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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
T3 25 novembro de 2013 (versa˜o I)
In´ıcio: 17:00 Te´rmino: 18:50
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 0, 8
2a 1, 0
3a 1, 0
4a 1, 2
Total 4, 0
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta de tinta azul ou preta. E´
proibido escrever com caneta de tinta verde ou vermelha.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro. Se voceˆ usar o verso da folha, indique
explicitamente na frente da folha.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
Questa˜o 1
Em cada item abaixo, derive f :
(a) f(x) =
x√
3x+ 1
(b) f(x) = cos(5) (cos (5x))1/5
(c) f(x) = 3
√
x sen (x)
(d) f(x) = sen (3x− x4)
Questa˜o 2
O desenho de um cilindro circular reto, sem fundo e sem tampa, feito no computador esta´
sendo modificado. No instante em que a altura e´ 4 cm e a a´rea lateral e´ 20pi cm2, a a´rea lateral
esta´ crescendo 36pi cm2/s e a altura esta´ decrescendo 5 cm/s. A que taxa esta´ variando o raio
do cilindro nesse instante? Obs: Fornec¸a as unidades na sua resposta.
Resposta:
Questa˜o 3
Considere o ponto A = (−3, 1/2) e a para´bola, P , de equac¸a˜o y = x2. Qual ponto de P
esta´ mais pro´ximo do ponto A?
Resposta:
Questa˜o 4
Seja f : R→ R uma func¸a˜o polinomial, crescente em [3,∞), decrescente em (−∞, 3] e tal
que f ′(x) = 0 se e so´ se x = 3. Seja g : R→ R, dada por g(x) = x2 − 4x+ 3.
Considere a func¸a˜o h dada por h(x) = f(g(x)).
(a) Em quais intervalos h e´ crescente?
Resposta:
(b) Em quais intervalos h e´ decrescente?
Resposta:
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
T3 25 novembro de 2013 (versa˜o II)
In´ıcio: 17:00 Te´rmino: 18:50
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 0, 8
2a 1, 0
3a 1, 0
4a 1, 2
Total 4, 0
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta de tinta azul ou preta. E´
proibido escrever com caneta de tinta verde ou vermelha.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro. Se voceˆ usar o verso da folha, indique
explicitamente na frente da folha.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
Questa˜o 1
Em cada item abaixo, derive f :
(a) f(x) =
x√
2x+ 1
(b) f(x) = sen(5) (sen (5x))1/5
(c) f(x) = 3
√
x cos (x)
(d) f(x) = sen (5x− x3)
Questa˜o 2
O desenho de um cilindro circular reto, sem fundo e sem tampa, feito no computador esta´
sendo modificado. No instante em que a altura e´ 10 cm e a a´rea lateral e´ 30pi cm2, a a´rea
lateral esta´ crescendo 40pi cm2/s e a altura esta´ decrescendo 5 cm/s. A que taxa esta´ variando
o raio do cilindro nesse instante? Obs: Fornec¸a as unidades na sua resposta.
Resposta:
Questa˜o 3
Considere o ponto A = (−5, 1/2) e a para´bola, P , de equac¸a˜o y = x2. Qual ponto de P
esta´ mais pro´ximo do ponto A?
Resposta:
Questa˜o 4
Seja f : R→ R uma func¸a˜o polinomial, crescente em [4,∞), decrescente em (−∞, 4] e tal
que f ′(x) = 0 se e so´ se x = 4. Seja g : R→ R, dada por g(x) = x2 − 5x+ 4.
Considere a func¸a˜o h dada por h(x) = f(g(x)).
(a) Em quais intervalos h e´ crescente?
Resposta:
(b) Em quais intervalos h e´ decrescente?
Resposta: