Dimensionamento e detalhamento de vigas de concreto armado.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGÍCAS 
FACULDADE DE ENGENHARIAS, ARQUITETURA E 
URBANISMO E GEOGRAFIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE VIGA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alberto Saad Coppola Filho 
Jean Paulo Yamamoto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAMPO GRANDE 2014 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGÍCAS 
FACULDADE DE ENGENHARIAS, ARQUITETURA E 
URBANISMO E GEOGRAFIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE VIGA 
 Trabalho de graduação referente à 
Universidade Federal de Mato Grosso do 
Sul – UFMS, pelo curso de Engenharia 
Civil, como parte constituinte da nota da 
disciplina de Concreto Armado II 
ministrada pelo Professor Doutor Andrés 
Batista Cheung. 
 
 
 
 
Alberto Saad Coppola Filho 
Jean Paulo Yamamoto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAMPO GRANDE 2014 
Conteúdo 
1. Introdução ............................................................................................................................. 6 
2. Dados referentes ao projeto ................................................................................................. 6 
3. Projeto arquitetônico ............................................................................................................ 7 
4. Cálculo de cargas da laje ....................................................................................................... 8 
5. Reação da laje nas vigas ...................................................................................................... 10 
6. Reação das vigas perpendiculares à V124 .......................................................................... 20 
6.1. Reação da viga V104 (15x50) na V124 ............................................................................ 20 
6.2. Reação da viga V103 (15x40) na V124 ............................................................................ 22 
6.3. Reação da viga V107 (15x40) na V124 ............................................................................ 23 
6.4. Reação da viga V111 (15x40) na V124 ............................................................................ 24 
6.5. Reação da viga V114 (15x40) na V124 ............................................................................ 25 
6.6. Reação da viga V117 (15x50) na V124 ............................................................................ 26 
6.7. Reação da viga V118 (15x40) na V124 ............................................................................ 27 
7. Carregamento viga V124 ..................................................................................................... 28 
7.1. Carregamento do vão 1 ................................................................................................... 28 
7.2. Carregamento do vão 2 ................................................................................................... 28 
7.3. Carregamento do vão 3 ................................................................................................... 29 
7.4. Carregamento do vão 4 ................................................................................................... 29 
7.5. Carregamento do vão 5 ................................................................................................... 29 
7.6. V124 carregamento total ................................................................................................ 30 
8. Cálculo dos momentos máximos negativos ........................................................................ 30 
8.1. Cálculo pelo Método de Cross ........................................................................................ 30 
8.1.1. Bloqueio dos nós internos ........................................................................................... 30 
8.1.2. Coeficientes de rigidez (K) ........................................................................................... 30 
8.1.3. Coeficientes de distribuição ........................................................................................ 31 
8.1.4. Fator de transporte (Ft) ............................................................................................... 32 
8.1.5. MEP devido às cargas permanentes ........................................................................... 32 
8.1.6. MEP devido às cargas acidentais................................................................................. 36 
8.1.7. Processo Iterativo de Cross (Momentos fletores negativos) ...................................... 39 
9. Diagrama das forças cortantes ............................................................................................ 40 
9.1. Forças cortantes devido à carga permanente ................................................................. 40 
9.2. Forças cortantes devido à carga acidental ...................................................................... 43 
9.3. Construção do diagrama a partir das forças cortantes ................................................... 45 
10. Momentos máximos positivos ........................................................................................ 46 
10.1. Momentos positivos das cargas permanentes ........................................................... 46 
10.2. Momentos positivos das cargas acidentais ................................................................. 47 
10.3. Diagrama dos momentos fletores permanente e variável ......................................... 48 
10.4. Diagrama dos momentos fletores total (apoios rotulados) ........................................ 49 
10.5. Diagrama dos momentos fletores com apoios engastados ........................................ 51 
10.6. Diagrama dos momentos fletores total (apoios engastados) ..................................... 59 
11. Momentos de cálculo da V124 ........................................................................................ 61 
12. Cálculo do Momento de Extremidade da viga ................................................................ 63 
12.1. Momento de extremidade devido à carga permanente ............................................. 63 
12.2. Momento de extremidade devido à carga acidental .................................................. 66 
12.3. Momentos totais de extremidade .............................................................................. 68 
13. Diagrama do momento fletor V124 ................................................................................ 68 
14. Cálculo da armadura longitudinal ................................................................................... 69 
14.1. Armadura longitudinal mínima ................................................................................... 69 
14.2. Armadura longitudinal positiva ................................................................................... 69 
14.3. Armadura longitudinal negativa .................................................................................. 72 
15. Seções verticais ............................................................................................................... 75 
15.1. Verificação da altura útil ............................................................................................. 75 
15.2. Verificação do bw ......................................................................................................... 75 
16. Cálculo da armadura transversal ..................................................................................... 7616.1. Armadura transversal mínima ..................................................................................... 76 
16.2. Verificação da resistência ao cortante "Asw,mín" .......................................................... 77 
16.3. Cálculo da armadura transversal para VSD > VRD3 ........................................................ 77 
16.4. Porta-estribo ............................................................................................................... 78 
16.5. Detalhamento da armadura transversal ..................................................................... 79 
17. Ancoragem nos apoios de extremidade ......................................................................... 79 
17.1. Apoio esquerdo ........................................................................................................... 79 
17.2. Apoio direito ................................................................................................................ 80 
18. Cálculo dos comprimentos de ancoragem ...................................................................... 80 
18.1. Positivos ...................................................................................................................... 81 
18.2. Armadura Negativa: .................................................................................................... 81 
18.3. Extremidade ................................................................................................................ 82 
19. Flecha .............................................................................................................................. 83 
20. Fissuração ........................................................................................................................ 85 
20.1. Definição ..................................................................................................................... 85 
20.2. Verificação da abertura de fissuras: ............................................................................ 87 
21. Diagrama decalado .......................................................................................................... 90 
21.1. Positivos ...................................................................................................................... 90 
21.2. Negativos ..................................................................................................................... 91 
22. Bibliografia ...................................................................................................................... 95 
 
 
 
1. Introdução 
A estrutura a ser calculada será uma viga retangular de edifício residencial em 
concreto armado, com lajes treliçadas pré-moldadas, apoiadas sobre vigas que estarão 
umas apoiadas diretamente na viga em questão e outras em pilares. As cargas 
consideradas sobre as vigas serão cargas distribuídas provenientes das lajes, concentradas 
vindas de outras vigas e de paredes de tijolos de oito furos, além de outras especificadas 
durante o procedimento. 
Os cálculos resultarão em detalhamento da viga V124, que será composta de 
armadura longitudinal positiva e negativa e armadura transversal, todas com seus devidos 
comprimentos, quantidades e detalhes construtivos. 
 
2. Dados referentes ao projeto 
 
Classe de Agressividade: II 
Concreto para a estrutura: Fck > 30 MPa. 
Módulo de Elasticidade secante: 𝐸𝑐𝑠 = 26.072 MPa. 
Aço para concreto armado: CA 50 (longitudinal) e CA 60 (transversal) 
Cobrimento de vigas e pilares: 3 cm 
Diâmetro do agregado: 19 mm 
Pé-direito estrutural de 2,80 m. 
Espessura contrapiso: 3 cm 
Espessura revestimento inferior: 2cm 
Espessura da parede: 15cm 
Peso Específico da alvenaria: 13 kN/m3. 
Peso Específico contrapiso: 21,00 kN/m3. 
Peso Específico revestimento inferior: 19,00 kN/m3. 
Sobrecarga piso: 0,20 kN/m² 
Carga acidental: 2 kN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Projeto arquitetônico 
A disposição de lajes e vigas está descrita conforme projeto abaixo: 
 
 
4. Cálculo de cargas da laje 
 
Carga acidental: 
A carga acidental para o edifício comercial dado foi considerada de 2,00 kN/m², 
seguindo a NBR 6120: 1980. 
 
Carga Permanente: 
 
Peso próprio 
Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser 
dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das 
nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje. Considerando o intereixo de 33cm, 
segue-se a tabela de Souza & Cunha (1994) para dimensionamento de lajes pré-fabricadas 
convencionais. 
 
De acordo com a tabela 23, para os vãos apresentados em projeto, foram adotadas lajes 
de 12cm para todas as lajes adjacentes à viga V124. E ainda, pela tabela 22, obteve-se o peso 
próprio de 1,85 kN/m² para o intereixo de 33 cm. 
𝑔𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 = 0,20 𝑘𝑁/𝑚² 
 
Contrapiso 
Espessura contrapiso: 3 cm 
Peso Específico contrapiso: 21,00 kN/m3 
𝑔𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 = 0,03 ∗ 21,00 = 0,63 𝑘𝑁/𝑚² 
 
Piso 
Para o piso, foi considerado uma carga de 0,20 kN/m² 
𝑔𝑝𝑖𝑠𝑜 = 0,20 𝑘𝑁/𝑚² 
 
Revestimento inferior 
Espessura revestimento inferior: 2cm 
Peso Específico revestimento inferior: 19,00 kN/m3. 
𝑔𝑟𝑒𝑣.𝑖𝑛𝑓. = 0,02 ∗ 19,00 = 0,38 𝑘𝑁/𝑚² 
 
𝑔𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑔𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 + 𝑔𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 + 𝑔𝑝𝑖𝑠𝑜 + 𝑔𝑟𝑒𝑣.𝑖𝑛𝑓. 
𝑔𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3,06 𝑘𝑁/𝑚² 
 
Alvenaria 
𝑔𝑎𝑙𝑣 = 13,00 𝑘𝑁/𝑚² 
 
 
 
5. Reação da laje nas vigas 
 As cargas oriundas de lajes maciças são distribuídas nas vigas tanto paralelas 
como perpendiculares à nervura. Sendo assim, calcular-se-á as resultantes através da 
seguinte fórmula: 
 
Carga paralela às nervuras da laje: 
R𝑔 =
0,25 ∗ (g𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∗ ly)
2
 R𝑞 =
0,25 ∗ (q ∗ ly)
2
 
 
Carga perpendicular às nervuras da laje: 
R𝑔 =
(g𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∗ lx)
2
 R𝑞 =
(q ∗ lx)
2
 
Sendo: 
R𝑔 = reação devido à carga permanente 
R𝑞 = reação devido à carga acidental 
g𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = carga permanente atuante na laje 
q = carga acidental atuante na laje 
ly = maior vão da laje 
lx = menor vão da laje 
 
 
 Laje 2: 
 
 
Na V124: viga paralela às nervuras da laje. 
 
R𝑔 =
0,25 ∗ (3,06 ∗ 3,65)
2
= 1,396 𝑘𝑁/𝑚 
 
R𝑞 =
0,25 ∗ (2,00 ∗ 3,65)
2
= 0,913 𝑘𝑁/𝑚 
 
 
 
Na V104: viga perpendicular às nervuras da laje. 
 
R𝑔 =
(3,06 ∗ 3,25)
2
= 4,937 kN/m 
R𝑞 =
(2,00 ∗ 3,25)
2
= 3,250 kN/m 
 
 Laje 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LAJES 
L3 
MENOR VÃO 
3,05 m 
MAIOR VÃO 
7,96 m 
ALTURA DA LAJE 
12,00 m 
CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) 
SOBRECARGA 
PERMANENTE 
SOBRECARGA 
ACIDENTAL 
SOBRECARGA 
TOTAL 
PESO 
PRÓPRIO 
1,21 2 3,21 1,85 
CARGA TOTAL (kN/m²) 
VARIÁVEL PERMANENTE 
2 3,06 
CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) 
PERMANENTE VARIÁVEL 
PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 
4,667 3,045 3,050 1,990 
 Laje 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LAJES 
L6 
MENOR VÃO 
2,9 m 
MAIOR VÃO 
3,2 m 
ALTURA DA LAJE 
12,00 m 
CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) 
SOBRECARGA 
PERMANENTE 
SOBRECARGA 
ACIDENTAL 
SOBRECARGA 
TOTAL 
PESO 
PRÓPRIO 
1,21 2 3,21 1,85 
CARGA TOTAL (kN/m²) 
VARIÁVEL PERMANENTE 
2 3,06 
CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) 
PERMANENTE VARIÁVEL 
PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 
4,437 1,224 2,900 0,800 Laje 7 
 
 
 
 
LAJES 
L7 
MENOR VÃO 
3,2 m 
MAIOR VÃO 
3,65 m 
ALTURA DA LAJE 
12,00 m 
CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) 
SOBRECARGA 
PERMANENTE 
SOBRECARGA 
ACIDENTAL 
SOBRECARGA 
TOTAL 
PESO 
PRÓPRIO 
1,21 2 3,21 1,85 
CARGA TOTAL (kN/m²) 
VARIÁVEL PERMANENTE 
2 3,06 
CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) 
PERMANENTE VARIÁVEL 
PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 
4,896 1,396 3,200 0,913 
 
