AP2_Met Est I_ Gabarito.pdf

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL (AP2) 
1º Semestre de 2018 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
 
PARA RESOLVER OS PROBLEMAS 1 E 2, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. 
Em certa linha de montagem, quatro máquinas B1, B2, B3 e B4 produzem 30%, 20%, 15% e 
35% dos produtos, respectivamente. Sabe-se, de experiência anterior, que 2%, 4%, 3% e 2% 
dos produtos feitos por cada máquina, respectivamente, são defeituosos. Suponha que um 
produto já acabado seja selecionado aleatoriamente. 
1) (1,0 pt) Qual a probabilidade que ele não apresente defeito? 
2) (1,0 pt) Percebendo-se defeito neste produto, qual a probabilidade que ele tenha sido 
produzido por B1? 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
D: o produto apresenta defeito 
N: o produto não apresenta defeito. 
 
Temos então as seguintes probabilidades: 
98,0)|Pr(02,0)|Pr(
97,0)|Pr(03,0)|Pr(
96,0)|Pr(04,0)|Pr(
98,0)|Pr(02,0)|Pr(
35,0)Pr(
15,0)Pr(
20,0)Pr(
30,0)Pr(
44
33
22
11
4
3
2
1








BNBD
BNBD
BNBD
BNBD
B
B
B
B
 
 
1) 
Pede-se 
)Pr(N
. Pelo Teorema da Probabilidade Total, 
 
.9745,0343,01455,0192,0294,098,035,097,015,096,020,098,030,0
)|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()Pr( 44332211

 BNBBNBBNBBNBN
Logo: 
𝑷(𝑵) = 𝟎, 𝟗𝟕𝟒𝟓 
 
 
2) 
Aqui usemos o Teorema de Bayes. O que se pede é: 
 
 





)Pr(1
)|Pr()Pr(
)Pr(
)Pr(
)|Pr( 1111
N
BDB
D
DB
DB
 
 
.2353,0
0255,0
006,0
9745,01
02,030,0



 
Logo: 
𝑷(𝑩𝟏|𝑫) = 𝟎, 𝟐𝟑𝟓𝟑 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
PARA RESOLVER OS PROBLEMAS DE 3 A 6, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. 
Uma prova é composta de 5 (cinco) questões de múltipla escolha com 5 (cinco) alternativas cada 
((a), (b), (c), (d) e (e)), sendo apenas uma das alternativas correta. Para que um aluno seja aprovado 
é necessário que ele acerte pelo menos 80% da prova. Se ele acertar 20% da prova ou menos, ele 
será reprovado. Suponha que um aluno faça esta prova de forma aleatória (no chute). 
 
3) (0,5 pt) Qual a probabilidade de este aluno ser aprovado? 
4) (0,5 pt) Qual a probabilidade de este aluno ser reprovado? 
5) (0,5 pt) Qual o número de questões certas esperadas para este aluno? 
6) (0,5 pt) Qual o desvio padrão do número de questões certas deste aluno? 
 
Solução: 
Temos um problema de distribuição Binomial, onde n=5 e p=0,2 (5 alternativas, sendo uma 
correta). 
Seja X o número de questões certas. Como n=5, 80% representa 4 questões: 
 
3) 
100032,018,00016,05)8,0()2,0(
5
5
)8,0()2,0(
4
5
)5()4()4Pr( 0514 











 ppX
 
.00672,000032,00064,0 
 
Logo: 
𝑷(𝑿 ≥ 𝟒) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟐 
 
 
4) 
Para que ele acerte 20% ou menos, ele terá que errar pelo menos 4 questões. Isso significa que ele 
irá acertar no máximo 1 questão para ser reprovado. 
4096,02,0532768,011)8,0()2,0(
1
5
)8,0()2,0(
0
5
)1()0()1Pr( 4150 











 ppX
 
.73728,04096,032768,0 
 
Logo: 
𝑷(𝑿 ≤ 𝟏) = 𝟎, 𝟕𝟑𝟕𝟐𝟖 
 
 
5) 
 Como é um caso de Distribuição Binomial de Probabilidade, então a média será dada pela 
esperança: 
.12,05)(  npXE
 
Logo: 
1 questão certa. 
 
6) 
O desvio padrão segue a mesma lógica da média. Inicialmente, calculamos a variância para depois 
calcularmos o desvio padrão. 
 
.8,08,02,05)1()(  pnpXV
 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
 
𝜎 = √0,8 = 𝟎, 𝟖𝟗𝟒𝟒 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Uma moeda honesta é lançada 3 vezes e sua face voltada para cima é verificada. Defina a 
variável aleatória 𝑿 como sendo o número de vezes que a face “cara” cai voltada para cima. 
Sabendo que a probabilidade de sair cara é a mesma de sair coroa, resolva as questões de 7 a 
10. 
 
7) (1,0 pt) Obtenha a distribuição de probabilidades de 𝑋; 
8) (0,5 pt) Obtenha 𝐸(𝑋); 
9) (0,5 pt) Obtenha 𝑃(𝑋 ≥ 2); 
10) (1,0 pt) Obtenha a função de distribuição acumulada de 𝑋. 
 
Solução: 
Sejam os eventos: 
C: sair cara 
K: sair coroa. 
 
