APOSTILA HIDRAULICA E HIDROLOGIA

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HIDRÁULICA E HIDROLOGIA 
 
 
 
 
 
 
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Prof. Msc. Marcos Fernando Macacari 
 
 
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PARTE I - INTRODUÇÃO 
 
1) CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
Alguns conhecimentos são fundamentais para que se possa estudar de forma 
adequada esta disciplina, como conhecimentos sobre conversão de unidades, 
unidades que podem ser medidas lineares, de área, de volume, de massa, de pressão, 
de temperatura, de energia, de potência. Outro conceito-base é o de Balanço, tanto 
Material quanto Energético. 
 
 Conversão de Unidades 
 
É necessário conhecer as correlações existentes entre medidas muito 
utilizadas em engenharia, como é o caso das medidas de temperatura, de pressão, de 
energia, de massa, de área, de volume, de potência e outras que estão sempre sendo 
correlacionadas. 
 
Alguns exemplos de correlações entre medidas lineares 
 
1 ft =12 in 
1 in =2,54 cm 
1 m =3,28 ft 
1 m =100 cm = 1.000 mm 
1 milha =1,61 km 
1 milha =5.280 ft 
1 km =1.000 m 
 
Alguns exemplos de correlações entre áreas 
 
1 ft2 = 144 in2 
1 m2 = 10,76 ft2 
1 alqueire = 24.200 m2 
1 km2 = 106 m2 
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Alguns exemplos de correlações entre volumes 
 
1 ft3 = 28,32 L 
 1 ft3 = 7,481 gal 
1 gal = 3,785 L 
1 m3 = 35,31 ft3 
1 m3 = 1.000 L 
 
Alguns exemplos de correlações entre massas 
 
1 kg = 2,2 lb 
1 lb = 454 g 
1 kg = 1.000 g 
1 t = 1.000 kg 
 
Alguns exemplos de correlações entre pressões 
 
1 atm = 1,033 kgf/cm2 
1 atm = 14,7 psi (lbf/in2) 
1 atm = 30 in Hg 
1 atm = 10,3 m H2O 
1 atm = 760 mm Hg 
1 atm = 34 ft H2O 
1 Kpa = 10–2 kgf/cm2 
 
 
Algumas observações sobre medições de pressão: 
 
– Pressão Absoluta = Pressão Relativa + Pressão Atmosférica 
– Pressão Barométrica = Pressão Atmosférica 
– Pressão Manométrica = Pressão Relativa 
 
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Alguns exemplos de correlações entre temperaturas 
 
tºC = (5/9)(tºF – 32) 
tºC = (9/5)(tºC) + 32) 
tK = tºC + 273 
tR = tºF + 460 (temperaturas absolutas) 
 
Algumas observações sobre medições de temperatura: 
 
Zero absoluto = – 273ºC ou – 460ºF 
 
Alguns exemplos de correlações entre potências 
 
1 HP = 1,014 CV 
1 HP = 42,44 BTU/min 
1KW = 1,341 HP 
1 HP = 550 ft.lbf/s 
1KW = 1 KJ/s 
1 KWh = 3.600 J 
1KW = 1.248 KVA 
 
Alguns exemplos de correlações de energia 
 
1 Kcal = 3,97 BTU 
1BTU = 252 cal 
1BTU = 778 ft.lbf 
1Kcal = 3,088 ft.lbf 
1Kcal = 4,1868 KJ 
1 cal = 4,18 J 
 
 
 
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 Noção de Balanço Material e Balanço Energético 
 
Balanço Material : se baseia na Lei de Lavoisier da Conservação das Massas; 
na natureza nada se perde, nada se cria, tudo se transforma. 
 
 Igual 
Massa que entra  PROCESSO  Massa que sai 
 
Balanço Energético : se baseia na 1° Lei da Termodinâmica (Conservação de 
Energia). 
 
 Igual 
Energia que entra  PROCESSO  Energia que sai 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PARTE II 
 
ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
A) NOÇÕES DE HIDROSTÁTICA 
 
Hidrostática é o ramo da Física que estuda a força exercida por e sobre 
líquidos em repouso. Este nome faz referência ao primeiro fluido estudado, a água, é 
por isso que, por razões históricas, mantém-se esse nome. Fluido é uma substância 
que pode escoar facilmente, não tem forma própria e tem a capacidade de mudar de 
forma ao ser submetido à ação e pequenas forças. Lembrando que a palavra fluido 
pode designar tanto líquidos como gases. 
 
1) ELEMENTOS DE HIDROSTÁTICA 
 
1.1) Massa específica ou densidade absoluta (  ) 
 
A massa específica é uma característica da substância que constitui o corpo e 
é obtida pelo quociente entre a massa e o volume do corpo, quando este é maciço e 
homogêneo. A unidade de massa específica no SI é o kg/m3, mas também é muito 
utilizada a unidade g/cm3. 
1 g/cm3 = 1000 kg/m3. 
 
 
Importante 
 
Densidade e densidade absoluta são grandezas físicas diferentes. Observe 
que podemos obter qualquer das duas grandezas utilizando a fórmula acima, porém, só 
teremos a densidade absoluta ou massa específica se o corpo em questão for maciço e 
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homogêneo, de outra forma, o que estaremos obtendo é uma característica do corpo 
chamada densidade. 
 - Massa específica ou densidade absoluta: característica da substância que 
compõe o corpo. 
 - Densidade: característica do corpo. 
 
 
1.2) Pressão 
 
Pressão é uma grandeza física obtida pelo quociente entre a intensidade da 
força (F) e a área (S) em que a força se distribui. 
 
 
 
No caso mais simples a força (F) é perpendicular à superfície (S) e a equação 
fica simplificada: 
 
 
A unidade de pressão no SI é o N/m2, também chamado de Pascal. 
Relação entre unidades muito usadas: 
1 atm = 760 mmHg = 105N/m2. 
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1.3) Pressão de uma coluna de líquido 
 
A pressão que um líquido de massa específica (µ), altura h, num local onde a 
aceleração da gravidade é g exerce sobre o fundo de um recipiente é chamada de 
pressão hidrostática e é dada pela expressão: 
 
 
 
Se houver dois ou mais líquidos não miscíveis, teremos: 
 
 
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1.4) Teorema de Stevin 
 
A diferença de pressão entre dois pontos, situados em alturas diferentes, no 
interior de um líquido homogêneo em equilíbrio, é a pressão hidrostática exercida pela 
coluna líquida entre os dois pontos. Uma consequência imediata do teorema de Stevin 
é que pontos situados num mesmo plano horizontal, no interior de um mesmo líquido 
homogêneo em equilíbrio, apresentam a mesma pressão. 
 
 
 
 
Se o ponto A estiver na superfície do líquido, a pressão em A será igual à 
pressão atmosférica. 
 
Então a pressão p em uma profundidade h é dada pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
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1.5) Princípio de Pascal 
 
A pressão aplicada a um líquido em equilíbrio se transmite integralmente a 
todos os pontos do líquido e das paredes do recipiente que o contém. 
 
Prensa hidráulica : 
 
 
P1 = P2 
 
 
 
 
Exemplo de aplicação: 
 
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1.6) Empuxo 
 
Empuxo é uma força vertical, orientada de baixo para cima, cuja intensidade é 
igual ao peso do volume de fluido deslocado por um corpo total ou parcialmente 
imerso. 
 
 
 
Na Esfera A : E = P 
A esfera A está em repouso, flutuando na superfície do líquido. Isto acontece 
quando a densidade do corpo é menor que a densidade absoluta do líquido e, neste 
caso, o empuxo recebido pelo corpo é igual ao seu peso do volume de fluido 
deslocado. 
 
Na Esfera B : E = P 
A esfera B está em repouso e totalmente imersa no líquido. Isto acontece 
quando a densidade do corpo é igual à densidade absoluta do líquido e, neste caso, o 
empuxo recebido pelo corpo é igual ao seu peso. 
 