 
 
 
 
 
 Laje 10 
 
 
 
 
 
LAJES 
L10 
MENOR VÃO 
3,53 m 
MAIOR VÃO 
6,85 m 
ALTURA DA LAJE 
12,00 m 
CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) 
SOBRECARGA 
PERMANENTE 
SOBRECARGA 
ACIDENTAL 
SOBRECARGA 
TOTAL 
PESO 
PRÓPRIO 
1,21 2 3,21 1,85 
CARGA TOTAL (kN/m²) 
VARIÁVEL PERMANENTE 
2 3,06 
CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) 
PERMANENTE VARIÁVEL 
PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 
5,401 2,620 3,530 1,713 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Laje 11 
 
 
 
LAJES 
L11 
MENOR VÃO 
2,52 m 
MAIOR VÃO 
3,05 m 
ALTURA DA LAJE 
12,00 m 
CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) 
SOBRECARGA 
PERMANENTE 
SOBRECARGA 
ACIDENTAL 
SOBRECARGA 
TOTAL 
PESO 
PRÓPRIO 
1,21 2 3,21 1,85 
CARGA TOTAL (kN/m²) 
VARIÁVEL PERMANENTE 
2 3,06 
CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) 
PERMANENTE VARIÁVEL 
PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 
3,856 1,167 2,520 0,763 
 
 
 Laje 14 
 
 
 
 
 
LAJES 
L14 
MENOR VÃO 
3,23 m 
MAIOR VÃO 
6,85 m 
ALTURA DA LAJE 
12,00 m 
CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) 
SOBRECARGA 
PERMANENTE 
SOBRECARGA 
ACIDENTAL 
SOBRECARGA 
TOTAL 
PESO 
PRÓPRIO 
1,21 2 3,21 1,85 
CARGA TOTAL (kN/m²) 
VARIÁVEL PERMANENTE 
2 3,06 
CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) 
PERMANENTE VARIÁVEL 
PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 
4,942 2,620 3,230 1,713 
 Laje 15 
 
 
 
 
LAJES 
L15 
MENOR VÃO 
3,05 m 
MAIOR VÃO 
7,35 m 
ALTURA DA LAJE 
12,00 m 
CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) 
SOBRECARGA 
PERMANENTE 
SOBRECARGA 
ACIDENTAL 
SOBRECARGA 
TOTAL 
PESO 
PRÓPRIO 
1,21 2 3,21 1,85 
CARGA TOTAL (kN/m²) 
VARIÁVEL PERMANENTE 
2 3,06 
CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) 
PERMANENTE VARIÁVEL 
PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 
4,667 2,811 3,050 1,838 
 Laje 18 
 
 
 
 
 
 
 Laje 19 
LAJES 
L18 
MENOR VÃO 
3,2 m 
MAIOR VÃO 
3,2 m 
ALTURA DA LAJE 
12,00 m 
CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) 
SOBRECARGA 
PERMANENTE 
SOBRECARGA 
ACIDENTAL 
SOBRECARGA 
TOTAL 
PESO 
PRÓPRIO 
1,21 2 3,21 1,85 
CARGA TOTAL (kN/m²) 
VARIÁVEL PERMANENTE 
2 3,06 
CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) 
PERMANENTE VARIÁVEL 
PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 
4,896 1,224 3,200 0,800 
LAJES 
L19 
MENOR VÃO 
3,5 m 
MAIOR VÃO 
3,65 m 
ALTURA DA LAJE 
12,00 m 
CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) 
SOBRECARGA 
PERMANENTE 
SOBRECARGA 
ACIDENTAL 
SOBRECARGA 
TOTAL 
PESO 
PRÓPRIO 
1,21 2 3,21 1,85 
CARGA TOTAL (kN/m²) 
VARIÁVEL PERMANENTE 
2 3,06 
CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) 
PERMANENTE VARIÁVEL 
PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 
5,355 1,396 3,500 0,913 
 Laje 21 
 
 
 
LAJES 
L21 
MENOR VÃO 
2,65 m 
MAIOR VÃO 
3,65 m 
ALTURA DA LAJE 
12,00 m 
CARREGAMENTO DA LAJE (kN/m²) 
SOBRECARGA 
PERMANENTE 
SOBRECARGA 
ACIDENTAL 
SOBRECARGA 
TOTAL 
PESO 
PRÓPRIO 
1,21 2 3,21 1,85 
CARGA TOTAL (kN/m²) 
VARIÁVEL PERMANENTE 
2 3,06 
CONTRIBUIÇÃO NA VIGA (kN/m) 
PERMANENTE VARIÁVEL 
PERPENDICULAR PARALELA PERPENDICULAR PARALELA 
4,055 1,396 2,650 0,913 
 
 
6. Reação das vigas perpendiculares à V124 
As cargas solicitantes destas vigas são provenientes das reações das lajes calculadas 
anteriormente adicionada a carga permanente da alvenaria e ao peso próprio da viga. O cálculo 
da alvenaria estará representado a seguir: 
 
Como já dito, o pé direito é de 
2,80m e as lajes são de 0,12m. Conforme 
a figura, a altura da alvenaria será: 
ℎ𝑎𝑙𝑣 = 2,80 − (ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 − 0,12) 
 
Sendo 13 kN/m² o peso próprio da 
alvenaria, a carga da alvenaria sobre a 
viga será: 
𝑞𝑎𝑙𝑣 = 𝑏 ∗ ℎ𝑎𝑙𝑣 ∗ 13 
 
 
O cálculo do peso próprio nada mais será que a área da seção transversal multiplicado 
pelo peso específico do concreto armado (25 kN/m³). 
 
6.1. Reação da viga V104 (15x50) na V124 
 
Peso próprio: 
𝑃𝑝 = 0,15 ∗ 0,50 ∗ 25 = 1,875 𝑘𝑁/𝑚 
Peso da alvenaria: 
𝑔𝑎𝑙𝑣 = 𝑏 ∗ ℎ𝑎𝑙𝑣 ∗ 13 = 0,15 ∗ (2,80 − (0,50 − 0,12)) ∗ 13 = 4,719
𝑘𝑁
𝑚
 
 
As lajes que reagem nesta viga são as L2 e L7 (ambas perpendicularmente). 
 
Laje L2: 
𝑔𝐿2 = 4,973 𝑘𝑁/𝑚 (Permanente) 
𝑞𝐿2 = 3,250 𝑘𝑁/𝑚 (Acidental) 
Laje L7: 
𝑔𝐿7 = 4,896 𝑘𝑁/𝑚 (Permanente) 
𝑞𝐿7 = 3,200 𝑘𝑁/𝑚 (Acidental) 
 
Solicitação total permanente: 
𝑄𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑃𝑝 + 𝑔𝑎𝑙𝑣 + 𝑔𝐿2 + 𝑔𝐿7 
𝑄𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1,875 + 4,719 + 4,973 + 4,896 
𝑄𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 16,463 𝑘𝑁/𝑚 
 
 
 
Solicitação total acidental: 
𝑄𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 𝑞𝐿2 + 𝑞𝐿7 
𝑄𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 3,250 + 3,200 
𝑄𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 6,45 𝑘𝑁/𝑚 
 
Reação permanente: 
𝑅𝑝 =
𝑄𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ∗ 𝑙
2
=
16,463 ∗ 3,65
2
= 30,05 𝑘𝑁 
 
 
Reação acidental: 
𝑅𝑎 =
𝑄𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 ∗ 𝑙
2
=
6,45 ∗ 3,65
2
= 11,77 𝑘𝑁 
 
Analogamente se calcula as outras vigas perpendiculares à V124. 
 
6.2. Reação da viga V103 (15x40) na V124 
V103 15 
x 40 
LAJE(s) L3 
Pp. 1,50 kN/m 
Galv. 4,91 kN/m 
∑LAJES 3,04 kN/m 
TOTAL PERM. 9,46 kN/m 
TOTAL ACID. 1,99 kN/m 
 
Reação permanente: 
 
 
Reação acidental: 
 
 
 
 
6.3. Reação da viga V107 (15x40) na V124 
 
V107 15 V107 15 
x 40 x 40 
LAJE(s) L6/L10 LAJE(s) L7/L10 
Pp. 1,50 kN/m Pp. 1,50 kN/m 
Galv. 4,91 kN/m Galv. 4,91 kN/m 
∑LAJES 9,84 kN/m ∑LAJES 10,30 kN/m 
TOTAL PERM. 16,25 kN/m TOTAL PERM. 16,71 kN/m 
TOTAL ACID. 6,43 kN/m TOTAL ACID. 6,73 kN/m 
 
Reação permanente: 
 
 
Reação acidental: 
 
 
 
 
 
 
6.4. Reação da viga V111 (15x40) na V124 
 
V111 15 
x 40 
LAJE(s) L10/L14 
Pp. 1,50 kN/m 
Galv. 4,91 kN/m 
∑LAJES 10,34 kN/m 
TOTAL PERM. 16,76 kN/m 
TOTAL ACID. 6,76 kN/m 
 
Reação permanente: 
 
 
Reação acidental: 
 
 
 
6.5. Reação da viga V114 (15x40) na V124 
 
V114 15 V114 15 
x 40 x 40 
LAJE(s) L18/L14 LAJE(s) L19/L14 
Pp. 1,50 kN/m Pp. 1,50 kN/m 
Galv. 4,91 kN/m Galv. 4,91 kN/m 
∑LAJES 9,84 kN/m ∑LAJES 10,30 kN/m 
TOTAL PERM. 16,25 kN/m TOTAL PERM. 16,71 kN/m 
TOTAL ACID. 6,43 kN/m TOTAL ACID. 6,73 kN/m 
 
Reação permanente: 
 
 
 
Reação acidental: 
 
 
 
 
 
 
6.6. Reação da viga V117 (15x50) na V124 
 
V117 15 
x 50 
LAJE(s) L19/L21 
Pp. 1,88 kN/m 
Galv. 4,72 kN/m 
∑LAJES 9,41 kN/m 
TOTAL PERM. 16,00 kN/m 
TOTAL ACID. 6,15 kN/m 
 
Reação permanente: 
 
 
 
Reação acidental: 
 
 
 
 
 
6.7. Reação da viga V118 (15x40) na V124 
 
V118 15 
x 40 
LAJE(s) L15 
Pp. 1,50 kN/m 
Galv. 4,91 kN/m 
∑LAJES 2,81 kN/m 
TOTAL PERM. 9,23 kN/m 
TOTAL ACID. 1,84 kN/m 
 
Reação permanente: 
 
 
 
Reação acidental: 
 
 
 
 
7. Carregamento viga V124 
As cargas solicitantes da V124 estarão dispostas conforme seus respectivos vãos de 
atuação. Estas cargas são provenientes de cargas distribuídas das lajes (item 5) e de cargas 
concentradas das vigas perpendiculares(item 6), além de seu peso próprio e da carga da 
alvenaria sobre a mesma, todas dispostas nas tabelas dos itens a seguir. 
Para o cálculo de seu peso próprio e para os futuros que serão apresentados, foi feito o 
pré-dimensionamento da viga a partir de 10% do maior vão livre. A partir do projeto tem-se 
que o maior vão é de 4,55m. Portanto, 4,55 * 0,1 = 0,46. Para melhor e mais prático 
dimensionamento foi adotado altura de 50 cm e altura útil de 45 cm. 
 
 
7.1. Carregamento do vão 1 
 
VÃO 1 
CARREGAMENTO PERMANENTE CARREGAMENTO VARIÁVEL 
V118 14,10 kN V118 2,80 kN 
V117 30,80 kN V117 11,8 kN 
PESO PRÓPRIO 1,875 kN/m L15 3,05 kN/m 
ALVERNARIA 4,719 kN/m L19 0,91 kN/m 
L15 4,67 kN/m L21 0,91 kN/m 
L19 1,40 kN/m 
L21 1,40 kN/m 
 
7.2.Carregamento do vão 2 
 
VÃO 2 
CARREGAMENTO PERMANENTE CARREGAMENTO VARIÁVEL 
V114 23,80 kN V114 9,60 kN 
PESO PRÓPRIO 1,875 kN/m L15 3,05 kN/m 
PAREDE 4,719 kN/m L19 0,91 kN/m 
L15 4,67 kN/m L14 1,71 kN/m 
L19 1,40 kN/m 
L14 2,62 kN/m 
 
 
 
 
7.3. Carregamento do vão 3 
 
VÃO 3 
CARREGAMENTO PERMANENTE CARREGAMENTO VARIÁVEL 
V111 21,60 kN V111 8,70 kN 
PESO PRÓPRIO 1,875 kN/m L10 1,71 kN/m 
PAREDE 4,719 kN/m L11 0,76 kN/m 
L10 2,62 kN/m L14 1,71 kN/m 
L11 1,17 kN/m 
L14 2,62 kN/m 
 
7.4. Carregamento do vão 4 
 
VÃO 4 
CARREGAMENTO PERMANENTE CARREGAMENTO VARIÁVEL 
V107 23,80 kN V107 9,60 kN 
PESO PRÓPRIO 1,875 kN/m L3 3,05 kN/m 
PAREDE 4,719 kN/m L7 0,91 kN/m 
L3 4,67 kN/m L10 1,71 kN/m 
L7 1,40 kN/m 
L10 2,62 kN/m 
 
7.5.Carregamento do vão 5 
 
VÃO 5 
CARREGAMENTO PERMANENTE CARREGAMENTO VARIÁVEL 
V103 14,40 kN V103 3,00 kN 
V104 30,00 kN V104 11,2 kN 
PESO PRÓPRIO 1,875 kN/m L2 0,91 kN/m 
PAREDE 4,719 kN/m L3 3,05 kN/m 
L2 1,40 kN/m L7 0,91 kN/m 
L3 4,67 kN/m 
L7 1,40 kN/m 
 
Carregamento permanente: 
 
 
Carregamento acidental 
 
7.6. V124 carregamento total 
 
 
 
8. Cálculo dos momentos máximos negativos 
 
8.1. Cálculo pelo Método de Cross 
 
8.1.1. Bloqueio dos nós internos 
 
8.1.2. Coeficientes de rigidez (K) 
 
 
 𝐾𝐴𝐵 = 0 𝐾𝐵𝐴 = 
3𝐸𝐼
𝐿𝑎𝑏⁄ = 
3
𝐿𝑎𝑏⁄ 
 
 
 𝐾𝐴𝐵 = 𝐾𝐵𝐴 =
4𝐸𝐼
𝐿𝑎𝑏⁄ =
4
𝐿𝑎𝑏⁄ 
 
 
Trecho AB 
 
𝐾𝐵𝐴 =
3
4,55
= 0,659 
 
Trecho BC 
 
𝐾𝐵𝐶 = 𝐾𝐶𝐵 =
4
3,28⁄ = 1,219 
 
Trecho CD 
 
𝐾𝐶𝐷 = 𝐾𝐷𝐶 =
4
2,82⁄ = 1,418 
 
Trecho DE 
 
𝐾𝐷𝐸 = 𝐾𝐸𝐷 =
4
3,26⁄ = 1,227 
 
Trecho EF 
 
𝐾𝐹𝐸 =
3
4,55
= 0,659 
 
8.1.3. Coeficientes de distribuição 
 
Em torno de B 
𝐶𝑩𝑨 =
𝐾𝐵𝐴
𝐾𝐵𝐴 + 𝐾𝐵𝐶
⁄ = 0,659 0,659 + 1,219⁄ = 0,351 
𝐶𝑩𝑪 =
𝐾𝐵𝐶
𝐾𝐵𝐴 +𝐾𝐵𝐶
⁄ = 1,219 0,659 + 1,219⁄ = 0,649 
 
Em torno de C 
𝐶𝑪𝑩 =
1,219
1,418 + 1,219⁄ = 0,462 
𝐶𝐶𝐷 =
1,418
1,418 + 1,219⁄ = 0,538 
Em torno de D 
𝐶𝐷𝐶 =
1,418
1,418 + 1,227⁄ = 0,536 
𝐶𝐷𝐸 =
1,227
1,418 + 1,227⁄ = 0,464 
Em torno de E 
𝐶𝐸𝐷 =
1,227
0,659 + 1,227⁄ = 0,651 
𝐶𝐷𝐶 =
0,659
0,659 + 1,227⁄ = 0,349 
 
8.1.4. Fator de transporte (Ft) 
 
 𝐹𝑡𝐴𝐵 = 0,5 𝑒 𝐹𝑡𝐵𝐴 = 0 𝐹𝑡𝐴𝐵 = 𝐹𝑡𝐵𝐴 = 0,5 
 
8.1.5. MEP devido às cargas permanentes 
 
 
 
Trecho AB 
𝑀𝑞1 = −
𝑝 . 𝑐2 . (2. 𝑙2 − 𝑐2)
8. 𝑙2
 = −
7,99 . 0,762 . (2. 4,552 − 0,762)
8. 4,552
= −1,138 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑞2 = − 
𝑝. 𝑐2 . (𝑙 + 𝑎)²
8. 𝑙2
= − 
12,66 . 3,792 . (4,55 + 0,76)²
8. 4,552
= − 30,959 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = −
𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎)
2. 𝑙2
 = −
14,9 . 0,76.3,79. (4,55 + 0,76)
2. 4,552
 = − 5,504 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝2 = −
𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎)
2. 𝑙2
 = −
30,8 . 2,65.1,9. (4,55 + 2,65)
2. 4,552
 = − 26,966 𝑘𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐵𝐴 = −64,567 𝑘𝑁.𝑚 
Trecho BC 
 𝑀𝐵𝐶: 
Mq1 = 
𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
=
12,66 . 1,62 . (6. 1,682 + 4.1,68.1,6 + 1,6²)
12. 3,282
 
Mq1 = 7,593 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑞2 =
𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
 =
13,88 . 1,6². (4 .1,6 . 1,68 + 1,68²)
12. 3,282
 
𝑀𝑞2 = 3,736 𝐾𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = 
𝑃 . 𝑎. 𝑏2
𝑙2
 = 
23,8 .1,6 . 1,682
3,282
 = 9,99 𝐾𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐵𝐶 = 20,307 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝐶𝐵: 
𝑀𝑞1 = −
𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
 = −
12,66 . 1,6². (4 .1,68 . 1,6 + 1,6²)
12. 3,282
 
𝑀𝑞1 = − 3,342 𝐾𝑁.𝑚 
Mq2 = −
𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
= −
13,88 . 1,682 . (6. 1,62 + 4.1,6.1,68 + 1,68²)
12. 3,282
 
𝑀𝑞2 = −8,780 𝐾𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = − 
𝑃 . 𝑎. 𝑏2
𝑙2
 = −
23,8 .1,68 . 1,62
3,282
 = −9,52 𝐾𝑁.𝑚 
 
∑𝑀𝐶𝐵 = −21,642 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho CD 
𝑀𝐶𝐷: 
𝑀𝑞1 = 
𝑞 . 𝑙2
12
=
10,38.2,82²
12
= 6,88 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = 
𝑃 . 𝑎. 𝑏2
𝑙2
 = 
21,6 .1,25 . 1,572
2,822
 = 8,369 𝐾𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐶𝐷 = 15,249 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝐷𝐶: 
𝑀𝑞1 = − 
𝑞 . 𝑙2
12
= −
10,38.2,82²
12
= − 6,88 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = − 
𝑃 . 𝑎. 𝑏2
𝑙2
 = − 
21,6 .1,25² . 1,57
2,822
 = −6,663 𝐾𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐷𝐶 = −13,543 𝑘𝑁.𝑚 
Trecho DE 
 𝑀𝐷𝐸: 
Mq1 = 
𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
=
13,88 . 1,662 . (6. 1,62 + 4.1,66.1,6 + 1,66²)
12. 3,262
 
Mq1 = 8,619 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑞2 =
𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
 =
12,66 . 1,6². (4 .1,66 . 1,6 + 1,6²)
12. 3,262
 
𝑀𝑞2 = 3,351 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = 
𝑃 . 𝑎. 𝑏2
𝑙2
 = 
23,8 .1,66 . 1,6²
3,262
 = 9,512 𝐾𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐷𝐸 = 21,482 𝑘𝑁.𝑚 
 
 
 
 
𝑀𝐸𝐷: 
𝑀𝑞1 = −
𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
 = −
13,88 . 1,66². (4 .1,66 . 1,6 + 1,66²)
12. 3,262
 
𝑀𝑞1 = − 4,013 𝑘𝑁.𝑚 
Mq2 = −
𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
= −
12,66 . 1,62 . (6. 1,662 + 4.1,66.1,6 + 1,6²)
12. 3,262
 
𝑀𝑞2 = −7,552 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = − 
𝑃 . 𝑎. 𝑏2
𝑙2
 = −
23,8 .1,66² . 1,6
3,262
 = −9,874 𝑘𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐸𝐷 = −21,439 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho EF 
𝑀𝑞1 = 
𝑝. 𝑐2 . (𝑙 + 𝑎)²
8. 𝑙2
= 
12,66 . 3,792 . (4,55 + 0,76)²
8. 4,552
= 30,959 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑞2 = 
𝑝 . 𝑐2 . (2. 𝑙2 − 𝑐2)
8. 𝑙2
 =
8,73 . 0,762 . (2. 4,552 − 0,762)
8. 4,552
= 1,243 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 =
𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎)
2. 𝑙2
 = 
30,0 . 2,95.1,6. (4,55 + 2,95)
2. 4,552
 = 25,649 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝2 =
𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎)
2. 𝑙2
 = 
14,4 . 0,76.3,79. (4,55 + 0,76)
2. 4,552
 = 5,319 𝑘𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐸𝐹 = 63,170 𝑘𝑁.𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.1.6. MEP devido às cargas acidentais 
 
 
 
Trecho AB 
𝑀𝑞1 = −
𝑝 . 𝑐2 . (2. 𝑙2 − 𝑐2)
8. 𝑙2
 = −
0,91 . 0,762 . (2. 4,552 − 0,762)
8. 4,552
= −0,129 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑞2 = − 
𝑝. 𝑐2 . (𝑙 + 𝑎)²
8. 𝑙2
= − 
3,96 . 3,792 . (4,55 + 0,76)²
8. 4,552
= − 9,684 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = −
𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎)
2. 𝑙2
 = −
2,8 . 0,76.3,79. (4,55 + 0,76)
2. 4,552
 = − 1,034 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝2 = −
𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎)
2. 𝑙2
 = −
11,8 . 2,65.1,9. (4,55 + 2,65)
2. 4,552
 = − 10,331 𝑘𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐵𝐴 = −21,18 𝑘𝑁.𝑚 
Trecho BC 
 𝑀𝐵𝐶: 
Mq1 = 
𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
=
3,96. 1,62 . (6. 1,682 + 4.1,68.1,6 + 1,6²)
12. 3,282
 
Mq1 = 2,375 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑞2 =
𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
 =
4,76 . 1,6². (4 .1,6 . 1,68 + 1,68²)
12. 3,282
 
𝑀𝑞2 = 1,412 𝐾𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = 
𝑃 . 𝑎. 𝑏2
𝑙2
 = 
9,6 .1,6 . 1,682
3,282
 = 4,029 𝐾𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐵𝐶 = 7,816 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝐶𝐵: 
𝑀𝑞1 = −
𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2= −
3,96 . 1,6². (4 .1,68 . 1,6 + 1,6²)
12. 3,282
 
𝑀𝑞1 = − 1,045 𝐾𝑁.𝑚 
Mq2 = −
𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
= −
4,76 . 1,682 . (6. 1,62 + 4.1,6.1,68 + 1,68²)
12. 3,282
 
𝑀𝑞2 = −3,011 𝐾𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = − 
𝑃 . 𝑎. 𝑏2
𝑙2
 = −
9,6 .1,68 . 1,62
3,282
 = −3,837 𝐾𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐶𝐵 = −7,893 𝑘𝑁.𝑚 
Trecho CD 
𝑀𝐶𝐷: 
𝑀𝑞1 = 
𝑞 . 𝑙2
12
=
2,47.2,82²
12
= 1,637 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = 
𝑃 . 𝑎. 𝑏2
𝑙2
 = 
8,7 .1,25 . 1,572
2,822
 = 3,371 𝐾𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐶𝐷 = 5,01 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝐷𝐶: 
𝑀𝑞1 = − 
𝑞 . 𝑙2
12
= −
2,47.2,82²
12
= − 1,637 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = − 
𝑃 . 𝑎. 𝑏2
𝑙2
 = − 
8,7 .1,25² . 1,57
2,822
 = −2,683 𝐾𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐷𝐶 = −4,32 𝑘𝑁.𝑚 
 
 
 
 
Trecho DE 
 𝑀𝐷𝐸: 
Mq1 = 
𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
=
4,76 . 1,662 . (6. 1,62 + 4.1,66.1,6 + 1,66²)
12. 3,262
 
Mq1 = 2,956 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑞2 =
𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
 =
3,96 . 1,6². (4 .1,66 . 1,6 + 1,6²)
12. 3,262
 
𝑀𝑞2 = 1,048 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = 
𝑃 . 𝑎. 𝑏2
𝑙2
 = 
9,6 .1,66 . 1,6²
3,262
 = 3,839 𝐾𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐷𝐸 = 7,843 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝐸𝐷: 
𝑀𝑞1 = −
𝑝 . 𝑐2 . (4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
 = −
4,76 . 1,66². (4 .1,66 . 1,6 + 1,66²)
12. 3,262
 
𝑀𝑞1 = − 1,376 𝑘𝑁.𝑚 
Mq2 = −
𝑝 . 𝑐2 . (6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2)
12. 𝑙2
= −
3,96 . 1,62 . (6. 1,662 + 4.1,66.1,6 + 1,6²)
12. 3,262
 
𝑀𝑞2 = −2,362 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 = − 
𝑃 . 𝑎. 𝑏2
𝑙2
 = −
9,6 .1,66² . 1,6
3,262
 = −3,983 𝑘𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐸𝐷 = −7,721 𝑘𝑁.𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trecho EF 
𝑀𝑞1 = 
𝑝. 𝑐2 . (𝑙 + 𝑎)²
8. 𝑙2
= 
3,96 . 3,792 . (4,55 + 0,76)²
8. 4,552
= 9,684 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑞2 = 
𝑝 . 𝑐2 . (2. 𝑙2 − 𝑐2)
8. 𝑙2
 =
0,91 . 0,762 . (2. 4,552 − 0,762)
8. 4,552
= 0,129 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝1 =
𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎)
2. 𝑙2
 = 
11,2 . 2,95.1,6. (4,55 + 2,95)
2. 4,552
 = 9,576 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑝2 =
𝑃 . 𝑐 . 𝑏. (𝑙 + 𝑎)
2. 𝑙2
 = 
3,0 . 0,76.3,79. (4,55 + 0,76)
2. 4,552
 = 1,108 𝑘𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐵𝐴 = 20,497 𝑘𝑁.𝑚 
8.1.7. Processo Iterativo de Cross (Momentos fletores negativos) 
 
Carga permanente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carga acidental 
 
9. Diagrama das forças cortantes 
 
9.1. Forças cortantes devido à carga permanente 
 
Trecho AB 
∑𝑀𝐵 = 0 
𝑉𝐴. 4,55 = 7,99. 0,76. (
0.76
2
+ 1,89 + 1,90) + 14,1. 3,79 + 12,66. 3,79. (
3,79
2
) + 30,8.1,9 
𝑉𝐴. 4,55 = 228,2 ∴ 𝑉𝐴 = 50,16𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
𝑁
𝑙
: 
𝑉𝐴 = 50,16 − 10,66 = 39,5 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 7,99.0,76 + 14,1 + 12,66. 3,79 + 30,80 = 98,96 
𝑉𝐵 = 98,96 − 50,16 = 48,79 𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
𝑁
𝑙
: 
𝑉𝐵 = 48,79 + 10,66 = 59,5 𝑘𝑁 
 
Trecho BC 
∑𝑀𝐶 = 0 
𝑉𝐵. 3,28 = 12,66. 1,60. (
1,60
2
+ 1,68) + 23,8. 1,68 + 13,88. 1,68. (
1,68
2
) 
𝑉𝐵. 3,28 = 109,81 ∴ 𝑉𝐵 = 33,47𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
(𝑁𝑏−𝑁𝑐)
𝑙
: 
𝑉𝐵 = 33,47 + 11,12 = 44,6 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝐶 + 𝑉𝐵 = 12,66.1,60 + 23,8 + 13,88.1,68 = 67,37 
𝑉𝐶 = 67,37 − 33,47 = 33,9 𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
(𝑁𝑏−𝑁𝑐)
𝑙
: 
𝑉𝐶 = 33,9 − 11,12 = 22,8 𝑘𝑁 
 
Trecho CD 
 
𝑉𝐶 =
10,38.2,82
2
= 14,64 𝑘𝑁 
𝑉𝐶 =
21,6.1,57
2,82
= 12,02 𝑘𝑁 
𝑉𝐶 = 26,66 
Com a parcela contribuinte do momento 
(𝑁𝐶−𝑁𝐷)
𝑙
: 
𝑉𝐶 = 26,66 + 0,17 = 26,8 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝐷 + 𝑉𝐶 = 10,38. 2,82 + 21,6 = 50,87 𝑘𝑁 
𝑉𝐷 = 50,87 − 26,8 = 24,17 𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
(𝑁𝐶−𝑁𝐷)
𝑙
: 
𝑉𝐷 = 24,17 − 0,17 = 24 𝑘𝑁 
 
 
Trecho DE 
∑𝑀𝐸 = 0 
𝑉𝐷. 3,26 = 13,88. 1,66. (
1,66
2
+ 1,6) + 23,8. 1,6 + 12,66. 1,6. (
1,6
2
) 
𝑉𝐷. 3,26 = 110,27 ∴ 𝑉𝐷 = 33,82 𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
(𝑁𝐷−𝑁𝐸)
𝑙
: 
𝑉𝐷 = 33,82 − 11,13 = 22,7 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝐸 + 𝑉𝐷 = 13,88.1,66 + 23,8 + 12,66.1,6 = 67,09 
𝑉𝐸 = 67,09 − 33,82 = 33,27 𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
(𝑁𝐷−𝑁𝐸)
𝑙
: 
𝑉𝐸 = 33,27 + 11,13 = 44,4 𝑘𝑁 
 
Trecho EF 
∑𝑀𝐹 = 0 
𝑉𝐸. 4,55 = 12,66. 3,79. (
3,79
2
+ 0,76) + 30,0.2,95 + 7,99.0,76. (
0,76
2
) + 14,4.0,76 
𝑉𝐸. 4,55 = 229,14 ∴ 𝑉𝐸 = 50,36𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
𝑁
𝑙
: 
𝑉𝐸 = 50,36 + 10,50 = 60,9 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝐸 + 𝑉𝐹 = 7,99.0,76 + 14,4 + 12,66. 3,79 + 30,0 = 98,45 
𝑉𝐹 = 98,45 − 50,36 = 48,09 𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
𝑁
𝑙
: 
𝑉𝐹 = 48,09 − 10,50 = 37,6 𝑘𝑁 
 
9.2. Forças cortantes devido à carga acidental 
 
Trecho AB 
∑𝑀𝐵 = 0 
𝑉𝐴. 4,55 = 0,91. 0,76. (
0.76
2
+ 1,89 + 1,90) + 2,8. 3,79 + 3,96. 3,79. (
3,79
2
) + 11,8.1,9 
𝑉𝐴. 4,55 = 64,34 ∴ 𝑉𝐴 = 14,14𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
𝑁
𝑙
: 
𝑉𝐴 = 14,14 − 3,58 = 10,6 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0,91.0,76 + 2,8 + 3,96. 3,79 + 11,8 = 30,29 
𝑉𝐵 = 30,29 − 14,14 = 16,16 𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
𝑁
𝑙
: 
𝑉𝐵 = 16,16 + 3,58 = 19,7 𝑘𝑁 
 
Trecho BC 
∑𝑀𝐶 = 0 
𝑉𝐵. 3,28 = 3,96. 1,60. (
1,60
2
+ 1,68) + 9,6. 1,68 + 4,76. 1,68. (
1,68
2
) 
𝑉𝐵. 3,28 = 38,56 ∴ 𝑉𝐵 = 11,76𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
(𝑁𝑏−𝑁𝑐)
𝑙
: 
𝑉𝐵 = 11,76 + 3,66 = 15,4 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝐶 + 𝑉𝐵 = 3,96.1,60 + 9,6 + 4,76.1,68 = 23,93 
𝑉𝐶 = 23,93 − 11,76 = 12,18 𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
(𝑁𝑏−𝑁𝑐)
𝑙
: 
𝑉𝐶 = 12,18 − 3,68 = 8,5 𝑘𝑁 
 
 
Trecho CD 
 
𝑉𝐶 =
2,47.2,82
2
= 3,48 𝑘𝑁 
𝑉𝐶 =
8,7.1,57
2,82
= 4,84 𝑘𝑁 
𝑉𝐶 = 8,32 
Com a parcela contribuinte do momento 
(𝑁𝐶−𝑁𝐷)
𝑙
: 
𝑉𝐶 = 8,32 + 0,08 = 8,4 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝐷 + 𝑉𝐶 = 2,47. 2,82 + 8,7 = 15,7 𝑘𝑁 
𝑉𝐷 = 15,7 − 8,32 = 7,38 𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
(𝑁𝐶−𝑁𝐷)
𝑙
: 
𝑉𝐷 = 7,38 − 0,08 = 7,3 𝑘𝑁 
 
Trecho DE 
∑𝑀𝐸 = 0 
𝑉𝐷. 3,26 = 4,76. 1,66. (
1,66
2
+ 1,6) + 9,6. 1,6 + 3,96. 1,6. (
1,6
2
) 
𝑉𝐷. 3,26 = 39,63 ∴ 𝑉𝐷 = 12,16 𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
(𝑁𝐷−𝑁𝐸)
𝑙
: 
𝑉𝐷 = 12,17 − 3,71 = 8,5 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝐸 + 𝑉𝐷 = 4,76.1,66 + 9,6 + 3,96.1,6 = 23,84𝑘𝑁 
𝑉𝐸 = 23,84 − 12,17 = 11,67 𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
(𝑁𝐷−𝑁𝐸)
𝑙
: 
𝑉𝐸 = 11,67 + 3,71 = 15,3 𝑘𝑁 
 
 
Trecho EF 
∑𝑀𝐹 = 0 
𝑉𝐸. 4,55 = 3,96. 3,79. (
3,79
2
+ 0,76) + 11,2.2,95 + 0,91.0,76. (
0,76
2
) + 3,0. 0,76 
𝑉𝐸. 4,55 = 75,43 ∴ 𝑉𝐸 = 16,57𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
𝑁
𝑙
: 
𝑉𝐸 = 16,57 + 3,6 = 20,1 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝐸 + 𝑉𝐹 = 0,91.0,76 + 11,2 + 3,96. 3,79 + 3,0 = 29,9 
𝑉𝐹 = 29,9 − 16,57 = 13,33 𝑘𝑁 
Com a parcela contribuinte do momento 
𝑁
𝑙
: 
𝑉𝐹 = 13,33 − 3,6 = 9,8 𝑘𝑁 
 
9.3. Construção do diagrama a partir das forças cortantes 
A partir dos valores cortantes encontrados, constrói-se o diagrama, obtendo, assim, as 
reações em cada apoio a partir da soma das cortantes – em módulo – no mesmo. 
 
Permanente 
 
Acidental 
 
10. Momentos máximos positivos 
10.1. Momentos positivos das cargas permanentes 
 
Trecho AB 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
39,5.0,76 −
7,99.0,76.0,76
2
= 27,7, 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 19,3𝑥 −
12,66
2
. 𝑥² + 27,7 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico:12,66. 𝑥 = 19,3 ∴ 𝑥 = 1,52 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,52) = 42,43 ≅ 42,5 𝑘𝑁.𝑚 
 
 
Trecho BC 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
44,6.1,6 −
12,66.1,60.1,60
2
− 48,5 = 6,7, 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 0,6𝑥 −
13,88
2
. 𝑥² + 6,7 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
13,88. 𝑥 = 0,6 ∴ 𝑥 = 0,04 
Portanto: 
𝑀𝑠(0,04) = 6,7 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho CD 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,25𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 26,8. 𝑥 −
10,38
2
. 𝑥² − 12 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,25) = 13,46 ≅ 13,5 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho DE 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na primeira seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
𝑀𝑠(𝑥) = 22,7. 𝑥 −
13,88
2
. 𝑥² − 11,5 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
13,88. 𝑥 = 22,7 ∴ 𝑥 = 1,64 
 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,64) = 7,06 ≅ 7,1 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho EF 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
60,9.1,60 −
12,66.1,60.1,60
2
− 47,8 = 33,4 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 10,6𝑥 −
12,66
2
. 𝑥² + 33,4 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
12,66. 𝑥 = 10,6 ∴ 𝑥 = 0,84 
Portanto: 
𝑀𝑠(0,84) = 37,8 𝑘𝑁.𝑚 
 
10.2. Momentos positivos das cargas acidentais 
 
Trecho AB 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
10,6.0,76 −
0,91.0,76.0,76
2
= 7,8, 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 7,1. 𝑥 −
3,96
2
. 𝑥² + 7,8 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
3,96. 𝑥 = 7,1 ∴ 𝑥 = 1,785𝑚 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,785) = 14,08 ≅ 14,1 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho BC 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,60𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 15,4. 𝑥 −
3,96
2
. 𝑥² − 16,3 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,60) = 3,27 ≅ 3,3 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho CD 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,25𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 8,4. 𝑥 −
2,47
2
. 𝑥² − 4,3 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,25) = 4,23 ≅ 4,2 𝑘𝑁.𝑚 
Trecho DE 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,66𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 8,5. 𝑥 −
4,76
2
. 𝑥² − 4,2 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,66) = 3,46 ≅ 3,5 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho EF 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
20,1.1,60 −
3,96.1,60.1,60
2
− 15,9 = 11,1 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 2,5. 𝑥 −
3,96
2
. 𝑥² + 11,1 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
3,96. 𝑥 = 2,5 ∴ 𝑥 = 0,63 
Portanto: 
𝑀𝑠(0,63) = 11,88 ≅ 11,9 𝑘𝑁.𝑚 
 
10.3. Diagrama dos momentos fletores permanente e variável 
 
Permanente 
 
 
Acidental 
 
 
10.4. Diagrama dos momentos fletores total (apoios rotulados) 
Para isso, somam-se as solicitações e reações previamente encontradas e também os 
momentos máximos negativos. Assim, tem-se o diagrama total da cortante e os momentos 
totais negativos: 
 
 
Trecho AB 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
50,1.0,76 −
8,90.0,76.0,76
2
= 35,5, 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 26,4. 𝑥 −
16,62
2
. 𝑥² + 35,5 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
16,62. 𝑥 = 26,4 ∴ 𝑥 = 1,588𝑚 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,588) = 56,4 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho BC 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,60𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 60. 𝑥 −
16,62
2
. 𝑥² − 64,8 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,60) = 10,0 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho CD 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,25𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 35,2. 𝑥 −
12,85
2
. 𝑥² − 16,3 
 
 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,25) = 17,7 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho DE 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,66𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 31,3. 𝑥 −
18,64
2
. 𝑥² − 15,7 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,66) = 10,5 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho EF 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
80,90.1,60 −
16,62.1,60.1,60
2
− 63,7 = 44,5 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 13,1. 𝑥 −
16,62
2
. 𝑥² + 44,5 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
16,62. 𝑥 = 13,1 ∴ 𝑥 = 0,788 
Portanto: 
𝑀𝑠(0,63) = 49,7 𝑘𝑁.𝑚 
 
Assim, o diagrama será: 
 
 
10.5. Diagrama dos momentos fletores com apoios engastados 
Deve ser construído o diagrama dos momentos fletores para apoios intermediários 
engastados e comparado os momentos positivos dele com os anteriormente calculados. 
 
