ANALISE REAL

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Marília Brasil Xavier 
REITORA 
 
 
Prof. Rubens Vilhena Fonseca 
COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL DIDÁTICO 
 
 
 
EDITORAÇÃO ELETRONICA 
Odivaldo Teixeira Lopes 
 
 ARTE FINAL DA CAPA 
Odivaldo Teixeira Lopes 
 
 
 
REALIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BELÉM – PARÁ – BRASIL 
- 2011 - 
 
APRESENTAÇÃO. 
 
 
A Análise Real é uma das disciplinas Matemáticas que teve seu 
desenvolvimento mais formal estabelecido como conseqüência da tentativa de 
estabelecer bases sólidas para o calculo diferencial e integral que teve seu 
grande desenvolvimento nos séculos XVII até o inicio do século XIX. 
 
 A análise é uma visão aprofundada do cálculo diferencial onde alguns dos 
resultados estudados nas disciplinas de cálculo são revisto sob uma óptica mais 
rigorosa a fim de garantir uma maior visão das possibilidades e limites das 
técnicas do cálculo diferencial e integral. 
 
Como uma das tarefas de um professor de Matemática é enunciar e 
demonstrar proposições matemáticas, aa licenciatura o papel da análise é o de 
praticar demonstrações. 
 
Portanto, nesta disciplina o enfoque a ser dado será o de praticar 
demonstrações de resultados sem, no entanto ser deixado de lado a aplicação de 
alguns resultados em situações mais ligadas as ações do cotidiano. 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
CONJUNTOS ......................................................................................................................................... 9 
RELAÇÃO DE INCLUSÃO. ...................................................................................................................... 9 
RELAÇÃO DE IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS. ..................................................................................... 10 
SUBCONJUNTOS............................................................................................................................... 10 
QUESTÕES ................................................................................................................................... 10 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS. ......................................................................................................... 11 
INTERSEÇÃO. ................................................................................................................................... 11 
QUESTÕES ................................................................................................................................... 13 
UNIÃO.............................................................................................................................................. 13 
QUESTÕES ................................................................................................................................... 14 
LIMITES. ............................................................................................................................................. 28 
O CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE. .................................................................................................... 28 
CONCEITO FORMAL. .......................................................................................................................... 30 
LIMITES INFINITOS. .......................................................................................................................... 31 
FUNÇÕES CONTÍNUAS....................................................................................................................... 32 
QUESTÕES ................................................................................................................................... 33 
DERIVADAS. ....................................................................................................................................... 35 
QUESTÕES ................................................................................................................................... 37 
SEQUENCIAS E SÉRIES. .................................................................................................................... 39 
IGUALDADE DE SEQUENCIAS. ............................................................................................................ 39 
TIPOS DE SEQUENCIAS. .................................................................................................................... 39 
OPERAÇÕES COM SEQUENCIAS. ........................................................................................................ 40 
SEQUENCIAS CONVERGENTES. .......................................................................................................... 40 
QUESTÕES ................................................................................................................................... 41 
SERIES. ................................................................................................................................................ 43 
QUESTÕES ................................................................................................................................... 45 
BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................................... 49 
 
 
 
 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
9 
CONJUNTOS 
 
INTRODUÇÃO 
 
Neste momento não faremos uma abordagem formal da teoria dos conjuntos por motivos 
diversos entre eles os objetivos do nosso curso e o tempo disponível para o mesmo. 
Nossos objetivos são apresentar as operações com conjuntos de uma forma um pouco mais 
rigorosa que as apresentações realizadas na maioria dos livros didáticos do ensino médio com 
a finalidade de fundamentar a prática pedagógica envolvendo tal assunto que é um dos 
componentes curriculares do atual ensino médio e praticar a resolução de questões 
envolvendo o referido assunto. 
 
Noções Básicas. 
A teoria dos conjuntos, assim como a Geometria Euclidiana, é uma teoria axiomática, ou seja, 
se baseia em noções que não demonstradas, que são seus axiomas. 
 
Os axiomas da Teoria dos Conjuntos são os seguintes: 
1) A noção de conjunto; 
2) A noção de elemento de um conjunto; 
3) A relação de pertinência entre elemento e conjunto. 
 
Normalmente os conjuntos são representados por letras maiúsculas e seus elementos por letras 
minúsculas de nosso alfabeto. 
 
 
NOTAÇÕES: 
Para indicar que um elemento x pertence a um conjunto A usamos a 
seguinte notação: x A. 
Para indicar que um elemento x não pertence a um conjunto A usamos a 
seguinte notação: x A. 
 
 
RELAÇÃO DE INCLUSÃO. 
 
Definição 1: Quando todos os elementos de um conjunto A são elementos de um conjunto B 
dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B. 
Para indicar que o conjunto A está contido no conjunto B usamos a seguinte notação A B. 
Para indicar que o conjunto A não está contido no conjunto B usamos a seguinte notação A B. 
 
Para se demonstrar que um conjunto A está contido em conjunto B basta mostrar que todo 
elemento de A pertence a B. Durante o desenvolvimento desta unidade esta técnica será 
muitas vezes utilizada. 
 
Propriedades da inclusão de conjuntos. 
 
1) Todo conjunto está contido si mesmo. Esta é a propriedade reflexiva da de conjuntos. A 
propriedade reflexiva da inclusão de conjuntos é expressa simbolicamente por A, A 
A. 
 
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância10 
2) Se um conjunto A está contido em um conjunto B e o conjunto B está contido em um 
conjunto C, então o conjunto A está contido no conjunto C. Esta é a propriedade transitiva 
da inclusão de conjuntos. A propriedade transitiva da inclusão de conjuntos é expressa 
simbolicamente por A, B, C, A B, B C A C. 
 
 
RELAÇÃO DE IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS. 
 
Definição 2: Dois conjuntos A e B são ditos iguais se e somente se todos os elementos de A 
são elementos de B e todos os elementos B são elementos de A, ou seja, A = B se e somente 
se A B e B A . 
A igualdade de conjuntos é expressa simbolicamente por A, B, A = B A B e B A. 
Para se demonstrar que um conjunto A é igual a um conjunto B basta mostrar que todo 
elemento de A pertence a B e que todo elemento de B pertence a A. Durante o 
desenvolvimento desta unidade esta técnica será muitas vezes utilizada. 
 
Propriedades da igualdade de conjuntos. 
 
1) Todo conjunto é igual a si mesmo. Esta é a propriedade reflexiva da igualdade de 
conjuntos. A propriedade reflexiva da igualdade de conjuntos é expressa simbolicamente 
por A, A = A. 
 
2) Se um conjunto A é igual a um conjunto B, então o conjunto B é igual ao conjunto A . 
Esta é a propriedade simétrica da igualdade de conjuntos. A propriedade simétrica da 
igualdade de conjuntos é expressa simbolicamente por A, B , A=B B = A. 
 
3) Se um conjunto A é igual a um conjunto B e o conjunto B é igual a um conjunto C, então 
o conjunto A é igual ao conjunto C. Esta é a propriedade transitiva da igualdade de 
conjuntos. A propriedade transitiva da igualdade de conjuntos é expressa simbolicamente 
por A, B, C, A= B, B = C A= C. 
 
 
SUBCONJUNTOS. 
 
Definição 3: Todo conjunto A que está contido num conjunto B é um subconjunto ou uma 
parte de B. 
QUESTÕES 
 
1- Demonstre que todo conjunto está contido si 
mesmo. 
2- Demonstre que se um conjunto A está contido 
em um conjunto B e o conjunto B está contido 
em um conjunto C, então o conjunto A está 
contido no conjunto C. 
3- Demonstre que todo conjunto é igual a si 
mesmo. 
4- Demonstre que se um conjunto A é igual a um 
conjunto B, então o conjunto B é igual ao 
conjunto A. 
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11 
5- Demonstre que se um conjunto A é igual a um 
conjunto B e o conjunto B é igual a um 
conjunto C, então o conjunto A é igual ao 
conjunto C. 
6- Demonstre que todo conjunto é subconjunto de 
si mesmo. 
 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS. 
 
Antes de iniciarmos a nossa apresentação é importante que façamos alguns 
comentários acerca da inserção dosa conjuntos na Matemática. 
Com o advento da Teoria dos Conjuntos muitos conceitos foram firmados, questões 
antigas sobre o infinito foram dirimidas e muitos resultados em diversos campos da 
Matemática foram reinterpretados a luz da nova teoria. Como conseqüência de todo esse 
movimento hoje é consenso entre a maioria dos matemáticos que em matemática tudo é 
conjunto, ou seja a estrutura ou os objetos mais gerais da Matemática são os conjuntos. 
Desse modo temos que sempre que realizamos uma operação entre dois conjuntos o 
resultado é sempre um conjunto. Agora vejamos as operações básicas entre conjuntos. 
 
 
INTERSEÇÃO. 
 
Definição 4: Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto interseção de A com B ao 
conjunto formado pelos elementos comuns entre o elementos do conjunto A e do conjunto B. 
A interseção ente dois conjuntos A e B é indicada por A B. 
 
Simbolicamente temos que A B = { x x A e x B}. 
 
Assim podemos afirmar que x A B é equivalente a x A e x B. 
 
Exemplo 1. 
Sejam os conjuntos A = { 1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6}. 
A interseção de A com B é A B = {3,4}, pois 3 e 4 são os elementos comuns entre os 
conjuntos A e B. 
 
Exemplo 2. 
Sejam os conjuntos A = {3,5,4} e B = {3,6, 2,8, 9}. 
Da comparação entre os elementos dos conjuntos A e B podemos concluir que o único 
elemento comum entre os dois conjuntos é 3. Como sempre que realizamos uma operação 
entre dois conjuntos o resultado é sempre um conjunto. Nesta situação temos um conjunto que 
possui apenas um elemento. Este conjunto é denominado conjunto unitário e é definido como 
segue. 
 
