ApostEstat_Aula03

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ESTATÍSTICA
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
DE SISTEMAS AERONÁUTICOS
-NOTURNO –
- Aula 03 -
1° Semestre 2011 1Prof. Renato Mussi
QUARTIS
Quartis são os valores que dividem o conjunto de dados, ordenado em ordem
crescente, em 4 partes. São eles:
Primeiro Quartil q(0,25): 25% das ocorrências ficam à sua esquerda. Também
é chamado de quartil inferior Q1.
Segundo Quartil q(0,50): 50% das ocorrências ficam à sua esquerda. Coincide
com a mediana e pode ser denominado Q2.
Terceiro Quartil q(0,75): 75% das ocorrências ficam à sua esquerda. Também
é chamado de quartil superior Q3.
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
2Prof. Renato Mussi
0% 100%50% 75%25%
Q1 Q3Q2=md
1° Semestre 2011
CÁLCULO DOS QUARTIS
Existem diversas formas de se calcular os quartis, mas utilizaremos o método
de similar ao utilizado para a determinação da mediana.
Considerando um conjunto de dados com n valores, faremos primeiramente
as seguintes divisões:
Primeiro Quartil: n/4
Segundo Quartil: n/2
Terceiro Quartil: 3n/4
• Se o resultado da divisão for exato, então o quartil desejado será dado pela
média dos valores que ocupam as posições representadas pela parte inteira e
pela parte inteira acrescida de 1.
• Se o resultado não for exato, então o quartil desejado será dado pelo valor
que ocupa a posição representada pela parte inteira acrescida de 1.
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
3Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
CÁLCULO DOS QUARTIS
Exemplo:
Encontrar Q1, Q2 e Q3 para as distancias, em metros, dos testes físicos:
75 70 72 68 79 80 83 76 73
Ordenando: 68 70 72 73 75 76 79 80 83
• Q1 : 9/4 = 2,25 divisão não-exata  posição do Q1 : 2+1 = 3  x3 = 72m
• Q2 : 9/2 = 4,5 divisão não-exata  posição do Q2 : 4+1 = 5  x5 = 75m
• Q3 : 3*9/4 = 6,75 divisão não-exata  posição do Q3 : 6+1 = 7  x7 = 79m
75 70 68 79 80 83 76 73
Ordenando: 68 70 73 75 76 79 80 83
• Q1 : 8/4 = 2 divisão exata  posição do Q1 : (x2 + x3)/2 = 71,5m
• Q2 : 8/2 = 4 divisão exata  posição do Q2 : (x4 + x5)/2 = 75,5m
• Q3 : 3*8/4 = 6 divisão exata  posição do Q3 : (x6 + x7)/2 = 79,5m
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
4Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
QUANTIS EMPÍRICOS
Quantil de ordem p ou p-quantil q(p) ou ainda percentil, onde 0<p<1, é a
medida em que 100p% das observações de um conjunto de dados sejam
menores que q(p). É importante ressaltar que os dados devem estar em
ordem crescente para o cálculo dos quantis. Alguns exemplos são:
70o Percentil q(0,70): 70% das ocorrências ficam à sua esquerda.
40o Percentil ou 4o Decil q(0,40): 40% das ocorrências ficam à sua esquerda.
95º Percentil q(0,95): 95% das ocorrências ficam à sua esquerda.
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
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CÁLCULO DO P-QUANTIL
Existem diversas formas de se calcular os p-quantis, mas utilizaremos a
interpolação de posições próximas:
Considerando um conjunto de dados com n valores, q(p) para 0<p<1 será
dado por:
se p = pi
se pi<p< pi+1
se p = pi 
se p = pi 
Onde:
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
6Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
7Prof. Renato Mussi
EXEMPLO
Considerando os dados
112, 113, 115, 117, 118, 120, 121, 122, 125
Calcular:
Quartis inferior e superior
Q2
q(p=0,20)
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
1° Semestre 2011
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MEDIDAS DE ASSIMETRIA
Resposta
Q1= 115
Q2= 118
Q3= 121
q(0,20) = 113,6
1° Semestre 2011
CÁLCULO DOS P-QUANTIL – DADOS AGRUPADOS
Para dados agrupados, a fórmula do quantil está indicada abaixo. O cálculo
pode ser feito também com a utilização do histograma, considerando que as
áreas das barras são as freqüências de cada intervalo.
Considerando um conjunto de dados com n valores, q(p) para 0<p<1 será
dado por:
Onde:
p é a ordem do quantil que se deseja;
k é o índice que indica o intervalo do quantil procurado;
i é o índice para cada intervalo;
LI é o limite inferior do intervalo;
LS é o limite superior do intervalo; e 
O somatório de fi com i variando de 1 a k-1 é a soma das freqüências dos 
intervalos anteriores ao intervalo do quantil em questão. 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
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CÁLCULO DO P-QUANTIL – DADOS AGRUPADOS
Exemplo:
Calcular Quartis inferior e superior, Q2
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
10Prof. Renato Mussi
Salários
(x mínimo)
100 fi
100fi
acumulado
4,00 ├ 8,00 28% 28%
8,00 ├ 12,00 33% 61%
12,00 ├ 16,00 22% 83%
16,00 ├ 20,00 14% 97%
20,00 ├ 24,00 3% 100%
Total 100%
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CÁLCULO DO P-QUANTIL – DADOS AGRUPADOS
Exemplo:
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
1o Semestre 2011 11Prof. Renato Mussi
QUARTIS PARA MEDIR ASSIMETRIA DA DISTRIBUIÇÃO
Os parâmetros utilizados para avaliar a simetria da distribuição da amostra
são:
Amplitude Amostral: A = x1 - xn
Distancia Interquartil: dq = Q3 – Q1 (medida alternativa ao desvio
padrão, sendo mais robusta)
Dispersão Inferior: di = Q2 – x1
Dispersão Superior: ds = xn – Q2
Distância Q1Q2 : dQ12 = Q2 – Q1
Distância Q2Q3 : dQ23 = Q3 – Q2
Distância Q1x1 : dQ1x1 = Q1 – x1
Distância Q3xn : dQ3xn = xn – Q3
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
12Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
QUARTIS PARA MEDIR ASSIMETRIA DA DISTRIBUIÇÃO
Uma amostra com distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica deve
obedecer a:
a) Q2 – x1 ≃ xn – Q2 ;
b) Q2 – Q1 ≃ Q3 – Q2 ;
c) Q1 – x1 ≃ xn – Q3 ; e
d) Q2 – Q1 < Q1 – x1
Graficamente temos:
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
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0% 100%50% 75%25%
Q1 Q3Q2=mdx1 xn
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QUARTIS NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
GRÁFICOS
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ASSIMETRIAS
1° Semestre 2011
BOX-PLOTS
GRÁFICOS
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dq = q3 – q1
1° Semestre 2011
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 6. ed.São Paulo: Saraiva, 2006.
REFERÊNCIAS
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