MÁXIMOS E MÍNIMOS

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 	Capítulo 7 – Análise do Comportamento das Funções - � PAGE �84� 	
análise do comportamento das funções
Neste capítulo analisaremos as funções e seus gráficos, identificando em que intervalo a função é crescente ou decrescente, onde ocorrem os picos ( pontos mais altos ou mais baixos dos gráficos) e a construções destes gráficos. Analisaremos também a “melhor” maneira de se realizar uma tarefa, o que denominamos de problemas de otimização. Esta é também uma das importantes aplicações do cálculo. Por exemplo, qual deve ser a melhor forma de um recipiente para minimizar o custo de fabricação? qual é a aceleração máxima que se pode chegar um ônibus espacial? quais as 
dimensões de uma peça retangular de forma que se tenha uma área útil máxima? qual é a quantidade ideal de fabricação de uma mercadoria para que se tenha um lucro máximo? 
Estes problemas de otimização muitas vezes podem ser reduzidos à determinação do maior ou do menor valor de uma função em algum intervalo e onde ocorre este valor.
Assim, um dos objetivos neste capítulo será estudar soluções para problemas de otimização.
Crescimento e decrescimento de funções
Para descrever o comportamento de uma função em um intervalo, analisamos o seu gráfico percorrendo-o da esquerda para a direita. Desta maneira podemos verificar se esta é crescente, decrescente ou constante neste intervalo.
Por exemplo, analisemos a Figura 1. Conforme percorremos o gráfico da esquerda para a direita no intervalo de 
 aumentamos o valor de x e f(x) decresce, assim, podemos dizer que f(x) é decrescente no intervalo 
.
Do mesmo modo, ao analisarmos o intervalo 
 verificamos que f(x) cresce, logo a função é crescente neste intervalo. O mesmo fazemos no intervalos 
 e verificamos que a função é constante neste intervalo.
A definição a seguir expressa precisamente essas idéias que acabamos de intuir.
Definição
Seja f definida em um intervalo e sejam x1 e x2 pontos do intervalo:
a) f é crescente no intervalo se f(x1) < f(x2) para x1 < x2.
b) f é decrescente no intervalo se f(x1) > f(x2) para x1 < x2.
c) f é constante no intervalo se f(x1) = f(x2) para x1 < x2.
�
Importância da derivada na análise gráfica das funções
Considere a função f diferenciável e crescente em um intervalo, conforme a Fig 2.
Podemos observar que as retas tangentes a esta curva neste intervalo (intervalo crescente) possuem inclinações positivas.
Do mesmo modo, analisando as Fig. 3 e 4, observamos que:
- as retas tangentes à curva no intervalo decrescente possuem inclinações negativas, 
- as retas tangentes à curva no intervalo constante possuem inclinações iguais a zero.
Como a inclinação da reta tangente é a derivada da função naquele ponto, podemos enunciar o seguinte teorema:
Teorema
Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b).
- Se f ((x) > 0 para todo x em (a,b) então f é crescente em [ a, b] .
- Se f ((x) < 0 para todo x em (a,b) então f é decrescente em [ a, b] .
- Se f ((x) =0 para todo x em (a,b) então f é constante em [ a, b] .
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das funções abaixo:
Resolução:
Para verificarmos o comportamento das funções, precisamos analisar o sinal da derivada primeira desta função. 
Assim, primeiramente derivamos a função:
�
Observamos que
f ((x) é positiva para todo x > 2 e negativa para todo x < 2, isto é:
f ((x) > 0 para x > 2 e f ((x) < 0 para x < 2
Logo:
- a função é crescente no intervalo 
- a função é decrescente no intervalo 
Estas conclusões estão em conformidade com o gráfico de f representado na Figura 5.
Resolução
Para verificarmos o comportamento das funções, precisamos analisar o sinal da derivada primeira desta função. Assim, primeiramente derivamos a função:
A figura 6 apresenta o gráfico da função derivada.
Observamos pela figura 6 que:
f ((x) é positiva para todo x > 2 e x < -2 e negativa para todo -2 < x < 2 , isto é:
f ((x) > 0 para x > 2 ou x < - 2 e 
f ((x) < 0 para -2 < x < 2
Logo:
- a função é crescente no intervalo 
- a função é decrescente no intervalo 
.
Estas conclusões estão em conformidade com o gráfico de f representado na Figura 7.
Resolução:
Primeiramente derivamos a função:
A figura 8 apresenta o gráfico desta função derivada.
Observamos pela Figura 8 que:
f ((x) é positiva para todo x 
, isto é:
f ((x) > 0 para qualquer x 
.
Logo a função é crescente em todo intervalo real. 
Esta conclusão está em conformidade com o gráfico de f representado na Figura 9.
MÁXIMOS E MÍNIMOS 
Suponha que o gráfico da Fig. 10 tenha sido feito por um instrumento registrador usado para medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eixo dos x representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(x).
Por exemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas, pressão , corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de um indivíduo, quantidade de um produto químico em um solução, bactérias em um cultura, etc. 
Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela é decrescente.
A figura 10 mostra que f é crescente no intervalo de 
 , decrescente de 
, crescente de 
 e decrescente de 
.
Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de 
 , veremos que a quantidade atingiu seu máximo ( maior valor) em d e seu mínimo em c.
Observe que em outros intervalos existem diferentes máximos e mínimos.
O ponto M da curva de abscissa x = b , situa-se exatamente no ponto onde a função passa de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máximo local em x = b, ou que f (b) é um máximo local da função. Isto é , o valor de f(b) é o maior valor que a função assume para valores de x , próximos de b.
Convém observar que o ponto M, não é o ponto mais alto do gráfico, M é o ponto mais alto dos que lhe são próximos. Por isso o adjetivo “local”. 
Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de 
 e crescente de 
. O ponto N da curva situa-se exatamente no ponto em que a função passa de decrescente para crescente e sua abscissa é x = c. Observamos que N é o mais baixo ponto entre os que lhe são próximos. Dizemos que a função apresenta aí um mínimo local, ou que f(c ) é um mínimo local de f. O valor de f (c ) é o menor valor que a função assume para valores de x, próximos de b.
Notemos que a função pode apresentar outros máximos e mínimos locais.
Diante das observações acima podemos apresentar as seguintes definições:
 Definição
Seja f uma função definida em um intervalo I e c um número em I. Então :
i) f(c) é máximo de f em I se 
 para todo x em I.
ii) f(c) é mínimo de f em I se 
 para todo x em I.
 