Definição 5: Chama-se de conjunto unitário a todo conjunto que possui apenas um elemento. 
 
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12 
Desse modo podemos afirmar que a interseção dos conjuntos A = {3,5,4} e B ={3,6, 2,8, 9} é 
um conjunto unitário e no caso A B ={3}. 
A definição de conjunto unitário amplia a noção de conjunto. 
 
Exemplo 3. 
Sejam os conjuntos A = {3,5,4} e B = {6, 2,8, 9}. 
Da comparação entre os elementos dos conjuntos A e B podemos concluir que não elementos 
comuns entre os dois conjuntos. Como sempre que realizamos uma operação entre dois 
conjuntos o resultado é sempre um conjunto. Nesta situação temos um conjunto que não 
possui elementos. Este conjunto é denominado conjunto vazio e definido como segue. 
 
Definição 6: Chama-se de conjunto vazio ao conjunto que não possui elementos. 
O conjunto vazio é indicado por ou por { }. 
Desse modo podemos afirmar que a interseção dos conjuntos A = {3,5,4} e B = {6, 2,8, 9} é o 
conjunto vazio, ou seja, A B = . 
Um equívoco comum é se representar o conjunto vazio por { }, que na verdade é um 
conjunto unitário. 
A definição de conjunto vazio amplia mais ainda a noção de conjunto. 
O conjunto vazio na Teoria dos Conjuntos tem papel análogo ao zero na Aritmética. 
 
Um resultado interessante envolvendo conjunto vazio é o seguinte: O conjunto vazio está 
contido em todo conjunto. 
 
Vejamos agora a definição de um outro conjunto um tanto especial, o conjunto universo. 
 
Definição 7: Chama-se de conjunto universo de uma teoria o conjunto de todos os entes que 
são considerados como elementos nessa teoria. Normalmente o conjunto universo é indicado 
pela letra U. 
 
Na Aritmética o conjunto universo é conjunto de todos os números inteiros. 
Na Geometria o conjunto universo é o conjunto de todos os pontos do espaço em estudo. 
 
 
Vejamos agora algumas propriedades da interseção de conjuntos. 
 
1) A interseção de um conjunto consigo mesmo é o próprio conjunto. 
2) A interseção de conjuntos é comutativa. 
3) A interseção de conjuntos é associativa. 
4) A interseção de dois conjuntos está contida em cada um dos conjuntos. 
5) Um conjunto está contido em outro se e somente se a interseção de ambos coincide com o 
primeiro conjunto. 
6) Um conjunto está contido em dois outros conjuntos se e somente se está contido na 
interseção de ambos. 
7) Se um conjunto está contido num outro, então a interseção do primeiro com um terceiro 
conjunto está contida na interseção do segundo com o terceiro conjunto. 
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8) A interseção de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto vazio. 
9) A interseção de qualquer conjunto com o conjunto universo é o conjunto. 
 
QUESTÕES 
1- Demonstre que o conjunto vazio está contido 
em todo conjunto. 
2- Demonstre que a interseção de um conjunto 
consigo mesmo é o próprio conjunto. 
3- Demonstre que a interseção de conjuntos é 
associativa. 
4- Demonstre que a interseção de dois conjuntos 
está contida em cada um dos conjuntos. 
5- Demonstre que um conjunto está contido em 
outro se e somente se a interseção de ambos 
coincide com o primeiro conjunto. 
6- Demonstre que um conjunto está contido em 
dois outros conjuntos se e somente se estácontido na interseção de ambos. 
7- Demonstre que se um conjunto está contido 
num outro, então a interseção do primeiro com 
um terceiro conjunto está contida na interseção 
do segundo com o terceiro conjunto. 
8- Demonstre que a interseção de qualquer 
conjunto com o conjunto vazio é o conjunto 
vazio. 
9- Demonstre que a interseção de qualquer 
conjunto com o conjunto universo é o conjunto 
universo. 
10- Demonstre que se A B e C D, então A 
C B D. 
 
 
 
UNIÃO. 
 
Definição 8: Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto união ou reunião de A com B 
ao conjunto formado pelos elementos que pertencem ao do conjunto A ou pertencem ao 
conjunto B. 
A união entre dois conjuntos A e B é indicada por A B. 
Simbolicamente temos que A B = { x x A ou x B}. 
Assim podemos afirmar que x A B é equivalente a x A ou x B. 
 
Exemplo 4. 
Sejam os conjuntos A = { 1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6}. 
A união de A com B é A B = {1,2,3,4,5,6}, pois os elementos 1,2,3, e 4 pertencem ao 
conjunto A e os elementos 3,4,5 e 6 pertencem ao conjunto B. 
 
Vejamos agora algumas propriedades da união de conjuntos. 
 
1) A união de um conjunto consigo mesmo é o próprio conjunto. 
2) A união de conjuntos é comutativa. 
3) A união de conjuntos é associativa. 
4) A união de dois conjuntos contem cada um dos conjuntos. 
 
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5) Um conjunto está contido num outro conjunto se e somente se a união de ambos coincide 
com o segundo conjunto. 
6) Dois conjuntos estão contidos num terceiro se e somente se a união dos dois primeiros 
estiver contida no terceiro. 
7) A união de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto. 
8) A união de qualquer conjunto com o conjunto universo é o conjunto universo. 
9) A união de conjuntos é distributiva em relação à interseção. 
10) A interseção de conjuntos é distributiva em relação à união de conjuntos. 
11) Se um conjunto está contido num outro, então a união do primeiro com o terceiro 
conjunto está contida na reunião do segundo com o terceiro. 
 
QUESTÕES 
 
1) Demonstre que a união de um conjunto 
consigo mesmo é o próprio conjunto. 
2) Demonstre que a união de conjuntos é 
comutativa. 
3) Demonstre que a união de conjuntos é 
associativa. 
4) Demonstre que a união de dois conjuntos 
contém cada um dos conjuntos. 
5) Demonstre que um conjunto está contido num 
outro conjunto se e somente se a união de 
ambos coincide com o segundo conjunto. 
6) Demonstre que dois conjuntos estão contidos 
num terceiro se e somente se a união dos dois 
primeiros estiver contida no terceiro. 
7) Demonstre que a união de qualquer conjunto 
com o conjunto vazio é o conjunto. 
8) Demonstre que a união de qualquer conjunto 
com o conjunto universo é o conjunto 
universo. 
9) Demonstre que a união de conjuntos é 
distributiva em relação à interseção. 
12) Demonstre que a interseção de conjuntos é 
distributiva em relação à união de conjuntos. 
13) Demonstre que se um conjunto está contido 
num outro, então a união do primeiro com o 
terceiro conjunto está contida na reunião do 
segundo com o terceiro. 
 
 
DIFERENÇA DE CONJUNTOS. 
 
Definição 9: Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto diferença entre A e B ao 
conjunto formado pelos elementos que pertencem ao do conjunto A e não pertencem ao 
conjunto B. 
A diferença entre os conjuntos A e B é indicada por A - B. 
Simbolicamente temos que A - B = { x x A e x B}. 
Assim podemos afirmar que x A - B é equivalente a x A e x B. 
Da definição de diferença entre conjuntos é fácil notar que A- B é diferente de B- A. 
 
 
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Exemplo 5. 
Sejam os conjuntos A = { 1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6}. 
A diferença entre A e B é A - B = {1,2,}, pois os elementos 1 e 2 pertencem ao conjunto A e 
não pertencem ao conjunto B. 
 
Exemplo 6. 
Sejam os conjuntos A = { 1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6}. 
A diferença entre A e B é B - A = {5,6}, pois os elementos 5 e 6 pertencem ao conjunto B e 
não pertencem ao conjunto A. 
 
Definição 10: Se A está contido em B dizemos que B-A é o complementar de A em relação à B. 
O complementar de A em relação à B é indicado por 
B
A
C
 
 
Exemplo 7. 
Sejam os conjuntos A = {3,4} e B = { 3,4,5,6,8}. 
O complementar de A em relação à B é 
B
A
C
= B – A = {5,6, 8}. 
O complementar de um conjunto A em relação ao conjunto universo é indicado por U`. 
 
Vejamos agora algumas propriedades da diferença de conjuntos. 
 
1) A diferença de um conjunto consigo mesmo é o conjunto vazio. 
2) A união de um conjunto com seu complementar em relação ao conjunto universo é o 
conjunto universo. 
3) A interseção de um conjunto e seu complementar em relação ao conjunto universo é o 
conjunto vazio. 
4) O complementar em relação ao conjunto universo da interseção de dois conjuntos é a 
união de complementares de cada conjunto em relação ao conjunto universo. 
5) O complementar em relação ao conjunto universo da união de dois conjuntos é a 
interseção de complementares de cada conjunto em relação ao conjunto universo. 
6) Dois conjuntos estão contidos num terceiro se e somente se a união dos dois primeiros 
estiver contida no terceiro. 
7) A diferença entre qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto. 
8) A diferença entre o conjunto vazio e qualquer o conjunto universo é o conjunto vazio. 
9) A diferença entre um conjunto e o conjunto universo é o conjunto vazio. 
10) A diferença entre o conjunto universo e qualquer conjunto é o complementar do conjunto 
em relação ao conjunto universo. 
11) A diferença entre o conjunto qualquer conjunto complementar desse conjunto em relação 
ao conjunto universo é igual ao próprio conjunto. 
 