Permanente 
 
Trecho AB 
𝑀𝐵 = −64,567 𝑘𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐵 = 0 
𝑉𝐴. 4,55 = 7,99. 0,76. (
0.76
2
+ 1,89 + 1,90) + 14,1. 3,79 + 12,66. 3,79. (
3,79
2
) + 30,8.1,9
− 64,567 
𝑉𝐴. 4,55 = 163,63 ∴ 𝑉𝐴 = 36,0 𝑘𝑁 
Com a reação, tem-se o diagrama cortante: 
 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
36,0.0,76 −
7,99.0,76.0,76
2
= 25,1 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 15,9𝑥 −
12,66
2
. 𝑥² + 25,1 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
12,66. 𝑥 = 15,9 ∴ 𝑥 = 1,256 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,256) = 35,0 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho BC 
 
𝑀𝐵𝐶 = 20,307 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝐶𝐵 = −21,642 𝑘𝑁.𝑚 
 
∑𝑀𝐶 = 0 
𝑉𝐵. 3,28 = 12,66. 1,60. (
1,60
2
+ 1,68) + 23,8. 1,68 + 13,88. 1,68. (
1,68
2
) − 20,307
+ 21,642 
𝑉𝐵. 3,28 = 111,14 ∴ 𝑉𝐵 = 33,5𝑘𝑁 
Com a reação, tem-se o diagrama cortante: 
 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,60𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 33,5𝑥 −
12,66
2
. 𝑥² − 21,65 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,60) = 15,7 𝑘𝑁.𝑚 
Trecho CD 
 
𝑀𝐶𝐷 = 15,249 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝐶𝐷 = −13,543 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑉𝐶 =
10,38.2,82
2
= 14,64 𝑘𝑁 
𝑉𝐶 =
21,6.1,57². (3.1,25 + 1,57)
2,82³
= 12,63 𝑘𝑁 
𝑉𝐶 = 27,3 𝑘𝑁 
 
 
Com a reação, tem-se o diagrama cortante: 
 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,25𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 27,3. 𝑥 −
10,38
2
. 𝑥² − 15,2 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,25) = 10,7 𝑘𝑁.𝑚 
Trecho DE 
𝑀𝐷𝐸 = 21,482 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝐸𝐷 = −21,439 𝑘𝑁.𝑚 
∑𝑀𝐸 = 0 
𝑉𝐷. 3,26 = 13,88. 1,66. (
1,66
2
+ 1,6) + 23,8. 1,6 + 12,66. 1,6. (
1,6
2
) − 21,482 + 21,439 
𝑉𝐷. 3,26 = 110,22 ∴ 𝑉𝐷 = 33,8 𝑘𝑁 
Com a reação, tem-se o diagrama cortante: 
 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,66𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 33,8. 𝑥 −
13,88
2
. 𝑥² − 21,482 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,66) = 15,6 𝑘𝑁.𝑚 
Trecho EF 
 
𝑀𝐸𝐹 = 63,170 𝑘𝑁.𝑚 
 
∑𝑀𝐹 = 0 
𝑉𝐸. 4,55 = 12,66. 3,79. (
3,79
2
+ 0,76) + 30,0.2,95+ 7,99.0,76. (
0,76
2
) + 14,4.0,76
+ 63,170 
𝑉𝐸. 4,55 = 292,31 ∴ 𝑉𝐸 = 64,2 𝑘𝑁 
 
Com a reação, tem-se o diagrama cortante: 
 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
64,2.1,60 −
12,66.1,60.1,60
2
− 63,17 = 23,5 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 14,0. 𝑥 −
12,66
2
. 𝑥² + 23,5 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
12,66. 𝑥 = 14,0 ∴ 𝑥 = 1,11 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,11) = 31,2 𝑘𝑁.𝑚 
 
Assim, o diagrama permanente se configura da seguinte forma: 
 
 
Acidental 
 
Trecho AB 
𝑀𝐵𝐴 = −21,18 𝑘𝑁.𝑚 
 
∑𝑀𝐵 = 0 
 
𝑉𝐴. 4,55 = 0,91. 0,76. (
0.76
2
+ 1,89 + 1,90) + 2,8. 3,79 + 3,96. 3,79. (
3,79
2
) + 11,8.1,9
− 21,18 
𝑉𝐴. 4,55 = 43,16 ∴ 𝑉𝐴 = 9,5 𝑘𝑁 
Com a reação, tem-se o diagrama cortante: 
 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
9,5.0,76 −
0,91.0,76.0,76
2
= 6,9, 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 6,0. 𝑥 −
3,96
2
. 𝑥² + 6,9 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
3,96. 𝑥 = 6,0 ∴ 𝑥 = 1,515 𝑚 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,785) = 11,5 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho BC 
𝑀𝐵𝐶 = 7,816 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝐶𝐵 = −7,893 𝑘𝑁.𝑚 
 
∑𝑀𝐶 = 0 
𝑉𝐵. 3,28 = 3,96. 1,60. (
1,60
2
+ 1,68) + 9,6. 1,68 + 4,76. 1,68. (
1,68
2
) + 7,816 − 7,893 
𝑉𝐵. 3,28 = 38,63 ∴ 𝑉𝐵 = 11,7𝑘𝑁 
Com a reação, tem-se o diagrama cortante: 
 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,60𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 11,7. 𝑥 −
3,96
2
. 𝑥² − 7,8 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,60) = 5,9 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho CD 
 
𝑀𝐶𝐷 = 5,01 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝐷𝐶 = −4,32 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑉𝐶 =
2,47.2,82
2
= 3,48 𝑘𝑁 
𝑉𝐶 =
8,7.1,57². (3.1,25 + 1,57)
2,82³
= 5,08 𝑘𝑁 
𝑉𝐶 = 8,6 𝑘𝑁 
Com a reação, tem-se o diagrama cortante: 
 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,25𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 8,6. 𝑥 −
2,47
2
. 𝑥² − 5 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,25) = 3,8 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho DE 
𝑀𝐷𝐸 = 7,843 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝐸𝐷 = −7,721 𝑘𝑁.𝑚 
 
∑𝑀𝐸 = 0 
 
𝑉𝐷. 3,26 = 4,76. 1,66. (
1,66
2
+ 1,6) + 9,6. 1,6 + 3,96. 1,6. (
1,6
2
) + 7,843 − 7,721 
𝑉𝐷. 3,26 = 39,51 ∴ 𝑉𝐷 = 12,2 𝑘𝑁 
 
Com a reação, tem-se o diagrama cortante: 
 
 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado no mesmo ponto da carga 
pontual. Portanto, o momento máximo será retirado em 𝑥 = 1,66𝑚: 
𝑀𝑠(𝑥) = 12,2. 𝑥 −
4,76
2
. 𝑥² − 7,8 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,66) = 5,8 𝑘𝑁.𝑚 
 
Trecho EF 
 
𝑀𝐸𝐹 = 20,497 𝑘𝑁.𝑚 
 
∑𝑀𝐹 = 0 
𝑉𝐸. 4,55 = 3,96. 3,79. (
3,79
2
+ 0,76) + 11,2.2,95 + 0,91.0,76. (
0,76
2
) + 3,0. 0,76 + 20,497 
𝑉𝐸. 4,55 = 95,93 ∴ 𝑉𝐸 = 21,1 𝑘𝑁 
Com a reação, tem-se o diagrama cortante: 
 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
21,1.1,60 −
3,96.1,60.1,60
2
− 20,497 = 8,2 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 3,5. 𝑥 −
3,96
2
. 𝑥² + 8,2 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
3,96. 𝑥 = 3,5 ∴ 𝑥 = 0,88 
Portanto: 
𝑀𝑠(0,88) = 9,8 𝑘𝑁.𝑚 
 
 
Assim, o diagrama permanente se configura da seguinte forma: 
 
10.6. Diagrama dos momentos fletores total (apoios engastados) 
Para isso, somam-se os momentos que se encontram no mesmo ponto e, através da 
cortante e dos máximos negativos, calcula-se os de pontos diferentes. Assim: 
 
 
Trecho AB 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
45,5.0,76 −
8,90.0,76.0,76
2
= 32 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 21,9. 𝑥 −
16,62
2
. 𝑥² + 32 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
16,62. 𝑥 = 21,9 ∴ 𝑥 = 1,318𝑚 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,318) = 46,4 𝑘𝑁.𝑚 
Trecho EF 
A partir do diagrama cortante, vê-se que o eixo é cortado na segunda seção. Portanto, o 
momento máximo será retirado desta: 
85,30.1,60 −
16,62.1,60.1,60
2
− 83,6 = 31,7 , 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝑀𝑠(𝑥) = 17,5. 𝑥 −
16,62
2
. 𝑥² + 31,7 
Derivando e igualando a zero para encontrar o máximo do gráfico: 
16,62. 𝑥 = 17,5 ∴ 𝑥 = 1,05 
Portanto: 
𝑀𝑠(1,05) = 40,9 𝑘𝑁.𝑚 
 
Assim, o diagrama será: 
 
 
11. Momentos de cálculo da V124 
Vão 1 
𝑀1 = 55,7 𝑘𝑁 
𝑀𝑑1 = 55,7 .1,4 = 79,0 𝑘𝑁 
 
Apoio B 
𝑀𝐵 = 64,8 𝑘𝑁 
𝑀𝑑𝐵 = 64,8 .1,4 = 90,7 𝑘𝑁 
 
Vão 2 
𝑀2 = 21,6 𝑘𝑁 
𝑀𝑑2 = 21,6 . 1,4 = 30,24 𝑘𝑁 
 
 
Apoio C 
𝑀𝐶 = 16,3 𝑘𝑁 
𝑀𝑑𝐶 = 16,3 .1,4 = 22,8 𝑘𝑁 
 
Vão 3 
𝑀3 = 17,7𝑘𝑁 
𝑀𝑑3 = 17,7 .1,4 = 24,8 𝑘𝑁 
 
Apoio D 
𝑀𝐷 = 15,7 𝑘𝑁 
𝑀𝑑𝐷 = 15,7 .1,4 = 90,7 𝑘𝑁 
 
Vão 4 
𝑀4 = 21,4 𝑘𝑁 
𝑀𝑑4 = 21,4 .1,4 = 29,96 𝑘𝑁 
 
Apoio E 
𝑀𝐸 = 63,7 𝑘𝑁 
𝑀𝑑𝐸 = 63,7 .1,4 = 89,2 𝑘𝑁 
 
Vão 5 
𝑀5 = 49,7 𝑘𝑁 
𝑀𝑑5 = 49,7 .1,4 = 69,6 𝑘𝑁 
 
12. Cálculo do Momento de Extremidade da viga 
Têm-se pilares de mesma seção na parte inferior e na parte superior da viga e as 
extremidades, direita e esquerda, tem mesmo comprimento e mesma seção. Logo: 
 
𝑟𝑖𝑛𝑓 = 𝑟𝑠𝑢𝑝 = 𝑟 = 
𝐼𝑖𝑛𝑓
ℎ
2
=
𝐼𝑠𝑢𝑝
ℎ
2
 
𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎,𝐴𝐵 = 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎,𝐸𝐹 = 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
𝐼
𝑙
 
