )yxfz ,= é chamado de valor de f no ponto (x, y). E, 
a menos que seja especificado, o domínio da função f será tomado como o maior conjunto possível para o qual a regra que 
define f faz sentido. 
4 – Domínio de função de duas variáveis 
 
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Como no caso de uma função real de uma variável, o numero ( )yxfz ,= é chamado de valor de f no ponto 
( ),x y . A menos que seja especificado, o domínio da função f será tomado como o maior conjunto possível para o qual a 
regra que define f faz sentido. 
Exemplo 
Ex.-5 Determine e represente o domínio de cada uma das seguintes funções 
a) ( ) 22, yxf yx += 
Condição de existência - Não há 
Restrição – Não há, portanto, o domínio é 
2RD = . 
 
b) ( ) 22,
1
yx
f yx += 
Condição de existência 
022 ≠+ yx 
Restrição 
00 ≠≠ youx 
Domínio 
( ){ }00, 2 ≠≠∈= youxRyxD 
 
c) ( ) 1
1
22, ++
=
yx
f yx 
Condição de existência 
0122 ≠++ yx 
Restrição 
122 −≠+ yx 
Não há restrição 
Portanto o Domínio é 
2RD = . 
 
d) ( ) 1
1
22,
−+
=
yx
f yx 
Condição de existência 
0122 ≠−+ yx 
Restrição 
122 ≠+ yx 
Domínio 
( ){ }1, 222 ≠+∈= yxRyxD 
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e) ( ) 22,
1
yx
f yx = 
Condição de existência 
Restrição 00022 ≠≠⇒≠ yexyx 
( ){ }00, 2 ≠≠∈= yexRyxD 
 
f) ( ) yx
g yx
−
=
2
,
 
Condição de existência 
0≠− yx 
Restrição 
yx ≠ 
Domínio 
( ){ }yxRyxD ≠∈= 2, 
 
g) ( )
22
,
1 yxh
yx
−−= 
Condição de existência 
01 22 ≥−− yx 
Restrição 
( )
2 2
2 2
2 2
1 0
1 1
1
x y
x y
x y
− − + ≥
− − ≥ − × −
+ ≤
 
Domínio 
( ){ }2 2 2, 1D x y R x y= ∈ + ≤ 
 
h) ( ), 2 2
1
4
x yf
x y
=
+ −
 
Condição de existência 
2 2
2 2
4 0
4
x y
x y
+ − >
+ >
 
Restrição 422 >+ yx 
( ){ }2 2 2, 4D x y R x y= ∈ + > 
Exercícios 
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Determine e represente o domínio das funções: 
E-9. ( ) yxf yx 32, += 
E-10. ( ) yx
f yx 32
1
, +
= 
E-11. ( ) yxf yx −= 2, 
E-12. ( ) yx
f
yx
−
=
2
1
,
 
E-13. ( )
222
,,
zyxg
zyx
++= 
E-14. ( ) yzxf zyx +=
3
,,
 
E-15. ( ), , 2 2 2
1
x y zg
x y z
=
+ +
 
E-16. ( ), , 2 2 2
1
9x y z
g
x y z
=
+ + −
 
E-17. ( ) rsg sr =, 
E-18. ( ),r sg r s= + 
E-19. ( ),r sg r s= + 
E-20. ( )
3
,
yxf
yx
+= 
E-21. 
vu
uv
vuh
−
=),( 
E-22. 
uv
vu
vuh −=),( 
E-23. )5ln(),( −+= yxyxh 
E-24. )ln(),( 2 yxyxh += 
E-25. 224),( vuvuh −−= 
Respostas 
R - 9 2RD = 
R - 10 ( ){ }032, 2 ≠+∈= yxRyxD 
R - 11 2RD = 
R - 12 ( ){ }xyRyxD 2, 2 ≠∈= 
R - 13 3RD = 
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R - 14 3RD = 
R - 15 ( ){ }3, , 0 0 0D x y z R x ou y ou z= ∈ ≠ ≠ ≠ 
R - 16 ( ){ }3 2 2 2, , 9D x y z R x y z= ∈ + + ≠ 
R - 17 ( ){ }0, 2 ≥∈= rsRsrD 
R - 18 ( ){ }2, 0D r s R r s= ∈ + ≥ 
R - 19 ( ){ }2, 0 0D r s R r e s= ∈ ≥ ≥ 
R - 20 2RD = 
R - 21 ( ){ }vuRvuD ≠∈= 2, 
R - 22 ( ){ }00, 2 ≠≠∈= veuRvuD 
R - 23 ( ){ }5, 2 >+∈= yxRyxD 
R - 24 ( ){ }0, 22 >+∈= yxRyxD 
R - 25 ( ){ }4, 222 ≤+∈= vuRvuD 
 
5 – Aplicação 
Exemplo 
Ex.-6 A companhia Telcsom fabrica um sistema de caixas de som portáteis que pode ser completamente montada ou na 
forma de kit. As equações de demanda que relacionam os preços unitários xp e yp , com quantidades semanais de 
x e y das versões montadas ou kit do sistema de caixas de som, são dadas por 
yxpx 8
1
4
1300 −−= e yxp y 8
3
8
1240 −−= 
a) Qual a função receita total semanal ( )yxR , ? 
=x quantidade de caixas de som montada 
=y quantidade de caixas de som na forma de kit 
( ) yxyx ypxpR +=, 
( ) 




−−×+





−−×= yxyyxxR
yx8
3
8
1240
8
1
4
1300
,
 
( )
22
, 8
3
8
1240
8
1
4
1300 yxyyxyxxR yx −−+−−= 
( ) yxxyyxR yx 2403004
1
8
3
4
1 22
,
++−−−= 
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b) Determine o domínio da função ( )yxR , . 
Condições de existência 
quantidade 0≥ 0 0x e y≥ ≥ 
preço 0≥ 
1 10 300 0 2 2400
4 8
1 30 240 0 3 1920
8 8
x
y
p x y x y
p x y x y
≥ ⇒ − − ≥ ⇒ + ≤
≥ ⇒ − − ≥ ⇒ + ≤
 
( ){ }19203;24002;0;0, 2 ≤+≤+≥≥∈= yxyxyxRyxD 
c) Represente geométrica do domínio da função ( )yxR , . 
 
Exercício 
E-26. A firma Country Workshop fabrica mobília domestica com ou sem acabamento. Estima-se que a demanda semanal de 
suas escrivaninhas nas versões com e sem acabamento é de x e y unidades quando os preços unitários 
correspondentes são yxpeyxp yx 4
1
10
1160
10
1
5
1200 −−=−−= dólares, respectivamente. 
a) Qual é a função receita total semanal R(x, y)? 
b) Determine o domínio da função R. 
c) Faça a representação geométrica do domínio. 
E-27. Para a função total R(x, y) do exercício anterior calcule R(100,60) e R(60,100). Interprete os resultados. 
E-28. Uma Companhia publica uma edição de luxo e uma edição padrão para seu dicionário de inglês. A gerência da 
companhia estima que o número de dicionários de luxo demandado é de x exemplares/dia, e o número de dicionários 
padrão demandado é de y exemplares/dia quando os preços unitários são 
yxpeyxp yx 003,0001,015001,0005,020 −−=−−= reais, respectivamente. 
a) Determine a função receita total R(x, y). 
b) Determine o domínio da função R. 
c) Faça a representação geométrica do domínio. 
E-29. Para a função receita total R(x, y) do exercício anterior calcule R(300, 200) e R(200,300) e interprete seus resultados. 
E-30. Um estudo sobre lucro com incêndios criminosos foi conduzido por uma equipe de especialistas civis e detetives da 
policia indicados pelo prefeito de uma grande cidade. Descobriu-se o número de incêndios suspeitos naquela cidade 
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em 1992 era estreitamente relacionado à concentração de inquilinos nas moradias públicas de cidade, bem como ao 
nível de reinvestimento da área em hipotecas convencionais pelos dez maiores bancos. De fato, número de incêndios 
era muito bem aproximado pela fórmula 
2
2
1
2
)2,05(
)03,01000(100),(
y
yxyxN
+
+
= onde 35)y5 ;1500( ≤≤≤≤ x 
Onde x denota o número de pessoas/contagem de censo e y denota o nível de reinvestimento na área em 
centavos/reais depositado. Usando esta fórmula, estime o número total de incêndio suspeitos nos distritos da cidade 
onde a concentração de inquilinos de moradias públicas era de 100 pessoas/contagem de censo e o nível de 
reinvestimento era de 20 centavos/real depositado. 
E-31. Se um capital de C reais é depositado numa conta que rende juros à taxa de aai% continuamente compostos, 
então o montante ao final t anos é dado por ( )
ti
tiC CefM == ,, reais. Determine o montante ao final de 3 anos se 
uma quantia de R$ 10.000,00 é depositada numa conta que rende à taxa de 10%/ano. 
E-32. A prestação mensal que amortiza em empréstimo de E reais em t anos, quando a taxa de juros é de i ao ano, é dada 
por 
( )














+−
==
− ttiE i
EifP
12,,
12
1112
 
a) Qual é a prestação mensal para uma hipoteca de R$100.000,00 que será amortizada ao longo de 30 anos 
com uma taxa de 8%/ano? E com uma taxa de 10%/ano? 
b) Determine a prestação mensal para uma hipoteca de R$ 100.000,00 que será amortizada ao longo de 20 
anos com uma taxa de juros de 8% ano. 
E-33. Suponha que um indivíduo contraia um empréstimo de E reais num banco para comprar uma casa. Se a taxa de juros 
cobrada é de aai% e o empréstimo deve ser amortizado em t anos, então a reposição de principal ao final de m 
meses, ou seja, seja a amortização denotada por B será calculada por 
( ) 12t)m(0 
1
12
1
1
12
1
12,,, ≤≤












−





+
−





+
==
t
m
mtiE
i
i
EfB 
Suponha que os sócios de uma empresa tomem emprestado de um banco a quantia de R$ 80.000,00 para ajudá-los a 
financiar a compra de uma casa e o banco lhes cobra uma taxa de juros de 9%/ano. Se os sócios concordaram em 
pagar o empréstimo em prestações mensais iguais ao longo de 30 anos, quanto eles deverão ao banco após o 60o 
pagamento (5 anos)? E após o 240o pagamento (20 anos)? 
E-34. Fórmula de Wilson para tamanho de lotes. Em economia, a fórmula de Wilson para tamanho de lotes afirma que a 
quantidade ótima Q de bens que uma loja deve encomendar é dada por 
( ) h
CNfQ hNC 2;; == 
onde C é o custo de se fazer uma encomenda, N é o número de produtos que a loja vende por semana, e h é o custo 
semanal de armazenamento para cada produto. Determine o numero mais econômico de bicicletas de 10 velocidades 
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que a loja pode encomendar se ela tem um custo de R$20,00 para fazer a encomenda, R$ 5 para guardar a bicicleta 
por uma semana, e espera vender 40 bicicletas por semana. 
Respostas 
R - 26 a) ( ) yxxyyxR yx 1602005
1
4
1
5
1 22
,
++−−−= ; 
b) ( )





 ≥≥≥++−−−∈= 0,0,0160200
5
1
4
1
5
1
,
222 yxyxxyyxRyxD . 
c) 
 
R - 27 ( ) 00,500.25$60,100 RR = e ( ) 00,580.23$100,60 RR = 
R - 28 a) ( ) yxxyyxR yx 1520002,0003,0005,0 22, ++−−−= , 
b) ( ){ }0,0,01520002,0003,0005,0, 222 ≥≥≥++−−−∈= yxyxxyyxRyxD . 
c) 
 
R - 29 ( ) 00,310.8$200,300 RR = e ( ) 00,910.7$300,200 RR = 
R - 30 ( ) incêndiosN 29,10320,100 = 
R - 31 ( ) 59,498.13$3;1,0;000.10 RM = 
R - 32 a) ( ) 76,733$30;08,0;000.100 RA = e ( ) 19,877$30;1,0;000.100 RA = , b) ( ) 44,836$20;08,0;000.100 RA = 
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R - 33 Para 60 meses 11,704.76$R e para 240 meses 62,814.50$R 
R - 34 18 produtos. 
 
6 – Gráficos de funções de duas variáveis 
Para esboçar uma função de duas variáveis, precisamos de um sistema de coordenadas tridimensional. Isto pode ser 
prontamente construído acrescentando um terceiro eixo ao sistema de coordenados cartesianas ao plano de tal maneira que 
os três eixos resultantes são mutuamente perpendiculares, interceptando-se em O. Observe que, por construção, os zeros das 
três escalas numéricas coincidem com a origem do sistema de coordenadas cartesianas tridimensional 
 
Um ponto no espaço tridimensional pode agora ser univocamente representado neste sistema de coordenadas por um 
a tripla ordenada de números (x, y, z) e, reciprocamente, cada tripla ordenada de números reais (x, y, z) representa um ponto 
no espaço tridimensional. As figuras abaixo mostram um ponto qualquer no espaço e o ponto (2, 3, 5). 
 
Agora, se f(x, y) é uma função de duas variáveis x e y, o domínio de f é um subconjunto do plano x-y. Seja z = f(x, y) 
de forma que exista um único ponto (x, y, z) ≡ (x, y, f(x, y)) associado a cada ponto (x, y) no domínio de f. A totalidade destes 
pontos constitui o gráfico da função f é, exceto para certos casos específicos, uma superfície tridimensional. 
Quando interpretamos o gráfico de uma função f(x, y), pensamos frequentemente que o valor z = f(x, y) da função no 
ponto (x, y) é a “altura” do ponto (x, y, z) no gráfico de f. Se f(x, y) >0, então o ponto (x, y, z) está f(x, y) unidades acima do 
plano x-y. Se f(x, y) < 0, então o ponto (x, y, z) está |f(x, y)| unidades abaixo do plano xy. 
y 
x 
z 
Sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional 
y 
x 
z 
x 
y 
z 
P(x, y, z) 
Um ponto no espaço tridimensional 
y 
x 
z 
2 
3 
5 
P(2, 3, 5) 
 Ponto (2, 3, 5) no espaço tridimensional 
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Em geral é bastante difícil desenhar o gráfico de uma função de duas variáveis. Certas técnicas foram desenvolvidas, 
no entanto, para nos permitir gerar com um mínimo de esforço, usamos um computador. A figura abaixo mostra alguns gráficos 
gerados por computador. 
z = sin(2x)cos(y)
(-3.20,3.20,-1.02)
(3.20,-3.20,1.02)
 
z = x^2+y^2
(-4.08,4.08,-0.32)
(4.08,-4.08,32.32)
 
Figura 1 - ( ) ( ) ( )ysenxsenf yx 2, = Figura 2 - ( ) 22, yxf yx += 
Exercício 
Faça a representação gráfica das seguintes funções: 
E-35. ( )
22
,
yxf yx −= 
E-36. ( ) 2
2
3
,
xy
xf yx −= 
E-37. ( ) ( )1ln 22, ++= yxf yx 
E-38. ( )
22
,
yxf yx += 
E-39. ( )
2
,
y
yx xef = 
E-40. ( )
22
,
y
yx exf = 
E-41. ( )
22
,
yx
yx ef += 
E-42. ( )
( )12
,
22 ++
=
yx
yx ef 
Resposta 
R - 35 
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R - 36 
 
 
 
R - 37 
 
R - 38 
 
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R - 39 
 
R - 40 
 
 
R - 41 
 
 
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R - 42 
 
 
7 – Curva de nível 
Como mencionamos anteriormente, em geral é difícil esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis e, portanto, 
não iremos desenvolver um procedimento sistemático para esboçá-lo. Ao invés disto, vamos descrever um método que é 
usado para construir mapas topográficos. Este método é realmente fácil de ser aplicado e fornece informações suficientes para 
termos uma idéia de como deve ser o gráfico da função. 
A figura 3 representa a distribuição da temperatura C0 e a figura 4 a precipitação pluvial em mm em ambas é usando 
curva de nível. 
 
Figura 3: acessado em http://climatempo.click21.com.br/espelho.php?pc= click21&pg=mapatempo acessado em 12/02/2008. 
 
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Figura 4: Precipitação observada (mm) – 09/02/2008. Fontes de dados: CPTEC/INPD, INMET, FUNCEME/CE AESA/PB 
EMPARN/RN, ITEP/PE, FUNCEME/CE, DHME/PI, CMRH/SE, SEMARH/DHN/SEMARH/BA, CEMIG-SIMGE/MG, SEAG/ES, 
SIMPAR/PR, CIRAM/SC, IAC/SP. Acessado em http://www.cptec.inpe.br/clima/monit/monitor_brasil.shtml acessado em 
12/02/2008. 
 
Suponha que ( )yxf , é uma função de duas variáveis x e y. Se c é algum valor da função f , então a equação 
( ) cf yx =, descreve uma curva situada no plano cz = chamada de traço do gráfico de f no plano cz = . Se este traço 
for projetado no plano yx − , a curva resultante no plano yx − é chamada de curva de nível. Desenhando as curvas de nível 
correspondentes a vários valores de c , obtemos um mapa de contornos. Por construção, todo ponto em uma curva particular 
de nível corresponde a um ponto na superfície ( )yxfz ,= que está a uma certa distância fixa do plano yx − . Assim, 
elevando ou rebaixando imaginariamente as curvas de nível que compõe o mapa de contorno, é possível obter uma idéia do 
formato genérico da superfície representada pela função f . 
Exemplo 
Ex.-7 Esboce um mapa de contornos da função ( ) xyf yx =, para 2,1,0,1,2 −−=c . 
 
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Ex.-8 Esboce um mapa de contornos da função ( )
22
,
yxf yx += para 16,9,4,1,0=c . 
 
 
Ex.-9 Esboce um mapa de contornos da função ( ) yxf yx −=
2
,
 para 2,1,0,1,2 −−=c . 
 
 
Exercícios 
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Nos exercícios abaixo, esboce as curvas de nível da função correspondentes aos valores dados de c . 
E-43. ( ) yxf yx 32, += ; 2,1,0,1,2 −−=c . 
E-44. ( ) xyf yx =, ; 4,2,2,4 −−=c . 
E-45. ( )
22
,
16 yxf
yx
−−= ; 4,3,2,1,0=c . 
E-46. ( )
22
,
16 yxf
yx
−−= ; 16,12,7,0,9,20 −−=c . 
E-47. ( ) V
nRTP TV =, (suponha 2=nR ) 3,2,1,2
1
,
3
1
=P 
Resposta 
R - 43 
 
R - 44 
 
R - 45 
 
R - 46 
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R - 47 
 
 
8 – Derivadas parciais 
8.1 – Taxa média de variação parcial determinada numericamente 
A função de duas variáveis tem duas taxas de variação: uma quando x varia (com y mantido constante) e uma 
quando y varia (com x mantido constante). 
• Taxa média de variação em relação à variável x em ( )1 1,x y 
( ) ( ) ( )2 1 1 1, ,1 1
2 1
,
x y x yf ff
x y
x x x
−∆
=
∆ −
 
 
• Taxa média de variação em relação à variável y em ( )1 1,x y 
( ) ( ) ( )1 2 1 1, ,1 1
2 1
,
x y x yf ff
x y
x y y
−∆
=
∆ −
 
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy 
 
Ex.-10 Veja a tabela do valor da prestação de um empréstimo de R$5.000,00. 
P t 
6 12 18 24 
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%i 
2 892,63 472,80 333,51 264,36 
3 922,99 502,31 363,54 295,24 
4 953,81 532,76 394,97 327,93 
5 985,09 564,13 427,73 362,35 
a) Calcule a taxa de variação do preço P na direção de t no ponto ( )4,12 . 
( ) ( ) ( ) mêsR
PP
t
P $97,22
6
76,53297,394
1218
4,12 4,124,18 −=−=
−
−
=
∆
∆
 
b) Calcule a taxa de variação do preço P na direção de i no ponto ( )4,12 . 
( ) ( ) ( ) %$37,31
1
76,53213,564
45
4,12 4,125,12 R
PP
i
P
=
−
=
−
−
=
∆
∆
 
c) Calcule a taxa de variação do preço P na direção de t no ponto ( )3,18 . 
( ) ( ) ( )24,3 18,3 295,24 363,5418,3 11,38 $
24 18 6
P PP R mês
t
−∆ −
= = = −
∆ −
 
d) Calcule a taxa de variação do preço P na direção de i no ponto ( )3,18 . 
( ) ( ) ( )18,4 18,3 394,97 363,5418,3 31,43 $ %
4 3 1
P PP R
i
−∆ −
= = =
∆ −
 
Exercício 
E-48. A tabela abaixo refere-se a distribuição de temperatura em uma placa fina retangular. No canto superior direito está a 
origem do plano yx − . 
)( 0CT )(mx 
0 1 2 3 4 5 
 
 
)(my 
0 85 90 110 135 155 180 
1 100 110 120 145 190 170 
2 125 128 135 155 175 160 
3 120 135 155 160 165 150 
a) Calcule a taxa de variação da temperatura T na direção de x no ponto ( )1,2 . 
b) Calcule a taxa de variação da temperatura T na direção de y no ponto ( )1,2 . 
c) Calcule a taxa de variação da temperatura T na direção de x no ponto. ( )0,0 . 
d) Calcule a taxa de variação da temperatura T na direção de y no ponto. ( )0,0 . 
e) Calcule a taxa de variação da temperatura T na direção de x no ponto( )3,4 . 
f) Calcule a taxa de variação da temperatura T na direção de y no ponto. ( )1,5 . 
E-49. O consumo de carne C (em quilos por semana por família) é função da renda familiar R (em milhares de reais por 
ano) e do preço da carne p (em reais por quilo). A tabela abaixo representa a quantidade de carne comprada 
(quilos/família/semana). 
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)(kgC 
)/$( kgRp 
8,00 8,50 9,00 9,50 
 
R 
)000.1$(R 
4 2,65 2,59 2,51 2,43 
6 4,14 4,05 3,94 3,88 
8 5,11 5,00 4,97 4,84 
10 5,35 5,29 5,19 5,07 
12 5,79 5,77 5,60 5,53 
a) Calcule a taxa de variação do consumo C na direção de p no ponto ( )6,00,9 . 
b) Calcule a taxa de variação do consumo C na direção de R no ponto ( )6,00,9 . 
c) Calcule a taxa de variação do consumo C na direção de p no ponto ( )10,00,8 . 
d) Calcule a taxa de variação do consumo C na direção de R no ponto ( )4,50,9 . 
e) Calcule a taxa de variação do consumo C na direção de p no ponto ( )12,50,8 . 
f) Calcule a taxa de variação do consumo C na direção de R no ponto ( )8,50,8 . 
Resposta 
R - 48 a) mC 025 ; b) mC 015 ; c) mC 05 ; d) mC 015 ; e) mC 015− ; f) mC 010− . 
R - 49 a) kgRkg $12,0− ; b) 000.1$515,0 Rkg ; c) kgRkg $12,0− ; d) 000.1$725,0 Rkg ; 
e) kgRkg $34,0− ; f) 000.1$145,0 Rkg 
8.2 – Derivadas parciais determinadas algebricamente 
Para uma função f(x) de uma variável x, não existe ambigüidade quando falamos de taxa de variação de f(x) com 
relação a x, pois x está compelida a se mover ao longo do eixo x. Esta situação se complica, entretanto, quando estudamos a 
taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis. Por exemplo, o domínio D de uma função de duas variáveis f(x, y) 
é um subconjunto do plano, de forma que se P(a, b) é algum ponto do domínio de f, então existem infinitas direções ao longo 
das quais podemos aproximar do ponto P. Podemos então perguntar qual é a taxa de variação de f no ponto P ao longo de 
alguma destas direções. 
Não lidaremos com este problema geral. Em vez disto, vamos nos restringir ao estudo da taxa de variação de função 
f(x, y) em um ponto P(a, b) ao longo de duas direções privilegiadas; a saber, a direção paralela ao eixo x e a direção paralela 
ao eixo y. Seja y = b, onde b é uma constante, de forma que f(x, b) é uma função da única variável x. Como a equação z = f(x, 
y) é a equação de uma superfície, a equação z = f(x, b) é a equação de curva C na superfície formada pela interseção da 
superfície e do plano y = b. 
Como f(x, b) é uma função da única variável x, podemos calcular a derivada de f com relação a x no ponto x = a. Esta 
derivada, obtida mantendo a variável y fixa e diferenciando a função resultante f(x, y) com relação a x, é chamada de derivada 
parcial de primeira ordem de f com relação a x no ponto (a, b). 
Analogamente, definimos s derivada parcial de primeira ordem de f com relação a y no ponto (a, b). 
O símbolo ∂ é chamado derronde, que é uma corruptela do francês “de rond” que quer dizer “dê redondo” . Isso se 
deveu ao fato de os franceses, na época da Revolução Francesa, adotarem essa forma especial de escrever a letra d. Esse 
símbolo é particularmente útil para diferenciar a derivada parcial de uma função de várias variáveis, em relação a alguma delas 
“∂f/∂x”, da derivada de uma função de uma variável “df/dx”. 
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Exemplo 
Ex.-11 Determine as derivadas parciais
y
f
e
x
f
∂
∂
∂
∂
da função ( )
32
,
yxyxf yx +−= e calcule o valor no ponto ( )2,1 . 
Resolução 
a) Qual é a taxa de variação da função f na direção X no ponto ( )2,1 ? 
( ) yxyxyx
x
f
−=+×−=
∂
∂ 2012, no ponto ( )2,1 ( ) ( ) ( ) 0222122,1 =−=−×=
∂
∂
x
f
 
 
b) Qual é a taxa de variação da função f na direção Y no ponto ( )2,1 ? 
( ) 22 3310, yxyxyx
y
f
+−=+×−=
∂
∂
 no ponto ( )2,1 ( ) ( ) ( ) 111212312,1 2 =+−=×+−=
∂
∂
y
f
 
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma das seguintes funções. 
Ex.-12 ( ) 22, yx
xyf yx += 
Derivada parcial em relação à variável x 
( ) ( )( ) ( ) ( )222
32
222
232
222
22 22
,
yx
yyx
yx
yxyyx
yx
xyxyxyyx
x
f
+
+−
=
+
−+
=
+
×−+×
=
∂
∂
 
Derivada parcial em relação à variável y 
( ) ( )( ) ( ) ( )222
23
222
223
222
22 22
,
yx
xyx
yx
xyxyx
yx
xyyyxxyx
y
f
+
−
=
+
−+
=
+
×−+×
=
∂
∂
 
Ex.-13 ( )
22
,
vu
vu
eh −= 
Derivada parcial em relação à variável u 
( ) 2222 22, vuvu euuevu
u
h
−−
=×=
∂
∂
 
Derivada parcial em relação à variável y 
( ) ( ) 2222 22, vuvu evvevu
v
h
−−
−=−×=
∂
∂
 
Ex.-14 ( ) ( ) 522, tstsg ts +−= 
Derivada parcial em relação à variável s 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tststststststs
u
g
−+−=−×+−=
∂
∂ 2525, 422422 
Derivada parcial em relação à variável t 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )sttstststststs
t
g
−+−=+−×+−=
∂
∂ 2525, 422422 
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Ex.-15 ( ) ( )22, 2ln yxf yx += 
Derivada parcial em relação à variável x 
( ) 2222 2
22
2
1
,
yx
x
x
yx
yx
x
f
+
=×
+
=
∂
∂
 
Derivada parcial em relação à variável y 
( ) 2222 2
44
2
1
,
yx
yy
yx
yx
y
f
+
=×
+
=
∂
∂
 
Ex.-16 ( ) ( )yxezyxf yzzyx ln4432,, +−= 
Derivada parcial em relação à variável x 
( ) ( ) ( )yzxyyzyxyx
x
f ln2ln102, 4343 +=×+−×=
∂
∂
 
Derivada parcial em relação à variável y 
( )
y
x
zezyx
y
xzezyxyx
y
f yzyz +−=×+×−××=
∂
∂ 44224422 43143, 
Derivada parcial em relação à variável z 
( ) yzyz yezyxyezyxyx
z
f 43324332 440144, −=+××−×=
∂
∂
 
Exercício 
Nos exercícios abaixo, determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função. 
E-50. 532),( ++= yxyxf 
E-51. xyyxf 2),( = 
E-52. 142),( 2 ++= yxyxf 
E-53. 2
2),(
x
yyxf = 
E-54. 
y
xyxf
+
=
1
),( 
E-55. 
vu
vu
vuf
+
−
=),( 
E-56. 22
22
),(
yx
yxyxf
+
−
= 
E-57. ( ) ( )422, tstsf ts +−= 
E-58. ( )
32
,
−+= sttsg ts 
E-59. 21),( yxyxf += 
E-60. 1),( += xyeyxf 
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E-61. ( ) ( ) ( )xyyxf yx lnln, += 
E-62. ( ) ( )veg uvu ln, = 
E-63. ( )
222
,,
zxyzxyxyzf zyx +++= 
E-64. ( ) 222,,
2
wvu
uvwg wvu ++
= 
E-65. ( )
tsr
tsr eh =,, 
E-66. ( )
32
,
yxf yx += 
E-67. ( )
32
,
yxf yx = 
E-68. ( ) 3
2
, y
xf yx = 
E-69. ( ) 3
2
,
1
y
xf yx += 
E-70. ( ) yx
yxf yx +
+
=
32
,
 