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 QUESTÕES 
 
1) Demonstre que a diferença de um conjunto 
consigo mesmo é o conjunto vazio. 
2) Demonstre que a união de um conjunto com 
seu complementar em relação ao conjunto 
universo é o conjunto universo. 
3) Demonstre que a interseção de um conjunto e 
seu complementar em relação ao conjunto 
universo é o conjunto vazio. 
4) Demonstre que o complementar em relação ao 
conjunto universo da interseção de dois 
conjuntos é a união de complementares de 
cada conjunto em relação ao conjunto 
universo. 
5) Demonstre que o complementar em relação ao 
conjunto universo da união de dois conjuntos 
é a interseção de complementares de cada 
conjunto em relação ao conjunto universo. 
6) Demonstre que dois conjuntos estão contidos 
num terceiro se e somente se a união dos dois 
primeiros estiver contida no terceiro. 
7) Demonstre que a diferença entre qualquer 
conjunto com o conjunto vazio é o conjunto. 
8) Demonstre que a diferença entre o conjunto 
vazio e qualquer o conjunto universo é o 
conjunto vazio. 
9) Demonstre que a diferença entre um conjunto 
e o conjunto universo é o conjunto vazio. 
10) Demonstre que a diferença entre o conjunto 
universo e qualquer conjunto é o 
complementar do conjunto em relação ao 
conjunto universo. 
11) Demonstre que a diferença entre o conjunto 
qualquer conjunto complementar desse 
conjunto em relação ao conjunto universo é 
igual ao próprio conjunto. 
12) Demonstre que (A –B)` = A` B. 
13) Demonstre que A –B = B`- A`. 
 
 
DIFERENÇA SIMÉTRICA. 
 
Definição 11: Dados dois conjuntosA e B chama-se de conjunto diferença simétrica entre A 
e B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem ao do conjunto união de A com B e 
não pertencem ao conjunto interseção de A com B. 
A diferença entre os conjuntos A e B é indicada por A B. 
Simbolicamente temos que A B = { x x A B e x A B}. 
Assim podemos afirmar que x A B é equivalente a x A B e x A B. 
 
Exemplo 8. 
Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6,8}. 
A diferença simétrica entre A e B é A B = { 1,2,5,6,8}.Pois, A B= {1,2,3,4,5,6,8}, 
 A B = { 3,4}e (A B) –(A B)= { 1,2,5,6,8}. 
 
Vejamos agora algumas propriedades da diferença simétrica entre dois conjuntos. 
 
1) A diferença simétrica entre um conjunto e o conjunto vazio é o próprio conjunto. 
2) A diferença simétrica entre um conjunto e o conjunto universo é o complementar do 
conjunto em relação ao conjunto universo. 
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3) A diferença simétrica entre um conjunto e o conjunto e o seu complementar em relação 
ao conjunto universo é igual ao próprio conjunto. 
4) A diferença simétrica entre um conjunto e ele próprio é o conjunto vazio. 
5) A diferença simétrica é comutativa. 
6) A diferença simétrica é associativa. 
7) A interseção é distributiva na diferença simétrica. 
 
QUESTÕES COMPLEMENTARES. 
 
01 – Uma sala possui 40 alunos, dos quais 
30 estudam Álgebra, 13 estudam 
Biologia e 10 estudam 
simultaneamente Álgebra e Biologia. 
Quantos, dentre os alunos 
considerados, não estudam pelo 
menos uma das duas matérias? 
02 – Num escritório trabalham 27 
secretárias, das quais 10 sabem 
datilografia, 08 sabem estenografia, 
sendo que 05 são estenodatilógrafas. 
Quantas secretárias não são nem 
datilografas nem estenografas? 
03 – Numa escola com 250 alunos, 60 
estudam Matemática, 70 estudam 
Física, 80 estudam Química, 15 
estudam Matemática e Física, 25 
Física e Química, 30 Matemática e 
Química e 10 estudam as três 
matérias. 
Quantos alunos não estudam pelo 
menos uma das três disciplinas? 
04 – Em uma cidade onde circulam três 
jornais existem 6.000 famílias; 3.200 
assinam A Gazeta, 3.100 assinam a 
Folha, 3.400 assinam O Diário, 
enquanto que 1.600 assinam A 
Gazeta e A Folha, 2.000 assinam O 
Diário e A Folha, 1.800 assinam O 
Diário e A Gazeta, sendo que 850 
famílias assinam os três jornais. 
Pergunta-se: 
a) quantas famílias não assinam 
jornais? 
b) quantas famílias assinam os dois e 
só dois jornais? 
c) quantas famílias assinam um e 
somente um jornal? 
 
05 – Numa pesquisa aplicada a 1.400 
famílias, em relação à audiência de 
programas de televisão, encontraram-
se os seguintes resultados: 
800 famílias assistem ao programa X 
250 famílias assistem ao programa Y 
420 famílias assistem ao programa Z 
120 famílias assistem aos programas 
X e Y 
 40 famílias assistem aos programas 
Y e Z 
 18 famílias assistem aos programas 
X e Z 
 8 famílias assistem aos programas 
X, Y e Z 
 
a) quantas famílias não assistem a 
esses programas? 
b) quantas assistem a pelo menos um 
dos programas? 
c) quantas assistem a um e somente 
um programa? 
d) quantas assistem a pelo menos 
dois programas? 
e) quantas assistem a dois e só dois 
programas? 
 
06 – Num grupo de motoristas há 28 que 
dirigem carro, 12 que dirigem moto e 
 
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18 
8 que dirigem carros e moto. 
Quantos motoristas há nesse grupo? 
Quantos só dirigem carro? 
 
07 – Numa classe de 36 alunos temos: 19 
jogam futebol, 25 jogam vôlei, 13 
jogam basquete, 
12 jogam futebol e vôlei, 8 jogam 
vôlei e basquete, 8 jogam futebol e 
basquete e 4 praticam os três 
esportes. 
 
 
Determine: 
a) quantos alunos da classe não 
praticam estes esportes? 
b) quantos praticam exatamente um 
destes esportes? 
c) quantos praticam exatamente dois 
desses esportes? 
 
08 – Um conjunto A tem 13 elementos, A 
 B tem 8 elementos e A B tem 
15 elementos. Quantos elementos 
tem B? 
 
09 – Num grupo de 22 aniversários há 8 
que cursam Engenharia, 10 que 
cursam Administração e 3 que 
cursam Engenharia e Administração. 
Quantos não estão cursando 
Engenharia nem Administração? 
 
10 – Num avião encontravam-se 122 
passageiros dos quais 96 eram 
brasileiros, 64 homens, 47 fumantes, 
51 homens brasileiros, 25 homens 
fumantes, 36 brasileiros fumantes e 
20 homens brasileiros fumantes. 
Calcule: 
a) o número de mulheres brasileiras 
fumantes; 
b) número de homens fumantes não 
brasileiros; 
c) número de mulheres fumantes. 
 
11 – Os 36 alunos de uma classe fizeram 
uma prova de 3 questões. Sabendo 
que 4 erraram todas as questões, 5 só 
acertaram a primeira questão , 6 só 
acertaram a segunda, 7 só acertaram 
a terceira, 9 acertaram a primeira e a 
segunda, 10 acertaram a primeira e a 
terceira e 7 acertaram a segunda e a 
terceira, determine quantos acertaram 
as três questões. 
 
12 – Feito exame de sangue em um grupo 
de 200 pessoas, constatou-se o 
seguinte: 80 delas têm sangue com 
fator Rh negativo, 65 têm sangue 
tipo O e 25 têm sangue tipo O com 
fator Rh negativo. O número de 
pessoas com sangue de tipo diferente 
de O e com fator Rh positivo é: 
a) 40 
b) 65 
c) 80 
d) 120 
e) 135 
 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. 
 
Quando os conjuntos numéricos são estudados nos níveis fundamental e médio temos 
a impressão que os mesmos foram criados na seguinte ordem: naturais, relativos, racionais , 
irracionais, reais e complexos. 
Entretanto, a realidade é outra. Os números não foram sendo criados nessa ordem e 
sim foram surgindo a medida que o homem buscou resolver situações de cunho cotidiano, 
comercial ou tecnológico. 
Na idade media já se usava os números complexos e o conceito de número real não 
existia. Infelizmente essa discussão não é o objetivo dessa disciplina. 
Os números reais foram construídos como conseqüência do movimento denominado 
Aritmização da Análise da necessidade que os matemáticos do século XIX sentiram de 
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19 
fundamentar o calculo diferencial e integral em bases mais sólidas que a Geometria como até 
então havia sido. 
Como conseqüência da Aritmização da Análise surgiram varias construções formais 
do conjunto dos números reais e também o resultado que garante que o referido conjunto é um 
corpo ordenado completo, ou seja, o conjunto dos números reais satisfaz as seguintes 
propriedades: 
 
A1) A adição de reais é comutativa, ( a + b = b + a , a, b R) ; 
A2) A adição de reais é associativa, ((a+b) + c = a + (b +c) , a, b, c R) ; 
A3) A adição de reais possui um elemento neutro, ( 0 + a = a + 0 = a, a R) ; 
A4) A adição de reais possui elemento simétrico; 
M1) A multiplicação de reais é comutativa, ( a. b = b.a , a, b R); 
M2) A multiplicação de reais é associativa, ( (a.b).c = a.(b.c), a, b, c R); 
M3) A multiplicação de reais possui um elemento neutro, (1.a = a.1 = a, a R); 
M4) Todo elemento real diferente de zero possui um inverso multiplicativo; 
D) A multiplicação de reais é distributiva à adição.(a.(b +c) = a.b + a .c, a, b, c R). 
 
Que permitem junto com a relação de ordem natural e o axioma do completamento do 
conjunto dos números reais fundamentar a analise matemática em bases sólidas. 
 
Vejamos agora alguns resultadosimportantes acerca do conjunto dos números reais. 
 
Definição 12: Dado um número real x chamamos de módulo ou valor absoluto de x ao 
número 
 
 
 
Proposição 1: Para todo x e y pertencente a R vale. 
a) 
xx
; 
b) 
;.. yxyx
 
c) Se c 0, então 
x
 c se e somente se –c x c; 
d) 
y
x
y
x ; 
e) 
;yxyx
 
f) 
xyyx
. 
 
 
 
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20 
 
QUESTÕES 
 
1. Demonstre que para todo x e y pertencentes a 
R vale. 
 
a) 
xx
; 
b) 
;.. yxyx
 
c) Se c 0, então 
x
 c se e somente se –c 
x c; 
d) 
y
x
y
x
; 
e) 
;yxyx
 
f) 
xyyx
. 
 