Suponha que uma função f seja derivável. Neste caso o seu gráfico admite tangente em cada ponto, conforme o gráfico apresentado na Fig.11:
Observamos que no ponto B, de máximo local , e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma reta horizontal , paralela ao eixo x, isto é , seu coeficiente angular é igual a zero. Logo 
f ((a) = f ((b) = 0 , pois o coeficiente angular da reta tangente é igual a derivada da função no ponto.
Teorema
Se uma função f tem extremo local para um valor c, então f ((c) = 0 ou f ((c) não existe.
Definição
Se f é uma função derivável e c um ponto tal que f ((c) = 0 ou não exista, dizemos que c é a abscissa de um ponto crítico da função f.Portanto da afirmação anterior, concluímos que os máximos e mínimos locais de uma função ocorrem em pontos críticos da função.
	
Observação
A condição f ((x) = 0 é necessária para que haja máximo ou mínimo local no ponto x, mas não é suficiente.
 
Seja a função 
 representada graficamente na Fig. 12
Derivando esta função temos: 
, logo f ((x) = 0 em x = 0 e o ponto de abscissa x = 0 não é nem máximo local nem mínimo local da função. 
 
Determine os pontos críticos da função abaixo:
Resolução:
Pela definição 7.2.4 observamos que para encontrar os pontos críticos de uma função devemos derivá-la, igualar a zero e resolver a equação. Os pontos encontrados serão os pontos críticos da função. Assim,
Assim 
 é a abscissa do ponto crítico da função.
Agora, substituindo a abscissa do ponto crítico na função encontraremos o ponto crítico:
Logo o ponto 
 é o ponto crítico da função.
DETERMINAÇÃO DOS MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS
- Calcular a derivada primeira da função f e resolver a equação f ((x) =0, cujas raízes são as abscissas dos pontos críticos de f.
- Examinar cada ponto crítico encontrado afim de verificar se trata-se de um extremo ou não. Para isso, utilizamos o teste da derivada primeira ou o teste da derivada segunda.
 Teste da derivada primeira
Suponha que para x = c a função f tenha um ponto crítico e sejam a e b muito próximos de c, tais que a < xo < b. então ;
i) Se tivermos que f ((a)> 0 e f ((b) < 0 , então, nesse caso a função passa de crescente a decrescente e podemos afirmar que f (c) é um máximo local da função 
ii) Se tivermos que f ((a)< 0 e f ((b) > 0 , então, nesse caso a função passa de decrescente a crescente e podemos afirmar que f ( c ) é um mínimo local da função.
iii) Se f ((a) e f ((b) possuírem o mesmo sinal, então f não possui nem máximo nem mínimo locais em c, e f ( c ) é dito ponto de inflexão. 
Obs1 : Os pontos de inflexão marcam os lugares sobre a curva y = f(x) nos quais a taxa de variação de y em relação a x muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Seja a função 
. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se existirem.
Resolução: Calculamos a derivada primeira desta função e igualamos a zero:
Assim, x = 0 é a abscissa do ponto crítico da função.
Analisando o sinal da função f ((x) (Fig 13), temos que:
f ((x) é negativa para x < 0 ( decrescente )
f ((x) é positiva para x > 0 ( crescente) 
�
Como f ((x) passa de negativa para positiva em x = 0, significa que ela passa de decrescente para crescente em x = 0, logo, x = 0 é a abscissa do ponto de mínimo local da função. ( veja ii em 7.3.1)
 
