ApostEstat_Aula05

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
DE SISTEMAS AERONÁUTICOS
-NOTURNO –
- Aula 05 -
1° Semestre 2011 1Prof. Renato Mussi
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
2Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
DEFINIÇÕES
Variável Aleatória (v.a.) é uma função que atribui um valor numérico para
cada possível resultado de um experimento; ele pode ser discreta ou
contínua.
Função de Probabilidade (f.p.) é uma função que atribui uma probabilidade
de ocorrência para cada valor xi de uma variável aleatória discreta.
Função Densidade de Probabilidade (f.d.p.) é uma função que atribui uma
probabilidade de ocorrência para intervalos de valores a ≤ X ≤ b de uma
variável aleatória contínua.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
3Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
DEFINIÇÕES
Distribuição de Probabilidade é a forma como a probabilidade de ocorrência
de valores de uma variável aleatória esta relacionada com os valores desta
variável.
Modelo Probabilístico é um modelo matemático teórico elaborado para
descrever uma determinada distribuição de probabilidades que podem ser
aplicadas a situações reais e ter seus parâmetros estimados.
Nesta aula, vamos estudar um tipo especial e importante de variável aleatória
contínua: a variável Normal.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
4Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA
É uma das mais importantes e uma das mais utilizadas distribuições de
probabilidades. Muitas características mensuráveis presentes na natureza
apresentam (ou ao menos se assemelham) a essa distribuição como, por
exemplo, a altura humana, o peso de recém nascidos, o QI.
A distribuição normal é também a forma de ocorrência da distribuição de
médias de amostragem para medições realizadas em uma mesma população,
e por isso, tem grande importância nas análises de dados de medidas
utilizados em sistemas de produção e experimentos científicos.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
5Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA
Seja X uma v.a. com Distribuição Normal com média populacional μ (mi) e
desvio padrão populacional σ (sigma), isto é, X ~ N(μ;σ). Então, ela
apresenta a seguinte forma:
 + σ  - σ
f(x)
0 x
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
6Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A variável aleatória pode assumir qualquer valor real;
As áreas sob a curva podem ser entendidas como medidas de
probabilidades, sendo que a área total equivale a 1 (ou 100%);
O gráfico da Distribuição Normal é uma curva em forma de “sino” e
simétrica em torno de μ; portanto, valores maiores e menores que a média
ocorrem em igual probabilidade;
 Os pontos de inflexão da curva estão em μ , μ - σ e μ + σ;
 As medidas de tendência central (media, mediana, moda) são todas
idênticas;
 A função densidade de probabilidade é:
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
7Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Para se obter probabilidades de uma v.a. que tenha Distribuição Normal é
necessária a utilização de cálculos refinados e trabalhosos. Uma alternativa
seria a adoção de tabelas que apresentassem estes resultados.
Como a Distribuição Normal depende dos valores que μ e σ assumem,
deveriam existir tantas tabelas para os cálculos de probabilidades quanto o
número de possibilidades destes valores, ou seja, infinitas.
Por este motivo, foi criado o conceito de Distribuição Normal Padrão (ou
Reduzida), onde μ e igual a zero e σ igual a um. Com isso, é utilizada uma
única tabela (Anexo I).
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
8Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
A representação gráfica da Distribuição Normal Padrão é:
Onde:
• 68,26% dos valores de Z
estão entre -1σ e 1σ.
• 95,44% dos valores de Z
estão entre -2σ e 2σ.
• 99,74% dos valores de Z
estão entre -3σ e 3σ.
f(z)
z
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
9Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Uma variável aleatória com Distribuição Normal Padrão é representada por Z,
isto é, Z ~ N(0;1).
A probabilidade de uma v.a. continua assumir exatamente um determinado
valor é igual a zero (ex. P(Z=1,43) = 0).
Assim, sempre se utilizara de intervalos para se calcular probabilidades de v.a.
contínuas, ou seja, P(Z<1,43), por exemplo.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
10Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
CÁLCULO DE PROBABILIDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Para cálculos de probabilidades com v.a. que apresentam Distribuição Normal
Padrão utiliza-se a Tabela do Anexo I.
A forma da Tabela pode variar, e para nosso caso, utilizaremos aquela que
fornece as áreas sob a curva de valores inferiores a um determinado valor z.
Este tipo é chamado de Tabela de Distribuição Normal Padrão Acumulada.
Exemplos:
P(Z ≤ 0,48) = P(Z < 0,48) = 0,68439 ≅ 68,44%
P(Z ≤ 2,11) ≅ 0,9826 P(Z < -1,27) ≅ 0,10204
P(Z > 0,89) = P(Z < -0,89) ≅ 0,1867 ou
P(Z > 0,89) = 1 - P(Z < 0,89) ≅ 1 – 0,8133 ≅ 0,1867
P(-3,13 < Z < -1,98) = P(Z < -1,98) - P(Z < -3,13) ≅ 0,0239 – 0,0009 ≅ 0,0230
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
11Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
EXERCÍCIO
Calcule as seguintes probabilidades utilizando a Tabela do Anexo I:
1) P(Z ≤ 0,00) 2) P(Z ≤ 2,00) 3) P(Z > -1,76)
4) P(Z ≤ -1,59) 5) P(Z > 0,63) 6) P(-1,00≤Z≤0,53)
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
12Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
TRANSFORMAÇÃO PARA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Já foram citados exemplos de v.a. que se distribuem de forma
aproximadamente normal, mas elas, assim como a grande maioria, não
possuem média igual a zero e desvio padrão igual a um. Então, para
utilizarmos a tabela estudada anteriormente, devemos transformá-las em v.a.
com Distribuição Normal Padrão. Ou seja, X ~ N(μ;σ) → Z ~ N(0;1).
Para isso, basta definir:
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
13Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
EXEMPLO
Sabe-se que a distribuição de QI de uma certa população e Normal, com média
100 e desvio padrão 16 (QI ~ N(100;16)). Qual é a probabilidade que uma pessoa
escolhida ao acaso deste grupo tenha QI acima de 120? E do QI estar entre 80 e
92?
1)
2)
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 6. ed.São Paulo: Saraiva, 2006.
COSTA, A.F.B.; EPPRECHT, E.K.; CARPINETTI, L.C.R. Controle Estatístico de Qualidade. 
Atlas, 2005.
REFERÊNCIAS
14Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
ANEXO I
ANEXO I (cont.)
ANEXO I (cont.)
17Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
z negativo z positivo
Representação Gráfica da Tabela