 
2. Sabendo que um conjunto X R é 
denominado denso em R quando para todo par 
de reais a e b com a menor que b é possível 
encontrar x X tal que a x b. Demonstre 
que: 
O conjunto dos números inteiros não é denso em R. 
O conjunto dos números racionais é denso em R. 
O conjunto dos números irracionais é denso em R. 
 
3. Demonstre que a adição de dois números 
racionais é um numero racional. 
 
4. Demonstre que o produto de dois números 
racionais é um numero racional. 
 
5. Demonstre que a adição de um número 
racional com um número irracional é um 
número irracional. 
 
6. Demonstre que o produto de um número 
racional por um número irracional é um 
número irracional. 
 
7. Demonstre que a adição de dois números 
irracionais nem sempre é um numero 
irracional. 
 
8. Demonstre que a raiz quadrada de 2 é 
irracional. 
 
9. Demonstre que o produto de dois números 
irracionais nem sempre é um numero 
irracional. 
 
10. Demonstre que a raiz quadrada de dois é um 
numero irracional. 
 
11. Demonstre que 0,9999999...... = 1. 
 
12. Demonstre que 0, a1a2.....ara1a2.....ar ..... = 
110
.....aaa
r
r21
 
 
13. Demonstre que b,c1c2c3.....cs 
a1a2.....ara1a2.....ar ..... =
s
scc
1010
.....bc -.....aaa .....cccbc
sr
21r21s321
 
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21 
FUNÇÕES REAIS. 
 
 
O conceito de função sofreu muitas modificações ao longo do tempo. Hoje ele é um conceito 
central no edifício do conhecimento matemático. Agora veremos alguns conceitos e 
resultados importantes acerca das funções definidas no conjunto dos números reais. 
 
Definição1: Uma função f é dita real se seu domínio é o conjunto dos números reais ou um 
subconjunto dele e seu contradomínio é o conjunto dos números reais. 
 
Exemplo 1: A função f : R R com f(x) = 2x +1 é uma função real. 
 
Exemplo 2: A função f : N R com f(x) = x +1 é uma função real. 
 
Exemplo 3: A função f : R+ R com f(x) = x
2 
+ 2x +1 é uma função real. 
 
Exemplo 4: A função f : R R com f(x) = e
x
 é uma função real. 
 
 
FUNÇÕES ESPECIAIS. 
 
 FUNÇÃO CONSTANTE. 
 
Definição 2: Sejam A e B dois conjuntos e b B. Chamamos de função constante de A em B 
a toda função f:A B tal que f(x) = b, x A. 
 
IDENTIDADE. 
 
Definição 3: Seja a um conjunto. Chamamos de função identidade de A à função f:A B tal 
que f(x) = x, x A. 
 
 FUNÇÃO ESCADA. 
 
Definição 4: Chamamos de função escada a toda função f:A R em que o domínio A é a 
reunião de intervalos sendo f em cada intervalo constante. 
 
 FUNÇÃO CARACTERÍSTICA. 
 
Definição 5: Sejam A um conjunto e X um subconjunto de A . Chamamos função 
característica de X em A a função KX: A { 0,1} dada por 
 
 
 
 FUNÇÃO SINAL. 
Definição 6: Chamamos de função sinal a função sgn: R Z definida por 
 
 
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22 
 
 
TIPOS DE FUNÇÕES. 
 
 FUNÇÃO INJETORA. 
 
Definição 7: Uma função f é dita injetora se e somente se para todo x 1 x2 vale 
f (x1) f (x2) 
Para demonstrar que uma função f é injetora costuma -se mostrar que se f (a) = 
f (b) então a = b. 
 
Exemplo: A função f : R R com f(x) = 2x +1 é injetora pois, se f(a) = f(b) então 2a +1= 2b 
+1. Logo, a = b. O que garante a injetividade de f. 
 
 FUNÇÃO SOBREJETORA. 
 
Definição 8: Uma função f é dita sobrejetora se e somente se para todo y pertencente a R 
existe um x tal que f(x) = y. 
Ou seja, uma função f é sobrejetora quando o seu conjunto imagem coincide com seu contra-
domínio. 
Para demonstrar que uma função é sobrejetora costuma-se mostrar que dado y pertencente aos 
reais existe um x pertencente aos reais tal que y é imagem de x pela função. 
 
Exemplo: f : R R com f(x) = 3x –4 é sobrejetora pois, para todo y R a equação 3 x - 4 = 
y tem como solução x = 
3
4y
 R e f (x) = y. 
 
 FUNÇÃO BIJETORA. 
 
Definição 9: Uma função f é dita sobrejetora se e somente se f é injetora e sobrejetora. 
 
Exemplo: 
A função f : R R com f(x) = 3x –5 é injetora. 
De fato, se f(a) = f(b) então 3a –5 = 3b –5 o que implica em a =b. Logo, f é injetora. 
Seja y R, então a equação 3x –5 = y tem como solução x = 
3
5y
e f(x) = y.Logo, f é 
sobrejetora. 
Portanto, f é bijetora. 
 
 FUNÇÃO PERIÓDICA. 
 
Definição 10: Uma função real f é dita periódica se e somente se existir um número real 
positivo p tal que f(x) = f( x + p) para todo x R. 
 
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23 
Exemplo: 
A função f :R R com f(x) = senx é periódica pois senx = sen( x +2 ) para todo x R. 
 
 FUNÇÃO PAR. 
 
Definição 11: Uma função real f é dita par se e somente se f(x) = f( -x) para todo x R. 
 
Exemplo: A função f :R R dada por f(x) = 
22 xx
 é par pois, 
f(-x)=
22 xx )2)(1()2)(1( xx
=
22 xx
=f(x) 
 
 FUNÇÃO IMPAR. 
 
Definição 12: Uma função real f é dita par se e somente se f(-x) = -f( x) para todo x R. 
 
Exemplo: A função f :R
*
 R dada por f(x) = 
21
2
x
x
é impar pois, 
f(-x) = 
22 1
2
)(1
)(2
x
x
x
x
 = - f(x). 
 
 FUNÇÕES MONÓTONAS. 
 
Definição 13: Seja f uma função real e I um intervalo de R contido no domino de f. dizemos 
que f é uma função monótona em I se a mesma preserva o seu comportamento em I. 
Uma função monótona pode ser 
a) crescente em I se e somente se: x1,x2 I , se x1 x2 então f(x1 ) f(x2). 
b) decrescente em I se e somente se: x1,x2 I , se x1 x2 então f(x1 ) f(x2). 
c) estritamente crescente em I se e somente se: x1,x2 I , se x1 x2 então f(x1 ) f(x2). 
d) estritamente decrescente em I se e somente se: x1,x2 I , se x1 x2 então f(x1 ) f(x2). 
e) constante em I se e somente se: x1,x2 I , f(x1 ) = f(x2). 
 
 
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES. 
 
 ADIÇÃO DE FUNÇÕES: 
 
Definição14: Dadas duas funções f: A R e G: A R com A R chamamos de adição de 
f e g a função f+g: R R dada por (f+g)(x) = f(x) + g(x). 
 
Proposição1: A adição de funções é comutativa. 
Proposição2: A adição de funções é associativa. 
 
 MULTIPLICAÇÃO DE FUNÇÃO POR UM ESCALAR: 
 
Definição 15: Dada uma função f: A R e R com A R chamamos de multiplicação de 
f por a função ( f): R R dada por ( f)(x) = f(x). 
 
 
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24 
Proposição 3: Seja f uma função real, , R então ( + )f= ( f)+( f). 
Proposição 4: Seja f uma função real, , R então ( . )f= ( ( f)). 
 
 PRODUTO DE FUNÇÕES: 
 
Definição 16: Dadas duas funções f: A R e G: A R com A R chamamos de produto de 
fe g a função (f.g): R R dada por (f.g)(x) = f(x) . g(x). 
 
Proposição 5: O produto de funções é comutativo. 
Proposição 6: O produto de funções é associativo. 
Proposição 7: O produto de funções é distributivo na adição de funções. 
 
 COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES: 
 
Definição 17: Dadas duas funções f: A R e G: R R chamamos de composição de f com 
g a função (g f): A R dada por (g f)(x) = g[f(x)]. 
 
Proposição 8: A composição de funções é associativa. 
Proposição 9: A composição de funções sobrejetoras é sobrejetora. 
Proposição10: A composição de funções injetoras é injetora. 
Proposição11: A composição de funções bijetoras é bijetora. 
 
 
FUNÇÕES INVERSÍVEIS. 
 
Definição18: Uma função f: A R com A R é dita inversível se existir uma função g: R 
 A tal que (g f)(x) = x e (f g)(x) = x. A função g é indicada por f 
–1
. As funções f e f 
–1
 são 
ditas inversas. 
 
Proposição12: Uma função f: A B é inversivel se e somente se f é bijetora. 
Proposição 13: Se as funções f: A B e g: B C são inversíveis então g f:A C também é 
inversivel e (g f)
-1
 = f
-1
g
-1
. 
 
 
 CONJUNTOS EQUIPOTENTES. 
 
Definição19: Dois conjuntos A e B tem a mesma potência se existir uma bijeção entre eles. 
A notação para indicar que o conjunto A é equipotente ao conjunto B é a seguinte: A ~ B. 
Com base na definição de potencia de conjuntos é fácil mostrar que a relação de equipotencia 
tem as seguintes propriedades: 
 
1- Para todo conjunto A, A ~A (propriedade reflexiva); 
2- Se A~B, então B ~ A (propriedade simétrica); 
3- Se A~ B e B ~ C, então A ~ C (propriedade transitiva). 
 
Definição 20: Dizemos que todo conjunto equipotente ao conjunto dos números naturais é 
um conjunto enumerável. 
 