Na Esfera : E + N = P 
A esfera C está em repouso, apoiada pelo fundo do recipiente. Isto acontece 
quando a densidade do corpo é maior que a densidade absoluta do líquido e, neste 
caso, o empuxo é menor que o peso do corpo. 
 
 
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1.7) Peso aparente 
 
É a diferença entre o peso do corpo e o empuxo que ele sofreria quando 
imerso no fluido. 
 
 
1.8) Sistema de vasos comunicantes 
 
Para entender esse sistema, é importante pensar em um recipiente que possui 
alguns ramos que são capazes de se comunicar entre si : 
 
Como podemos observar na figura acima, o recipiente está cheio com apenas 
um líquido em equilíbrio, portanto podemos concluir que: 
 
1- A superfície que estiver sem líquido, será horizontal e irá atingir a mesma 
altura de h. 
2- Quando os pontos do líquido estiverem na mesma altura z, a pressão dos 
pontos será a mesma. 
 
Portanto: 
 
 
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As duas propriedades acima (1 e 2), “percorrem” a Lei de Stevin. 
 
Um outro exemplo, porém agora com dois líquidos homogêneos, representados 
por A e B e que não podem se misturar (imiscíveis): 
 
 
 
Se o sistema estiver em total equilíbrio e sob a ação da gravidade, 
conseguiremos igualar as pressões, no ponto 1 e no ponto 2 da figura acima, pois eles 
pertencem ao mesmo líquido, no caso pertencem ao líquido A, e consequentemente 
pertencem também ao mesmo plano horizontal. 
 
Portanto: 
 
 
Com isso pode- se concluir que as duas alturas líquidas da figura acima, que 
são medidas partindo de uma superfície de separação, são inversamente proporcionais 
ás próprias densidades. 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Qual a pressão manométrica dentro de uma tubulação onde circula ar se 
o desnível do nível do mercúrio observado no manômetro de coluna é de 4 mm? 
Considere: densidade do Mercúrio = ρhg = 13600 kg/m
3 e aceleração 
gravitacional g = 9,81 m/s2 
 
 Resolução: 
 
Observando o Princípio de Stevin, calculamos a pressão manométrica da 
tubulação através da seguinte equação: 
 
pmanométrica = ρhg . g . h = 13600 x 9,81 x 0,004 = 533,6 Pa 
 
A pressão absoluta é a soma dessa pressão com a pressão atmosférica 
(101325 Pascals). 
 
pabsoluta = pmanométrica + patmosférica 
 
pabsoluta = 533,6 + 101325 
 
pabsoluta = 101858,6 Pa 
 
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2) Para se medir a pressão absoluta de um gás (Pgás_abs) usa-se um 
manômetro, que consiste de um tubo em forma de U contendo Hg (ρ= 13,6x103 kg/m3). 
Com base na figura, e sendo a pressão atmosférica ρatm = 1,0x10
5 N/m2, determine 
Pgás_abs. Considere a aceleração da gravidade local g= 10 m/s
2. 
 
 
 
 
Resposta: Pgás_abs = 113.600 N/m
2 
 
3) Um reservatório do DAEE, situado no alto do Bairro Paraiso Unip, possui 
uma altura de aproximadamente 20 m. Qual a pressão efetiva que o chão irá sustentar 
quando o reservatório estiver completamente cheio? Dados: massa específica da água: 
ρ= 1x103 kg/m3 ; aceleração da gravidade g= 10 m/s2. 
 
Resposta: 200.000 Pa 
 
4) Uma prensa hidráulica possui pistões com diâmetros 10 cm e 20 cm. Se 
uma força de 120 N atua sobre o pistão menor, pode-se afirmar que esta prensa estará 
em equilíbrio quando sobre o pistão maior atuar uma força de? 
 
Resposta: 480 N 
 
 
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5) Um consumidor, desconfiado da qualidade da gasolina que comprou em 
um posto, resolveu testar a sua densidade. Em um sistema de vasos comunicantes 
contendo inicialmente água (ρr= 1), despejou certa quantidade de gasolina. Após o 
equilíbrio, o sistema adquiriu a aparência abaixo representada. Determine a densidade 
da gasolina comprada. 
 
Resposta : 800 kg / m3 
 
 
6) Um grande reservatório contém dois líquidos A e B, cujas densidades 
relativas são, respectivamente, ρrA= 0,70e ρrB= 1,5 (veja a figura). A pressão 
atmosférica local é de 1,0x105 N/m2 . Qual é, em N/m2 , a pressão absoluta nos pontos 
(1), (2) e (3)?. Dado: aceleração da gravidade g= 10 m/s2. 
 
Resposta: P1_abs = 1,0x10
5 Pa ; P2_abs = 1,7x10
5 Pa e P3_abs = 2,9x10
5 Pa 
 
 
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7) Um mecânico equilibra um automóvel, usando um elevador hidráulico. O 
automóvel pesa 800 kgf e está apoiado em um pistão cuja área (A2) é de 2.000 cm2. 
Determine o valor da força (F1) que o mecânico está exercendo, sabendo-se que a 
área do pistão (A1) no qual ele atua é de 25 cm2. 
 
Resposta: 10 kgf 
 
8) Na reprodução da experiência de Torricelli em um determinado dia, em 
Bauru, o líquido manométrico utilizado foi o mercúrio, cuja densidade é 13,6 g/cm3 , 
tendo-se obtido uma coluna com altura igual a 70 cm, conforme a figura. Se tivesse 
sido utilizado como líquido manométrico um óleo com densidade de 0,85 g/cm3 ,qual 
teria sido a altura da coluna de óleo? Justifique sua resposta. 
 
Resposta: 11,2 m 
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9) O tubo aberto em forma de U da figura contém dois líquidos não 
miscíveis, A e B, em equilíbrio. As alturas das colunas de A e B, medidas em relação à 
linha de separação dos dois líquidos, valem 50 cm e 80 cm, respectivamente. 
a) Sabendo que a massa específica de A é 2,0x103 g/cm3 , determine a 
massa específica do líquido B. 
b) Considerando g= 10 m/s2 e a pressão atmosférica igual a 1,0x105 N/m2 , 
determine a pressão absoluta no interior do tubo na altura da linha de separação dos 
dois líquidos. 
 
Resposta: a) 1250 kg/m3 e b) 110000 N/m2 (ou Pa) 
 
10) Uma pessoa, com o objetivo de medir a pressão interna de um botijão de 
gás contendo butano, conecta à válvula do botijão um manômetro em forma de U, 
contendo mercúrio. Ao abrir o registro R, a pressão do gás provoca um desnível de 
mercúrio no tubo, como ilustrado na figura. Considere a pressão atmosférica dada por 
105 Pa, o desnível h= 104 cm de Hg e a secção do tubo 2 cm2 . Adotando a massa 
específica do mercúrio igual a 13,6 g/cm3 e g= 10 m/s2, calcule a pressão do gás. 
 
Resposta: 141.440 Pa 
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11) O reservatório indicado na figura contém ar seco e óleo. O tubo que sai do 
reservatório contém óleo e mercúrio. Sendo a pressão atmosférica normal, determine a 
pressão do ar no reservatório. (Dar a resposta em Pa). Dados: densidade do mercúrio 
13,6 g/cm3 ; densidade do óleo 0,80 g/cm3. 
 