 
𝐼 = 
𝑏. ℎ3
12
 
Então: 
𝐼 = 
0,4. 0,153
12
= 1,125. 10−4𝑚4 
 
𝑟 = 
1,125. 10−4
2.8
2
= 8,04. 10−5𝑚3 
𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
1,125. 10−4
4,55
= 2,47. 10−5𝑚3 
 
12.1. Momento de extremidade devido à carga permanente 
 TRECHO AB 
𝑀𝑞1 =
𝑞1. 𝑐2
12. 𝑙2
. [6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2] 
 
𝑀𝑞1 =
7,99. 0,762
12. 4,552
. [6. 3,792 + 4 . 3,79 . 0,76 + 3,792] 
𝑀𝑞1 = 2,08 𝑘𝑁.𝑚 
 
 
𝑀𝑞2 =
𝑞2. 𝑐2
12. 𝑙2
. [4. 𝑎. 𝑐 + 𝑐2] 
𝑀𝑞2 =
12,66 . 3,792
12 . 4,552
. [4. 0,76 . 3,79 + 3,792] 
𝑀𝑞2 = 18,95 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑝1 =
𝑝1. 𝑎. 𝑏2
𝑙2
=
14,1 . 0,76 . 3,792
4,552
 
𝑀𝑝1 = 7,44 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑝2 =
𝑝2. 𝑎. 𝑏2
𝑙2
=
30,8 . 2,65 . 1,9²
4,55²
 
𝑀𝑝2 = 14,23 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑒𝑛𝑔 =∑𝑀𝑞1 +𝑀𝑞2 +𝑀𝑝1 +𝑀𝑝2 = 42,70 𝑘𝑁.𝑚 
 
 
 TRECHO EF 
 
 
 
𝑀𝑞1 = −
𝑞1. 𝑐2
12. 𝑙2
. [4. 𝑎. 𝑐 + 𝑐2] 
𝑀𝑞1 = −
12,66 . 3,792
12. 4,552
. [4 .0,76 . 3,79 + 3,792] 
𝑀𝑞2 = −18,95 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑞2 = −
𝑞1. 𝑐2
12. 𝑙2
. [6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2] 
𝑀𝑞2 = −
7,99. 0,762
12. 4,552
. [6. 3,792 + 4.3,79.0,76 + 3,792] 
𝑀𝑞1 = −2,08 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑝1 = −
𝑝1. 𝑎. 𝑏2
𝑙2
=
30 . 1,6² . 2,95
4,552
 
𝑀𝑝1 = −10,94 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑝2 = −
𝑝2. 𝑎. 𝑏2
𝑙2
=
14,4 . 0,76 . 3,79²
4,55²
 
𝑀𝑝2 = −7,59 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑒𝑛𝑔 =∑𝑀𝑞1 +𝑀𝑞2 +𝑀𝑝1 +𝑀𝑝2 = −39,56 𝑘𝑁.𝑚 
12.2. Momento de extremidade devido à carga acidental 
 Trecho AB 
 
 
𝑀𝑞1 =
𝑞1. 𝑐2
12. 𝑙2
. [6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2] 
 
𝑀𝑞1 =
0,91 . 0,762
12. 4,552
. [6. 3,792 + 4 . 3,79 . 0,76 + 3,792] 
𝑀𝑞1 = 0,237 𝑘𝑁.𝑚 
 
 
𝑀𝑞2 =
𝑞2. 𝑐2
12. 𝑙2
. [4. 𝑎. 𝑐 + 𝑐2] 
 
𝑀𝑞2 =
3,96 . 3,792
12 . 4,552
. [4. 0,76 . 3,79 + 3,792] 
𝑀𝑞2 = 5,93 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑝1 =
𝑝1. 𝑎. 𝑏2
𝑙2
=
2,8 . 0,76 . 3,792
4,552
 
𝑀𝑝1 = 1,48 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑝2 =
𝑝2. 𝑎. 𝑏2
𝑙2
=
11,8 . 2,65 . 1,9²
4,55²
 
𝑀𝑝2 = 5,45 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑒𝑛𝑔 =∑𝑀𝑞1 +𝑀𝑞2 +𝑀𝑝1 +𝑀𝑝2 = 13,09 𝑘𝑁.𝑚 Trecho EF 
 
 
𝑀𝑞1 = −
𝑞1. 𝑐2
12. 𝑙2
. [4. 𝑎. 𝑐 + 𝑐2] 
𝑀𝑞1 = −
3,96 . 3,792
12. 4,552
. [4 .0,76 . 3,79 + 3,792] 
𝑀𝑞2 = −5,93 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑞2 = −
𝑞1. 𝑐2
12. 𝑙2
. [6. 𝑏2 + 4. 𝑏. 𝑐 + 𝑐2] 
𝑀𝑞2 = −
0,91 . 0,762
12. 4,552
. [6 . 3,792 + 4 . 3,79 . 0,76 + 3,792] 
𝑀𝑞1 = −0,237 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑝1 = −
𝑝1. 𝑎. 𝑏2
𝑙2
=
11,2 . 1,6² . 2,95
4,552
 
𝑀𝑝1 = −4,09 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑝2 = −
𝑝2. 𝑎. 𝑏2
𝑙2
= −
3 . 0,76 . 3,79²
4,55²
 
𝑀𝑝2 = −1,58 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑒𝑛𝑔 =∑𝑀𝑞1 +𝑀𝑞2 +𝑀𝑝1 +𝑀𝑝2 = −11,84 𝑘𝑁.𝑚 
 
12.3. Momentos totais de extremidade 
 Apoio A 
𝑀𝐴 = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑚,𝐴𝐵 + 𝑀𝑎𝑐𝑖𝑑,𝐴𝐵 
 
𝑀𝐴 = 42,7 + 13,09 = 55,79 𝑘𝑁.𝑚 
 Apoio F 
𝑀𝐹 = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑚,𝐸𝐹 + 𝑀𝑎𝑐𝑖𝑑,𝐸𝐹 
 
𝑀𝐹 = 39,56 + 11,84 = 51,40 𝑘𝑁.𝑚 
 
13. Diagrama do momento fletor V124 
 
 
 
14. Cálculo da armadura longitudinal 
14.1. Armadura longitudinal mínima 
 
𝜌𝑚í𝑛 = 0,173% 
 
𝑨𝒔𝒎í𝒏 = 𝜌𝑚í𝑛. 𝑏𝑤 . ℎ 
 
𝐴𝑠𝑚í𝑛 =
0,173
100
. 15 .50 = 1,2975 𝑐𝑚² 
 
14.2. Armadura longitudinal positiva 
 Vão 1 
 
 
𝑀𝟏 = 55,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐴𝐵 = 1,4 .𝑀1
= 77,98 𝑘𝑁.𝑚 = 7798 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑
=
7798
15 . 45² . 2,14
= 0,119
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
→ 𝑘𝑧 = 0,9881 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 
=
7798
0,9881 . 45 . 43,48
= 4,03 𝑐𝑚² 
 
4 ∅ 12,5 𝑚𝑚 
 
 
 
 
 
 Vão 2 
 
𝑀𝟐 = 21,6 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐵𝐶 = 1,4 .𝑀2
= 30,24 𝑘𝑁.𝑚
= 3024 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑
=
3024
15 . 45² . 2,14
= 0,047
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
→ 𝑘𝑧
= 0,9728 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 
=
3024
0,9728 . 45 . 43,48
= 1,59 𝑐𝑚² 
 
2 ∅ 12,5 𝑚𝑚 
 
 
 
 Vão 3 
 
𝑀𝟑 = 17,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐶𝐷 = 1,4 .𝑀3
= 24,78 𝑘𝑁.𝑚 = 2478 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑
=
2478
15 . 45² . 2,14
= 0,038
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
→ 𝑘𝑧 = 0,9759 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 
=
2478
0,9759 . 45 . 43,48
= 1,298 𝑐𝑚² 
 
2 ∅ 12,5 𝑚𝑚 
 
 
 Vão 4 
 
𝑀𝟒 = 21,4 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐷𝐸 = 1,4 .𝑀4
= 29,96 𝑘𝑁.𝑚 = 2996 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑
=
2996
15 . 45² . 2,14
= 0,046
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
→ 𝑘𝑧 = 0,9728 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 
=
2996
0,9728 . 45 . 43,48
= 1,57 𝑐𝑚² 
 
2 ∅ 12,5 𝑚𝑚 
 
 
 
 
 Vão 5 
 
𝑀𝟓 = 49,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐸𝐹 = 1,4 .𝑀5
= 69,58 𝑘𝑁.𝑚
= 6958 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑
=
6958
15 . 45² . 2,14
= 0,107
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
→ 𝑘𝑧 = 0,9941 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 
=
6958
0,9941 . 45 . 43,48
= 3,58 𝑐𝑚² 
 
4 ∅ 12,5 𝑚𝑚 
 
 
 
14.3. Armadura longitudinal negativa 
 
 Apoio A 
 
𝑀𝑨 = 55,79 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐴𝐵
− = 1,4 .𝑀𝐴
= 78,12 𝑘𝑁.𝑚 = 7812 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑
=
7812
15 . 45² . 2,14
= 0,12
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
→ 𝑘𝑧 = 0,9236 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 
=
7812
0,9236 . 45 . 43,48
= 4,32 𝑐𝑚² 
 
4 ∅ 12,5 𝑚𝑚 
 
 Apoio B 
 
𝑀𝑩 = 64,8 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐵 = 1,4 .𝑀𝐵
= 90,72 𝑘𝑁.𝑚 = 9072 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑
=
9072
15 . 45² . 2,14
= 0,1395
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
→ 𝑘𝑧 = 0,9094 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 
=
9072
0,9094 . 45 . 43,48
= 5,1 𝑐𝑚² 
 
3 ∅ 16 𝑚𝑚 
 
 Apoio C 
𝑀𝑪 = 16,3 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐶
− =
1,4 .𝑀𝐶
− = 22,82 𝑘𝑁.𝑚 = 2282 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑
=
2282
15 . 45² . 2,14
= 0,0351
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
→ 𝑘𝑧 = 0,9759 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 
=
2282
0,9759 . 45 . 43,48
= 1,19 𝑐𝑚² 
Será utilizada armadura mínima nessa 
seção: 
𝐴𝑠𝑚í𝑛 = 1,2975 𝑐𝑚² 
 
2 ∅ 10 𝑚𝑚 
 Apoio D 
 
𝑀𝑫 = 15,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐷
− =
1,4 .𝑀𝐷 = 21,98 𝑘𝑁.𝑚 = 2198 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑
=
2198
15 . 45² . 2,14
= 0,033
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
→ 𝑘𝑧 = 0,9820 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 
=
2198
0,982 . 45 . 43,48
= 1,14 𝑐𝑚² 
Será utilizada armadura mínima nessa 
seção: 
𝐴𝑠𝑚í𝑛 = 1,2975 𝑐𝑚² 
 
2 ∅ 10 𝑚𝑚 
 
 Apoio E 
 
𝑀𝑬 = 63,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐸
− = 1,4 .𝑀𝐸
= 89,18 𝑘𝑁.𝑚
= 8918 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑
=
8918
15 . 45² . 2,14
= 0,1371
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
→ 𝑘𝑧 = 0,913 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 
=
8918
0,913 . 45 . 43,48
= 4,99 𝑐𝑚² 
3 ∅ 16 𝑚𝑚 
 
 
 Apoio F 
 
𝑀𝑭 = 51,4 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐹
− = 1,4 .𝑀𝐹
= 71,96 𝑘𝑁.𝑚
= 7196 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑑² . 𝑓𝑐𝑑
=
7196
15 . 45² . 2,14
= 0,111
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
→ 𝑘𝑧
= 0,9305 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑘𝑧. 𝑑 . 𝑓𝑠𝑑 
=
7196
0,9305 . 45 . 43,48
= 3,95 𝑐𝑚² 
 
4 ∅ 12,5 𝑚𝑚 
 
15. Seções verticais 
 
15.1. Verificação da altura útil 
Será verificada a altura útil para a seção mais critica: 
 Apoio E 
𝑀𝑬 = 63,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐸 = 1,4 .𝑀𝐸 = 89,18 𝑘𝑁.𝑚 = 8918 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐴𝑠 = 4,99 𝑐𝑚² 
4 ∅ 16 𝑚𝑚 
Sendo: 
c: cobrimento nominal; 
bw: largura da base da peça; 
ev: espaçamento vertical entre barras; 
eh: espaçamento horizontal entre barras; 
Øt: bitola do estribo; 
Øl: bitola da armadura; 
cg: centro de gravidade da armadura. 
𝑒𝑣 ≥ {
2 𝑐𝑚
0,5 . ∅𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 = 0,5 . 1,9 = 0,95 𝑐𝑚
∅1 = 1,6
∴ 𝑒𝑣 = 2 𝑐𝑚 
𝑑 = ℎ − 𝑥 
𝑥 = 𝑐 + ∅𝑡 + ∅1 +
𝑐𝑔
2
= 3 + 1,6 + 0,5 +
2
2
= 6,1 𝑐𝑚 
𝑑 = 50 − 6,1 = 43,9 𝑐𝑚 
 
Portanto, como a altura útil utilizada é 𝑑 = 45 𝑐𝑚, o valor é próximo da altura mínima 
calculado, tornando a seção normalmente armada. 
 