E-71. ( ) yx
yxf yx +
+
=
22
,
 
E-72. ( ) yx
yxf yx +
+
=
23
,
 
E-73. ( ) yx
yxf yx
−
+
=
32
,
 
E-74. ( )
y
yx exf 34, += 
E-75. ( )
y
yx exf 34, = 
E-76. ( ) 4
3
2
,
x
e
xf
y
yx += 
E-77. ( )
yx
yx ef 32, −= 
E-78. ( )
xy
yx ef 2, = 
E-79. ( )
22
,
yx
yx ef += 
E-80. ( )
32
,
yx
yx ef += 
E-81. ( ) ( )yxf yx 321ln, ++= 
E-82. ( ) ( )xyf yx 21ln, += 
E-83. ( ) ( )yxf yx 32ln, += 
E-84. ( ) ( ) ( )xyyxf yx lnln, += 
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E-85. ( ) ( ) ( )xyf yx lnln, = 
E-86. ( ) ( ) ( )yxsenfyx 4cos3, += 
E-87. ( ) ( ) ( )yxsenf yx 4cos3, = 
E-88. ( ) ( ) ( )43, cos yxsenf yx += 
E-89. ( ) ( ) ( )43, cos yxsenf yx = 
 
Nos exercícios abaixo, determine as derivadas parciais de primeira ordem da função no ponto dado. 
E-90. ( ) )2 ,1(;
22
,
xyyxf
yx
+= 
E-91. ( ) )1 ,2(;
2
,
yyxf
yx
+= 
E-92. )4 ,3(;22
),(
yxg
yx
+= 
E-93. ( ) 2) (1, ;, y
xf
yx
= 
E-94. ( ) ( )1,1 ;,
yx
yx
ef = 
E-95. ( ) ( ) ( )e0, ;ln, yef
x
yx
= 
E-96. ( ) ( )1,0,2 ;
32
,,
yzxf
zyx
= 
Resposta 
R - 50 ( ) 2, =
∂
∂ yx
x
f
 e ( ) 3, =
∂
∂ yx
y
f
 
R - 51 ( ) yyx
x
f 2, =
∂
∂
 e ( ) xyx
y
f 2, =
∂
∂
 
R - 52 ( ) xyx
x
f 4, =
∂
∂
 e ( ) 4, =
∂
∂ yx
y
f
 
R - 53 ( ) 34, x
yyx
x
f
−=
∂
∂
 e ( ) 22, xyxy
f
=
∂
∂
 
R - 54 ( )
y
yx
x
f
+
=
∂
∂
1
1
, e ( ) ( )21, y
xyx
y
f
+
−=
∂
∂
 
R - 55 ( )2
2
vu
v
u
f
+
=
∂
∂
 e ( )2
2
vu
u
y
f
+
−=
∂
∂
 
R - 56 ( ) ( )222
24
,
yx
xyyx
x
f
+
=
∂
∂
 e ( ) ( )222
24
,
yx
yxyx
y
f
+
−=
∂
∂
 
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R - 57 ( ) ( )( )32224, tstststs
s
f
+−−=
∂
∂
 e ( ) ( )( )32224, tstststs
t
f
+−+−=
∂
∂
 
R - 58 ( ) 32, −+=
∂
∂
tstts
s
f
 e ( ) 42 3, −−=
∂
∂
ststs
t
f
 
R - 59 ( ) 21, yyx
x
f
+=
∂
∂
 e ( )
21
,
y
xyyx
y
f
+
=
∂
∂
 
R - 60 ( ) 1, +=
∂
∂ xyyeyx
x
f
 e ( ) 1, +=
∂
∂ xyxeyx
y
f
 
R - 61 ( )
x
yyyx
x
f
+=
∂
∂ ln, e ( ) x
y
xyx
y
f ln, +=
∂
∂
 
R - 62 ve
u
f u ln=
∂
∂
 e 
v
e
v
f u
=
∂
∂
 
R - 63 ( ) xzyyzzyx
x
f 2,, 2 ++=
∂
∂
, ( ) 22,, zxyxzzyx
y
f
++=
∂
∂
 e ( ) 22,, xyzxyzyx
z
f
++=
∂
∂
 
R - 64 ( ) ( )2222
332 222
,,
wvu
vwwvvwu
wvu
u
f
++
++−
=
∂
∂
, ( ) ( )2222
323 222
,,
wvu
uwwuvwu
wvu
v
f
++
+−
=
∂
∂
, 
( ) ( )2222
233 222
,,
wvu
uvwuvvu
wvu
v
f
++
−+
=
∂
∂
. 
R - 65 ( ) rststetsr
r
f
=
∂
∂
,, ; ( ) rstrtetsr
s
f
=
∂
∂
,, ; ( ) rstrsetsr
t
f
=
∂
∂
,, 
R - 66 ( ) xyx
x
f 2, =
∂
∂
 ou ( ) 23, yyx
y
f
=
∂
∂
 
R - 67 ( ) 32, xyyx
x
f
=
∂
∂
 ou ( ) 223, yxyx
y
f
=
∂
∂
 
R - 68 ( ) 32,
y
xyx
x
f
=
∂
∂
 e ( ) 4
23
,
y
xyx
y
f
−=
∂
∂
 
R - 69 ( ) xyx
x
f 2, =
∂
∂
 e ( ) 43, yyxy
f
−=
∂
∂
 
R - 70 ( ) ( )2
32 2
,
yx
yxyxyx
x
f
+
−+
=
∂
∂
 e ( ) ( )2
232 23
,
yx
xyxyyx
y
f
+
−+
=
∂
∂
 
R - 71 ( ) ( )2
22 2
,
yx
yxyxyx
x
f
+
−+
=
∂
∂
 e ( ) ( )2
222
,
yx
xyxyyx
y
f
+
−+
=
∂
∂
 
R - 72 ( ) ( )2
223 32
,
yx
yyxxyx
x
f
+
−+
=
∂
∂
 e ( ) ( )2
322
,
yx
xyxyyx
y
f
+
−+
=
∂
∂
 
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R - 73 ( ) ( )2
32 2
,
yx
yxyxyx
x
f
−
−−
=
∂
∂
 e ( ) ( )2
232 23
,
yx
xyxyyx
y
f
−
+−
=
∂
∂
 
R - 74 ( ) 34, xyx
x
f
=
∂
∂
 e ( ) yeyx
y
f 33, =
∂
∂
 
R - 75 ( ) yexyx
x
f 334, =
∂
∂
 e ( ) yexyx
y
f 343, =
∂
∂
 
R - 76 ( ) 5
342,
x
e
xyx
x
f y
−=
∂
∂
 e ( ) 4
33
,
x
eyx
y
f y
=
∂
∂
 
R - 77 ( ) yxeyx
x
f 322, −=
∂
∂
 e ( ) yxeyx
y
f 323, −−=
∂
∂
 
R - 78 ( ) xyyeyx
x
f 22, =
∂
∂
 e ( ) xyxeyx
y
f 22, =
∂
∂
 
R - 79 ( ) 222, yxxeyx
x
f +
=
∂
∂
 e ( ) 222, yxyeyx
y
f +
=
∂
∂
 
R - 80 ( ) 322, yxxeyx
x
f +
=
∂
∂
 e ( ) 3223, yxeyyx
y
f +
=
∂
∂
 
R - 81 ( )
yx
yx
x
f
321
2
,
++
=
∂
∂
 ou ( )
yx
yx
y
f
321
3
,
++
=
∂
∂
 
R - 82 ( )
xy
yyx
x
f
21
2
,
+
=
∂
∂
 ou ( )
xy
xyx
y
f
21
2
,
+
=
∂
∂
 
R - 83 ( )
yx
yx
x
f
32
2
,
+
=
∂
∂
 ou ( )
yx
yx
y
f
32
3
,
+
=
∂
∂
 
R - 84 ( ) ( )
x
yyyx
x
f
+=
∂
∂ ln, e ( ) ( )x
y
xyx
y
f ln, +=
∂
∂
 
R - 85 ( ) ( )
x
yyx
x
f ln
, =
∂
∂
 ou ( ) ( )
y
xyx
y
f ln
, =
∂
∂
 
R - 86 ( ) ( )xyx
x
f 3cos3, =
∂
∂
 ou ( ) ( )ysenyx
x
f 44, −=
∂
∂
 
R - 87 ( ) ( ) ( )yxyx
x
f 4cos3cos3, =
∂
∂
 ou ( ) ( ) ( )ysenxsenyx
y
f 434, −=
∂
∂
 
R - 88 ( ) ( )32 cos3, xxyx
x
f
=
∂
∂
 ou ( ) ( )434, ysenyyx
x
f
−=
∂
∂
 
R - 89 ( ) ( ) ( )432 coscos3, yxxyx
x
f
=
∂
∂
 ou ( ) ( ) ( )4334, ysenxsenyyx
x
f
−=
∂
∂
 
R - 90 ( ) 82,1 =
∂
∂
x
f
; ( ) 52,1 =
∂
∂
y
f
 
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R - 91 ( ) 11,2 =
∂
∂
x
f
; ( ) 31,2 =
∂
∂
y
f
 
R - 92 ( )
5
34,3 =
∂
∂
x
f
; ( )
5
44,3 =
∂
∂
y
f
 
R - 93 ( )
2
12,1 =
∂
∂
x
f
; ( )
4
12,1 −=
∂
∂
y
f
 
R - 94 ( ) e
x
f
=
∂
∂ 1,1 ; ( ) e
y
f
=
∂
∂ 1,1 
R - 95 ( ) 1,0 =
∂
∂
e
x
f
; ( )
e
e
y
f 1
,0 =
∂
∂
 
R - 96 ( ) 02,0,1 =
∂
∂
x
f
; ( ) 82,0,1 =
∂
∂
y
f
; ( ) 02,0,1 =
∂
∂
z
f
. 
 
