Gases diluídos em equilíbrio

erro.
(b) Calcule a energia correspondente ao ma´ximo da curva de distribuic¸a˜o de energias.
4. Efusa˜o: Um exemplo pra´tico de aplicac¸a˜o da distribuic¸a˜o de Maxwell-Boltzmann e´ o caso
de produc¸a˜o de um feixe de a´tomos por um forno com um pequeno orif´ıcio. Tal sistema
e´ de grande interesse para experimentais que lidam com sistemas a va´cuo, na produc¸a˜o de
agregados atoˆmicos e moleculares. Quando o livre caminho me´dio das mole´culas e´ maior
do que as outras escalas de comprimento do sistema, dizemos que estamos no “regime sem
coliso˜es”.
(a) Para um forno a uma temperatura T , contendo mole´culas de massa m, expresse o fluxo
molecular atrave´s do buraco em termos da densidade n de mole´culas no forno. (Sugesta˜o:
use as ide´ias desenvolvidas para a pressa˜o na apostila.)
(b) Se a a´rea do buraco for S e o nu´mero de mole´culas no forno for N , mostre que
dN
dt
= −Sn
√
kT
2pim
(Sugesta˜o: o nu´mero de mole´culas que saem do forno e´ proporcional ao fluxo vezes um
intervalo de tempo). O fator 1/
√
m faz com que o processo seja muito u´til para separac¸a˜o
isoto´pica – em escala industrial separa-se 235U de 238U assim.
(c) Como as mole´culas mais ra´pidas tendem a escapar do forno preferencialmente, a tem-
peratura do ga´s residual no forno deve diminuir, caso o ga´s alcance um novo equil´ıbrio.
Segundo o mesmo racioc´ınio do item (b), fac¸a o balanc¸o da energia e mostre que
dU
dt
= 2kT
dN
dt
(Sugesta˜o: pese a distribuic¸a˜o das part´ıculas que deixam o forno dN(p) com sua energia
p2/2m e integre sobre p).
(d) Mostre que nestas condic¸o˜es a temperatura do ga´s residual no forno decai proporcional-
mente a N1/3 (T ∝ N1/3) (Sugesta˜o: use a equac¸a˜o de estado e os resultados obtidos em
(b) e (c) para obter uma equac¸a˜o diferencial em N e T )
5. A famosa func¸a˜o H de Boltzmann e´ definida como
H =
∫
d3pf(p, t) ln f(p, t)
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onde a func¸a˜o f(p, t) e´ arbitra´ria a menos dos v´ınculos
∫
d3pf(p, t) = n e
1
n
∫
d3p
p2
2m
f(p, t) = ε .
Mostre que H e´ mı´nimo quando f e´ a distribuic¸a˜o de Maxwell-Boltzmann. (Sugesta˜o: use o
me´todo dos multiplicadores de Lagrange.)
6. A distribuic¸a˜o de Maxwell-Boltzmann e o centro de massa: O momento total de um sistema
e´ dado pela soma dos momentos dos momentos das part´ıculas contituintes:
K =
N∑
i=1
ki ,
queremos determinar a func¸a˜o distribuic¸a˜o
P(K) =
∫
dk1 · · · dkN δ
(
K−
N∑
i=1
ki
)
P (k1) · · ·P (kN ) .
O modo mais conveniente e´ usar a func¸a˜o caracter´ıstica da distribuic¸a˜o P .
(a) Para tal mostre que a func¸a˜o caracter´ıstica Q(r), definida por
Q(R) =
∫
dk eiK·RP (K) ,
pode ser expressa por:
Q(R) = 1 + i〈K〉 ·R− 1
2
3∑
i,j=1
〈KiKj〉RiRj
(b) Para um sistema em que as part´ıculas se movem isotropicamente mostre que
Q(R) = 1− 1
6
〈K2〉R2 + · · ·
implicando que [
Q(R)
]N
= e−N/6〈K
2〉R2 .
(c) A partir da transformada inversa
P(K) = 1
(2pi)3
∫
dRe−K·R
[
Q(r)
]N
mostre que
P(K) =
(
3
2piN〈K2〉
)3/2
e−3K
2/2N〈K2〉 .
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