AL 7 Autovalores e Autovetores

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Autovalores e Autovetores 
Profa. Simone 
2017/2 
1 
Autovalores e autovetores 
 Uma transformação linear x  A x pode deslocar vetores 
e muitas direções. Muitas vezes existem vetores 
especiais, para os quais a ação de A é muito simples. 
 
 
 
 
 
 
 Neste estudo, iremos procurar pelos vetores que são 
transformados por A em múltiplos escalares deles 
mesmos. 
 Fonte: Álgebra Linear com Aplicações – David C. Lay 
 
3 2 1 2
, ,
1 0 1 1
      
       
     
A u v
Autovalores e autovetores 
 Seja A uma matriz real n  n. Um escalar  é um 
autovalor de A se existe um vetor não-nulo x, tal que: 
 
 A x =  x 
 
 Tal vetor é chamado de autovetor de A associado ao 
 autovalor . 
 
 
Autovetores e Autoespaços 
 O conjunto de todos autovetores de uma matriz A 
n  n, associados a um autovalor  é um subespaço 
do , chamado autoespaço, denotado por E . n
Cálculo dos Autovalores e Autovetores 
 Conforme a definição, dada uma matriz A n  n, 
queremos determinar os escalares  e todos os 
vetores x não nulos, tais que: 
 Ax =  x 
Ax - I = 0 
 (A -  I) x = 0 
 
 Note que a equação acima representa um sistema 
de equações lineares homogêneo, para o qual 
desejamos determinar todos os valores  e todos os 
vetores x que são soluções não triviais de tal 
sistema. 
 
 
Cálculo dos Autovalores e Autovetores 
 Um sistema homogêneo possui solução única (trivial) 
se a matriz dos coeficientes tem determinante 
diferente de zero. Assim, as soluções não triviais são 
obtidas para os valores de  que satisfazem a 
chamada equação característica: 
 
 det(A - I) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo dos Autovalores e Autovetores 
 Ao expandir o determinante na equação anterior, 
obtemos um polinômio de grau n, na variável : 
 
 p() = det(A - I) = 0 
 
 Este polinômio é chamado polinômio característico 
de A e suas raízes são os autovalores da matriz. 
 
 O conjunto de autovalores de uma matriz é chamado 
espectro de A e o maior autovalor (absoluto) é dito 
raio espectral, denotado por (A). 
 
 
 
Exemplo 1. 
 a) Determinar os autovalores de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 = 2 e 2 = 8 são os autovalores de A 
 
5 3
3 5
 
  
 
A
5 3 1 0 5 3
3 5 0 1 3 5
  
     
             
A I
2det( ) 0 (5 ) 9 0      A I
Exemplo 2. (continuação) 
 b) Determinar os autovetores de A 
 Para 1 = 2 
 
 
 Escalonando-se a matriz aumentada: 
 
 
 Os autovetores correspondentes são dados por 
 
 
 que é dito autoespaço relativo ao autovalor 1 = 2 
 
 
5 2 3 0 3 3 0
3 5 2 0 3 3 0
x x
y y
           
                        
3 3 0 3 3 0
3 3 0 0 0 0
   
   
   
2
1
1
E t
 
  
 
Exemplo 2. (continuação) 
 Determinar os autovetores de A 
 Para 2 = 8 
 
 
 Escalonando-se a matriz aumentada: 
 
 
 Os autovetores correspondentes são dados por, 
 
 
 dito autoespaço relativo ao autovalor 2 = 8 
 
 
5 8 3 0 3 3 0
3 5 8 0 3 3 0
x x
y y
            
                         
3 3 0 3 3 0
3 3 0 0 0 0
    
      
8
1
1
E t
 
  
 
Exemplo 2. (geometria) 
 Uma membrana elástica, limitada por uma 
circunferência de raio 1 é deformada de maneira de 
que o vetor u é transformado 
 no vetor v = Au, onde A é a 
 matriz dada no exercício. 
 
Exercício 
 Para cada matriz dada a seguir, determine os 
autovalores e autovetores, descrevendo os 
autoespaços correspondentes. 
 