Vejamos alguns exemplos de conjuntos enumeráveis. 
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25 
Exemplo 1: O conjunto dos números pares é enumerável. 
Pois, a função f: N Pares, dada por f(n)= 2n é bijetora. 
 
Exemplo 2: O conjunto Z dos números relativos é enumerável. 
De fato, a função f: N Z dada por , se n é ímpar , se n é par é bijetora. O que 
mostra que N e Z são equipotentes. 
 
Definição 21: Dois conjuntos A e B são eqüipolentes se e somente se existe uma função f 
bijetora entre A e B. 
 
Proposição 14: Todo intervalo [ a, b] com b a é eqüipolente ao intervalo [0, 1] . 
 
Demonstração: Para mostrar que [0, 1] é equipotente ao intervalo [a, b] é necessário exibir 
uma função bijetora entre os dois intervalos. 
 
Como a função f : [0, 1] [ a, b],dada por f(x) = a + ( b – a )x 
é uma função do primeiro grau,para todo a,b R e toda função do primeiro grau é bijetora. 
Logo, podemos afirmar que [0,1] é equipotente a qualquer intervalo [a, b] com a b. 
 
Proposição 15: Todo intervalo [ a, b[ com b a é eqüipolente ao intervalo [0, 1[. 
Proposição 16: Todo intervalo ] a, b] com b a é eqüipolente ao intervalo ]0, 1] . 
Proposição 17: Todo intervalo ] a, b[ com b a é eqüipolente ao intervalo ]0, 1[ . 
Prosposição 18: Os intervalos [0,1] e ] 0, 1[ são equipotentes. 
 
Demonstração: 
 
Seja o conjunto A = [0,1] – {0, 1, ½, 1/3, .....},então podemos concluir que: [0,1] = {0, 1, ½, 
1/3, .....} A. 
Como o conjunto A também pode ser definido como sendo A = ]0,1[ -{½, 1/3, ¼, .....}, então 
podemos concluir que: ]0,1[ = {½, 1/3, ¼, .....} A. 
 
Agora consideremos a seguinte função f :[0,1] ]0,1[ definida pelo seguinte diagrama. 
 
 
 
Analisando o diagrama acima podemos expressar a função f da seguinte maneira: 
f: [0,1] ]0,1[ 
 
 
 
{0, 1, ½, 1/3, .....} A 
iA 
{½, 1/3, ¼, 1/5 .....} A 
 
 
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26 
Como f é uma função bijetora de [0,1] em ]0,1[ , podemos concluir que os intervalos [0,1] 
e ]0,1[ são equipotentes. 
 
Proposição 19 Os intervalos [0,1] e [0,1[são equipotentes. 
Proposição 20 Os intervalos [0,1] e ]0,1] são equipotentes. 
Proposição 21 Todos os intervalos são equipotentes. 
 
Demonstração: 
 
Como: [0,1] ~ [a, b] pela proposição 14; 
 [0,1[ ~ [a, b[ pela proposição 15; 
 ]0,1[ ~ ]a, b[ pela proposição 16; 
]0,1] ~ ]a, b[ pela proposição 17; 
[0,1] ~ [0, 1[ ~ ]0, 1[ ~ ]0, 1] pelas proposições 18, 19 e 20 e pela transitividade da 
relação de equipotencia. 
 
Então, pela transitividade da equipotencia podemos afirmar que [a, b] ~ [a, b[~ ]a, b[~ ]a, b[ 
para todo a b . 
 
Logo, todos os intervalos são equipotentes. 
 
Proposição 22 Todo intervalo é equipotente ao conjunto dos números reais. 
 
Demonstração: 
 
Como todos os intervalos são equipotentes, para mostrar que todo que todo intervalo é 
equipotente ao conjunto R dos números reais basta que seja exibida uma bijeção entre R e um 
intervalo. 
Como a função f: R ] –1 , 1[ dada por f(x) = arctg x, 
cujo gráfico que está esboçado abaixo deixa claro que a função é uma bijeção de R em ]–1,1[, 
então R é equipotente ao intervalo ]–1,1[. 
 
Teorema 1(Teorema de Cantor): O conjunto dos números reais é não-enumerável. 
 
Demonstração: 
 
Como R ~ [0, 1] , mostraremos que [0 , 1] não é enumerável. 
Suponhamos que [0 , 1] seja enumerável. Então, [0, 1] pode ser escrito da seguinte forma: 
[0, 1] = { x1, x2, x3, .... xn...}. 
 
Escrevendo x1, x2,..., xn, ... sob a forma decimal, com um número ilimitado de algarismos, 
obtemos a seguinte tabela: 
 
x1 = 0,a11 a12 a13.....a1n... 
x2 = 0, a21a22 a23......a2n... 
x3 = 0 ,a31 a32 a33......a3n..... 
........................................................... 
............................................................ 
............................................................. 
xn = 0,an1an2an3....... ann , onde aij {0 , 1, 2, ..., 9}. 
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27 
Agora seja y [0, 1] dado por y = 0 ,b1 b2 b3.....bn......., onde 
 
 
 
É fácil notar que y não consta da tabela acima. Logo [0,1] é não enumerável. 
Como [0, 1] é equipotente a R, temos que R é não enumerável. 
 
 
QUESTÕES 
 
1- Demonstre que duas circunferências de raios 
distintos tem a mesma quantidade de pontos. 
 
 
 
2- Demonstre que os intervalos [0,1] e [0,1[são 
equipotentes. 
 
 
 
3- Demonstre que os intervalos [0,1] e ]0,1] são 
equipotentes. 
 
 
 
4- Sejam A e B conjuntos finitos com m e n 
elementos, respectivamente. Demonstrar: 
(1) Se f : A B é um função injetora, então 
m n. 
(2) Se f: A B é uma função sobrejetora, 
então m n. 
(3) Se f : A B é uma função bijetora, então 
m = n. 
 
 
 
5- A função numérica f, definida em R, é 
crescente em R. Mostrar que a função numérica 
g definida por g(x) = f(2x – 3) é crescente em 
R. 
 
 
 
6- Seja f uma função numérica periódica a de 
período 2 . Mostrar que a função numérica g 
definida por g(x) = f( 
3
x
) é periódica. 
 
 
 
7- A função numérica f : [- 1, 1] é par. Mostrar 
que f não é bijetora. 
8- Mostrar que a função f : R R + tal que f(x) = 
x + x é sobrejetora 
 
 
 
9- Mostrar que a função f : Z+ Z+ assim 
definida: é 
sobrejetora e não é injetora. 
 
 
 
10- Mostrar que a função f : Z N definida por 
f(x) = x
2 
 + 1 não é injetora nem sobrejetora. 
 
 
 
11- Seja a função f : Z+ x Z+ Z+ definida por 
f(x, y) = x + y + 3. Determinar se a função f é : 
(a) injetora ; (b) sobrejetora. 
 
 
 
12- Sejaa função f :Z R definida por f(x) = 2x2 - 
x + 6. Determinar se a função f é: (a) injetora ; 
(b) sobrejetora. 
 
 
 
13- Mostrar que a função f : R – {2} R – {1} 
definida por f(x) = x/(x – 2) é bijetora. 
 
 
 
14- Mostrar que a função f : ] – 1, 1 [ R 
definida por f (x) = 
 x - 1
x
 . 
 
 
 
 
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28 
LIMITES. 
 
 
A idéia de limite de uma função pode ser considerada de maneira intuitiva e de 
maneira formal, ambas são importantes para a compreensão desse conceito. 
Iniciaremos pelo conceito intuitivo e em seguida apresentaremos o conceito formal. 
 
 
O CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE. 
 
 
 
O gráfico abaixo representa uma função. Observe-o um pouco. 
 
 
 
A observação do gráfico acima permite afirmar que: 
 Quando tomamos valores de x bem próximos de 1 pela direita a imagem da função tem 
valores bem próximos de 3; 
 Quando tomamos valores de x bem próximos de 1 pela esquerda a imagem da função tem 
valores bem próximos de 3; 
 Quando tomamos valores de x próximos bem de 4 pela direita a imagem da função tem 
valores bem próximos de -1 ; 
 Quando tomamos valores de x próximos bem de 4 pela esquerda a imagem da função tem 
valores bem próximos de 4; 
 Quando tomamos valores de x bem próximos de 5 pela direita a imagem da função tem 
valores bem próximos de 3,5; 
 Quando tomamos valores de x próximos bem de 5 pela esquerda a imagem da função tem 
valores próximos bem de -1; 
 Quando tomamos valores de x próximos bem de 0 pela direita a imagem da função 
decresce infinitamente; 
 Quando tomamos valores de x próximos bem de 0 pela esquerda a imagem da cresce 
indefinidamente; 
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29 
 Quando tomamos valores de x bem próximos de -2 pela direita a imagem da função tem 
valores bem próximos de -3; 
 Quando tomamos valores de x bem próximos de -2 pela esquerda a imagem da função tem 
valores bem próximos de -3. 
 
Quando tomamos valores de x bem próximos de 1 pela direita e a função toma valores bem 
próximos de 3. Dizemos que x tende a 1 pela direita e que a imagem função tende a 3. 
 
Desse modo podemos afirmar que para a função representada pelo gráfico acima podemos 
afirmar que: 
 Quando x tende a 1 pela direita a imagem da função tende a 3. 
 Quando x tende a 1 pela esquerda a imagem da função tende a 3. 
 Quando x tende a -2 pela direita a imagem da função tende a -3. 
 Quando x tende a -2 pela esquerda a imagem da função tende a -3. 
 Quando x tende a 5 pela direita a imagem da função tende a 3,5. 
 Quando x tende a 5 pela esquerda a imagem da função tende a -1. 
 Quando x tende a 4 pela direita a imagem da função tende a -1. 
 Quando x tende a 4 pela esquerda a imagem da função tende a 4. 
 
