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�PAGE � Capítulo 7 – Análise do Comportamento das Funções - � PAGE �84� análise do comportamento das funções Neste capítulo analisaremos as funções e seus gráficos, identificando em que intervalo a função é crescente ou decrescente, onde ocorrem os picos ( pontos mais altos ou mais baixos dos gráficos) e a construções destes gráficos. Analisaremos também a “melhor” maneira de se realizar uma tarefa, o que denominamos de problemas de otimização. Esta é também uma das importantes aplicações do cálculo. Por exemplo, qual deve ser a melhor forma de um recipiente para minimizar o custo de fabricação? qual é a aceleração máxima que se pode chegar um ônibus espacial? quais as dimensões de uma peça retangular de forma que se tenha uma área útil máxima? qual é a quantidade ideal de fabricação de uma mercadoria para que se tenha um lucro máximo? Estes problemas de otimização muitas vezes podem ser reduzidos à determinação do maior ou do menor valor de uma função em algum intervalo e onde ocorre este valor. Assim, um dos objetivos neste capítulo será estudar soluções para problemas de otimização. Crescimento e decrescimento de funções Para descrever o comportamento de uma função em um intervalo, analisamos o seu gráfico percorrendo-o da esquerda para a direita. Desta maneira podemos verificar se esta é crescente, decrescente ou constante neste intervalo. Por exemplo, analisemos a Figura 1. Conforme percorremos o gráfico da esquerda para a direita no intervalo de aumentamos o valor de x e f(x) decresce, assim, podemos dizer que f(x) é decrescente no intervalo . Do mesmo modo, ao analisarmos o intervalo verificamos que f(x) cresce, logo a função é crescente neste intervalo. O mesmo fazemos no intervalos e verificamos que a função é constante neste intervalo. A definição a seguir expressa precisamente essas idéias que acabamos de intuir. Definição Seja f definida em um intervalo e sejam x1 e x2 pontos do intervalo: a) f é crescente no intervalo se f(x1) < f(x2) para x1 < x2. b) f é decrescente no intervalo se f(x1) > f(x2) para x1 < x2. c) f é constante no intervalo se f(x1) = f(x2) para x1 < x2. � Importância da derivada na análise gráfica das funções Considere a função f diferenciável e crescente em um intervalo, conforme a Fig 2. Podemos observar que as retas tangentes a esta curva neste intervalo (intervalo crescente) possuem inclinações positivas. Do mesmo modo, analisando as Fig. 3 e 4, observamos que: - as retas tangentes à curva no intervalo decrescente possuem inclinações negativas, - as retas tangentes à curva no intervalo constante possuem inclinações iguais a zero. Como a inclinação da reta tangente é a derivada da função naquele ponto, podemos enunciar o seguinte teorema: Teorema Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b). - Se f ((x) > 0 para todo x em (a,b) então f é crescente em [ a, b] . - Se f ((x) < 0 para todo x em (a,b) então f é decrescente em [ a, b] . - Se f ((x) =0 para todo x em (a,b) então f é constante em [ a, b] . Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das funções abaixo: Resolução: Para verificarmos o comportamento das funções, precisamos analisar o sinal da derivada primeira desta função. Assim, primeiramente derivamos a função: � Observamos que f ((x) é positiva para todo x > 2 e negativa para todo x < 2, isto é: f ((x) > 0 para x > 2 e f ((x) < 0 para x < 2 Logo: - a função é crescente no intervalo - a função é decrescente no intervalo Estas conclusões estão em conformidade com o gráfico de f representado na Figura 5. Resolução Para verificarmos o comportamento das funções, precisamos analisar o sinal da derivada primeira desta função. Assim, primeiramente derivamos a função: A figura 6 apresenta o gráfico da função derivada. Observamos pela figura 6 que: f ((x) é positiva para todo x > 2 e x < -2 e negativa para todo -2 < x < 2 , isto é: f ((x) > 0 para x > 2 ou x < - 2 e f ((x) < 0 para -2 < x < 2 Logo: - a função é crescente no intervalo - a função é decrescente no intervalo . Estas conclusões estão em conformidade com o gráfico de f representado na Figura 7. Resolução: Primeiramente derivamos a função: A figura 8 apresenta o gráfico desta função derivada. Observamos pela Figura 8 que: f ((x) é positiva para todo x , isto é: f ((x) > 0 para qualquer x . Logo a função é crescente em todo intervalo real. Esta conclusão está em conformidade com o gráfico de f representado na Figura 9. MÁXIMOS E MÍNIMOS Suponha que o gráfico da Fig. 10 tenha sido feito por um instrumento registrador usado para medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eixo dos x representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(x). Por exemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas, pressão , corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de um indivíduo, quantidade de um produto químico em um solução, bactérias em um cultura, etc. Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela é decrescente. A figura 10 mostra que f é crescente no intervalo de , decrescente de , crescente de e decrescente de . Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de , veremos que a quantidade atingiu seu máximo ( maior valor) em d e seu mínimo em c. Observe que em outros intervalos existem diferentes máximos e mínimos. O ponto M da curva de abscissa x = b , situa-se exatamente no ponto onde a função passa de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máximo local em x = b, ou que f (b) é um máximo local da função. Isto é , o valor de f(b) é o maior valor que a função assume para valores de x , próximos de b. Convém observar que o ponto M, não é o ponto mais alto do gráfico, M é o ponto mais alto dos que lhe são próximos. Por isso o adjetivo “local”. Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de e crescente de . O ponto N da curva situa-se exatamente no ponto em que a função passa de decrescente para crescente e sua abscissa é x = c. Observamos que N é o mais baixo ponto entre os que lhe são próximos. Dizemos que a função apresenta aí um mínimo local, ou que f(c ) é um mínimo local de f. O valor de f (c ) é o menor valor que a função assume para valores de x, próximos de b. Notemos que a função pode apresentar outros máximos e mínimos locais. Diante das observações acima podemos apresentar as seguintes definições: Definição Seja f uma função definida em um intervalo I e c um número em I. Então : i) f(c) é máximo de f em I se para todo x em I. ii) f(c) é mínimo de f em I se para todo x em I. Suponha que uma função f seja derivável. Neste caso o seu gráfico admite tangente em cada ponto, conforme o gráfico apresentado na Fig.11: Observamos que no ponto B, de máximo local , e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma reta horizontal , paralela ao eixo x, isto é , seu coeficiente angular é igual a zero. Logo f ((a) = f ((b) = 0 , pois o coeficiente angular da reta tangente é igual a derivada da função no ponto. Teorema Se uma função f tem extremo local para um valor c, então f ((c) = 0 ou f ((c) não existe. Definição Se f é uma função derivável e c um ponto tal que f ((c) = 0 ou não exista, dizemos que c é a abscissa de um ponto crítico da função f.Portanto da afirmação anterior, concluímos que os máximos e mínimos locais de uma função ocorrem em pontos críticos da função. Observação A condição f ((x) = 0 é necessária para que haja máximo ou mínimo local no ponto x, mas não é suficiente. Seja a função representada graficamente na Fig. 12 Derivando esta função temos: , logo f ((x) = 0 em x = 0 e o ponto de abscissa x = 0 não é nem máximo local nem mínimo local da função. Determine os pontos críticos da função abaixo: Resolução: Pela definição 7.2.4 observamos que para encontrar os pontos críticos de uma função devemos derivá-la, igualar a zero e resolver a equação. Os pontos encontrados serão os pontos críticos da função. Assim, Assim é a abscissa do ponto crítico da função. Agora, substituindo a abscissa do ponto crítico na função encontraremos o ponto crítico: Logo o ponto é o ponto crítico da função. DETERMINAÇÃO DOS MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS - Calcular a derivada primeira da função f e resolver a equação f ((x) =0, cujas raízes são as abscissas dos pontos críticos de f. - Examinar cada ponto crítico encontrado afim de verificar se trata-se de um extremo ou não. Para isso, utilizamos o teste da derivada primeira ou o teste da derivada segunda. Teste da derivada primeira Suponha que para x = c a função f tenha um ponto crítico e sejam a e b muito próximos de c, tais que a < xo < b. então ; i) Se tivermos que f ((a)> 0 e f ((b) < 0 , então, nesse caso a função passa de crescente a decrescente e podemos afirmar que f (c) é um máximo local da função ii) Se tivermos que f ((a)< 0 e f ((b) > 0 , então, nesse caso a função passa de decrescente a crescente e podemos afirmar que f ( c ) é um mínimo local da função. iii) Se f ((a) e f ((b) possuírem o mesmo sinal, então f não possui nem máximo nem mínimo locais em c, e f ( c ) é dito ponto de inflexão. Obs1 : Os pontos de inflexão marcam os lugares sobre a curva y = f(x) nos quais a taxa de variação de y em relação a x muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Seja a função . Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se existirem. Resolução: Calculamos a derivada primeira desta função e igualamos a zero: Assim, x = 0 é a abscissa do ponto crítico da função. Analisando o sinal da função f ((x) (Fig 13), temos que: f ((x) é negativa para x < 0 ( decrescente ) f ((x) é positiva para x > 0 ( crescente) � Como f ((x) passa de negativa para positiva em x = 0, significa que ela passa de decrescente para crescente em x = 0, logo, x = 0 é a abscissa do ponto de mínimo local da função. ( veja ii em 7.3.1) Seja a função . Determine os pontos de máximo , de mínimo e de inflexão se existirem. Resolução: Calculamos a derivada primeira desta função e igualamos a zero; Assim, x = 6 e x = ( 2 são as abscissas dos pontos críticos da função. Analisando o sinal da função f ’(x) (Fig 14), temos que: f ‘( x ) é negativa para (2 < x < 6 ( dec.) f ‘( x ) é positiva para x <(2 ou x > 6 ( cresc.) � Como f ‘(x) passa de positiva para negativa em x = (2, significa que ela passa de crescente para decrescente em x = (2, logo, x = (2 é a abscissa do ponto de máximo local da função. ( veja i em 7.3.1) Em x = 6 acontece que f ‘(x) passa de negativa para positiva, isto significa que ela passa de decrescente para crescente, logo, x = 6 é a abscissa do ponto de mínimo local da função. (veja ii em 7.3.1) OUTRA MANEIRA DE ENCONTRAR OS PONTOS MÁXIMOS E MÍNIMOS UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA. Estudaremos cada ponto separadamente: Para x = (2 i) Tomamos um ponto a <(2 e estudados o sinal de f ((a) . Seja a = (3 f (((3) = = 9 significa que a função é crescente para a < (2 ii) Tomamos um ponto b >(2 e estudamos o sinal de f ((b) . Seja b = 0 f ((0) = (12 significa que a função é decrescente para b >-2. Conclusão: Se a função cresce e depois decresce, x = (2 é a abscissa do ponto máximo local da função. Para x = 6 i) Tomamos um ponto a < 6 e estudados o sinal de f ((a) . Seja a = 5 f ((5) = = (7 significa que a função é crescente para a < 6 ii) Tomamos um ponto b > 6 e estudamos o sinal de f ’(b) . Seja b = 7 f ((7) = = 9 significa que a função é decrescente para b > 6 . Conclusão: Se a função cresce e depois decresce, x = 6 é a abscissa do ponto máximo local da função. Os pontos máximos e mínimos são: Valor máximo: y = 43/3 Ponto máximo: Valor mínimo: y = -71 Ponto mínimo: P ( 6,-71) Seja a função . Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se existirem. Resolução: Calculamos a derivada primeira desta função e igualamos a zero: Assim, x = 1 é a abscissa do ponto crítico da função. Observamos que f ((x) é positiva para qualquer valor de x, logo ela é crescente antes de após x=1. De acordo com o item iii de 7.3.1 , esta função não possuem máximo nem mínimo e x = 1 é um ponto de inflexão. Teste da derivada segunda e concavidade Definição Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto contendo c, então, no ponto P ( c, f(c)), o gráfico é : i) côncavo para cima se f (((c) > 0. ii) côncavo para baixo se f (((c) < 0. Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta seja contínua no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico e classificá-lo Teste da derivada segunda. Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e f ’(c) = 0. i) Se f (((c) > 0 , então f tem mínimo local em c. ii) Se f (((c) < 0 , então f tem máximo local em c. iii) Se f (((c) = 0 então f tem um ponto de inflexão em c. Diante destas definições podemos concluir que: Seja “c” a abscissa de um ponto crítico: i) se f (((c) > 0, o gráfico de f é côncavo para cima para x próximo de c , isto é , f tem aí concavidade voltada para cima e então f (c)é um mínimo local de f. ii) Se f (((c) <0, o gráfico de f é côncavo para baixo para x próximo de xo , isto é, f tem concavidade voltada para baixo, e nesse caso f(c) é um máximo local de f. Resumindo: Inflexão: f (((c) = 0 Determinar os pontos máximos ou mínimos da função , se existirem, usando o teste da DERIVADA SEGUNDA. Resolução: Primeiramente devemos resolver a equação f ((x) = 0 para encontrar os pontos críticos. Assim, Temos então que são os pontos críticos da função . Agora devemos calcular f (((x1) e f (( (x2) para estudar a concavidade. Logo pelo item i) de 7.3.2.2 , em x = (1 o gráfico possui concavidade voltada para cima, logo x = -1 é a abscissa do ponto mínimo local e o valor mínimo local da função é Assim, o ponto mínimo é P((1, (11). Da mesma forma, pelo item ii) de 7.3.2.2, em x=3/2 o gráfico possui concavidade voltada para baixo, logo x=3/2 é a abscissa do ponto máximo da função e o valor máximo local da função é: Assim, o ponto máximo da função é Pelo item iii) de 7.3.2.2, temos que se fizermos f ’’ (x) =0 encontraremos a abscissa do ponto de inflexão, logo se temos Assim, x = ¼ é a abscissa do ponto de inflexão. Determinar os pontos máximos