Exercícios de aplicação 
Ex.-17 O lucro mensal (em dólares) de uma loja depende do nível de estoque x (em milhares de dólares) e do espaço 
disponível y (em milhares de pés quadrados) para expor a mercadoria como descrito pela equação. 
( ) 20025391502,0 22, ++++−−= yxxyyxL yx 
a) Calcule o lucro quando são investidos $4.000,00 em estoque e há 150 pés quadros em espaço disponível. 
b) Calcule o lucro quando são investidos $5.000,00 em estoque e há 150 pés quadros em espaço disponível. 
c) Calcule
y
L
 e 
∂
∂
∂
∂
x
L
. 
d) Interprete o resultado das derivadas parciais quando são investidos $4.000,00 em estoque e há 150 pés quadros 
em espaço disponível.. 
e) Interprete o resultado das derivadas parciais quando são investidos $5.000,00 em estoque e 150 pés quadros em 
espaço. 
Resposta 
( ) 3904,0, ++−=
∂
∂ yxyx
x
L
 e ( ) 2530, ++−=
∂
∂
xyyx
y
L
; ( ) 29150,4000 =
∂
∂
x
L
 e 
( ) 475150,4000 −=
∂
∂
y
L
; ( ) 11150,5000 −=
∂
∂
x
L
 e ( ) 525150,5000 =
∂
∂
y
L
. 
9 – A função produção de Cobb-Douglas 
Para encontrar uma interpretação econômica das derivadas parciais de primeira ordem de uma função de duas 
variáveis, vamos considerar a função ( )
bb
CM
CkMP −= 1
,
 onde a e b são constantes positivas com 0 < b <1. Esta função é 
chamada de função produção de Cobb-Douglas. Aqui, M denota a quantidade de dinheiro gasta em mão-de-obra, C denota 
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o custo de equipamento capital (prédio, máquinas, e outras ferramentas de produção) e a função P mede a saída do produto 
final (unidades apropriadas) e é chamada assim de função produção. 
A derivada parcial 
M
P
 
é chamada de produtividade marginal de mão-de-obra. Ela mede a taxa de variação da 
produção com relação á quantidade de dinheirogasta em mão-de-obra, para um nível de gasto de capital constante. 
Analogamente, a derivada parcial CP chamada de produtividade marginal de capital, mede a taxa de variação da produção 
com relação à quantidade gasta em capital para um determinado nível de gasto de mão-de-obra fixo. 
Exemplo 
Ex.-18 A produção de certo país nos anos seguintes à Segunda Guerra Mundial é descrita por ( )
3
1
3
2
,
30 CMP
CM
= 
unidades, quando M unidades de mão-de-obra e C unidades de capital foram usadas. 
a) Calcule Cm PeP . 
Produtividade marginal da Mão-de-obra ( ) ( )
3
1
3
1
3
1
3
1
20,
3
230,
M
CCM
M
PCMCM
M
P
=
∂
∂
⇒××=
∂
∂ −
 
Produtividade marginal da Capital ( ) ( )
3
2
3
2
3
2
3
2
10,
3
130,
C
MCM
C
PCMCM
C
P
=
∂
∂
⇒×=
∂
∂ −
 
 
b) Qual é a produtividade marginal de mão-de-obra e a produtividade marginal de capital quando as quantidades 
investidas em mão-de-obra e capital são de 125 unidades e 27 unidades, respectivamente? 
Para 125=M e 27=C 
( ) 12
5
320
125
272027,125
3
1
3
1
=×==
∂
∂
M
P
, significa que o investimento de uma unidade monetária em mão-de-
obra gera um aumento de 12 unidades de produção. 
( ) 78,27
9
2510
27
1251027,125
3
2
3
2
=×==
∂
∂
C
P
, significa que o investimento de uma unidade monetária em capital 
gera um aumento de 27,78 unidades de produção. 
 
10 – Bens substituíveis e complementares 
Para uma outra aplicação de derivadas parciais de primeira ordem de uma função de duas variáveis em economia, 
vamos considerar as demandas relativas de dois bens. Dizemos que dois bens são substituíveis (competitivos) se a diminuição 
da demanda de um deles resulta em um aumento de demanda do outro. Exemplos de bens competitivos são café e chá. 
Reciprocamente, dois bens são chamados complementares se a diminuição da demanda de um deles resulta também em uma 
diminuição da demanda do outro. Exemplos de bens complementares são automóveis e pneus. 
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Vamos agora encontrar um critério para determinar quando dois bens A e B são substituíveis ou complementares. 
Suponha que as equações de demanda que relacionam as quantidades demandadas 
A
q e 
B
q com os preços unitários 
A
p e 
B
p dos bens são dadas por 
( ) ( )
BABA
ppBppA
gqfq
,,
 e == 
Vamos considerar a derivada parcial 
A
A
A
p
q
p
f
∂
∂
=
∂
∂
. Como f é a função demanda para o bem A, vemos que, para 
B
p fixado, f é tipicamente uma função decrescente de 
A
p , isto é, 0<
∂
∂
=
∂
∂
A
A
A
p
q
p
f
. Agora, se os dois bens fossem bens 
substituíveis, então a quantidade demandada do bem B aumentaria com relação a 
A
p isto é, 0>
∂
∂
=
∂
∂
A
B
A
p
q
p
g
. Um 
segmento semelhante com 
A
p fixado mostra que se A e B são bens substituíveis, então 0>
∂
∂
=
∂
∂
A
B
A
p
q
p
g
. Assim, os bens A 
e B são bens substituíveis se 
0>
∂
∂
=
∂
∂
B
A
B
p
q
p
f
e 0>
∂
∂
=
∂
∂
A
B
A
p
q
p
g
. 
Analogamente, A e B são bens complementares se 
0<
∂
∂
=
∂
∂
B
A
B
p
q
p
f
e 0<
∂
∂
=
∂
∂
A
B
A
p
q
p
g
. 
 
Exemplo 
Ex.-19 Suponha que a demanda diária de manteiga é dada por ( ) 2, 1
3
A
B
ppA p
p
q
BA +
= e a demanda diária de margarina é 
dada por ( )
B
A
ppB p
p
q
BA +
=
1
2
,
, ( 0>
A
p , 0>
B
p ). Onde 
A
p e 
B
p denotam os preços por toneladas (em 
reais) de manteiga e margarina, respectivamente, e 
A
q e 
B
q estão medidos em milhares de toneladas. Determine se 
estes dois bens são substituíveis, complementares ou nenhum deles. 
Exercícios 
E-97. A produtividade de um país sul americano é dada pela função 
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( )
4
1
4
3
,
20 CMP
CM
=
 
 
quando M unidades de mão-de-obra e C unidades de capital são usadas. 
Qual é a produtividade marginal de mão-de-obra e a produtividade marginal de capital quando as quantidades gastas 
em mão-de-obra e capital são de 256 unidades e 16 unidades, respectivamente? 
O governo deveria encorajar investindo em capital em vez de um gasto maior em mão-de-obra a fim de aumentar a 
produção do país? 
E-98. Uma região retangular R, representa o distrito financeiro de uma cidade. O preço do terreno no distrito é dado 
aproximadamente pela função 
2
2
)1(15
2
110200),( −−





−−= yxyxp 
Onde p(x, y) é o preço do terreno no ponto (x, y) em dólares por pé quadrado e x e y estão medidas em milhas. 
Calcule 
)1,0(p e )1,0(
yx
p
∂
∂
∂
∂
 
 
E interprete seus resultados. 
E-99. Uma pesquisa determinou que a equação de demanda aparelho de DVD é dada por 
B
p
AA
epq
5,0
1010000 −−= 
A equação de demanda para discos virgens de DVD é dada por 
ABB
ppq 10400050000 −−= 
onde 
A
p e 
B
p denotam os preços por unidade, respectivamente, e 
A
q e 
B
q denotam o número de aparelhos de 
DVD e discos virgens de DVD demandados semanalmente. Determine se estes dois produtos são substituíveis, 
complementares ou nenhum deles. 
Respostas 
R - 97 Sim, porque, ( ) 5,716,256 =
∂
∂
M
f
 significa que o investimento de uma unidade monetária em mão-de-obra gera um 
aumento de 7,5 unidades de produção, e ( ) 4016,256 =
∂
∂
C
f
 significa que o investimento de uma unidade 
monetária em capital gera um aumento de 40 unidades de produção, o investimento em capital gera maior resultado. 
R - 98 Incompleto 
R - 99 05,0
5,0
<
∂
∂
⇒−=
∂
∂
B
A
p
B
A
p
q
e
p
q
B
 e 010 <
∂
∂
⇒−=
∂
∂
A
B
A
B
p
q
p
q
 estes bens são complementares. 
11 – Plano tangente 
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Supondo f diferenciável em ( )ba , , a equação do plano tangente à superfície de f no ponto ( )( )bafba ,,, é 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )byfaxffz baybaxba −+−+= ,,, . 
Exemplo 
Ex.-20 Ache a equação do plano tangente à superfície ( )
22
,
yxf yx += no ponto ( )25,4,3 . 
Resolução 
d) Elemento do domínio ( )ba , e valor numérico correspondente 
( ) ( )4,3, =ba 
( ) 254,3 =f 
e) Derivadas parciais 
( ) xyx
x
f 2, =
∂
∂
 ( ) ( ) 6324,3 =×=
∂
∂
x
f
 