 
Resposta: A situação descrita é inviável, portanto sem resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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B) NOÇÕES DE HIDRODINÂMICA 
 
A hidrodinâmica é o estudo de fluidos em movimento. É um dos ramos mais 
complexos da Mecânica dos Fluidos, como se pode ver nos exemplos mais corriqueiros 
de fluxo, como um rio que transborda, uma barragem rompida, o vazamento de 
petróleo e até a fumaça retorcida que sai da ponta acesa de um cigarro. Embora cada 
gota d'água ou partícula de fumaça tenha o seu movimento determinado pelas leis de 
Newton, as equações resultantes podem ser complicadas demais. 
Felizmente, muitas situações de importância prática podem ser representadas 
por modelos idealizados, suficientemente simples para permitir uma análise detalhada 
e fácil compreensão 
 
1) ELEMENTOS DE HIDRODINÃMICA 
 
1.1) Viscosidade 
 
É a propriedade dos fluidos que está associada à maior ou menor resistência 
que eles oferecem ao seu próprio escoamento. 
Esta resistência se explica pelo atrito interno que ocorre entre as moléculas 
que compõe o fluido, movimentando-se umas contra as outras, e por atrito dessas 
moléculas com as paredes do recipiente que as contém. 
Os fluidos com alta viscosidade como o melado ou mel, fluem mais lentamente 
que aqueles com baixa viscosidade como a água. Todos os fluidos, líquidos e gases, 
têm certo grau de viscosidade. Alguns materiais, como o piche, que parecem sólidos, 
são na realidade altamente viscosos e fluem muito lentamente. O grau de viscosidade 
é importante em muitas aplicações. Por exemplo, a viscosidade do óleo do motor 
determina o quanto ele pode efetivamente lubrificar as partes de um motor de 
automóvel. 
Um escoamento simples está mostrado na figura abaixo para ilustrar a 
definição de viscosidade. 
 
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F1 : força aplicada sobre a placa superior a favor do sentido de escoamento do 
fluido. 
  : força ou tensão de cisalhamento:  = 
A
F1
 
V : velocidade de escoamento do fluido: V = 
dy
du
 
 
 
1.2) Lei de Newton para a viscosidade 
 
 
A
F
  
dy
du
 => 
A
F
 =  .
dy
du
 
 
 Ou 
 
   V =>  =  . V ( Lei de Newton ) 
 
 
 
 
F1 
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1.2.1) Tipos de Viscosidade 
 
a) Viscosidade Dinâmica (  ) 
 
Está relacionada com a Lei de Newton, onde a constante ou coeficiente de 
proporcionalidade “  ” é denominada VISCOSIDADE ABSOLUTA ou VISCOSIDADE 
DINÂMICA. 
Os fluidos que obedecem a Lei de Newton para a Viscosidade, são 
denominados de “FLUIDOS NEWTONIANOS” . São fluidos que apresentam 
viscosidade constante. 
São exemplos de fluidos newtonianos : água, ar, óleo, glicerina, etc. 
 
Já os fluidos que não obedecem a Lei de Newton para a Viscosidade, são 
chamados de “FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS” . São fluidos que apresentam 
viscosidade variável. 
 
São exemplos de fluidos newtonianos : Ketchup, amido + água . 
 
 
b) Viscosidade Cinemática ( ע ) 
 
É aquela que se obtém quando se relaciona a viscosidade dinâmica (  ) com a 
massa específica (  ) do fluido: 
 
 
 
 
 
 
 
ע = 

k 
 
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1.2.2) Unidades de Viscosidade 
 
A unidade física de viscosidade no Sistema Internacional de Unidades é o 
pascal-segundo (Pa·s), que corresponde exatamente a 1 N.s/m² ou 1 kg/(m.s). Na 
França intentou-se estabelecer o poiseuille (Pl) como nome para o Pa.s, sem êxito 
internacional. Deve-se prestar atenção em não confundir o poiseuille com o poise, 
chamado assim pela mesma pessoa. 
 
a) Viscosidade Dinâmica 
 
A unidade no Sistema CGS de unidades para a viscosidade dinâmica é o poise 
(p), cujo nome homenageia a Jean Louis Marie Poiseuille. Sendo mais usado o seu 
submúltiplo: o centipoise (cp). O centipoise é mais usado devido a que a água tem uma 
viscosidade de 1,0020 cp a 20 °C. 
 
1 poise = 100 centipoise = 1 g/(cm·s) = 0,1 Pa s. 
 
b) Viscosidade cinemática 
 
Se obtém com o cociente da viscosidade dinâmica (ou absoluta) e a densidade. 
A unidade no SI é o (m²/s). A unidade física da viscosidade cinemática no Sistema 
CGS é o stokes (abreviado S ou St), cujo nome provém de George Gabriel Stokes. Às 
vezes se expressa em termos de centistokes (cS o cSt). 
 
1 stokes = 100 centistokes = 1 cm²/s = 0,0001 m²/s. 
 
 
 
 
 
 
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1.2.3) Tabelas Ilustrativas de Viscosidade 
 
A tabela abaixo mostra os coeficientes de viscosidade de alguns líquidos 
“newtonianos” a 20°C. 
 
 
viscosidade (Pa·s) 
álcool etílico 0,248 × 10
−3
 
acetona 0,326 × 10
−3
 
metanol 0,597 × 10
−3
 
álcool propílico 2,256 × 10
−3
 
benzeno 0,64 × 10
−3
 
água 1,0030 × 10
−3
 
nitro benzeno 2,0 × 10
−3
 
mercúrio 17,0 × 10
−3
 
ácido sulfúrico 30 × 10
−3
 
óleo de oliva 81 × 10
−3
 
óleo de rícino 0,985 
glicerol 1,485 
polímero derretido 10
3
 
piche 10
7
 
vidro 10
40
 
Sangue 
 
 
A tabela abaixo mostra os coeficientes de viscosidade de alguns gases a 0°C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
viscosidade (Pa·s) 
hidrogênio 8,4 × 10
−6
 
ar 17,4 × 10
−6
 
xenônio 21,2 × 10
−6
 
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1.3) Medida ou determinação da viscosidade de um fluido 
 
Na prática, a determinação da viscosidade de um fluido, é feita através de um 
instrumento denominado viscosímetro. 
Um viscosímetro, também designado por viscómetro, consiste num instrumento 
usado para medição da viscosidade de um fluido. 
Existem diversos tipos de viscosímetros, de entre os quais se destacam pela 
sua importância e aplicação industrial, o viscosímetro capilar ou viscosímetro de 
Ostwald, o viscosímetro de esfera em queda ou viscosímetro de bola e o viscosímetro 
rotativo. 
No que diz respeito ao primeiro, o viscosímetro capilar ou de Ostwald, é 
utilizado para líquidos e baseia-se na determinação de alguns dos parâmetros 
relacionados com a fricção desenvolvida por um líquido quando este escoa no interior 
de um capilar. 
Este tipo de viscosímetro é essencialmente um tubo em U, sendo que um dos 
seus ramos é um tubo capilar fino ligado a um reservatório superior. O tubo é mantido 
na vertical e coloca-se uma quantidade conhecida de um líquido no reservatório, 
deixando-se escoar sob a ação da gravidade através do capilar. 
 A medida da viscosidade é o tempo que a superfície de líquido no reservatório 
demora a percorrer o espaço entre duas marcas gravadas sobre o mesmo. 
O viscosímetro de esfera em queda ou de bola, possibilita a medição da 
velocidade de queda de uma esfera no seio de uma amostra de fluído, cuja viscosidade 
se pretende determinar. Este tipo de viscosímetro é baseado na lei de Stokes, 
enunciada pelo físico e matemático irlandês George Gabriel Stokes, que nasceu em 
Skreen a 13 de Agosto de 1819 e que faleceu em Cambridge a 1 de fevereiro de 1903. 
Este método consiste em diversos tubos contendo líquidos padrões de 
viscosidades conhecidas, com uma bola de aço em cada um deles. O tempo que a bola 
leva A descer o comprimento do tubo depende da viscosidade do líquido. Colocando-se 
a amostra num tubo semelhante, pode determinar-se aproximadamente a sua 
viscosidade por comparação com os outros tubos. 
 
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Finalmente, o viscosímetro rotativo é o mais usado na indústria e mede a força 
de fricção de um motor que gira, devido a um sistema de pesos e roldanas, no seio de 
um fluído que se pretende estudar. 
 