Em linguagem mais formalizada a afirmação de que “Quando x tende a 1 pela direita a 
imagem da função tende a 3 .” É equivalente a afirmar que: O limite da função quando x 
tende a 1 pela direita é 3 . 
 
Assim, podemos afirmar que para a função representada pelo gráfico acima podemos afirmar 
que: 
 O limite da função quando x tende a -2 pela direita é -3. 
 O limite da função quando x tende a -2 pela esquerda é -3. 
 O limite da função quando x tende a 5 pela direita é 3,5. 
 O limite da função quando x tende a 5 pela esquerda é -1. 
 O limite da função quando x tende a 4 pela direita é -1. 
 O limite da função quando x tende a 4 pela direita é 4. 
 O limite da função quando x tende a -5 pela direita é 0. 
 O limite da função quando x tende a -5 pela direita é 0. 
 
Quando os limites de uma função à direita e a esquerda de um ponto são iguais dizemos que o 
limite da função no ponto existe e é o valor para o qual o valor da função tende. 
Quando os limites de uma função à direita e a esquerda de um ponto são diferentes dizemos 
que o limite da função no ponto não existe. 
 
Desse modo, temos que: 
 
 O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 2 é –3; 
 O limite de função representada pelo gráfico no ponto x = -5 é 0; 
 O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 1 é 3; 
 O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 4 não existe; 
 O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 5 é não existe. 
 
 
 
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30 
Em linguagem simbólica a afirmação: “O limite da função f(x) quando x tende a 1 pela direita 
é 3 .” É representada por: 
lim
1x
f(x) = 3. 
Em linguagem simbólica a afirmação: “O limite da função f(x) quando x tende a 2 pela é -3.” 
É representada por: 
lim
2x
f(x) = 3. 
 
Assim, temos que: 
 
lim
1x
f(x) = 3. 
 
lim
5x
f(x)= 0. 
 
lim
4x
f(x) não existe. 
 
lim
5x
f(x) não existe. 
 
Como acabamos de ver, por meio do gráfico de uma função é possível determinar o 
limite da mesma num x0 dado ponto por observação do comportamento da imagem função à 
direita e a esquerda de x0. Isso pode levar a idéia de que o conceito intuitivo de limite de uma 
função é suficiente. Entretanto, com o conceito intuitivo de limite não é possível se perceber 
resultados muito importantes acerca dos limites que são possíveis por meio de seu conceito 
mais formal. 
 
 
CONCEITO FORMAL. 
 
O conceito de limite é apresentado mais formalmente da seguinte forma. 
 
Definição: O limite de uma função f(x) quando x tende a x0 é L se e somente se para 
todo > 0 existir um > 0 tal que, para todo x, se 0 < x – x0 < , então f(x) – L < . 
 
Em símbolos temos: 
 
 
Lxf
xx
)(lim
0
 > 0 existir um > 0 tal que, x, se 0 < x –x0 < , então f(x) –L < . 
 
Vejamos algumas propriedades do limite de uma função. 
 
Proposição1: Se f é uma função definida por f(x) = c x então
cxf
xx
)(lim
0
, x0. 
Proposição2: Se c e 
Lxf
xx
)(lim
0
 então 
Lcxfcxfc
xxxx
.)(.)(. limlim
00
. 
Proposição3: Se 
Lxf
xx
)(lim
0
e
Mxg
xx
)(lim
0
então 
MLxgf
xx
))((lim
0
. 
Proposição 4: Se 
Lxf
xx
)(lim
0
e
Mxg
xx
)(lim
0
então 
MLxgf
xx
.))(.(lim
0
. 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
31 
Proposição5: Se 
Lxf
xx
)(lim
0
e
Mxg
xx
)(lim
0
com M 0 então 
M
L
x
g
f
xx
)(lim
0
 
 
Teorema 1: O limite de uma função polinomial f(x) = a0 + a1x +a2x
2
 + .....+ an x
n
 quando x 
tende a x0 é o valor de f(x) quando x = x0 , ou seja, f(x0). 
Teorema 2: ( Teorema do confronto) Se 
)()( limlim
00
xgxf
xxxx
 b e g(x)< h(x)< f(x) 
para todo x então 
)(lim
0
xh
xx
 b. 
 
 
LIMITES INFINITOS. 
 
Definição: Seja f uma função, se quando x tende a x0 , f(x) cresce ilimitadamente dizemos 
que o limite de f(x) quando x tende a x0 é + e representamos por 
)(lim
0
xf
xx
. 
Definição: Seja f uma função, se quando x tende a x0 , f(x) decresce ilimitadamente dizemos 
que o limite de f(x) quando x tende a x0 é - e representamos por 
)(lim
0
xf
xx
. 
Definição: Seja f uma função definida em [ a , + ) e L e quando x cresce ilimitadamente 
a imagem de f se aproxima de L, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a + é L e 
representamos por 
Lxf
x
)(lim
. 
Definição: Seja f uma função definida em (- , a] e L e quando x decresce ilimitadamente 
a imagem de f se aproxima de L, dizemos que o limite de f(x) quandox tende a - é L e 
representamos por 
Lxf
x
)(lim
. 
Definição: Seja f uma função definida em e quando x cresce ilimitadamente a imagem de f 
também cresce indefinidamente, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a + é + e 
representamos por 
)(lim xf
x
. 
Definição: Seja f uma função definida em e quando x decresce ilimitadamente a imagem 
de f também decresce indefinidamente, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a - é - 
e representamos por 
)(lim xf
x
. 
Definição: Seja f uma função definida em e quando x decresce ilimitadamente a imagem 
de f cresce indefinidamente, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a - é + e 
representamos por 
)(lim xf
x
. 
Definição: Seja f uma função definida em e quando x cresce ilimitadamente a imagem de f 
também decresce indefinidamente, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a + é - e 
representamos por 
)(lim xf
x
. 
 
Teorema: Se n é um inteiro positivo, então: 
i) 
0
1
lim n
x x
; ii) 
0
1
lim n
x x
. 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
32 
Teorema: O limite de uma função polinomial f(x) = a0 + a1x +a2x
2
 + .....+ an x
n
, com an 0, 
quando x tende a + é igual ao valor do limite 
)(lim
n
n
x
xa
 e quando x tende a - é igual 
ao valor do limite 
)(lim
n
n
x
xa
. 
Definição: Chamamos de e ao limite da função f(n) = n
n
1
1
definida em N*, quando n 
tende a + , ou seja n
n n
1
1lim
= e. 
 
O número e é irracional, transcendente, tem valor aproximado a 2,7182818284 e muitos 
modelos de fenômenos naturais o envolve-o. 
 
Teorema: Seja a função f(x) = x
x
1
1
 definida em { x x < -1ou x > 0}, então 
x
x x
1
1lim
= e . 
Teorema: Seja a função f(x) = 
x
x
1
1
 definida em { x x < -1ou x > 0}, então 
x
x x
1
1lim
= e. 
Teorema: Seja a função f(x) = 
xx
1
1
 definida em { x -1< x 0}, então 
x
x
x
1
0
1lim
 = e. 
Teorema: (Do limite trigonométrico fundamental) 
x
x
x
sen
lim
0
 = 1. 
 
 
FUNÇÕES CONTÍNUAS. 
 
Definição: Dizemos que uma função f é contínua em x = x 0 se, e somente se, 
)()(
0lim
0
xfxf
xx
 caso contrário dizemos que f é descontínua em x= x0. 
Proposição: Se f e g são funções contínuas em x= x0 então a função f + g é contínua. 
Proposição: Se f e g são funções contínuas em x= x0 então a função f - g é contínua. 
Proposição: Se f e g são funções contínuas em x= x0 então a função f.g é contínua. 
Proposição: Se f e g são funções contínuas em x= x0 com g(x0) 0 então a função f/g é 
contínua. 
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33 
Proposição: Se a função g é contínua em x0 e a função f é contínua em g(x0) então a função 
composta fog é contínua em x0. 
Teorema: Se 
)(lim
0
xf
xx
= L onde L 0 e n N* ou L < 0 e n é natural ímpar então 
n
n
xx
n
xx
Lxfxf )()( limlim
00
. 
 
QUESTÕES 
 
 Calcule os limites. 
1) 
lim
x
(2x
2
 -7x+5) = 
 
2) 
lim
x
( -7x
3
 +5x
2
 –4x +1) = 
 
3) 
lim
x
( -2x
5
+3x
4
+5x
2
-6) = 
 
4) 
lim
x
( -10x
4
+8x
3
-9x
2
+7x +5) = 
 
5) 
14
383
235
345
lim
xxxx
xxx
x
= 
 
6) 
1
38
23
2
lim
xxx
x
x
= 
 
7) 
510
173
234
4
lim
xxx
xx
x
 = 
 
8) 
x
x
x
5sen
lim
0
 = 
 
9) 
x
x
x 3
5sen
lim
0
 = 
 
10) 
3
0
5sen.3sen.sen
lim
x
xxx
x
 = 
 
11) 
x
xxx
x
5sen3sensen
lim
0
= 
 
12) 
2
2
0 2
4sen
lim
x
x
x
= 
 
13) 
23
)23sen(
2
2
2
lim
xx
xx
x
= 
 
14) 
2
)4sen( 2
2
lim
x
x
x
= 
 
15) 
x
x x
2)
1
1(lim
= 
 
16) 
x
x x
3)
1
1(lim
= 
 
17) 
x
x x
2)
1
1(lim
= 
 
18) x
x x
x
1
lim
= 
 
19) x
x x
x
1
1
lim
= 
 
 
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34 
20) 
x
x
x
5
)41(lim
 = 
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35 
DERIVADAS. 
 
 
O calculo diferencial tem sua origem na busca da solução de dois problemas: 
 A determinação da reta tangente a uma curva; 
 A determinação da variação instantânea de uma grandeza. 
 
Esses problemas foram resolvidos de maneira independente por Newton e Leibniz no século 
XVII. 
 