 
 
0 0 2
3 2
 1 2 1
3 2
1 0 3
1 4 2 0 1 0
3 4 0 0 0 1
3 1 3 2 5 4
 
        
  
    
     
   
       
A B
C D
Respostas 
1
3
1 2 4 3
1 2 1 2
2 1
3 4
3
41 2 3 1 2 3
1 2 1
2
: 4, 3, ,
1 1
2 1 0
: 1, 2, 1 , 0 1
1 1 0
1
: 1, 2, 3, 1 , 1 ,
1 1 1
1
: 1, 2, 1
1
E t E t
E t E t s
E t E t E t
E t
 
 
  
 


   
       
   
      
         
     
          
     
          
     
          

  

A
B
C
D
1
4
1
22,
1
E t
  
   
   
     
Representação geométrica 
14 
 Autoespaço com 2 vetores no 3
Teorema dos Zeros Racionais 
 Se uma equação polinomial 
 
 com coeficientes inteiros possui raízes racionais, na 
 forma , então p é divisor de ao e q é divisor de an . 
 
 Por exemplo, 
 
 
 
 
 
3 26 11 6 0
: 6, 3, 2, 1 : 1
: 6, 3, 2, 1
x x x
p q
p
q
   
    
   
1
1 1 0... 0
n n
n na x a x a x a

    
p q
Multiplicidade dos Autovalores 
 O número de vezes que um autovalor é raiz da 
equação característica é chamado multiplicidade 
algébrica. A dimensão do autoespaço relativo ao 
autovalor é chamada multiplicidade geométrica. 
 
 
Autovalores de uma matriz triangular 
 Os autovalores de uma 
 matriz triangular 
 (superior, inferior, diagonal) 
 
 
 são dados por: 
 
11 12 13 1
22 23 2
33 3
0
0
0 0 0
n
n
n
nn
a a a a
a a a
a a
a
 
 
 
  
 
 
  
A
11 12 13 1
22 23 2
33 3
0
det( ) 0
0 0 0
n
n
n
nn
a a a a
a a a
a a
a


 



  

A I
Autovalores de uma matriz triangular 
 O determinante 
 
 
 se anula para 
 
 
 Assim, se A é uma matriz n  n, triangular (superior, 
inferior, diagonal), então os autovalores de A são os 
valores da diagonal principal de A. 
 
 
1 11 2 22 3 33, , ,..., n nna a a a      
11 22 33det( ) ( )( )( )...( )nna a a a         A I
Determinante e Autovalores 
 Os determinante de uma matriz pode ser dado, em 
termos de seus autovalores 
 
 
 
 
 
 
 Se  = 0 é um autovalor de A então a matriz não é 
inversível e o sistema linear Ax = b não possui 
solução única. 
 
 
1 2det( ) n  A
5 3
3 5
 
  
 
A
Autovalores de uma potência de A 
 Se  é uma autovalor de A com autovetor associado 
x e se k é um inteiro positivo qualquer, então é um 
autovalor de A, com autovetor associado x . 
 
k k   Ax x A x x
Exemplo 3. 
 Os autovalores e autovetores de 
 
 são 
 
 
 
 Para temos 
 
5 3
3 5
 
  
 
A
2 8
1 1
2, 8, , 
1 1
E t E t           
   
260 252
252 260
 
  
 
A
3 3
8 512
1 1
2 8, 8 512, , 
1 1
E t E t             
   
Autovalores e Autovetores - Aplicações 
 Autovalores e autovetores são conceitos importantes em 
diferentes áreas como mecânica quântica, processamento 
de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, 
entre outras. 
 
 Em dinâmica de estruturas,na análise das vibrações que 
afetam um estrutura, os autovalores estão relacionados 
às frequências naturais de vibração e os autovetores aos 
modos de vibração (deslocamentos ou deformações que a 
estrutura sofre). 
 
 Este tipo de estudo permite que sejam projetadas 
estruturas mais resistentes às vibrações, utilizando-se 
recursos de amortecimento para evitar que a estrutura 
entre em colapso. 
 
 
 
 
Autovalores e Autovetores - Aplicações 
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 Reconhecimento facial computadorizado 
Fonte: Álgebra Linear com Aplicações (10ª ed.) – Anton e Rorres 
Exercícios 
 Livro texto: Álgebra Linear com aplicações, 10ª ed. 
 Anton & Rorres 
 Capítulo 5 – Autovalores e Autovetores 
 Seção 5.1 p.303-304 – Exercícios: 1, 7 , 8, 9, 11 e 13 
 Seção 8.4 p.466 – Exercícios: 1, 3, 5 e 10 
 
 Seção 9.3 p.496 – Serviços de busca na internet 
 Descrição do algoritmo PageRank (Google) e sua 
relação com autovalores e autovetores. 
 Sugestão de Vídeo – Essence of Linear Álgebra 
https://youtu.be/PFDu9oVAE-g (Eigenvectors and Eigenvalues) 
 
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