 
Seja a função 
. Determine os pontos de máximo , de mínimo e de inflexão se existirem.
Resolução: Calculamos a derivada primeira desta função e igualamos a zero;
Assim, x = 6 e x = ( 2 são as abscissas dos pontos críticos da função.
Analisando o sinal da função f ’(x) (Fig 14), temos que:
f ‘( x ) é negativa para (2 < x < 6 ( dec.)
f ‘( x ) é positiva para x <(2 ou x > 6 ( cresc.) 
�
Como f ‘(x) passa de positiva para negativa em x = (2, significa que ela passa de crescente para decrescente em x = (2, logo, x = (2 é a abscissa do ponto de máximo local da função. ( veja i em 7.3.1)
Em x = 6 acontece que f ‘(x) passa de negativa para positiva, isto significa que ela passa de decrescente para crescente, logo, x = 6 é a abscissa do ponto de mínimo local da função. (veja ii em 7.3.1)
OUTRA MANEIRA DE ENCONTRAR OS PONTOS MÁXIMOS E MÍNIMOS UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA.
Estudaremos cada ponto separadamente:
Para x = (2 	
i) Tomamos um ponto a <(2 e estudados o sinal de f ((a) .
Seja a = (3
f (((3) = 
 = 9 significa que a função é crescente para a < (2
ii) Tomamos um ponto b >(2 e estudamos o sinal de f ((b) .
Seja b = 0
f ((0) = (12 significa que a função é decrescente para b >-2.
Conclusão: Se a função cresce e depois decresce, x = (2 é a abscissa do ponto máximo local da função.
Para x = 6
i) Tomamos um ponto a < 6 e estudados o sinal de f ((a) .
Seja a = 5
f ((5) = 
 = (7 significa que a função é crescente para a < 6
ii) Tomamos um ponto b > 6 e estudamos o sinal de f ’(b) .
Seja b = 7
f ((7) =
 = 9 significa que a função é decrescente para b > 6 .
Conclusão: Se a função cresce e depois decresce, x = 6 é a abscissa do ponto máximo local da função.
Os pontos máximos e mínimos são:
Valor máximo: y = 43/3
Ponto máximo: 
Valor mínimo: y = -71
Ponto mínimo: P ( 6,-71)
Seja a função
. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se existirem.
Resolução: Calculamos a derivada primeira desta função e igualamos a zero:
Assim, x = 1 é a abscissa do ponto crítico da função.
Observamos que f ((x) é positiva para qualquer valor de x, logo ela é crescente antes de após x=1. 
De acordo com o item iii de 7.3.1 , esta função não possuem máximo nem mínimo e x = 1 é um ponto de inflexão.
Teste da derivada segunda e concavidade
Definição
Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto contendo c, então, no ponto P ( c, f(c)), o gráfico é :
i) côncavo para cima se f (((c) > 0.
ii) côncavo para baixo se f (((c) < 0.
Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta seja contínua no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico e classificá-lo
Teste da derivada segunda.
Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e f ’(c) = 0.
i) Se f (((c) > 0 , então f tem mínimo local em c.
ii) Se f (((c) < 0 , então f tem máximo local em c.
iii) Se f (((c) = 0 então f tem um ponto de inflexão em c.
Diante destas definições podemos concluir que:
Seja “c” a abscissa de um ponto crítico:
i) se f (((c) > 0, o gráfico de f é côncavo para cima para x próximo de c , isto é , f tem aí concavidade voltada para cima e então f (c)é um mínimo local de f.
ii) Se f (((c) <0, o gráfico de f é côncavo para baixo para x próximo de xo , isto é, f tem concavidade voltada para baixo, e nesse caso f(c) é um máximo local de f.
Resumindo:
Inflexão: f (((c) = 0
Determinar os pontos máximos ou mínimos da função 
, se existirem, usando o teste da DERIVADA SEGUNDA.
Resolução: Primeiramente devemos resolver a equação f ((x) = 0 para encontrar os pontos críticos. Assim,
Temos então que 
 são os pontos críticos da função . Agora devemos calcular f (((x1) e f (( (x2) para estudar a concavidade.