7. 
Ao lançar três vezes, existem as seguintes possibilidades para X: 𝑋 = 0, 𝑋 = 1, 𝑋 = 2, 𝑋 = 3. 
É possível listar todas as possibilidades: 
𝑋 = 0: (𝐾, 𝐾, 𝐾), 1 possibilidade. 
𝑋 = 1: (𝐶, 𝐾, 𝐾), (𝐾, 𝐶, 𝐾), (𝐾, 𝐾, 𝐶), 3 possibilidades. 
𝑋 = 2: (𝐶, 𝐶, 𝐾), (𝐶, 𝐾, 𝐶), (𝐾, 𝐶, 𝐶), 3 possibilidades. 
𝑋 = 3: (𝐶, 𝐶, 𝐶), 1 possibilidade. 
 
As possibilidades listadas acima listadas são o espaço amostral, com 8 possibilidades. 
 
Assim é possível montar a distribuição de probabilidades: 
 
𝑿 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 
𝒑(𝒙) 𝟏/𝟖 𝟑/𝟖 𝟑/𝟖 𝟏/𝟖 
 
 
 
8) 
𝐸(𝑋) = (0 ×
1
8
) + (1 ×
3
8
) + (2 ×
3
8
) + (3 ×
1
8
) = 0 +
3
8
+
6
8
+
3
8
=
12
8
=
𝟑
𝟐
. 
 
9) 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 𝑝(2) + 𝑝(3) =
3
8
+
1
8
=
4
8
=
𝟏
𝟐
. 
 
10) 
A função de distribuição acumulada será dada por: 
 
𝒇(𝒙) =
{
 
 
 
 
 
 
𝟎, 𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎
𝟏
𝟖
, 𝒔𝒆 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟏
𝟒
𝟖
, 𝒔𝒆 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟐
𝟔
𝟖
, 𝒔𝒆 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟑
𝟏, 𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟑
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Com os Dados da tabela abaixo referente a uma pesquisa sobre a frequência do uso telefone 
público (orelhão) de acordoo com a região onde mora, resolva as questões de 11 a 14. 
 
 Frequência de uso 
 
 
Região 
 Baixa Média Alta Total 
Central 10 17 24 51 
Subúrbio 12 16 21 49 
Metropolitana 11 12 13 36 
 Total 33 45 58 136 
Se uma pessoa dentre as pesquisadas for sorteada ao acaso, determine a probabilidade 
de ela: 
 
11) (0,5 pt) ter uma frequência média de uso do orelhão; 
12) (0,5 pt) morar na região central e ter uma frequência alta de uso do orelhão; 
13) (0,5 pt) morar no subúrbio ou ter uma frequência baixa de uso do orelhão; 
14) (0,5 pt) ter uma frequência alta de uso do orelhão dado que reside na região metropolitana. 
 
Solução: 
 
Inicialmente, vamos considerar os seguintes eventos: 
C: A pessoa mora na região central; 
S: A pessoa mora no subúrbio; 
Mt: A pessoa mora na região metropolitana; 
B: A pessoa tem baixa frequência de uso do orelhão; 
A: A pessoa tem alta frequência de uso do orelhão; 
M: A pessoa tem frequência média de uso do orelhão. 
 
11) 𝑃(𝑀) =
45
136
= 𝟎, 𝟑𝟑𝟎𝟖𝟖. 
12)𝑃(𝐶 ∩ 𝐴) =
24
136
= 𝟎, 𝟏𝟕𝟔𝟒𝟕. 
13)P(𝑆 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝑆) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝑆 ∩ 𝐵) =
49
136
+
33
136
−
12
136
=
70
136
= 𝟎, 𝟓𝟏𝟒𝟕. 
14)𝑃(𝐴|𝑀𝑡) =
𝑃(𝐴∩𝑀𝑡)
𝑃(𝑀𝑡)
=
13
136
36
136
=
13
36
= 𝟎, 𝟑𝟔𝟏𝟏. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Considere duas variáveis aleatórias 𝑿 e 𝒀 tais que a distribuição de 𝑿 seja 
 
𝑿 0 1 2 3 4 
𝒑(𝒙) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 
 
e 𝑬(𝒀) = 𝟓. Sabendo que 𝒁 =
𝑿+𝟐𝒀
𝟑
, responda as questões 15 e 16. 
 
15) (0,5 pt) Determine 𝐸(𝑋 + 1)2; 
16) (0,5 pt) Determine 𝐸(𝑍). 
 
Solução: 
 
15) 
Para o cálculo da 𝐸(𝑋 + 1)2, vamos encontrar a distribuição de (𝑋 + 1)2. Para isso, vamos somar 
os valores de X a 1 e elevar ao quadrado.Logo: 
 
(𝑋 + 1)2 (0 + 1)2 (1 + 1)2 (2 + 1)2 (3 + 1)2 (4 + 1)2 
𝑝(𝑥) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 
 
(𝑋 + 1)2 (1)2 (2)2 (3)2 (4)2 (5)2 
𝑝(𝑥) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 
 
(𝑋 + 1)2 1 4 9 16 25 
𝑝(𝑥) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 
 
𝐸(𝑋 + 1)2 = (1 × 0,2) + (4 × 0,2) + (9 × 0,2) + (16 × 0,2) + (25 × 0,2) 
 
= 0,2 + 0,8 + 1,8 + 3,2 + 5 = 𝟏𝟏. 
 
16) 
Para calcular 𝐸(𝑍) é preciso saber 𝐸(𝑋). 
 
𝐸(𝑋) = 0 + 0,2 + 0,4 + 0,6 + 0,8 = 2. 
 
𝐸(𝑍) = 𝐸 (
𝑋 + 2𝑌
3
) =
1
3
𝐸(𝑋 + 2𝑌) =
1
3
(𝐸(𝑋) + 2𝐸(𝑌)) =
1
3
(2 + (2 × 5)) =
1
3
(2 + 10) 
=
12
3
= 𝟒.