( ) yyx
y
f 2, =
∂
∂
 ( ) ( ) 8424,3 =×=
∂
∂
y
f
 
f) Equação do plano tangente 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )byfaxffz baybaxba −+−+= ,,, 
( ) ( )( ) ( )( )43 4,34,34,3 −+−+= yfxffz yx 
( ) ( )483625 −×+−×+= yxz 
32818625 −+−+= yxz 
2586 −+= yxz 
 
Ex.-21 Ache a equação do plano tangente à superfície ( ) 263423, +−+−+= yxxyyxf yx no ponto ( )2,1− do 
domínio de f . 
Exercício 
E-100. Seja f definida por ( ) 254 32, ++−= xyyxf yx determine a equação do plano tangente ao ponto da superfície de 
f associado ao elemento do domínio ( )1,2− . 
Ache a equação do plano tangente no ponto dado. 
E-101. Seja f definida por ( ) xyyxf yx 232, ++= determine a equação do plano tangente ao ponto da superfície de f 
associado ao elemento do domínio ( )1,2 −− . 
E-102. ( ) 6
2
,
+++= yyx exxf no ponto ( )9,0,1 . 
E-103. ( )
yx
yx yef =, no ponto ( )e,1,1 . 
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E-104. ( ) ( )22, 42
1 yxf yx += no ponto ( )4,1,2 . 
E-105. ( )
22
,
4yxf yx −= no ponto ( )5,1,3− . 
E-106. ( ) xyyxf yx 423, −+= no ponto ( )5,2,1 −−− . 
E-107. ( ) yxyxf yx 3232, +−= no ponto ( )3,1,2 
E-108. ( ) 2
2
,
−++= xxyef y
x
yx no ponto ( )e,1,1 . 
Resposta 
R - 100 21311 −−−= yxz 
R - 101 1076 ++= yxz 
R - 102 63 ++= yxz 
R - 103 exz = 
R - 104 442 −+= yxz 
R - 105 586 −−−= yxz 
R - 106 611 += xz 
R - 107 16152 −+= yxz 
R - 108 33 −+= xexz 
12 – Linearização local 
Como o plano tangente fica perto da superfície na região do ponto, em que se encontram os valores de ( )yxz , na 
equação do plano tangente são próximos dos valores de ( )yxf , para pontos perto de ( )ba , . 
12.1 – Linearização local determinada pela taxa média de variação parcial calculada numericamente 
Assim substituindo ( )yxz , por ( )yxLf , na equação do plano tangente obtemos a aproximação denominada de 
linearização local ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )by
y
f
ax
x
ffLf
bababayx
−
∆
∆
+−
∆
∆
+=
,
,
,,
 onde ( ) ( )yxyx fLf ,, ≈ . 
Exemplo 
Ex.-22 Seja ( ) ( ) tit i
iP
−+−
=
11
000.5
,
 a função valor da prestação de um empréstimo de R$ 5.000,00.: 
a) Faça a linearização local para o tempo de 48 meses e taxa de juros mensal de 7% . 
b) Compare os valores da função como a linearização para 50 meses e taxa de 7,7%am. 
c) Compare os valores da função como a linearização para 44 meses e taxa de 7,9%am. 
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d) Compare os valores da função como a linearização para 53 meses e taxa de 5,8%am. 
Resolução 
a) Linearização local para o tempo de 48 meses e taxa de juros mensal de 7% 
( ) ( ) tit i
iP
−+−
=
11
000.5
,
 
( ) ( ) 15,36407,011
07,0000.5
4807,0;48 =+−
×
=
−
P 
( ) ( ) 19.36307,011
07,0000.5
4907,0;49 =+−
×
=
−
P 
( ) ( ) 20,41008,011
08,0000.5
4808,0;48 =+−
×
=
−
P 
( ) 88,87460596,0, ++−= itLP it 
b) Compare os seguintes valores da função como a linearização para 50 meses e taxa de 7,7%am. 
( ) ( ) 20,020,067,39447,394077,0;50077,0;50 =−=−=−= PLPEA 
( )
%05,0100
67,394
20,0100
077,0;50
=×=×=
P
EAER 
c) Compare os seguintes valores da função como a linearização para 44 meses e taxa de 7,9%am. 
( ) ( )44;0,079 44;0,079 409, 44 409,43 0,01 0,01EA LP P= − = − = = 
( )44;0,079
0,01100 100 0,0024%
409,43
EAER
P
= × = × = 
d) Compare os seguintes valores da função como a linearização para53 meses e taxa de 5,8%am. 
( ) ( ) 29,129,138,30509.304058,0;53058,0;53 =−=−=−= PLPEA 
( )
%4224,0100
38,305
29,1100
058,0;53
=×=×=
P
EAER 
12.2 – Linearização local determinada algebricamente 
Assim substituindo ( )yxz , por ( )yxLf , na equação do plano tangente obtemos a aproximação denominada de 
linearização local ( ) ( ) ( )( ) ( )( )byfaxffLf baybaxbayx −+−+= ,,,, onde ( ) ( )yxyx fLf ,, ≈ . 
Exemplo 
Ex.-23 Faça a linearização local da função ( ) xyyxf yx 4
23
,
−+= no ponto ( )3,2 . Compare os seguintes valores da 
função como a linearização. 
a) ( )1,0 
b) ( )2,3 
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c) ( )2,3,9,1 
Exercício 
E-109. Usando taxa média de variação, ache a linearização local de ( ) ( ) 1, 2 +−= xyx yf no ponto ( )4,1 . Avalie os pontos 
dados como os verdadeiros valores na função: 
a) ( )2,1− 
b) ( )3,2 
c) ( )9,3;1,1 
d) ( )01,4;99,0 
E-110. Usando derivada parcial, ache a linearização local de ( )
22
,
yxf yx += no ponto ( )4,3 . Avalie os pontos dados 
como os verdadeiros valores na função: 
a) ( )3,2 
b) ( )5,4 
c) ( )1,4,1,3 
d) ( )01,4,99,2 
E-111. Planejar caldeiras seguras depende de saber como se comporta o vapor sob variações de temperatura e pressão, 
tabelas de vapor são valores da função ( )TPVV ,= onde V é o volume (em pés cúbicos) de uma libra de vapor à 
temperatura T (em 0F) e pressão P (em lb/in2) 
 
)( 3inV 
)/( 2inlbP 
20 22 24 26 
 
T 
)(0F 
480 27,85 25,31 23,19 21,39 
500 28,46 25,86 23,69 21,86 
520 29,06 26,41 24,20 22,23 
540 29,66 26,95 24,70 22,79 
 
a) Dê uma função linear aproximando ( )TPVV ,= para T perto F0500 e pressão de 2/24 inlb . 
b) Calcule o volume de uma libra de vapor a uma temperatura de F0505 e pressão de 2/3,24 inlb 
E-112. Ache a linearização local da função ( ) yxf yx 2, = em ( )1,3 . 
E-113. Afigura mostra um diagrama de contorno para o pagamento mensal P como função da taxa de juros %j , e a 
quantidade L , do empréstimo por 5 anos. 
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Dê a linearização para cada uma das condições abaixo; 
a) 8=j e 000.4=L 
b) 8=j e 000.6=L 
c) 13=j e 000.7=L 
Resposta 
R - 109 ( ), 4 5 20x yLf x y= + − a) 15EA = e 1.500%ER = , ou seja, 1.500% maior; b) 2EA = e 200%ER = , ou 
seja, 200% menor; c) 0,05EA = e 1,3%ER = ou 1,3% menor; d) 0EA = e 0ER = . 
R - 110 ( ) 2586, −+= yxLf yx a) 2=EA e %38,15=ER ; b) 2=EA e %88,4=ER ; c) 02,0=EA e 
%076,0=ER ; d) 0002,0=EA e %00079,0=ER . 
R - 111 a) ( ) 9,320255,0915,0, ++−= TPLV TP ; b) . ( ) 3505,3,24 54,23 inLV = 
R - 112 ( ), 6 9 18x yLf x y= + − ou ( ), 7 9 21x yLf x y= + − . 
R - 113 a) ( ) 12,1702,014,2, −+= LjLP Lj ; b) ( ) 64,2602,033,3, −+= LjLP Lj ; 
c) ( ) 5,1202,05,2, −+= LjLP Lj 
13 – Gradiente 
O vetor gradiente de uma função diferencial no ponto ( )ba , é ( ) ( ) ( ) ( ) jfifgradff baybaxbaba ,,,, +==∇ . 
Exemplo 
Ex.-24 Ache o vetor gradiente de ( )
y
yx
exf 2
,
3 += no ponto ( )1,4 . 
Resolução 
Derivada parcial 
( ) 3, =
∂
∂ yx
x
f
 no ponto ( )1,4 ( ) 31,4 =
∂
∂
x
f
 
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( ) yy eeyx
y
f 22 22, =×=
∂
∂
 no ponto ( )1,4 ( ) 212 221,4 ee
y
f
==
∂
∂ ×
 
Gradiente 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) jifoujeif
jfiff yx
78,14323 1,4
2
1,4
1,41,41,4
+=∇+=∇
+=∇
 
Ex.-25 Ache o vetor gradiente de ( )
32
,
2 yxf
yx
= no ponto ( )2,2 − . 
Resolução 
Derivada parcial 
( ) 33 422, xyyxyx
x
f
=××=
∂
∂
 no ponto ( )2,2 − ( ) ( ) ( ) 642242,2 3 −=−××=−
∂
∂
x
f
 
( ) 2222 632, yxyxyx
y
f
=×=
∂
∂
 no ponto ( )2,2 − ( ) ( ) ( ) 962262,2 22 =−××=−
∂
∂
y
f
 