Imagens de Viscosímetros 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4) Regimes de Escoamento dos Fluidos 
 
Inicialmente, vamos considerar apenas o que é chamado fluido ideal, isto é, um 
fluido incompressível e que não tem força interna de atrito ou viscosidade. A hipótese 
de incompressibilidade é válida com boa aproximação quando se trata de líquidos; 
porém, para os gases, só é válida quando o escoamento é tal que as diferenças de 
pressão não são muito grandes. 
O caminho percorrido por um elemento de um fluido em movimento é chamado 
linha de escoamento.Em geral, a velocidade do elemento varia em módulo e direção, 
ao longo de sua linha de escoamento. Se cada elemento que passa por um ponto tiver 
a mesma linha de escoamento dos precedentes, o escoamento é denominado estável 
ou estacionário. 
No início de qualquer escoamento, o mesmo é instável, mas, na maioria dos 
casos, passa a ser estacionário depois de um período de tempo. A velocidade em cada 
ponto do espaço, no escoamento estacionário, permanece constante em relação ao 
tempo, embora a velocidade de uma determinada partícula do fluido possa variar ao 
longo da linha de escoamento. 
Linha de corrente é definida como uma curva tangente, em qualquer ponto, 
que está na direção do vetor velocidade do fluido naquele ponto. No fluxo estacionário, 
as linhas de corrente coincidem com as de escoamento. 
 
 
1.4.1) Tipos de Escoamento 
 
O movimento de fluidos pode se processar, fundamentalmente, de duas 
maneiras diferentes: 
 
 escoamento laminar (ou lamelar); 
 escoamento turbulento. 
 
 
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O escoamento laminar caracteriza-se pelo movimento ordenado das 
moléculas do fluido, e todas as moléculas que passam num dado ponto devem possuir 
a mesma velocidade. O movimentodo fluido pode, em qualquer ponto, ser 
completamente previsto. 
 
 
 
 
O escoamento turbulento é o contrário do escoamento laminar. O movimento 
das moléculas do fluido é completamente desordenado; moléculas que passam pelo 
mesmo ponto, em geral, não têm a mesma velocidade e torna-se difícil fazer previsões 
sobre o comportamento do fluido. 
 
 
 
 
O escoamento turbulento não é interessante devido às desvantagens e perigos 
que sua presença pode acarretar. Quando um corpo se move através de um fluido, de 
modo a provocar turbulência, a resistência ao seu movimento é bastante grande. Por 
esta razão, aviões, carros e locomotivas são projetados de forma a evitar turbulência. 
 
 
 
 
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1.5) Vazão 
 
1.5.1) Conceitos Básicos de Vazão 
 
O conceito de vazão é fundamental praticamente para todos os estudos dos 
fluidos, seja para uma instalação hidráulica de abastecimento, seja para o estudo de 
drenagem, seja para o estudo de geração de energia através de turbina, para todos 
estes estudos o parâmetro inicial a ser conhecido é a vazão. 
 
a) Conceito de Vazão em Volume ou Simplesmente Vazão ( Q ) 
 
Vazão é a quantidade em volume de fluido que atravessa uma dada seção do 
escoamento por unidade de tempo. 
 
Nota: A determinação da vazão pode ser direta ou indireta; considera-se 
forma direta sempre que para a sua determinação recorremos a equação acima e 
forma indireta quando recorremos a algum aparelho, como por exemplo, Venturi, onde: 
 
, sendo a variação de pressão entre duas seções do 
aparelho, respectivamente uma de área máxima e uma de área mínima. 
 
b) Conceito de Vazão em Massa ( Qm ) 
 
Vazão em massa é a quantidade em massa do fluido que atravessa uma dada 
seção do escoamento por unidade de tempo. 
 
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Nota: O conceito de vazão em massa é fundamental para o estudo de 
escoamentos onde a variação de temperatura não é desprezível. 
 
c) Conceito de Vazão em Peso ( QG ) 
 
Vazão em peso é a quantidade de peso do fluido que atravessa uma dada 
seção do escoamento por unidade de tempo. 
 
 
d) Relação entre Vazão em Peso (QG), Vazão em Massa (Qm) e Vazão 
em Volume (Q) 
 
Para obtenção desta relação, evocamos os conceitos de peso específico (γ = 
G/V) e massa específica (ρ = m/v), através dos mesmos, obtemos a relação deseja. 
 
 
 
 
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d.1) Unidades de QG, Qm e Q 
 
Para que possamos evocar as suas principais unidades, introduzimos 
inicialmente as suas equações dimensionais. 
 
Conhecendo-se as equações dimensionais, podemos estabelecer as suas 
principais unidades, por exemplo: 
 
São ainda muito usadas as unidades litro por segundo e metro cúbico por hora 
(m3/h). 
 
e) Cálculos da vazão 
 
Se tivermos num condutor um fluido em escoamento uniforme, isto é, o fluido 
escoando com velocidade constante, a vazão poderá ser calculada multiplicando-se a 
velocidade (V) do fluido, em dada seção do condutor, pela área (A) da seção 
considerada, ou seja: 
 
Q = A x V 
Para demonstrar, suponha-se um condutor de seção constante : 
 
 
L 
1 2 
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O volume escoado entre as seções (1) e (2) de área A é igual : 
 
V = A x L , onde : 
 
L = v x t ( movimento uniforme ), e daí têm-se que : 
 
V = A x v x t 
 
V = A x v 
t 
Como Q = V , tem-se : Q = A x V 
 t 
 
e.1) Exemplos práticos 
 
1) Um condutor de 20 cm2 de área de secção reta despeja gasolina num 
reservatório. A velocidade de saída da água é de 60 cm3/s. Qual a vazão do fluido 
escoado? 
 
 
Resolução : 
 
Sabemos que a vazão Q é dada por Q = V/T ou Q = A.V 
Neste caso, torna-se evidente que devemos usar a relação Q = A.v, porque 
conhecemos a velocidade do fluido e a área da secção reta do condutor. 
 
V = 60 cm3/s A = 20 cm2 
Q = A.v 
Q = 20 x 60 
Q = 1.200 cm3/s 
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Suponha que, no exemplo, o reservatório tenha 1.200.000 cm3 de capacidade. 
Qual o tempo necessário para enchê-lo? 
 
Resolução : 
 
Temos V = 1.200.000 cm3 
Q = 1.200 cm3/s 
T = ? 
 
Aplicando a relação Q = V/ t, tiramos t = V/Q 
 
t = 1.200.000/1.200 t = 1.000 segundos 
t = 16 minutos 40 s 
 
 
2) Uma bomba transfere óleo diesel em um reservatório à razão de 20 m3/h. 
Qual é o volume do reservatório, sabendo-se que ele está completamente cheio após 3 
horas de funcionamento de bomba ? 
 
Resolução : 
 
Temos que Q = 20 m3/h 
t = 3 h 
V = ? 
Q = V/ t => V = Q . t 
V = 20 x 3 
V = 60 m3 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Uma mangueira é conectada em um tanque com capacidade de 10000 
litros. O tempo gasto para encher totalmente o tanque é de 500 minutos. Calcule a 
vazão máxima da mangueira em litros/seg. 
 
Resposta: Q=0,33 litros/S 
 
 
2) Qual a vazão de água (em litros por segundo) circulando através de um 
tubo de 32 mm de diâmetro, considerando a velocidade da água como sendo 4 m/s? 
Lembre-se que 1 m3 = 1000 litros 
 
Resposta: Q=0,0032 m3/s ou 3,2 L/s 
 
 
3) Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é 
de 2 litros/s? 
 
Resposta: V=4,08 m/s 
 
 
4) Calcular a vazão de um fluido que escoa por uma tubulação com uma 
velocidade média de 1,4 m/min., sabendo-se que a área da seção da tubulação é igual 
a 42cm². 
 
Resposta: Q= 98cm³/s 
 
 
5) Calcular o tempo que levará para encher um tambor de 214,56 litros, 
sabendo-se que a velocidade de escoamento do líquido é de 35,21cm/s e o diâmetro 
do tubo conectado ao tambor é igual a 2 polegadas. 
 
Resposta: Tempo= 5 minutos 
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6) Calcular o diâmetro de uma tubulação, sabendo-se que pela mesma, 
escoa água a uma velocidade de 0,06m/s. A tubulação está conectada a um tanque 
com volume de 12000 litros e leva 1 hora, 5 minutos e 49 segundos para enchê-lo 
totalmente. 
 
