Prova 2

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Segunda Prova de Ca´lculo III
Curso: Estat´ıstica
Professor: Rafael Clarim Data: 06/08/2014
Aluno(a): Turma: 01
QUESTA˜O 1 [1, 0 pt.]
Marque (V) para verdadeiro e (F) para falso nas definic¸o˜es abaixo.
( ) Uma das consequeˆncias diretas do campo vetorial ser conservativo e´ a integral de linha ser
dependente do caminho escolhido para integrac¸a˜o; [0, 2 pts.]
( ) O vetor gradiente pode ser obtido aplicando o operador nabla em um campo vetorial, cujo
resultado fornece a direc¸a˜o e o sentido de maior crescimento de uma quantidade por unidade de
comprimento; [0, 2 pts.]
( ) Podemos interpretar o resultado da integral de superf´ıcie de um dado campo vetorial como o fluxo
(ou taxa de escoamento por unidade de tempo) desse referido campo (onde esse campo vetorial
representa a velocidade de escoamento); [0, 2 pts.]
( ) Se N(u0, v0) =
∂ϕ(u0,v0)
∂u × ∂ϕ(u0,v0)∂v for nulo, dizemos que a superf´ıcie S e´ regular; [0, 2 pts.]
( ) Dizemos que uma superf´ıcie tem representac¸a˜o expl´ıcita se z = f(x,y) e representac¸a˜o impl´ıcita se z
= 0. [0, 2 pts.].
QUESTA˜O 2 [2, 0 pts.]
Calcule, utilizando o Teorema de Green, a integral
∫
C
4ydx+ 7xdy, onde C e´ o triaˆngulo de ve´rtices
(0,0), (1,0) e (0,2), orientado no sentido anti-hora´rio.
QUESTA˜O 3 [2, 0 pts.]
Considere um campo vetorial F(x,y) =
(
F1(x, y), F2(x, y)
)
de classe C1 em <2. Queremos calcular a
integral
∫
C
F1dx+ F2dy, onde C e´ o caminho que liga os pontos (2,3) a` (0,3), (0,3) a` (0,0) e (0,0) a`
(2,0), orientado no sentido anti-hora´rio. Com base nisso, responda o que se pede:
(a) Podemos calcular essa integral diretamente utilizando o Teorema de Green? Justifique sua resposta.
[0, 5 pt.]
(b) Apo´s as considerac¸o˜es do item (a), escreva a expressa˜o geral para essa integral, indicando a(s)
parametrizac¸a˜o(o˜es) utilizada(s) no(s) caminho(s) necessa´rio(s) para a aplicac¸a˜o do referido teorema
(caso haja algum caminho adicional) e os limites de integrac¸a˜o da integral dupla em D; [1, 5 pt.]
QUESTA˜O 4 [2, 0 pts.]
Dado o campo vetorial F(x,y,z) =
(
P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)
)
e o campo escalar f(x,y,z),
demonstre as seguintes identidades vetoriais:
(a) ∇ · (∇× F ) = 0[1, 0 pts.]
(b) ∇× (∇f) = 0 [1, 0 pts.].
Dados:
• rot(F ) =
(
∂R
∂y − ∂Q∂z
)
iˆ+
(
∂P
∂z − ∂R∂x
)
jˆ +
(
∂Q
∂x − ∂P∂y
)
kˆ
• ∂2∂a∂b = ∂
2
∂b∂a .
QUESTA˜O 5 [2, 0 pts.]
Dado o campo vetorial F (x, y, z) = (2x, 3y2, 4z3) responda o que se pede:
(a) Mostre, atrave´s do teorema de Stokes, que
∮
F · dr = 0;[1, 0 pts.]
(b) Obtenha a func¸a˜o potencial desse campo. [1, 0 pts.].
QUESTA˜O 6 [2, 0 pts.]
Dado o campo vetorial F (x, y, z) = (x3 + y3, z3 − y3, 3x2 + 6y2z) responda:
(a) Calcule div(F(x,y,z));[1, 0 pts.]
(b) Calcule o fluxo desse campo, atrave´s do Teorema de Gauss, sabendo que a superf´ıcie S e´ uma esfera
de raio 1, ou seja, x2 + y2 + z2 = 1. [1, 0 pts.].
Dados:
• Coordenadas esfe´ricas x = rsen(ϕ)cos(θ), y = rsen(ϕ)sen(θ), z = rcos(ϕ)
• 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ pi, 0 ≤ θ ≤ 2pi
• Elemento diferencial dxdydz = r2sen(ϕ)drdϕdθ
• ∫ sen3(u)du = −cos(u) + cos3(u)3 .