Gradiente 
( ) ( ) ( )
( ) jif
jfiff
yx
9664
2,2
2,22,22,2
+−=∇
+=∇
−
−−−
 
14- Derivada direcional 
Se f é diferenciável em ( )ba , e vu o vetor unitário de v então a derivada direcional de f em relação a v é o 
seguinte produto escalar ( ) ( ) vbabav ugradff .,, = . 
Exemplo 
Ex.-26 Calcule a derivada direcional de ( )
32
,
5 yxf yx += em ( )1,1 − na direção do vetor jiv 32 += . 
Resolução 
Gradiente de f em ( )1,1 − 
( ) xyx
x
f 10, =
∂
∂
 no ponto ( )1,1 − ( ) ( ) 101101,1 =×=−
∂
∂
x
f
 
( ) 23, yyx
y
f
=
∂
∂
 no ponto ( )1,1 − ( ) ( ) 3131,1 2 =−×=−
∂
∂
y
f
 
( ) ( ) ( )
( ) jif
jfiff yx
3101,1
1,11,11,1
+=∇
+=∇
−
−−−
 
Vetor unitário vu de jiv 32 += 
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v
v u
u
u
1
= 
( ) ( ) 139432 22 =+=+=vu 
jijiu
u
u v
v
v 13
3
13
232
13
11
+=




 +== 
Derivada direcional de f na direção de jiv 32 += 
( ) ( ) ( )
( ) 13
29
13
9
13
20
13
3
13
2
.310.
1,1
1,11,1
=
+=





++=∇=
−
−
−
v
vv
f
jijiuff
 
Ex.-27 A força aplicada sobre uma partícula é dada calculada pela função ( ) xyz
f
zyx
80
,,
= . Determine o valor da derivada 
direcional desta força em relação ao vetor kjiv 23 +−= , quando a partícula está no ponto ( )4,5,2− . 
Exercício 
Calcule o gradiente no ponto dado 
E-114. ( )
32
,
7xyyxf yx += no ponto ( )2,1 . 
E-115. ( ) yxf yx 32, += no ponto ( )1,3 . 
E-116. ( ) yxf yx +=, no ponto ( )1,0 . 
E-117. ( )
42
,
35 nmf nm += no ponto ( )2,5 . 
E-118. ( ) ( ) ( )yxsenf yx cos2, += no ponto 






0,
2
pi
. 
E-119. ( )
32
,
yxf yx += no ponto ( )2,1 − . 
E-120. ( )
23
,
yxf yx += no ponto ( )2,1 − . 
E-121. ( )
32
,
yxf yx = no ponto ( )2,1 − . 
E-122. Ache a derivada direcional de ( )
y
yx exf +=, no ponto ( )0,1 na direcional dos vetores: 
a) jiv 2+= 
b) jiv += 3 
c) jiv −= 
E-123. Seja ( ) 2, 1 x
yxf yx +
+
= . Ache a derivada direcional no ponto ( )2,1 −=P na direção dos vetores: 
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a) jiv 23 −= 
b) jiv 4+−= 
c) Qual é a direção de máximo crescimento em P 
Exercícios 
Calcule o gradiente de f em P : 
E-124. ( ) yzxzxyf zyx ++=,, , ( )5,3,1−=P . 
E-125. ( ) zef xyzyx cos,, = , ( )0,0,0=P . 
E-126. ( ) ( )222,, ln zyxf zyx ++= , ( )2,2,1 −=P . 
E-127. ( )
z
xyf zyx =,, , ( )5,1,2 −=P . 
Calcule a derivada direcional de f em P na direção do vetor dado: 
E-128. ( ) yzzxxyf zyx ++= 22,, , ( )5,3,1−=P , kjiv −+= 2 . 
E-129. ( ) ( )222,, ln zyxf zyx ++= , ( )1,0,0=P , na direção de PA , dado ( )0,2,2=A . 
E-130. ( ) senxzsenzysenyxf zyx ++=,, , ( )0,0,1=P , jiv 232 += . 
E-131. ( )
xz
zyx yzexyef +=,, , ( )0,0,1=P , na direção de PA , dado ( )1,2,2=A . 
Calcule o valor máximo da derivada direcional de f em P na direção em que este ocorre: 
E-132. ( ) ( ) ( )yzxysenf zyx cos,, += , ( )7,0,3−=P . 
E-133. ( ) xezeyef zyxzyx coscoscos,, ++= , ( )0,0,0=P . 
E-134. ( )
22
,,
2 zyxyzf zyx ++= , ( )1,1,2=P . 
E-135. ( )
xyz
zyx ef =,, , ( )1,1,2=P , 
E-136. Se ( ) zxyxf zyx 232,, ++= , ache a derivada direcional no ponto ( )1,0,2 − na direção kji 22 −+ . 
E-137. Determine a direção, começando na origem, para se obter a taxa mais rápida de decrescimento da função 
( ) ( ) ( )23,, 1232 +−++−−= zyxyxf zyx ? 
E-138. Ache a derivada direcional de ( ) yzyxf zyx 23 22,, += no ponto ( )4,0,1− nas seguintes direções: 
a) ki − 
b) kji 33 ++− 
E-139. Suponha ( )
2242
,,
zxyxf zyx ++= fornece a concentração de sal num fluido no ponto ( )zyx ,, e a partir do 
ponto ( )1,1,1− . 
a) Em qual direção a concentração de sal cresce mais depressa? 
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b) Suponha que se mova a uma velocidade escalar de 4 unidades/seg, na direção determinada no item (a). Quão 
depressa a concentração está mudando? Explique sua resposta. 
E-140. Suponha que a temperatura T num ponto ( )zyxP ,,= é dada por ( ) 222,, 42 zyxT zyx +−= . 
a) Em que direção T cresce mais rapidamente a partir do ponto ( )1,2,1 − ? 
b) Determine a taxa da variação de T neste ponto na direção do vetor kji 24 +− . 
c) Qual é a taxa máxima de crescimento? 
 
Resposta 
R - 114 ( ) jif
rr
85602,1 +=∇ 
R - 115 ( ) jif
rr
2
1
3
1
1,3 +=∇ 
R - 116 ( ) jif
rr
2
1
2
1
1,0 +=∇ 
R - 117 ( ) jif
rr
96502,5 +=∇ 
R - 118 if r
2
2
0,
2
pi
pi
=∇








 ou if r25,1
0,
2
=∇







 pi
. 
R - 119 ( ) jif
rr
122
2,1
+=∇
−
 
R - 120 ( ) jif
rr
43
2,1
−=∇
−
 
R - 121 ( ) jif
rr
1216
2,1
+−=∇
−
 
R - 122 ; a) ( ) 5
3
0,1 =vf r ; b) ( ) 10
4
0,1 =vf r ; c) ( ) 00,1 =vf r 
R - 123 ( ) jif
rr
2
1
2,1 +=∇ − ; a) ( ) 13
2
2,1 =−vf r ; b) ( ) 17
1
2,1 =−vf r ; c) Na direção do gradiente. 
R - 124 ( ) kjif 24853,1 ++=∇ −
rr
 
R - 125 ( ) 000,0 =∇f 
R - 126 ( ) kjif 9
4
9
4
9
2
22,1 −+=∇ −
rr
 
R - 127 ( ) kjif 25
2
5
2
5
1
51,2 ++−=∇ −
rr
 
R - 128 ( ) 6
7
1,1
−=
−v
f OU ( ) 86,21,1 −=−vf 
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R - 129 ( ) 3
2
1,0,0
−=
v
f OU ( ) 67,01,0,0 −=vf 
R - 130 ( ) 2
1
0,0,1
=
v
f ou ( ) 5,00,0,1 =vf 
R - 131 ( ) 6
2
1,2,1
=
PA
f ou ( ) 3
6
1,2,1
=
PA
f ou ( ) 82,01,2,1 =PAf 
R - 132 ( ) 370,3 =∇ −f 
R - 133 ( ) 300,0 =∇f ou ( ) 73,100,0 =∇f 
R - 134 ( ) 19211,2 =∇f ou ( ) 72,811,2 =∇f 
R - 135 ( )
2
11,2 3ef =∇ ou ( ) 17,2211,2 =∇f 
R - 136 ( ) 3
10
1,0,2
=
−v
f ou ( ) 33,31,0,2 =−vf 
R - 137 ( )0,0 0 6 8 2f i j k∇ = − − −
ur uur uur
 
R - 138 ( ) jf 840,1 =∇ − , a) ( ) 04,0,1 =−vf ; ( ) 19
24
4,0,1
=
−v
f 
R - 139 a) ( )1, 2,1 4 4 8f i j k−∇ = + +
ur uur uur
; b) ( )1, 2,1
28
21v
f
−
=uur , c) ( )1, 2,1 4 6f −∇ = 
R - 140 
 
15 – Derivadas Parciais de Segunda Ordem 
As derivadas parciais de primeira ordem ),( yxf x e ),( yxf y de uma função ),( yxf das duas variáveis x e y 
são também funções de x e y . Como tais, podemos diferenciar cada uma das funções xf e yf para obter as derivadas 
parciais de segunda ordem de f . Assim, a diferenciação da função xf com relação x conduz à derivada parcial de segunda 
ordem 
)(2
2
x
x
xx f
x
ff
∂
∂
=
∂
∂
= 
Entretanto, a diferenciação de xf em relação a y nos conduz á derivada parcial de segunda ordem 
)(
2
y
x
xy fyx
ff
∂
∂
=
∂∂
∂
= 
Analogamente, as diferenciações da função yf em relação a x e em relação a y nos conduz a 
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)(
2
yyx f
xyx
ff
∂
∂
=
∂∂
∂
= 
)(2
2
y
y
yy fy
ff
∂
∂
=
∂
∂
= 
respectivamente. Observe que em geral não é verdade que xyf = yxf . Entretanto, na maioria das aplicações práticas, 
xyf e yxf são iguais, mas xyf (a, b) = yxf (a, b) são iguais se ambas forem contínuas em (a, b). 
Exemplo 
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função: 
Ex.-28 ( )
2223
,
33 yxyyxxf yx ++−= 
 
Derivada de primeira ordem em relação à x 
( )
( )
22
,
22
,
363
013233
yxyxf
yyxxf
yxx
yxx
+−=
+××+××−=
 
Derivada de segunda ordem 
pura em relação à x 
Derivada mista de segunda ordem 
 primeiro em relação à x e depois y 
( )
( ) yxf
yxf
yxxx
yxxx
66
01623
,
,
−=
+××−×=
 
( )
( ) yxf
yxf
yxyx
yxyx
66
23160
,
,
+−=
×+×−=
 
 
Derivada de primeira ordem em relação à y 
( )
( ) yxyxf
yyxxf
yxy
yxy
263
223130
2
,
2
,
++−=
+×+×−=
 
Derivada de segunda ordem 
 pura em relação à y 
Derivada mista de segunda ordem 
primeiro 
 em relação à y e depois x 
( )
( ) 26
12160
,
,
+=
×+×+=
xf
xf
yxyy
yxyy
 
( )
( ) yxf
xxf
yxxy
yxxy
66
01623
,
,
+−=
+×+×−=
 
 
Ex.-29( )
12852
,
3 yyxxf yx +−= . 
 