Resposta: Ø comercial= 10’’ 
 
 
7) Calcular o volume de um reservatório, sabendo-se que a vazão de 
escoamento de um líquido é igual a 5 l/s. Para encher o reservatório totalmente são 
necessárias 2 horas. 
 
Resposta: V= 36m³ 
 
 
8) No entamboramento de um determinado produto são utilizados tambores 
de 214 litros. Para encher um tambor levam-se 20 min. Calcule: 
a) A vazão da tubulação utilizada para encher os tambores . 
Resposta: Q= 10,7 l/min 
 
b) O diâmetro da tubulação, em polegadas, sabendo-se que a velocidade de 
escoamento é de 528 mm/min 
Resposta: Ø comercial = 6’’ 
 
c) A produção no final do dia, desconsiderando-se o tempo de deslocamento 
dos tambores. 
Resposta: 72 tambores 
 
 
 
 
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9) No tubo da figura a seguir, determine: 
a) a vazão em volume (Resposta: 1l/s ) 
b) a velocidade de escoamento na seção (2); 
(Resposta: 200 cm/s ) 
 
 
10) Calcule a vazão em massa de um produto que escoa por uma tubulação 
de 12” de diâmetro, sendo que a velocidade de escoamento é igual a 900 mm/min. 
Dados: massa especifica = 1200 kg/m³ 
 
Resposta: 78,76kg/min 
 
 
11) Baseado no exercício anterior, calcule o tempo necessário para carregar o 
tanque de um caminhão com 25 toneladas do produto. 
 
Resposta: 5 horas, 17 minutos e 24 segundos 
 
 
12) A vazão volumétrica de um determinado fluído é igual a 10 l/s. Determine 
a vazão mássica desse fluído, sabendo-se que a massa específica do fluído é 0,08 
g/cm3. 
 
Resposta: 800g/s 
 
 
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1.6) Equação da continuidade nos escoamentos 
 
Dizemos que um fluido encontra-se escoando em regime permanente quando a 
velocidade, num dado ponto, não varia com o tempo. 
 
 
Assim, considerando vários pontos quaisquer no interior de um fluido, estes 
estarão em regime permanente, desde que toda partícula que chegue a cada um 
desses pontos, passe com a mesma velocidade e na mesma direção. Porém não há 
obrigação que as velocidades sejam iguais em todos os pontos. O importante é que 
toda partícula que passe por cada um deles isoladamente tenha a mesma velocidade. 
Se unirmos os pontos da figura acima, teremos trajetória de qualquer partícula 
que tenha passado pelo ponto mais baixo da curva. Esta trajetória é conhecida pelo 
nome de Linha de Corrente. 
Suponha-se, agora, um fluido qualquer escoando em regime permanente no 
interior de um condutor de secção reta variável. 
 
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A velocidade do fluido no ponto A1 é V1, e no ponto A2 é V2. A1 e A2 são 
áreas da secção reta do tubo nos dois pontos considerados. 
Já foi visto que Q = V/ t e Q = A.v, portanto pode-se escrever que: 
 
V/ t = A . v 
V = A . v . t 
 
Sabe-se, ainda, que a massa específica é definida pela relação: 
 
μ = m / V 
m = μ . V 
m = μ . A . v . t 
 
Pode-se, então, dizer tendo em vista esta última equação, que a massa de 
fluido passando através da secção A1 por segundo é m1 = μ1 . A1 . v1; e que a massa 
de fluido que atravessa a secção A2, em cada segundo é igual a m2 = μ2 . A2 . v2. 
A massa de fluido, porém, permanece constante, desde que nenhuma partícula 
fluida possa atravessar as paredes do condutor. 
Portanto, é possível escrever: 
 
μ1.A1.v1 = μ2.A2.v2 
 
Esta é a Equação da Continuidade nos escoamentos em regime permanente. 
Se o fluido for incompressível, não haverá variação de volume e, portanto, μ1 = μ2 e a 
Equação da Continuidade toma uma forma mais simples, qual seja A1.v1 = A2.v2 ou 
Q1 = Q2. 
Esta relação mostra que onde a área da secção do condutor for maior, a 
velocidade de escoamento da massa fluida é menor e vice-versa. 
 
 
 
 
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a) Exemplos práticos 
 
1) Um duto de secção retangular possui um estreitamento cuja área de secção 
é de 100 cm2. Certo líquido flui no duto à razão de 90 litros/min. Calcular a velocidade 
do líquido no estreitamento. 
 
Resolução : 
 
O problema fornece vazão do líquido no interior do duto em sua parte mais 
larga. 
Sabe-se que: 
Q1 = Q2 
Q1 = A2 . v2 
Logo, v2 = Q1/A2 
Deve-se estar atentos para as unidades. 
 
Trabalhemos no sistema CGS. 
 
Q1 = 90 l/ min = 90 dm3/60s = 90.000 cm3/60s 
Q1 = 1.500 cm3/s 
 
V2 = Q1/A2 
 
V2 = 1.500/100 
V2 = 15 cm/s 
 
 
 
 
 
 
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40 
2) Calcular a velocidade do fluido na parte mais larga do condutor mostrado na 
figura abaixo: 
 
 
v1 = 5 ,0 cm/s v2 = ? 
 
 
A1 = 40 cm
2 A2 = 150 cm
2 
 
Aplica-se a Equação da Continuidade: 
 
A1 . v1 = A2 . v2 => v2 = 
2
1.1
A
vA
 
 
=> v2 = 
150
540x
 => v2 = 
150
200
 = 1,3 cm / s 
 
 
 
3) 50 litros/s escoam no interior de uma tubulação de 8”. Esta tubulação, de 
ferro fundido, sofre uma redução de diâmetro e passa para 6”. Sabendo-se que a 
parede da tubulação é de ½” , calcule a velocidade nos dois trechos. 
 
 
Resposta: V1 = 2,0 m/s ( sim ) V2 = 3,90 m/s (não) 
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4) No início de uma tubulação de 20 m de comprimento, a vazão é de 250 
litros/h. Ao longo deste trecho são instalados gotejadores com vazão de 4 litros/h cada, 
distanciados de 0,5 m. Calcule a vazão no final do trecho 
 
Resposta: Q final = 90 L/h 
 
5) Um projeto fixou a velocidade V1 para uma vazão Q1, originando um 
diâmetro D1. Mantendo-se V1 e duplicando-se Q1, demonstre que o diâmetro terá que 
aumentar 41%. 
 
Resposta: D2 = 1,41 D1 ( D2 é 41 % maior que o D1) 
 
6) O motor a jato de um avião queima 1kg/s de combustível quando a aeronave 
voa a 200m/s develocidade. Sabendo-se que massa específica_ar=1,2kg/m³ e massa 
específica_gases=0,5kg/m³ (gases na seção de saída) e que as áreas das seções 
transversais da turbina são A1 = 0,3m² e A2 = 0,2m², determine a velocidade dos gases 
na seção de saída. 
 