ou mínimos da função , se existirem, usando o teste da DERIVADA SEGUNDA. Resolução:Primeiramente devemos resolver a equação f ’(x) = 0 para encontrar os pontos críticos. Assim, Temos então que são os pontos críticos da função . Agora devemos calcular f ’’(x1) e f ’’(x2) para estudar a concavidade. Seja Para x = 1 f ’’(1) = ( 6 ( 6 = (12 Pelo item ii) de 7.3.2.2, em x= 1 o gráfico possui concavidade voltada para baixo, logo x = 1 é a abscissa do ponto máximo da função e o valor máximo local da funçãoé: Assim o ponto máximo da função é P (1, 0). Para x = - 3 f ’’((3) = +18 - 6= +12 Pelo item i) de 7.3.2.2 , em x = (3 o gráfico possui concavidade voltada para cima, logo x = -3 é a abscissa do ponto mínimo local e o valor mínimo local da função é. Assim o ponto mínimo da função é P ((3, (33). Ponto de inflexão: Para encontrar o ponto de inflexão, fazemos f ’’(x)= 0, então se então x = (1 é a abscissa do ponto de inflexão. EXERCÍCIOS Determine os intervalos nos quais as funções abaixo são crescentes ou decrescentes. Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo: Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções, se existirem, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA. Determine as abscissas dos pontos máximos ou mínimos das seguintes funções, utilizando o teste da DERIVADA SEGUNDA. Imagine que a trajetória de uma pedra lançada ao ar seja um trecho da parábola dada por ( x e y em metros) , determine o ponto máximo da função. Se a potência P , em watts, que um certo gerador lança num circuito elétrico é dada por onde i é a intensidade de corrente elétrica que atravessa o gerador, em ampères, pede-se para que intensidade da corrente este gerador lança no circuito sua potência máxima? Encontre as abscissas dos pontos máximos , mínimos ou inflexão se existirem. Encontre a abscissa do ponto máximo relativo da função Uma lata cilíndrica deve conter 1000cm3 (um litro) de óleo. Como poderíamos escolher a altura e o raio desta lata para minimizar o material usado na confecção da lata? ( Baseado no ex 7 – pág 359 – Anton). Qual é altura máxima que uma bola arremessada por um atirador de beisebol, localizado à 7 m do solo , irá alcançar se ele lançá-la verticalmente para cima com velocidade de 100m/s? (James pg 283 ex 10) O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em t = 0 até a entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126 s é dado por ( em pés/s). Usando esse modelo, estime os valores máximo e mínimo absoluto da aceleração do ônibus entre o lançamento e a entrada do foguete auxiliar. Respostas E 180 a)crescente decrescente b) crescente decrescente c) crescente nos intervalos decrescente no intervalo E.181 E.182 E.183 E.184 P ( 2,20) E.185 I = 0,19 ampères E.186 E187 x = 0 E.188 h = 2r E 189 S = 507 m E 190 aceleração máxima: aproximadamente 62,87 pés/s e a aceleração mínima 21.52 pés/s aproximadamente. 3 2 x y Crescente f(x1)<f(x2) Decrescente f(x1)>f(x2) Constante f(x1)=f(x2) x y x y x y 2 0 (2 6 + - + Cresc decresc cresc Elaine CristinaFerruzzi _1149512819.unknown _1149597813.unknown _1151928439.unknown _1156595768.unknown _1156596856.unknown _1156597141.unknown _1156597281.unknown _1156597344.unknown _1156597271.unknown _1156597052.unknown _1156595869.unknown _1156596228.unknown _1156595816.unknown _1151953295.unknown _1151953493.unknown _1151954475.unknown _1151954610.unknown _1151954626.unknown _1151954496.unknown _1151954282.unknown _1151954424.unknown _1151953393.unknown _1151929319.unknown _1151953081.unknown _1151928440.unknown _1149598749.unknown _1149938192.unknown _1149940066.unknown _1149965943.unknown _1149966525.unknown _1149940218.unknown _1149938730.unknown _1149938913.unknown _1149938195.unknown _1149938183.unknown _1149938185.unknown _1149599003.unknown _1149937981.unknown _1149598471.unknown _1149598628.unknown _1149598697.unknown _1149598553.unknown _1149598184.unknown _1149598282.unknown _1149598025.unknown _1149515986.unknown _1149597527.unknown _1149597697.unknown _1149597766.unknown _1149597629.unknown _1149593589.unknown _1149593746.unknown _1149516108.unknown _1149513006.unknown _1149513188.unknown _1149515974.unknown _1149513185.unknown _1149512842.unknown _1149512996.unknown _1149512831.unknown _1149504618.unknown _1149505798.unknown _1149506194.unknown _1149512805.unknown _1149505846.unknown _1149505274.unknown _1149505728.unknown _1149505253.unknown _1149359532.unknown _1149503405.unknown _1149504617.unknown _1149503301.unknown _1148316103.unknown _1149358781.unknown _1149359491.unknown _1149358730.unknown _1148315877.unknown _1148316102.unknown _993483322.unknown _1148315853.unknown
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