15.2. Verificação do bw 
 
Semelhante à verificação da altura útil, a largura será verificada na seção mais critica: 
 Apoio E 
𝑀𝑬 = 63,7 𝑘𝑁.𝑚 ∴ 𝑀𝑑,𝐸
− = 1,4 .𝑀𝐸 = 89,18 𝑘𝑁.𝑚 = 8918 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝐴𝑠 = 4,99 𝑐𝑚² 
4 ∅ 16 𝑚𝑚 
 
𝑏𝑤 = 𝑛 . ∅1 + (𝑛 − 1). 𝑒ℎ + 2. (𝑐 + ∅𝑡) 
𝑒ℎ ≥ {
2 𝑐𝑚
1,2 . ∅𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 = 1,2 . 1,9 = 2,28 𝑐𝑚
∅1 = 1,6 𝑐𝑚
 
𝑏𝑤 = 2 .1,6 + (2 − 1). 2,28 + 2. (3 + 0,5) = 12,48 𝑐𝑚 
Portanto, como a largura utilizada é menor que a largura mínima encontrada, a vida 
satisfaz a exigência. 
 
16. Cálculo da armadura transversal 
 
16.1. Armadura transversal mínima 
 
𝜌𝑠𝑤,𝑚í𝑛 =
0,2. (0,3. √𝑓𝑐𝑘2)
3
𝑓𝑦𝑤𝑘
 
𝜌𝑠𝑤,𝑚í𝑛 =
0,2. (0,3. √302)
3
600
= 9,655 . 10−4 
 
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑠𝑤,𝑚í𝑛. 𝑏𝑤 
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛 = 9,655 . 10
−4. 15 = 0,01448
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
= 1,45 𝑐𝑚²/𝑚 
 
𝜂𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 =
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛
𝐴𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠
 
𝜂𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 =
1,45
𝜋. 0,5²
4 . 2
= 3,69 
 
𝑠 =
100
𝜂𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠
 
𝑠 =
100
3,69
= 27,08 𝑐𝑚 
 
Usa-se para armadura transversal mínima: 
4 ∅ 5 𝑚𝑚 / 𝑠 = 25 𝑐𝑚 
 
16.2. Verificação da resistência ao cortante "Asw,mín" 
𝑉𝑑 ≤ 0,67 . 𝑉𝑅𝑑2, 𝑠𝑚á𝑥 = 0,6 . 𝑑 ≤ 30 𝑐𝑚 
𝑠𝑚á𝑥 = 27 𝑐𝑚 (𝑂𝐾!) 
 
𝜂𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 =
100
27
= 3,7 
 
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛 = 1,45 𝑐𝑚²/𝑐𝑚 
 
𝑉𝑅𝐷3 = 𝑉𝑠𝑤 + 𝑉𝑐 
𝑉𝑠𝑤 = 𝐴𝑠𝑤. 0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑘 = 25,62 𝑘𝑁 
𝑉𝐶 = 0,6 . 𝑓𝑐𝑡𝑏 . 𝑏𝑤. 𝑑 = 58,73 𝑘𝑁 
𝑉𝑅𝐷3 = 𝑉𝑠𝑤 + 𝑉𝑐 = 84,35 𝑘𝑁 
 
Conclui-se que quaisquer esforços cortantes menores ou iguais ao VRD3, a armadura 
mínima será suficiente para conter os esforços. 
 
 
 
16.3. Cálculo da armadura transversal para VSD > VRD3 
 
 Apoio B 
𝑉𝑠𝑤,𝐵 = 𝑉𝑠𝑑,𝐵 − 𝑉𝑐𝑉𝑠𝑤,𝐵 = 110,9 − 58,73 = 52,17 𝑘𝑁 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑠𝑤
0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑑
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
52,17
0,9 . 45 . 52,174
= 0,0247 𝑐𝑚²/𝑐𝑚 = 2,47 𝑐𝑚2/𝑚 
𝜂𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 =
2,47
0,3927
= 6,29 
 
𝑠 =
100
6,29
= 15,89 𝑐𝑚 
 Apoio E 
 
𝑉𝑠𝑤,𝐸 = 𝑉𝑠𝑑,𝐸 − 𝑉𝑐 
𝑉𝑠𝑤,𝐸 = 113,3 − 58,73 = 54,57 𝑘𝑁 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑠𝑤
0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑑
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
54,57
0,9 . 45 . 52,174
= 0,0258 𝑐𝑚²/𝑐𝑚 = 2,58 𝑐𝑚2/𝑚 
𝜂𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 =
2,58
0,3927
= 6,58 
 
𝑠 =
100
6,58
= 15,20 𝑐𝑚 
 
16.4. Porta-estribo 
 
Foi necessária a utilização de porta estribo, para isso fez-se o uso da emenda por transpasse, 
onde o comprimento é o lb. 
𝑓𝑏𝑑 = 2,28 𝑀𝑃𝑎 (má aderência) 
𝑙𝑏 =
∅
4
.
𝑓𝑦𝑑
𝑓𝑏𝑑
=
0,63
4
.
50
1,15
0,228
= 30 𝑐𝑚 
 
16.5. Detalhamento da armadura transversal 
 
 
 
 
 
 
𝑙𝑒 = 2. (9 + 44 + 7) = 120 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Ancoragem nos apoios de extremidade 
 
17.1. Apoio esquerdo 
 
𝑉𝑠𝑑 = 70,1 𝑘𝑁 
 
𝑎𝑙 = 45. [
70,1
2. (70,1 − 58,73)
] = 138,72 
𝑎𝑙 = 𝑑 = 45 𝑐𝑚 
 
𝑅𝑠𝑡 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑 
 
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 =
70,1
43,478
= 1,61 𝑐𝑚² 
 
𝑁𝐵𝑅 6118 ≥ {
2 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 → 2 ∅ 12,5 𝑚𝑚 = 2,45 𝑐𝑚²
1
3
. 𝐴𝑠,𝑚á𝑥
 
𝐴 = 2,45 > 1,61 𝑐𝑚² (𝑂𝐾!) 
17.2. Apoio direito 
 
𝑉𝑠𝑑 = 66,4 𝑘𝑁 
 
𝑎𝑙 = 45. [
66,4
2. (66,4 − 58,73)
] = 186,05 
𝑎𝑙 = 𝑑 = 45 𝑐𝑚 
 
𝑅𝑠𝑡 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑 
 
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 =
66,4
43,478
= 1,53 𝑐𝑚² 
 
𝑁𝐵𝑅 6118 ≥ {
2 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 → 2 ∅ 12,5 𝑚𝑚 = 2,45 𝑐𝑚²
1
3
. 𝐴𝑠,𝑚á𝑥
 
𝐴 = 2,45 > 1,53 𝑐𝑚² (𝑂𝐾!) 
 
 
18. Cálculo dos comprimentos de ancoragem 
𝜂1 = 2,25 
 
𝜂2 = {
1,0 ∶ 𝑏𝑜𝑎 𝑎𝑑𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
0,7 ∶ 𝑚á 𝑎𝑑𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
 
 
𝜂3 = 1,0 
 
𝑏𝑜𝑎 → 𝑓𝑏𝑑 = 3,26 𝑀𝑃𝑎 
𝑚á → 𝑓𝑏𝑑 = 2,28 𝑀𝑃𝑎 
 
18.1. Positivos 
 
Ø 12,5 mm 
𝑙𝑏 =
∅
4
.
𝑓𝑦𝑑
𝑓𝑏𝑑
=
1,25
4
.
50
1,15
0,326
= 41,68 𝑐𝑚 
 
 Apoio esquerdo 
 
Ø 12,5 mm 
𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 =
𝑙𝑏. 𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠,𝑒
=
41,68 . 1,61
2,45
= 27,39 𝑐𝑚 
 
Ø 16 mm 
𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 =
𝑙𝑏. 𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠,𝑒
=
76,28 . 1,53
2,45
= 47,64 𝑐𝑚 
18.2. Armadura Negativa: 
 
 
Ø 16 mm 
𝑙𝑏 =
∅
4
.
𝑓𝑦𝑑
𝑓𝑏𝑑
=
1,6
4
.
50
1,15
0,228
= 76,28 𝑐𝑚 
 
𝑥 ≥ {
𝑟 + 5,5. ∅ → 𝑟: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑏𝑟𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (2,5∅)
6 𝑐𝑚
 
𝑥 = 10 𝑐𝑚 
𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 =
𝑙𝑏. 𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠,𝑒
=
76,28 . 1,53
2,45
= 47,64 𝑐𝑚 
 
18.3. Extremidade 
De acordo com a Prática Profissional, tem-se o comprimento de ancoragem pela 
fórmula: 
 
𝑥𝑜 = 0,20𝑙 + 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 
Onde: 
𝑥𝑜 = comprimento de ancoragem 
𝑙 = comprimento do vão (m) 
 
Para 𝑀𝐴𝑒 𝑀𝐹, momentos de extremidade do apoios A e F, temos que: 
 
𝑙 = 4,55𝑚 
𝑎𝑙 = 0,45𝑚 
𝑙𝑏(∅12,5) =
∅
4
.
𝑓𝑦𝑑
𝑓𝑏𝑑
=
1,25
4
.
50
1,15
0,228
= 59,59 𝑐𝑚 
𝑥𝑜 = 0,20𝑥4,55 + 0,45 + 0,5959 
 
𝑥𝑜 = 1,96𝑚 
 
 
O comprimento do gancho será de: 
 
𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 7,5∅ + 8∅ + ∅ 
𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 7,5𝑥1,25 + 8𝑥1,25 + 1,25 = 20,625𝑐𝑚 
 
19. Flecha 
Para a verificação do Estado Limite de Deformações Excessivas, deve-se utilizar a 
combinação quase permanente de ações, considerando os cálculos em estádio II. 
Nessa combinação admite-se que as ações atuem durante grande parte do período de 
vida da estrutura. 
 
𝐹𝑑𝑠𝑒𝑟 = ∑𝐹𝑔𝑖,𝑘 +∑0,3. 𝐹𝑞𝑗,𝑘 
 
 
TRECHO 1 
h 50,000 fctm 0,29 
d 45,000 fck 30,00 
As 6,030 
x 14,137 
b 15,000 
Es 21000,000 
Ecs 2607,159 
αe 8,055 
I2 60390,961 
Ic 156250,000 
Mr 2715,44 Mserviço 5330,00 
Eieq 190496398,576 
Eieq/Ecs 73066,649 
heq 38,809 
 
 
TRECHO 2 
h 50,000 fctm 0,29 
d 45,000 fck 30,00 
As 6,030 
x 14,137 
b 15,000 
Es 21000,000 
Ecs 2607,159 
αe 8,055 
I2 60390,961 
Ic 156250,000 
Mr 2715,439 Mserviço 5330,00 
Eieq 190496398,576 
Eieq/Ecs 73066,649 
heq 38,809 
 
TRECHO 3 
h 50,000 fctm 0,29 
d 45,000 fck 30,00 
As 2,440 
x 9,628 
b 15,000 
Es 21000,000 
Ecs 2607,159 
αe 8,055 
I2 29052,627 
Ic 156250,000 
Mr 2715,439 Mserviço 1470,00 
Eieq 2166069853,011 
Eieq/Ecs 830816,050 
heq 87,270 
 
TRECHO 4 
h 50,000 fctm 0,29 
d 45,000 fck 30,00 
As 6,030 
x 14,137 
b 15,000 
Es 21000,000 
Ecs 2607,159 
αe 8,055 
I2 60390,961 
Ic 156250,000 
Mr 2715,439 Mserviço 5260,00 
Eieq 191833423,318 
Eieq/Ecs 73579,477 
heq 38,900 
 
 
TRECHO 5 
h 50,000 fctm 0,29 
d 45,000 fck 30,00 
As 6,030 
x 14,137 
b 15,000 
Es 21000,000 
Ecs 2607,159 
αe 8,055 
I2 60390,961 
Ic 156250,000 
Mr 2715,439 Mserviço 5260,00 
Eieq 191833423,318 
Eieq/Ecs 73579,477 
heq 38,900 
 
 A partir dos dados, obtém-se o diagrama de deslocamento vertical, constatando todas as 
flechas obtidas com comprimento menor que L/250: 
 
 
 