 
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1.7) Número de Reynolds ( Re ) 
 
Quando a velocidade de um fluido que escoa em um tubo excede certo valor 
crítico, o regime de escoamento passa de lamelar para turbulento, exceto em uma 
camada extremamente fina junto à parede do tubo, chamada camada limite, onde o 
escoamento permanece laminar. Além da camada limite, onde o escoamento é 
turbulento, o movimento do fluido é altamente irregular, caracterizado por vórtices 
locais e um grande aumento na resistência ao escoamento. 
O regime de escoamento, se lamelar ou turbulento, é determinado pela 
seguinte quantidade adimensional, chamada Número de Reynolds: 
O coeficiente, número ou módulo de Reynolds (abreviado como Re) é um 
número adimensional usado em mecânica dos fluidos para o cálculo do regime de 
escoamento de determinado fluido sobre uma superfície. É utilizado, por exemplo, em 
projetos de tubulações industriais e asas de aviões. 
O conceito foi introduzido por George Gabriel Stokes em 1851, mas o número 
de Reynolds tem seu nome oriundo de Osborne Reynolds, um físico e engenheiro 
hidráulico irlandês (1842–1912), quem primeiro popularizou seu uso em 1883. 
O seu significado físico é um quociente de forças: forças de inércia (ρʋ ) entre 
forças de viscosidade (μ/D). É expressado como 
 
Sendo: 
 ʋ - velocidade média do fluido 
 D - longitude característica do fluxo, o diâmetro para o fluxo no tubo 
 μ - viscosidade dinâmica do fluido 
 ρ - massa específica do fluido 
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43 
Verifica-se experimentalmente que o escoamento de um fluido qualquer é: 
 
 Lamelar, se Re < 2.000 
 Turbulento, se Re > 4.000 
 Instável, isto é, mudando de um regime para outro, se 2.000 < Re < 
4.000 
 
Reynolds, estudando a causa destas duas diferentes leis de atrito nos fluidos, 
descobriu que a mudança da lei de primeira potência para a de segunda potência não 
era gradual, mas sim, brusca, e ocorria, para qualquer fluido dado e qualquer aparato 
de medida, sempre na mesma velocidade crítica. 
Reynolds mostrou experimentalmente que esta mudança acontecia 
simultaneamente com a mudança no regime do escoamento do fluido no aparato de 
medida, de laminar para turbulento. 
O experimento consistia em introduzir um fio de líquido colorido no centro de 
um tubo através do qual o mesmo líquido, sem corante, escoava com uma velocidade 
controlada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A baixas velocidades de escoamento, o fio de líquido colorido permanecia reto 
e contínuo pelo comprimento do tubo e quando certa velocidade crítica era atingida, a 
linha colorida era violentamente agitada e sua continuidade destruída por curvas e 
vórtices, revelando assim fluxo turbulento. Exatamente nesta velocidade crítica é que a 
lei de atrito no fluido passava de uma lei de primeira potência para uma de segunda 
potência. 
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1.8) Perda de Carga 
 
1.8.1) Conceito 
 
Quando um líquido escoa de um ponto para outro no interior de um tubo, 
ocorrerá sempre uma perda de energia, denominada perda de pressão (Sistemas de 
ventilação ou exaustão) ou perda de carga (Sistemas de bombeamento de líquidos). 
Esta perda de energia é devida principalmente ao atrito do fluído com uma camada 
estacionária aderida à parede interna do tubo. O emprego de tubulações no transporte 
de fluídos pode ser realizado de duas formas: tubos fechados e canais abertos. 
Em suma, perda de carga é a energia perdida pela unidade de peso do fluido 
quando este escoa. No cotidiano a perda de carga é muito utilizada, principalmente em 
instalações hidráulicas. Por exemplo, quanto maior as perdas de cargas em uma 
instalação de bombeamento, maior será o consumo de energia da bomba. Para estimar 
o consumo real de energia é necessário que o cálculo das perdas seja o mais preciso 
possível. 
No caso de escoamentos reais, a preocupação principal são os efeitos do 
atrito. Estes provocam a queda da pressão, causando uma "perda", quando comparado 
com o caso ideal, sem atrito. Para simplificar a análise, a "perda" será dividida em 
distribuídas (devidas ao atrito em porções de área constante do sistema) e localizadas 
(devidas ao atrito através de válvulas, tês, cotovelos e outras porções do sistema de 
área não-constante). 
Como os dutos de seção circular são os mais comuns nas aplicações de 
engenharia, a análise básica será feita para geometria circular. Os resultados podem 
ser estendidos a outras formas pela introdução do diâmetro hidráulico. 
A perda de carga total é considerada como a soma das perdas distribuídas 
devidas aos efeitos de atrito no escoamento completamente desenvolvido em tubos de 
seção constante, com as perdas localizadas devidas a entradas, acessórios, mudanças 
de área, etc. Consequentemente, consideram-se as perdas distribuídas e localizadas 
em separado. 
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45 
Em resumo: A Perda de Carga pode ser definida como sendo a perda de 
energia que o fluido sofre durante o escoamento em uma tubulação. É o atrito entre o 
fluido e a tubulação, quando o fluido está em movimento. 
É a resistência ao escoamento devido ao atrito entre o fluido e a tubulação, 
mas que pode ser maior ou menor devido a outros fatores tais como o tipo de fluido 
(viscosidade do fluido), ao tipo de material do tubo (um tubo com paredes rugosas 
causa maior turbulência), o diâmetro do tubo e a quantidade de conexões, registros, 
etc., existentes no trecho analisado. 
 
a) Variáveis Hidráulicas que influem na Perda de Carga 
 
I. Comprimento da tubulação ( l ) 
 
Quanto maior o comprimento da tubulação, maior a perda de carga. O 
comprimento é diretamente proporcional à perda de carga. O comprimento é 
identificado pela letra l (do inglês length, comprimento) 
 
 
II. Diâmetro da tubulação ( d ) 
 
Quanto maior o diâmetro, menor a perda de carga. O diâmetro é inversamente 
proporcional à perda de carga. 
 
 
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III. Velocidade ( v) 
 
Quanto maior a velocidade do fluido, maior a perda de carga. 
 
IV. Outras variáveis : fator ( f ) 
 
Rugosidade 
 
A rugosidade depende do material do tubo. Existem tabelas onde encontramos 
esses valores em função da natureza do material do tubo. 
 
Tempo de uso 
 
O tempo de uso, ou seja, a idade do tubo também é uma variável a ser 
considerada, devido principalmente ao tipo de material que for utilizado (ferro fundido, 
aço galvanizado, aço soldado com revestimento, etc.). O envelhecimento de um tubo 
provoca incrustações ou corrosões que poderão alterar desde o fator de rugosidade ou 
até o diâmetro interno do tubo. 
 
 
 
Viscosidade do fluido 
 
A viscosidade, ou seja, o atrito intermolecular do fluido também influência a 
perda de carga em um sistema. Líquidos com viscosidades diferentes vão possuir 
perdas de cargas distintas ao passar dentro de uma mesma tubulação. 
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b) Tipos de Perda de Carga 
 
As perdas de carga podem ser de dois tipos : 
 
 
I. Normais 
 
As perdas de cargas normais ocorrem ao longo de um trecho de tubulação 
retilíneo, com diâmetro constante. Se houver mudança de diâmetro, muda-se o valor da 
perda de carga. 
 
 
I.a - Formas de Calculo da Perda de Carga Normal ( hf ou J ) 
 
 Método Racional ou Moderno 
 
Com o intuito de estabelecer leis que possam reger as perdas de carga em 
condutos, já há cerca de dois séculos estudos e pesquisas vêm sendo realizados. 
Atualmente a expressão mais precisa e utilizada universalmente para análise de 
escoamento em tubos, e que foi proposta em 1845, é a conhecida equação de Darcy-
Weisbach: 
 
 
ou 
 
 
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onde: 
hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo (mcf) 
ΔP = queda de pressão ao longo do comprimento do tubo (Pa) 
f = fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional) 
L = comprimento do tubo (m) 
V = velocidade do líquido no interior do tubo (m / s) 
D = diâmetro interno do tubo (m) 
g = aceleração da gravidade local (m / s2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Método Empírico 
 
Em relação aos métodos empíricos tem-se a opção de calcular utilizando 
Hazen-Williams ou Fair-Whipple-Hsiao 
 
Hazen-Williams 
 
Utilizada para diâmetros de 50mm até 2.400mm e vários tipos de materiais de 
tubo e revestimento: 
 
 
 
 
 
Onde: 
J = perda de carga unitária (m/m) 
Q = Vazão de água (m3/s) 
D = Diâmetro interno da tubulação ( m ) 
C = Coeficiente que depende do material da tubulação 
 