Derivada de primeira ordem em relação à x 
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( )
( )
84
,
84
,
152
0532
yxxf
yxxf
yxx
yxx
−=
+××−=
 
Derivada de segunda ordem 
pura em relação à x 
Derivada mista de segunda ordem 
 primeiro em relação à x e depois y 
( )
( )
83
,
83
,
602
41512
yxf
yxf
yxxx
yxxx
−=
××−×=
 
( )
( )
74
,
74
,
120
8150
yxf
yxf
yxyx
yxyx
−=
×−=
 
 
Derivada de primeira ordem em relação à y 
( )
( )
1175
,
1175
,
1224
12830
yyxf
yyxf
yxy
yxy
+−=
+×−=
 
Derivada de segunda ordem 
 pura em relação à y 
Derivada mista de segunda ordem 
primeiro 
 em relação à y e depois x 
( )
( )
1065
,
65
,
132168
12724
yyxf
yxf
yxyy
yxyy
+−=
×+×−=
 
( )
( )
74
,
74
,
120
0524
yxf
yxf
yxxy
yxxy
−=
+××−=
 
 
Ex.-30 ( )
y
yx exf 26, += . 
 
Derivada de primeira ordem em relação à x 
( )
( )
5
,
5
,
6
06
xf
xf
yxx
yxx
=
+=
 
Derivada de segunda ordem 
pura em relação à x 
Derivada mista de segunda ordem 
 primeiro em relação à x e depois y 
( )
( )
4
,
4
,
30
56
xf
xf
yxxx
yxxx
=
×=
 
( ) 0, =yxyxf 
 
Derivada de primeira ordem em relação à y 
( )
( )
y
yxy
y
yxy
ef
ef
2
,
2
,
2
20
=
×+=
 
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Derivada de segunda ordem 
 pura em relação à y 
Derivada mista de segunda ordem 
primeiro 
 em relação à y e depois x 
( )
( )
y
yxyy
y
yxyy
ef
ef
2
,
2
,
4
22
=
×=
 
( ) 0, =yxxyf 
 
Ex.-31 ( ) ( )yxf yx ln2, = 
 
Derivada de primeira ordem em relação à x 
( ) ( )
( ) ( )yxf
yxf
yxx
yxx
ln2
ln2
,
,
=
×=
 
Derivada de segunda ordem 
pura em relação à x 
Derivada mista de segunda ordem 
 primeiro em relação à x e depois y 
( ) ( )
( ) ( )xf
xf
yxxx
yxxx
ln2
ln2
,
,
=
×=
 
( )
( ) y
xf
y
xf
yxyx
yxyx
2
12
,
,
=
×=
 
 
Derivada de primeira ordem em relação à y 
( )
( ) y
xf
y
xf
yxy
yxy
2
,
2
,
1
=
×=
 
Derivada de segunda ordem 
 pura em relação à y 
Derivada mista de segunda ordem 
primeiro 
 em relação à y e depois x 
( )
( )
( ) 2
2
,
22
,
y
xf
yxf
yxyy
yxyy
−=
−×=
−
 
( ) y
xf
yxxy
2
,
= 
 
Exercícios 
Nos abaixo, determine as derivadas parciais se segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais 
mistas xyf e yxf são iguais. 
E-141. 32),( xyyxyxf += 
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E-142. 4),( 23 +++= xyxxyxf 
E-143. yxyxyxyxf 222),( 22 −++−= 
E-144. ( ) ( )243, yxf yx += 
E-145. 22),( yxyxf += 
E-146. xyyxyxf +=),( 
E-147. )1ln(),( 22 yxyxf += 
E-148. )1ln(),( 22 yxyxf ++= 
E-149. )ln(),( 22 yxyxf += 
E-150. )ln(),( 22 yxyxf = 
E-151. yx eeyxf 32),( += 
E-152. yxeyxf 32),( += 
E-153. xyeyxf 2),( = 
E-154. 
32),( yxeyxf += 
E-155. 
32),( yx eeyxf += 
 
Resposta 
R - 141 yf xx 2= , xyf yy 6= e 232 yxff xyyx +== . 
R - 142 yxf xx 26 += , 0=yyf e xff xyyx 2== . 
R - 143 2=xxf , 4=yyf e 2−== xyyx ff . 
R - 144 44 1230 xyxf xx += , 623 5624 yyxf yy += e 
3224 yxff
xyyx
== . 
R - 145 ( ) 2322
2
yx
yf xx
+
= , ( ) 2322
2
yx
xf yy
+
= e ( ) 2322 yx
yxff xyyx
+
−== . 
R - 146 234x
yf xx −= , 234y
xf yy −= e 
xy
ff xyyx 2
1
2
1
+== . 
R - 147 ( )222
422
1
22
yx
yxyf xx
+
−
= , ( )222
242
1
22
yx
yxxf yy
+
−
= e ( )2221
4
yx
yxff xyyx
+
== . 
R - 148 ( )222
22
1
222
yx
yxf
xx ++
+−
= , ( )222
22
1
222
yx
yxf
yy ++
−+
= e ( )2221
4
yx
yxff
xyyx ++
−== 
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R - 149 ( )222
22 22
yx
yxf
xx +
+−
= , ( )222
22 22
yx
yxf
yy +
−
= , e ( )2224 yx
yxff
xyyx +
−== 
R - 150 2
2
x
f
xx
−= , 2
2
y
f
yy
−= , 0=
yx
f e 0=
xy
f 
R - 151 
x
xx
ef 24= , y
yy
ef 39= e 0==
xyyx
ff . 
R - 152 
yx
xx
ef 324 += , yx
yy
ef 329 += e yx
xyyx
eff 326 +== . 
R - 153 
xy
xx
eyf 224= , xy
yy
exf 224= e ( ) xyxyxy
xyyx
exyxyeeff 222 21242 +=+== . 
R - 154 ( ) 323232 22 21242 yxyxyx
xx
exexef +++ +=+= , ( ) 323232 34 32396 yxyxyx
yy
eyyeyyef +++ +=+= e 
3226 yx
yy
exyf += . 
R - 155 ( ) 222 22 21242 xxx
xx
exexef +=+= , ( ) 333 34 32396 yyy
yy
eyyeyyef +=+= e 0==
xyyx
ff . 
16 – Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis 
Já vimos que a solução de um problema freqüentemente se reduz a determinar os valores de uma função de uma 
variável. Na prática, no entanto, também aparecem situações nas quais um problema é resolvido determinando-se os valores 
máximo e mínimo absolutos de uma função de duas ou mais variáveis. 
Por exemplo, suponha que a Companhia Scandi manufature mesas para microcomputadores nas versões montada e 
desmontada. Seu lucro L é, portanto, uma função do número de unidades notadas, x , e do número de unidades 
desmontadas y , manufaturadas e vendidas por semana, isto é, ).,( yxfP = Uma questão de importância crucial para o 
fabricante é: Quantas mesas montadas e desmontadas a companhia deve manufaturar por semana a fim de maximizar seu 
lucro semanal? Matematicamente, o problema é resolvido encontrando-se os valores de x e y que tornam ),( yxf um 
máximo. 
Extremos relativos de uma função de duas variáveis 
Se f uma função definida em uma região R contendo o ponto (a,b). Neste caso, f tem um máximo relativo em 
),( ba se ),(),( bafyxf ≤ para todos os pontos ),( yx que estão suficientemente próximos a ),( ba . O número 
),( baf é chamado de valor máximo relativo. Analogamente, f tem valor mínimo relativo em ),( ba , com valor mínimo 
relativo ),( baf se ),(),( bafyxf ≥ para todos os pontos ),( yx que estão suficientemente próximos a ),( ba . 
Sendo assim, f tem um máximo relativo em ),( ba se o ponto )),(,,( bafba é o ponto mais alto do gráfico de 
f quando comparado a pontos mais próximos. Uma interpretação semelhante é válida para mínimos relativos. 
Se as desigualdades nesta última definição forem válidas para todos os pontos ),( yx do domínio de f , então f tem 
um valor mínimo absoluto (ou mínimo absoluto) em ),( ba com valor máximo absoluto (ou valor mínimo absoluto) ),( baf . 
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Exatamente como no caso de uma função de uma variável, um extremo relativo, sendo ele máximo ou mínimo 
relativo, pode ser ou não um extremo absoluto. Entretanto, para simplificar a situação, vamos assumir que sempre que um 
extremo absoluto existir, ele irá ocorrer em um ponto onde f tem um extremo relativo. 
Assim como as derivadas de primeira e segunda ordem tem um papel importante para determinar os extremos 
relativos de uma função de uma variável, as derivadas parciais de primeira e segunda ordem são ferramentas