Logo pelo item i) de 7.3.2.2 , em x = (1 o gráfico possui concavidade voltada para cima, logo x = -1 é a abscissa do ponto mínimo local e o valor mínimo local da função é 
Assim, o ponto mínimo é P((1, (11).
Da mesma forma, pelo item ii) de 7.3.2.2, em x=3/2 o gráfico possui concavidade voltada para baixo, logo x=3/2 é a abscissa do ponto máximo da função e o valor máximo local da função é:
Assim, o ponto máximo da função é 
Pelo item iii) de 7.3.2.2, temos que se fizermos f ’’ (x) =0 encontraremos a abscissa do ponto de inflexão, logo se 
 temos 
Assim, x = ¼ é a abscissa do ponto de inflexão.
Determinar os pontos máximos ou mínimos da função 
, se existirem, usando o teste da DERIVADA SEGUNDA.
Resolução:Primeiramente devemos resolver a equação f ’(x) = 0 para encontrar os pontos críticos. Assim,
Temos então que 
 são os pontos críticos da função . Agora devemos calcular f ’’(x1) e f ’’(x2) para estudar a concavidade.
Seja 
Para x = 1 
f ’’(1) = ( 6 ( 6 = (12 
Pelo item ii) de 7.3.2.2, em x= 1 o gráfico possui concavidade voltada para baixo, logo x = 1 é a abscissa do ponto máximo da função e o valor máximo local da funçãoé:
Assim o ponto máximo da função é P (1, 0).
Para x = - 3
f ’’((3) = +18 - 6= +12 
Pelo item i) de 7.3.2.2 , em x = (3 o gráfico possui concavidade voltada para cima, logo x = -3 é a abscissa do ponto mínimo local e o valor mínimo local da função é.
Assim o ponto mínimo da função é P ((3, (33).
Ponto de inflexão:
Para encontrar o ponto de inflexão, fazemos f ’’(x)= 0, então se 
 então x = (1 é a abscissa do ponto de inflexão.
EXERCÍCIOS
 Determine os intervalos nos quais as funções abaixo são crescentes ou decrescentes.
 Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo:
 Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções, se existirem, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA.
 Determine as abscissas dos pontos máximos ou mínimos das seguintes funções, utilizando o teste da DERIVADA SEGUNDA.
 Imagine que a trajetória de uma pedra lançada ao ar seja um trecho da parábola dada por 
 ( x e y em metros) , determine o ponto máximo da função.
Se a potência P , em watts, que um certo gerador lança num circuito elétrico é dada por 
 onde i é a intensidade de corrente elétrica que atravessa o gerador, em ampères, pede-se para que intensidade da corrente este gerador lança no circuito sua potência máxima?
 Encontre as abscissas dos pontos máximos , mínimos ou inflexão se existirem.
 Encontre a abscissa do ponto máximo relativo da função 
 Uma lata cilíndrica deve conter 1000cm3 (um litro) de óleo. Como poderíamos escolher a altura e o raio desta lata para minimizar o material usado na confecção da lata?
 ( Baseado no ex 7 – pág 359 – Anton). Qual é altura máxima que uma bola arremessada por um atirador de beisebol, localizado à 7 m do solo , irá alcançar se ele lançá-la verticalmente para cima com velocidade de 100m/s?
 (James pg 283 ex 10) O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em t = 0 até a entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126 s é dado por 
( em pés/s). Usando esse modelo, estime os valores máximo e mínimo absoluto da aceleração do ônibus entre o lançamento e a entrada do foguete auxiliar.
Respostas
E 180
a)crescente 
 
 decrescente 
b) crescente 
 
 decrescente 
c) crescente nos intervalos 
decrescente no intervalo 
E.181
E.182 
E.183
E.184 P ( 2,20) 
E.185 I = 0,19 ampères
E.186
E187 x = 0
E.188 h = 2r
E 189 S = 507 m
E 190 aceleração máxima: aproximadamente 62,87 pés/s e a aceleração mínima 21.52 pés/s aproximadamente. 
3
2
x
y
Crescente
f(x1)<f(x2)
Decrescente
f(x1)>f(x2)
Constante
f(x1)=f(x2)
x
y
x
y
x
y
2
0
(2 6
+ - +
Cresc decresc cresc
Elaine CristinaFerruzzi
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