Valores adotados para o coeficiente C: 
VALORES DE COEFICIENTE “C” PARA FÓRMULA DE HAZEN-WILLIANS 
Tubos Novos Usados ± 
10 anos 
Usados ± 
20 anos 
Aço corrugado (chapa ondulada) 60 --- --- 
Aço galvanizado roscado 125 100 --- 
Aço rebitado 110 90 80 
Aço soldado, comum (revestimento betuminoso) 125 110 90 
Aço soldado com revestimento epóxico 140 130 115 
Chumbo 130 120 120 
Cimento-amianto 140 130 120 
Cobre 140 135 130 
Concreto, bom acabamento 130 --- --- 
Concreto, acabamento comum 130 120 110 
Ferro fundido, revestimento epóxico 140 130 120 
Ferro fundido, revestimento de argamassa de cimento 130 120 105 
Grés cerâmico, vidrado (manilhas) 110 110 110 
Latão 130 130 130 
Madeira, em aduelas 120 120 110 
Tijolos, condutos bem executados 100 95 90 
Vidro 140 140 140 
Plástico (PVC) 140 135 130 
 
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Fair-Whipple-Hsiao 
O dimensionamento utilizando a formula de Fair-Whipple-Hsiao, é normalmente 
aplicado a tubulações com pequenos diâmetros, até 4" (100 mm): 
 
 
 
 
Fair-Whipple-Hsiao para aço galvanizado e ferro fundido 
 
 
 
 
 
Fair-Whipple-Hsiao para cobre e plástico 
 
 
II. Acidentais ou localizadas 
 
As perdas de carga acidentais ou localizadas são as perdas que ocorrem nas 
conexões (curvas, derivações), válvulas (registros de gaveta, registros de pressão, 
válvulas de descarga) e nas saídas de reservatórios. Essas peças causam turbulência, 
alteram a velocidade do fluido, aumentam o atrito e provocam choques das partículas 
líquidas. 
 
 
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O método que será utilizado para calcular as perdas de carga localizadas é o 
método dos comprimentos equivalentes ou virtuais. Em uma tabela já existem todas as 
conexões e válvulas nos mais diversos diâmetros e a comparação com a perda de 
carga normal em uma tubulação de mesmos diâmetros. 
 
 
 
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Por exemplo: A perda de carga existente em um registro de gaveta aberto de 
¾” equivale a perda de carga existente em um tubo de PVC de ¾” (mesmo diâmetro) 
com 0,20 m de comprimento: 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Qual a perda de carga em 100 m de tubo liso de PVC de 32 mm de 
diâmetro por onde escoa água a uma velocidade de 2 m/s? 
 
Resolução: 
Inicialmente devemos calcular o Número de Reynolds: 
 
Re = 1000 x 2 x 0,032 = 63.808,57 ou 6,3 x 104 
 1,003 x 10-3 
 
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Com o número de Reynolds e o Diagrama de Moody, obtemos para o tubo liso 
que o fator de atrito f = 0,02. 
 
 
Δp = 0,02 x 1000 x 100 x 22 = 125.000 Pa 
 2 x 0,032 
 
 
2) Qual a perda de carga no tubo? 
 
Considere: tubo liso PVC 
 υágua = 1,003 x 10
-3 N.s/m2 
 Vágua = 5 m/s 
 ρágua = 1000 kg/m
3 
Resolução : 
 
Cálculo do número de Reynolds: 
 
 
Re = 1000 x 5 x 0,80 = 4,0 x 106 
 1,003 x 10-3 
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Cálculo da perda de carga: 
 
Com o número de Reynolds, podemos agora obter o fator de atrito através do 
diagrama de Moody, onde se obtém o fator de atrito f = 0,095. 
 
Δp = 0,095 x 1000 x 10000 x 52 = 14.843.750 Pa 
 2 x 0,8 
 
 
3) Qual a perda de carga no tubo (utilizando o método empírico) quando 
o mesmo está submetido a uma vazão de 50 m3/h. 
 
a) Adotando tubulação de ferro fundido (revest. Epóxico) com diâmetro de 80 cm. 
 
b) Adotando tubulação de PVC com diâmetro de 10 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.9) Princípio de Bernoulli ou Equação de Bernoulli 
 
O Princípio de Bernoulli, também denominado Equação de Bernoulli ou 
Trinômio de Bernoulli, ou ainda Teorema de Bernoulli descreve o comportamento 
de um fluido movendo-se ao longo de uma linha de corrente e traduz para os fluidos o 
principio da conservação da energia. 
Foi exposto por Daniel Bernoulli em sua obra Hidrodinâmica (1738) e expressa 
que num fluido ideal (sem viscosidade nem atrito) em regime de circulação por um 
conduto fechado, a energia que possui o fluido permanece constante ao longo de seu 
percurso. 
 
A energia de um fluido em qualquer momento consta de três componentes: 
 
1. Cinética: é a energia devida à velocidade que possua o fluido. 
2. Potencial gravitacional: é a energia devida à altitude que um fluido 
possua. 
3. Energia de fluxo: é a energia que um fluido contém devido à pressão que 
possui. 
 
A seguinte equação conhecida como “Equação de Bernoulli” (Trinômio de 
Bernoulli) consta destes mesmos termos. 
 
 
 
onde: 
 V = velocidade do fluido na seção considerada. 
 g = aceleração gravitacional 
 z = altura na direção da gravidade desde uma cota de referência. 
 P = pressão ao longo da linha de corrente. 
 ρ = densidade do fluido. 
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Para aplicar a equação se deve realizar as seguintes suposições: 
 
 Viscosidade (atrito interno) = 0, ou seja, se considera que a linha de 
corrente sobre a qual se aplica se encontra em uma zona ‘não viscosa’ do fluido. 
 Caudal constante 
 Fluxo incompressível, onde ρ é constante. 
 A equação se aplica ao longo de uma linha de corrente ou em um fluxo 
irrotacional. 
 
 
1.9.1) Exemplo Prático - Tubo de Pitot 
 
O tubo de pitot determina o módulo e a direção da velocidade de um fluído. 
Imagem de tubo de pitot usado em aeronaves: 
 
 
 
 
 
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Corte esquemático de um Tubo de Pitot: 
 
 
Equacionamento de um Tubo de Pitot: 
 
ρ V1
2
 + P1 + ρ g z1 = ρ V2
2
 + P2 + ρ g z2 
 2 2 
Porém: 
P1 = P2 = Patm 
V2 = 0 
z2 = l 
Daí, 
V1 = 
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EXERCÍCIOS - Teorema de Bernoulli 
 
1 - A um tubo de Venturi, com os pontos 1 e 2 na horizontal, liga-se um 
manômetro diferencial . Sendo Q = 3,14 litros/s e V1 = 1 m/s, calcular os diâmetros 
D1 e D2 do Venturi, desprezando-se as perdas de carga (hf =0). 
 
 
Resposta: D1 = 0,0632 m (63 mm) D2 = 0,037 m (37 mm) 
 
 
2 - No tubo recurvado abaixo, a pressão no ponto 1 é de 1,9 kgf/cm2. Sabendo-
se que a vazão transportada é de 23,6 litros/s, calcule a perda de carga ( hf = ?) entre 
os pontos 1 e 2 . 
Resposta: hf 1-2 = 17,48 m 
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3 – De uma pequena barragem parte uma canalização de 250mm de diâmetro 
interno, com poucos metros de extensão, havendo depois uma redução para 125mm; 
do tubo de 125mm, a água passa para a atmosfera sob a forma de um jato.A vazão foi 
medida, encontrando-se 105 L/s. Desprezando as perdas de carga, calcule a pressão 
na parte inicial do tubo de 250mm, a altura H de água na barragem e a potência bruta 
do jato (assuma g=1000 kgf/m3e 1cv= 75kgf m/s). 
Resp. =H=3,75m e Pot = 5,2 cv 
 
4 – Uma tubulação vertical de 150mm de diâmetro apresenta, em um pequeno 
trecho, uma seção contraída de 75mm, onde a pressão é de 10,3mca. A três metros 
acima desse ponto, a pressão eleva-se para 14,7mca. Desprezando as perdas de 
carga, calcule a vazão e a velocidade ao longo do tubo. 
 
Resposta:V1:3,1m/s;V2=12,4 m/s; Q=0,055m3/s 
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5 – Em um canal de concreto, a profundidade é de 1,2m e as águas escoam 
com velocidade de 2,4m/s, até certo ponto, onde, devido a uma pequena queda, a 
velocidade se eleva para 12m/s, reduzindo-se a profundidade a 0,6m. Desprezando as 
possíveis perdas por atrito, determine a diferença de cota entre os pontos. 
 