Vejamos a definição de derivada de uma função real num ponto. 
 
Definição: Seja f uma função real definida num intervalo I, chamamos de derivada de f no 
ponto x0 ao limite finito de 
0
0
)()(
xx
xfxf
 quando x tende a x0 . 
A derivada de uma função no ponto x0 é comumente indicada por f`(x0) ou 
dx
df (x0) 
Em símbolos a derivada de uma função no ponto x0 é dada por 
 
f`(x0) = 
Lim
xx 0
0
0
)()(
xx
xfxf
 
 
Fazendo x – x0 = h podemos reescrever a derivada de uma função no ponto x0 como 
 
f`(x0) = 
Lim
h 0 h
xfhxf )()(
00
 . 
 
Definição: Uma função f: I R é dita derivável em I para todo ponto de I existe a derivada 
de f no ponto. 
 
A derivação tem uma relação muito interessante com a continuidade que é expressa por meio 
do seguinte teorema. 
 
Teorema: Toda função derivável num ponto é continua nesse ponto. 
 
Definição: Seja f uma função real definida num intervalo I, chamamos de função derivada de 
f a função f `(x) dada por 
Lim
h 0 h
xfhxf )()(
. Ou seja, 
 
f `(x) = 
Lim
h 0 h
xfhxf )()(
 
 
Teorema: ( Derivada de soma)A derivada de uma soma é a soma das derivadas. 
 
 
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36 
Teorema: ( Derivada de uma função multiplicada por uma constante)A derivada de uma 
função multiplicada por uma constante não nula é igual a constante multiplicada pela derivada 
da função. 
 
Teorema: (Derivada de constante) A derivada de uma função constante é zero. 
 
Teorema: (Derivada do produto) A derivada do produto de duas é igual ao produto da 
derivada da primeira função pela segunda função adicionado com o produto da primeira 
função pela derivada da segunda função. 
 
Teorema: (Derivada do quociente) A derivada do quociente de duas funções é igual ao 
quociente entre a diferença da derivada de primeira função multiplicada pela segunda função 
com a primeira função multiplicada pela derivada de segunda função e o quadrado da segunda 
função. 
 
Teorema: (Derivada da função inversa) Seja y = f(x) uma função derivável num intervalo I, 
com f`(x) sempre positiva ou sempre negativa então a função f 
-1
(x) inversa de f(x) é derivável 
e a derivada de função f 
-1
(x) é dada por [f 
-1
(x)]`= 1/ f `(x). 
 
Teorema: ( Derivada de função composta ou regra da cadeia) Sejam f: I R e g: J R com 
f(I) J e f (c) um ponto de J. Se f é derivável em c e g derivável e f(c) então a função 
composta gof : I R é derivável em c e sua derivada (gof)` é dada por 
 
(gof)` = g`(f(c)).f `( c). 
 
Teorema: ( Teorema de Fermat) Seja f: I R uma função que é derivável em I. Se existir um 
máximo local ou um mínimo local de f em c I, então f`(c)= 0. 
 
Teorema: ( Teorema de Rolle)Seja f: [a,b] R uma função contínua em [a,b]. suponha que f 
seja derivável em (a,b) e que f(a) = f(b), então existe um c (a,b) tal que f `(c) = 0. 
 
Teorema: ( Teorema do valor médio) Seja f: [a,b] R uma função contínua em [a,b]. 
suponha que f seja derivável em (a,b), então existe um c (a,b) tal que 
 
f `(c) = 
ab
afbf )()(
 . 
 
Teorema: ( Teorema de Rolle) Seja f: I R uma função contínua no intervalo I tal que f`(x) 
= 0 x I, então f é constante em I. 
 
Teorema: Seja f: (a,b) R uma função derivável em (a,b), então 
1) Se f `(x) > 0 para todo x (a, b) então f é crescente em (a, b); 
2) Se f `(x) < 0 para todo x (a, b) então f é decrescente em (a, b). 
 
Definição: Seja f uma função continua no intervalo [a,b] e derivável no ponto c [a,b]. 
Dizemos que o gráfico de f tem concavidade positiva em c se, e somente se, existe um 
intervalo V contendo c tal que, para todo x V, os pontos do gráfico de f estão acima da reta 
tangente á curva no ponto c. 
 
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37 
Geometricamente quando o gráfico de uma função tem a concavidade positiva num intervalo 
significa que o gráfico está voltado para cima. 
 
Definição: Seja f uma função continua no intervalo [a,b] e derivável no ponto c [a,b]. 
Dizemos que o gráfico de f tem concavidade negativa em c se, e somente se, existe um 
intervalo V contendo c tal que, para todo x V, os pontos do gráfico de f estão abaixo da reta 
tangente á curva no ponto c. 
Geometricamente quando o gráfico de uma função tem a concavidade negativa num intervalo 
significa que o gráfico está voltado para baixo. 
 
Teorema: Seja f uma função derivável até a segunda ordem no intervalo (a,b). 
1) Se f ``(x)>0 para todo x (a,b) então f tem a concavidade positiva em todo x (a,b); 
2) Se f ``(x)<0 para todo x (a,b) então f tem a concavidade negativa em todo x (a,b). 
 
QUESTÕES 
 
1) Demonstre que se f(x) = xn com n -1 então f 
`(x) = n x
n-1
. 
 
2) Demonstre que se f(x) = ax então f `(x) = 
a
x
lna. 
 
3) Demonstre que se f(x) = ex então f `(x) = ex. 
 
4) Demonstre que se f(x) = lnx então f`(x) = 1/x. 
 
5) Demonstre que se f(x) = cosx então f`(x) = -
senx. 
 
6) Demonstre que se f(x) = senx então f`(x) = 
cosx. 
 
7) Demonstre que se f(x) = 
x
 então f`(x) = 
x2
1
. 
 
8) Demonstre que o ponto de máximo da função 
f(x) = ax
2 
+ bx +c é dado por x = -b/2a 
e y = - /4a ; 
 
9) Demonstre que se a > 0 então a concavidade 
da função f(x) = ax
2 
+ bx + c é voltada para 
cima. 
 
10) Demonstre que se a < 0 então a concavidade 
da função f(x) = ax
2 
+ bx + c é voltada para 
baixo. 
 
11) Uma pedra é lançada verticalmente para cima. 
Sua altura h (metros) em relação ao solo, é 
dada por h = t
3
 – 3t2 – 9t + 1, onde t indica o 
número de segundos decorridos após o 
lançamento. Em que instante a pedra atingirá 
sua altura máxima? 
 
12) Um móvel desloca-se sobre um eixo de modo 
que sua abscissa s no instante t é dada por s = 
a. cos (ky + l), sendo a, k, l constantes dadas. 
Determinar: 
 
a) instantes e posições em que é máxima a 
velocidade do móvel; 
 
b) instantes e posições em que é mínima a 
aceleração do móvel. 
 
13) Um triangulo está inscrito numa semi-
circunferência de raio R. Seus lados medem a, 
b e 2R. Calcular a e b quando a área do 
triangulo é máxima. 
 
14) Um retângulo de dimensões x e y tem 
perímetros 2ª ( a é constante dada ). Determinar 
x e y para que sua área seja máxima. 
 
15) Calcular o perímetro máximo de um trapézio 
que está inscrito numa semi-circunferência de 
raio R. 
 
16) Calcular o raio da base e a altura do cilindro de 
volume máximo que pode ser inscrito numa 
esfera de raio R. 
 
17) Calcular o raio da base e a altura do cone de 
área lateral máxima que é inscritível numa 
esfera de raio R. 
 
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38 
 
18) Calcular o raio da base e altura do cone de 
volume mínimo que pode circunscrever uma 
esfera de raio R 
19) Um fabricante de caixas de papelão pretende 
fazer caixas abertas a parti de folhas de cartão 
quadrado de 576 cm2 , cortando quadrados 
iguais nas quatros pontas e dobrando os lados. 
Calcular a medida do lado do quadrado que 
deve ser cortado para obter uma caixa cujo 
volume seja o maior possível. 
 
20) Uma ilha esta no ponto A, a 10 Km do ponto B 
mais próximo sobre uma praia reta. Um 
armazém esta no ponto C, a 7 Km do ponto B 
sobre a praia. Se um homem pode remar a 
razão de 4 Km/h e andar a 5Km/h , aonde 
deveria desembarcar para ir da ilha a ao 
armazém no menor tempo possível. 
 
21) Um fio de comprimento L é cortado em 2 
pedaços, um dos quais formaram um circulo e 
o outro um quadrado. Como deve ser cortado o 
fio para que a soma das áreas do circulo e do 
quadrado seja máxima? 
 
22) Um funil cônico tem raio r e altura h. se o 
volume do funil e V (constante), calcular a 
razão r/h de modo que sua área lateral seja 
mínima? 
 
23) Um fazendeiro precisa construir dois currais 
lado a lado, com uma cerca comum, conforme 
mostra a figura.Se cada curra deve ter uma 
certa área A, qual o comprimento mínimo que 
a cerca deve ter 
 
X 
 
Y 
 
X 
X 
 
Y 
 
X 
Y 
 
24) Uma calha de fundo plano e lado igualmente 
inclinados vai ser construída dobrando-se uma 
folha de metal de largura l . se os lados e o 
fundo têm largura l/3 calcular o ângulo de 
forma que a calha tenha a máxima secção reta 
 
25) Um triangulo isósceles de base a esta inscrito 
numa circunferência de raio R. calcular a de 
modo que seja máxima a área do triângulo? 
 
26) Calcular o raio da base e a altura do cone de 
Maximo volume que se pode inscrever numa 
esfera de raio R. 
 
27) Determinar as dimensões do cone de área total 
mínima que se pode circunscrever uma esfera 
de raio R 
 
28) Um fabricante de caixa pretende produzir 
caixas com tampa de um certo volume V, cuja 
a base e um retângulo com comprimento igual 
ao triplo da largura. Calcular as dimensões 
mais econômicas que deve usar. 
 