20. Fissuração 
20.1. Definição 
O tamanho da abertura de fissuras (w), será o menor entre os obtidos pelas duas 
expressões a seguir, com o 𝜎𝑠𝑖, 𝜙𝑖, 𝐸𝑠𝑖, 𝜌𝑖 definidos para cada área de envolvimento: 
𝑤 = 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 
{
 
 
 
 𝜙𝑖
12,5𝑥Ƞ1
𝑥
𝜎𝑠𝑖
 𝐸𝑠𝑖
𝑥 
3𝑥𝜎𝑠𝑖
𝑓𝑐𝑡,𝑚
 
𝜙𝑖
12,5𝑥Ƞ1
𝑥
𝜎𝑠𝑖
 𝐸𝑠𝑖
𝑥 (
4
𝜌𝑟𝑖
+ 45)
 
Em que: 
𝐴𝑐𝑟𝑖 = área da região de envolvimento protegida pela barra 𝜙𝑖; 
𝐸𝑠𝑖= módulo de elasticidade do aço da barra 𝜙𝑖 considerada; 
𝜙𝑖 = diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; 
𝜌𝑟𝑖= taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro de bainha) em 
relação à área da região de envolvimento (𝐴𝑐𝑟𝑖); 
Ƞ1 = coeficiente de conformação superficial Ƞ1 da armadura passiva considerada (Ƞ1 =
2,25 para CA50); 
𝑛1 = número de barras; 
𝑛2 = número de barras por fileira; 
𝑒ℎ = espaçamento horizontal; 
𝑒𝑣 = espaçamento vertical; 
𝑋 = distância da borda superior à linha neutra; 
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = resistência média do concreto à tração; 
𝜎𝑠𝑖 = tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no 
estádio II. (Considerando 𝛼𝑒 = 15) 
𝜌𝑟𝑖=
𝐴𝑐𝑖
𝐴𝑐𝑟
=
𝑛1 𝑥 𝐴𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
𝐴𝑐𝑟
 
𝜎𝑠𝑖 = 
𝛼𝑒 𝑥 𝑀𝑑,𝑒𝑥 𝑥 (𝑑 − 𝑋)
𝐼𝐼𝐼
 
Para mais de 1 barra na direção vertical, tem-se Acri: 
𝐴𝑐𝑟𝑖 = (𝑐 + ∅𝑡 + ∅𝑙 + (
𝑒ℎ
2⁄ )) 𝑥 ((𝑐 + ∅𝑡 + 𝑒𝑣 + (𝑛2 ∗ ∅𝑙) + (7,5 ∗ ∅𝑙 − (
∅𝑙
2
))) 
Para apenas 1 barra na direção vertical, tem-se Acri: 
𝐴𝑐𝑟𝑖 = (𝑐 + ∅𝑡 + ∅𝑙 + (
𝑒ℎ
2⁄ )) 𝑥 ((𝑐 + ∅𝑡 + 𝑒𝑣 + (𝑛2 ∗ ∅𝑙) + (7,5 ∗ ∅𝑙)) 
 
20.2. Verificação da abertura de fissuras: 
 
𝑀𝑑,𝑒𝑥 = 𝑀𝑔𝑘 + 0,3 .𝑀𝑞𝑘 
Seção 
Momento 
Permanente 
Momento 
Variável 
Combinação frequente 
(Md=Mgk+0,4.Mqk) 
M1 42,50 14,10 46,73 
MB 48,50 16,30 53,39 
M2 5,90 15,70 10,61 
MC 12,00 4,30 13,29 
M3 13,50 4,20 14,76 
MD 11,50 4,20 12,76 
M4 5,80 15,60 10,48 
ME 47,80 15,20 52,36 
M5 37,80 11,90 41,37 
MA 42,79 12,99 46,69 
MF 39,31 11,80 42,85 
 
 
Seção b (cm) c (cm) ɸt (cm) n barras n fileira (cm) ɸl(cm) 
M1 15 3 0,5 4 2 1,25 
MB 15 3 0,5 3 2 1,60 
M2 15 3 0,5 2 2 1,25 
MC 15 3 0,5 2 2 1,00 
M3 15 3 0,5 2 2 1,25 
MD15 3 0,5 2 2 1,00 
M4 15 3 0,5 2 2 1,25 
ME 15 3 0,5 4 2 1,60 
M5 15 3 0,5 4 2 1,25 
MA 15 3 0,5 4 2 1,00 
MF 15 3 0,5 4 2 1,00 
 
A barra (cm²) d (cm) ev eh (cm) Asi (cm²) Acr (cm²) ρri 
1,25 44,25 2 5,50 2,50 125,625 
0,01990049
8 
2,00 43,90 2 4,80 3,20 149,25 
0,02144053
6 
1,25 45,88 2 5,50 1,25 101,25 
0,01234567
9 
0,80 46,00 2 6,00 1,00 86,25 
0,01159420
3 
1,25 44,25 2 5,50 1,25 101,25 
0,01234567
9 
0,80 44,50 2 6,00 0,80 86,25 
0,00927536
2 
1,25 45,88 2 5,50 1,25 101,25 
0,01234567
9 
2,00 45,70 2 4,80 4,00 149,25 0,02680067 
1,25 45,88 2 5,50 2,50 125,625 
0,01990049
8 
0,80 46,00 2 6,00 1,60 108,75 
0,01471264
4 
0,80 46,00 2 6,00 1,60 108,75 
0,01471264
4 
x (cm) αe Iii (cm^4) σs (kN/cm²) W1 (mm) W2 (mm) 
Menor W 
(mm) 
21,3847096
5 
15 
88108,3722
2 
18,1905815
1 
0,08206777
2 
0,09470652 0,082067772 
20,9784237
7 
15 
93448,2989
4 
19,6437436
9 
0,12250052
9 
0,12322551
6 
0,122500529 
12,8500814
3 
15 
51508,5190
6 
10,2039738 
0,02582368
1 
0,07968817
6 
0,025823681 
11,7113092 15 36248,4528 
18,8572200
5 
0,07055451
4 
0,12451751
7 
0,070554514 
12,5831031
3 
15 
47566,4091
3 
14,7395002 
0,05388215
9 
0,11510847
8 
0,053882159 
10,4399335
5 
15 
33531,4723
2 
19,4417252
4 
0,07499616
7 
0,15676819
7 
0,074996167 
12,8500814
3 
15 
51508,5190
6 
10,0789486
7 
0,02519474
4 
0,07871179 0,025194744 
25,4535885
1 
15 
131645,073
7 
12,0790935
3 
0,04631888
9 
0,06356287
4 
0,046318889 
21,8982758
2 
15 
95621,1396
3 
15,5601117
6 
0,06004887
8 
0,08101137
6 
0,060048878 
18,6950194
3 
15 
68456,8713
8 
27,9326443
6 
0,15480806 
0,14986085
4 
0,149860854 
18,6950194
3 
15 
68456,8713
8 
25,6369826
9 
0,13040771
5 
0,13754444
7 
0,130407715 
 
 
Resultado (Se W < 0,3 => OK) 
OK 
OK 
OK 
OK 
OK 
OK 
OK 
OK 
OK 
OK 
OK 
 
Logo, como as fissuras calculadas são menores que a fissura máxima admitida para 
classe de agressividade II, 𝑤𝑘 ≤ 0,3𝑚𝑚, a viga atenderá ao estado-limite de fissuração. 
 
21. Diagrama decalado 
21.1. Positivos 
𝑎𝑙 = 0,45 𝑚 ; 𝑙𝑏 = 0,417 𝑚 
 Vão 1 
 
𝑀𝑠1 = 50,1. 𝑥 −
8,90𝑥2
2
= 27,85 
𝑀𝑠1 = 50,1. 𝑥 −
12,46𝑥2
2
− 27,85 = 0 
𝑥1 = 0,59𝑚 
𝑀𝑠3 = −47,6. 𝑥 −
16,62𝑥2
2
+ 27,85 = 0 
𝑥3 = 0,53𝑚 
 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,868𝑚
0,83 + 0,45 + 0,125 = 1,405𝑚
 (para a direita) 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,868𝑚
1,59 + 0,17 + 0,45 + 0,125 = 2,335𝑚
 (para a esquerda) 
 
 Vão 5 
 
𝑀𝑠1 = 47,4. 𝑥 −
8,90𝑥2
2
− 24,85 = 0 
𝑥1 = 0,55𝑚 
 
 
 
 
 
𝑀𝑠3 = −54,3. 𝑥 −
16,62𝑥2
2
+ 44,5 − 24,85 = 0 
𝑥3 = 0,34𝑚 
 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,868𝑚
1,39 + 0,2 + 0,45 + 0,125 = 2,175 𝑚
 (para a direita) 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,868𝑚
0,8 + 0,34 + 0,45 + 0,125 = 1,715 𝑚
 (para a esquerda) 
 
21.2. Negativos 
𝑎𝑙 = 0,45 𝑚 ; 𝑙𝑏 = 0,763 𝑐𝑚 
 
 Apoio B - Lado esquerdo 
 
𝑀𝑠1 = −47,6. 𝑥 −
16,62𝑥2
2
+ 21,6 + 55,7 = 0 
𝑥0 = 1,00𝑚 𝑥1 = 1,32𝑚 
 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚
0,58 + 0,45 + 0,16 = 1,19 𝑚
 (primeira barra cortada) 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚
0,9 + 0,45 + 0,125 = 1,51 𝑚
 (segundo barra cortada) 
 
 
 
 
 Apoio B - Lado direito 
 
𝑀𝑠1 = 60. 𝑥 −
16,62. 𝑥2
2
+ 21,6 − 64,8 = 0 
𝑥1 = 0,81𝑚 
 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚
0,81 + 0,45 + 0,16 = 1,42 𝑚
 (primeira barra 
cortada) 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚
1,31 + 0,45 + 0,125 = 1,92 𝑚
 (segundo 
barra cortada) 
 
 
𝑎𝑙 = 0,45 𝑚 ; 𝑙𝑏 = 0,538 𝑐𝑚 
 
 
 Apoio C - Lado esquerdo 
 
𝑀𝑠1 = −
18,64.𝑥2
2
+ 10 = 0 
𝑥1 = 1,04 𝑚 
 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,93 𝑚
0,64 + 0,45 + 0,10 = 1,19 𝑚
 
 
 
 
 
 Apoio C - Lado direito 
 
 
𝑀𝑠1 = −
12,85.𝑥2
2
+ 35,2. 𝑥 − 16,3 = 0 
𝑥1 = 0,51 𝑚 
 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,93 𝑚
0,51 + 0,45 + 0,10 = 1,06 𝑚
 
 
 
 Apoio D - Lado esquerdo 
 
𝑀𝑠1 = −
12,85. 𝑥2
2
− 11,2. 𝑥 + 17,7 = 0 
𝑥1 = 1,01 𝑚 
 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,93 𝑚
0,57 + 0,45 + 0,10 = 1,12 𝑚
 
 
 
 Apoio D - Lado direito 
 
𝑀𝑠1 = −
18,64. 𝑥2
2
+ 31,3. 𝑥 − 15,7 = 0 
𝑥1 = 0,61 𝑚 
 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 0,93 𝑚
0,61 + 0,45 + 0,10 = 1,16 𝑚
 
 
 
 Apoio E - Lado esquerdo 
 
𝑀𝑠1 = −33,4. 𝑥 −
16,62𝑥2
2
+ 10,5 + 21,23 = 0 
𝑥0 = 0,30 𝑚 𝑥1 = 0,79 𝑚 
 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚
0,81 + 0,45 + 0,16 = 1,42 𝑚
 (primeira barra cortada) 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚
0,81 + 0,49 + 0,45 + 0,16 = 1,91 𝑚
 (segundo barra cortada) 
 
 
 Apoio E - Lado direito 
 
𝑀𝑠1 = 80,90. 𝑥 −
16,62𝑥2
2
− 63,7 + 21,23 = 0 
𝑥0 = 0,86 𝑚 𝑥1 = 0,56 𝑚 
 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚
0,56 + 0,45 + 0,16 = 1,17 𝑚
 (primeira barra cortada) 
{
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 = 1,213 𝑚
0,86 + 0,45 + 0,16 = 1,47 𝑚
 (segundo barra cortada) 
 
22. Conclusão 
 
Em anexo ao trabalho, está o detalhamento completo da viga, com todos os cálculos 
anteriormente feitos confluídos neste arquivo, comprovando a eficiência e a precisão de um 
cálculo estrutural manual através de softwares. Também, neste anexo está incluso detalhes 
construtivos como ganchos e emendas, além da relação e resumo do aço. 
 
23. Bibliografia 
 
Material Prof. Dr. Andrés Cheung 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/Lajes.pdf 
http://www.tatu.com.br/pdf_novo/laje_ceramica_40.pdf 
NBR6118 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento. 
NBR6120 – Cargas para o cálculo de estrutura de edificações – 
Procedimento