 
Resposta: y = 6,5m 
 
6 – Tome-se o sifão da figura ao lado. Retirado o ar da tubulação por algum 
meio mecânico ou estando a tubulação cheia de água, abrindo-se C pode-se 
estabelecer condições de escoamento, de A para C , por força da pressão atmosférica. 
Supondo a tubulação com diâmetro de 150mm, calcular e a pressão no ponto B, 
admitindo que a perda de carga no trecho AB é 0,75m e no trecho BC é 1,25m. 
Resposta : PB = -5,05 mca 
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PARTE III 
 
A) INSTALAÇÕES DE RECALQUE 
 
1) MÁQUINAS 
 
São transformadores de energia (absorvem energia em uma forma e restituem 
em outra). 
Entre os diversos tipos de máquinas, as máquinas fluidas são aquelas que 
promovem um intercâmbio entre a energia do fluido e a energia mecânica. 
Dentre elas, as máquinas hidráulicas se classificam em motora e geradora. 
 
Máquina hidráulica motora ou motriz: transforma a energia hidráulica em 
energia mecânica (ex. : turbinashidráulicas e rodas d’água). 
 
Máquina hidráulica geradora ou geratriz ou operatriz: transforma a energia 
mecânica em energia hidráulica. 
 
Dessa forma, por exemplo, as bombas hidráulicas são máquinas motrizes que 
sugam ou empurram um fluido. Há muitos tipos de bombas. 
 
2) BOMBAS HIDRÁULICAS 
 
Uma bomba hidráulica é um dispositivo que adiciona energia aos líquidos, 
tomando energia mecânica de um eixo, de uma haste ou de um outro fluido: ar 
comprimido e vapor são os mais usuais. As formas de transmissão de energia podem 
ser: aumento de pressão, aumento de velocidade ou aumento de elevação, ou 
qualquer combinação destas formas de energia. 
Outras máquinas destinadas a adicionar energia aos fluidos na forma de vapor 
e gases só são chamadas de bombas apenas eventualmente. Como exemplos, há a 
bomba de vácuo, destinada a esgotar ar e gases, e a bomba manual de ar, destinada 
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a encher pneumáticos, bolas de futebol, brinquedos e botes infláveis, etc. As máquinas 
que se destinam a manusear ar, gases ou vapores são normalmente chamadas pelos 
técnicos de ventiladores ou ventoinhas, sopradores ou compressores. 
 
 
3) CLASSIFICAÇÃO GERAL DAS BOMBAS 
 
As bombas podem ser classificadas em duas categorias, a saber: 
 
a) Volumétricas ou de Deslocamento Positivo: são aquelas em que a 
movimentação do líquido é causada diretamente pela movimentação de um dispositivo 
mecânico da bomba, que induz ao líquido um movimento na direção do deslocamento 
do citado dispositivo, em quantidades intermitentes, de acordo com a capacidade de 
armazenamento da bomba, promovendo enchimentos e esvaziamentos sucessivos, 
provocando, assim, o deslocamento do líquido no sentido previsto. 
 
b) Turbo-Bombas, Hidrodinâmicas ou Rotodinâmicas: são máquinas nas 
quais a movimentação do líquido é desenvolvida por forças que se desenvolvem na 
massa líquida em consequência da rotação de uma peça interna (ou conjunto dessas 
peças) dotada de pás ou aletas chamada de rotor. São exemplos de bombas 
rotodinâmicas as conhecidíssimas bombas centrífugas e de bombas volumétricas as de 
êmbolo ou alternativas e as rotativas (figura abaixo). 
 
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Resumindo: 
 
Bombas Hidráulicas são máquinas motrizes que recebem energia potencial de 
um motor ou de uma turbina, e transforma parte dessa energia em potência: 
 
 Energia de pressão (força): Bombas de Deslocamento Direto 
 Energia cinética: Bombas Cinéticas 
 
As bombas cedem estas duas formas de energia ao fluido bombeado, para 
fazê-lo recircular ou transportá-lo de um ponto a outro. 
 
 
4) TIPOS DE BOMBAS HIDRÁULICAS 
 
a) BOMBAS VOLUMÉTRICAS OU DE DESLOCAMENTO POSITIVO: o 
órgão fornece energia ao fluido em forma de pressão. São as bombas de êmbolo ou 
pistão e as bombas diafragma. O intercâmbio de energia é estático e o movimento é 
alternativo. 
 
a.1) Bombas de Pistão 
 
Funcionam através da ação de um pistão sob uma porção de fluido presa em 
uma câmara. Quando o pistão se move, o fluido é impulsionado para fora. Desse 
modo, a energia do pistão é transferida para o fluido. 
 
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As bombas de pistão podem ser : 
- Um único pistão : Simplex 
- Dois pistãos : Duplex 
- Muitos pistãos 
 
Quando utilizar as bombas de pistão ? 
 
* quando um fluido vaporiza, ou pode eventualmente vaporizar nas condições 
do processo; 
* com altas pressões de descarga, atingindo valores bem acima das bombas 
centrífugas: até 2.000 atm ; 
* como bombas dosadoras. 
 
 
a.2) Bombas de Diafragma 
 
Funcionam através do movimento hidráulico de um pistão sob uma membrana 
flexível, chamada de diafragma, que serve para reter uma porção de fluido em seu 
interior e expulsá-lo no movimento inverso do pistão. Possui válvulas de admissão e de 
descarga. 
 
 
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Quando utilizar as bombas de diafragma ? 
 
* quando o fluido é corrosivo, pois simplifica, o material de construção; 
* com altas pressões de descarga, atingindo valores bem acima das bombas 
centrífugas: até 150 kgf / cm2 
* como bombas dosadoras. 
 
 
B) BOMBAS CENTRÍFUGAS 
 
Bombas Centrífugas são bombas hidráulicas que têm como princípio de 
funcionamento a força centrífuga através de palhetas e impulsores que giram no 
interior de uma carcaça estanque, jogando líquido do centro para a periferia do 
conjunto girante. 
Portanto, funcionam através do movimento rotativo de engrenagens (lóbulos, 
palhetas ou fusos), que retém o fluido no espaço formado entre a carcaça e as 
engrenagens. 
 
b.1) Descrição 
 
Constam de uma câmara fechada, carcaça, dentro da qual gira uma peça, o 
rotor, que é um conjunto de palhetas que impulsionam o líquido através da voluta 
(figura a seguir). O rotor é fixado no eixo da bomba, este contínuo ao transmissor de 
energia mecânica do motor. 
A carcaça é a parte da bomba onde, no seu interior, a energia de velocidade é 
transformada em energia de pressão, o que possibilita o líquido alcançar o ponto final 
do recalque. É no seu interior que está instalado o conjunto girante (eixo-rotor) que 
torna possível o impulsionamento do líquido. 
 
 
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A carcaça pode ser do tipo voluta ou do tipo difusor. A de voluta é a mais 
comum podendo ser simples ou dupla (figura a seguir). Como as áreas na voluta não 
são simetricamente distribuídas em torno do rotor, ocorre uma distribuição desigual de 
pressões ao longo da mesma. Isto dá origem a uma reação perpendicular ao eixo que 
pode ser insignificante quando a bomba trabalhar no ponto de melhor rendimento, mas 
que se acentua a medida que a máquina sofra redução de vazões, baixando seu 
rendimento. Como conseqüência deste fenômeno temos para pequenas vazões, eixos 
de maior diâmetro no rotor. Outra providência para minimizar este empuxo radial é a 
construção de bombas com voluta dupla, que consiste em se colocar uma divisória 
dentro da própria voluta, dividindo-a em dois condutos a partir do início da segunda 
metade desta, ou seja, a 180o do início da "voluta externa", de modo a tentar equilibrar 
estas reações duas a duas, ou minimizar seus efeitos. 
Voluta dupla 
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