29) Uma pagina para impressão deve conter 
300cm
2
 de área impressa, uma margem de 2 
cm nas partes superiores e inferiores e uma 
margem de 1,5cm nas laterais. Quais são as 
dimensões da pagina de menor área que 
preenche essas condições? 
 
30) Um fazendeiro tem 80 porcos, pesando 150 
Kg cada um. Cada porco aumenta de peso na 
proporção de 2,5 Kg por dia. Gastam-se 2 
reais por dia para manter um porco. Se o preço 
de venda esta 3 reais e cai 3 centavos por dia, 
quantos dias deve o fazendeiro aguardar para 
que seu lucro seja máximo ? 
 
31) Considere f: R R uma função derivável até 
a ordem 2, pelo menos, tal que f(-2) = 0, f(-1) 
= -1, f(0) = -2, f(1) = 1 e f(2) = 2. O gráfico da 
função derivada de primeira ordem f`, tem o 
aspecto apresentado abaixo. 
 
 
 
Com base nos valores dados para a função f e 
no gráfico de sua derivada f `, faça o que se 
pede a seguir. 
 
a) Numa reta com origem O, represente com 
seta ou os intervalos em que a 
função f é crescente ou decrescente, 
respectivamente. 
 
b) Quais são os pontos de máximo e mínimo 
de f? 
 
c) Quais são os pontos de inflexão de f? 
 
d) Com as informações dadas e as 
informações deduzidas construa num 
sistema de eixos coordenados ortogonais 
um esboço do gráfico da função f. 
 
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39 
SEQUENCIAS E SÉRIES. 
 
 
DEFINIÇÃO: Uma seqüência é toda função cujo domínio é o conjunto dos números naturais. 
Dada uma seqüência f: N R, as imagens f(1), f(2), f(3),........e f(k) são indicados por a1, 
a2,a3,.......e ak e denominadas de termos da seqüência. 
É comum indicar uma seqüência f: N R por x ={ak}ou por x = (ak). 
 
 
IGUALDADE DE SEQUENCIAS. 
 
Definição: Dadas duas seqüências {xk} e {yi } são iguais se e somente se, xk = yk k N. 
 
 
TIPOS DE SEQUENCIAS. 
 
Sequências monótonas. 
Definição: Seja {xk} uma seqüência em R, dizemos que {xk} é uma sequencia monótona se a 
mesma preserva o seu comportamento. 
 
Uma função monótona é: 
a) crescente se e somente se: k N , xk xk+1; 
a) decrescente se e somente se: k N , se x k+1 xk ; 
b) estritamente crescente se e somente se: k N , xk x k+1 ; 
c) estritamente decrescente se e somente se: k N , xk+1 xk ; 
d) constante se e somente se: k N , xk = xk+1. 
 
Seqüências periódicas. 
 
Definição: Seja {xk} uma seqüência em R é dita periódica se existi um inteiro positivo p tal 
que para todo k N temos xk+p = xk. 
 
Seqüências Aritméticas. 
 
Definição: Seja {xk}uma seqüência em R é dita aritmética de razão r, com r R, se e 
somente se, para todo k N temos que xk = x1 + ( k –1)r. 
 
Seqüências geométricas. 
 
Definição: Seja {xk}uma seqüência em R é dita geométrica de razão q, com r R*, se e 
somente se, para todo k N temos que xk = x1 q
k-1
. 
 
 
 
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40 
OPERAÇÕES COM SEQUENCIAS. 
 
Adição. 
Definição: Dadas duas seqüências {xk} e {yk }chamamos de adição de {xk} com {yk } à 
seqüência {xk + yk } k N. 
Exemplo: 
Sejam as seqüências x ={2k} e y ={1/k}então x + y = {
k
k 12 2
} k N. 
 
Multiplicação por um número. 
 
Definição: Dada a seqüência {xk}chamamos de multiplicação de{xk}por R à seqüência 
{ . xk } k N. 
 
Exemplo: 
Sejam as seqüências x ={1/k}então 4x = { 4/k} k N. 
 
Produto. 
Definição: Dadas duas seqüências {xk} e {yk }chamamos de multiplicação de {xk} por{yk } à 
seqüência {xk . yk } k N. 
 
Exemplo: 
Sejam as seqüências x ={2k} e y ={1/k}então x . y = {2 } 
 
 
SEQUENCIAS CONVERGENTES. 
 
Definição: Uma seqüência {ak} tem limite L quando k tende ao infinito se para cada 0 
dado existe M 0 tal que ak – L < qualquer que seja k > M. 
 
Definição: Uma seqüência que tem um limite finito é dita convergente. 
 
Definição: Uma seqüência que não tem um limite finito é dita divergente. 
 
Teorema 1: Seja f uma função real tal que 
x
Lim
 f(x) = L . se a seqüência {ak}é tal que 
f(k) = ak, para todo k inteiro positivo, então 
k
Lim
 ak = L. 
 
Teorema 2: Se 
k
Lim
 ak = L e 
k
Lim
 bk = M, então 
1) 
k
Lim
 ak bk = L M . 
2) 
k
Lim
 ak = L. 
3) 
k
Lim
 ak . bk = L . M . 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
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4) 
k
Lim
 
k
k
b
a = 
M
L , com bk 0 e M 0. 
 
Teorema 3: (Teorema do sanduíche) Se 
k
Lim
 ak = L = 
k
Lim
 bk e existe um inteiro N tal que 
ak ck bk , para todo n >N , então 
k
Lim
 ck = L. 
 
Teorema 4: ( Teorema do valor absoluto) Dada uma seqüência {ak}, se 
k
Lim
 ak = 0 então 
k
Lim
 ak = 0. 
 
Definição: Uma seqüência {ak} é dita limitada se existe um numero real positivo m tal que 
ak M , k N. O numero M é chamado de cota superior da seqüência {ak}. 
 
Teorema 5: (Teorema das seqüências monótonas limitadas) Toda seqüência {ak} monótona e 
limitada é convergente. 
 
QUESTÕES 
 
01. Calcule a soma dos n primeiros termos da 
seqüência 1.5, 3.7, 5.9 , .... 
 
02. Calcule a soma dos n primeiros termos da 
seqüência 1.2.3, 2.3.4, 3.4.5,... 
 
03. Determine m para as raízes da equação x4 – 
(3m + 4) x
2
 + (m + 1)
2
 = 0 estejam em PA. 
Calcule em seguida as raízes. 
 
04. Mostre que, se {x1} é uma PA de termos 
positivos, em tão: 
 
21 xx
1
 + 
32 xx
1
 +..........+ 
n1n xx
1
 = 
n1 xx
1n
 
 
05. As medidas dos ângulos de um triangulo estão 
em PA, e os comprimentos das alturas do 
mesmo triangulo também estão em PA. 
Demonstre que o triângulo é eqüilátero. 
 
06. Se {ai } é uma PA de termos não nulos, mostre 
que: 
21 a.a
1
 + 
32 a.a
1
 + ..... + 
n1n a.a
1
 = 
n1 a.a
1n
 
 
07. Podem os números 
2
, 
3
 e 
5
 pertencer a 
uma mesma PA? 
 
08. Calcule o valor da soma de n parcelas 1 + 11 + 
........ + 111 ..... 1. 
 
09. Simplifique a expressão: 
n2
n242
x...xx1
x...xx1
 
 
10. Dada a seqüência 
2a1aa1a 10
1
10
1
,
10
1
10
1
 ......, 
determine: 
a) a expressão da soma Sn dos seus n 
primeiros termos; 
 
b) o valor de S = limn- Sn ; 
c) os valores de n para os quais S( 1 – 10-18) 
Sn S (1+10
-21
). 
 
11. Demonstre que, sendo lim n- (1 + a +a
2
 + ... 
+ na) = A ( a 1) e lim n- (1+b+b
2
 + ..... + 
b
n
) = B (b 1), teremos: lim n- (1 + ab +a
2
 
b
2
+ ... + na
 
b
n
) = . 
 
12. Determine o limite da soma: S = 1 - 
2
1
 - 
4
1
 + 
8
1
 - 
16
1
 - 
32
1
 + 
64
1
 - 
128
1
 - ...... 
 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
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13. Sendo x e y positivos, ache o limite das 
seguintes expressões: 
a) 
......xxxx
 
 
b) 
......yxyx
 
 
c)
......xxxx
 
 
14. 31 livros estão arrumados em uma estante, em 
ordem crescente de preços da esquerda para a 
direita. O preço de cada livro defere em R$-
100,00 dos preços dos livros que lhe são 
adjacentes. O preço do livro mais caro é a soma 
dos preços do livro do meio e de um dos que 
lhe são adjacentes. Determine o preço do livro 
mais caro. 
 
15. Aumentos sucessivos de 10% e 20% equivalem 
a um único aumento de quanto? 
 
16. Se os preços sobem 25% ao mês e seu salário 
permanece inalterado, de quanto diminuem o 
seu poder de compra: 
a) mensalmente? 
b) trimestralmente? 
c) semestralmente? 
 
17. Um crescimento mensal de 10% gera um 
crescimento anual de quanto? 
 
18. A população de certa cidade era, em 1985, de 
50.000 habitantes e, em 1990, passou a ser de 
80.000 habitantes. Supondo que a população 
tenha crescido com a taxa constante, determine 
a população em 1987. 
 
19. A espessura de uma folha de estanho é de 
0,1mm. Forma-se uma pilha de folhas 
colocando-se uma folha na primeira vez e, em 
cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já 
houveram sido colocadas anteriormente. 
Depois de 33 dessas operações, a altura da 
pilha será, aproximadamente: 
a) a altura de um poste de luz. 
b) a altura de um prédio de 40 andares. 
c) o comprimento da praia de Copacabana. 
d) a distância Rio-São Paulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SERIES. 
 
 
Definição: Seja {ak} uma seqüência infinita.Dizemos que a soma