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08/09/2014
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44646-04
Sistemas Robotizados
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE ENGENHARIA
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Aula 6
CinemCinemCinemCinemCinemCinemCinemCinemática Diretaática Diretaática Diretaática Diretaática Diretaática Diretaática Diretaática Direta
Prof. Felipe Kühne
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• Bibliogafia:Bibliogafia:Bibliogafia:Bibliogafia:
�SpongSpongSpongSpong, cap. 3
�Slides das Aulas 6 e 7Slides das Aulas 6 e 7Slides das Aulas 6 e 7Slides das Aulas 6 e 7
�Lista de ExercíciosLista de ExercíciosLista de ExercíciosLista de Exercícios
�Exercício resolvido Exercício resolvido Exercício resolvido Exercício resolvido –––– robô Stanfordrobô Stanfordrobô Stanfordrobô Stanford
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• Cadeia Cinemática: Sequência de membros conectados por Sequência de membros conectados por Sequência de membros conectados por Sequência de membros conectados por 
juntas rotativas ou prismáticasjuntas rotativas ou prismáticasjuntas rotativas ou prismáticasjuntas rotativas ou prismáticas
MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
• A ação de cada junta é 
descrita por uma só quantidade: 
ângulo de rotação ou 
deslocamento linear
• O objetivo da cinemática 
direta é determinar o efeito 
acumulado das juntas com 
relação à base do robô
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• O Problema da Cinemática Direta:
Dadas as Dadas as Dadas as Dadas as variáveis das juntasvariáveis das juntasvariáveis das juntasvariáveis das juntas de um robô, de um robô, de um robô, de um robô, 
determinar a determinar a determinar a determinar a configuraçãoconfiguraçãoconfiguraçãoconfiguração do órgão terminal.do órgão terminal.do órgão terminal.do órgão terminal.
MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
Para um sistema 
simples (planar, 2 
graus de liberdade)
�
Muito simples
(geometria básica)(geometria básica)(geometria básica)(geometria básica)
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• O Problema da Cinemática Direta:
Dadas as Dadas as Dadas as Dadas as variáveis das juntasvariáveis das juntasvariáveis das juntasvariáveis das juntas de um robô, de um robô, de um robô, de um robô, 
determinar a determinar a determinar a determinar a configuraçãoconfiguraçãoconfiguraçãoconfiguração do órgão terminal.do órgão terminal.do órgão terminal.do órgão terminal.
MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
Na prática
�
Muito complexo!
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• Solução:
– Obter a matriz de transformação homogênea entre o Obter a matriz de transformação homogênea entre o Obter a matriz de transformação homogênea entre o Obter a matriz de transformação homogênea entre o 
sistema da garra e a base:sistema da garra e a base:sistema da garra e a base:sistema da garra e a base:
– Contudo, podemos simplificarsimplificarsimplificarsimplificar bastante o problema 
através de uma escolha sistematizadasistematizadasistematizadasistematizada dos sistemas 
de coordenadas das juntas 
� Representação de DenavitRepresentação de DenavitRepresentação de DenavitRepresentação de Denavit----HartenbergHartenbergHartenbergHartenberg
MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação






=
1
00
0 0
dHH
nn
n






=
=
−−
−
−
1
...
11
1
1
2
1
1
00
0
dHH
HHHH
i
i
i
ii
i
n
n
n
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• Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH: permite caracterizar cada 
transformação homogênea A por apenas quatroquatroquatroquatro
parâmetros:
– aaaaiiii = comprimento
–ααααiiii = torção
–ddddiiii = excentricidade
– θθθθiiii = ângulo
Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH






=
−−
− 1
11
1 0
dRH
i
i
i
ii
i
6 parâmetros por junta 
(3 ângulos, 3 distâncias)
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• Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH: cada matriz de transformação 
homogênea é o produto de quatroquatroquatroquatro transformações:
Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
αθ ,,,,1 xaxdzz
i
i RTTRH =−












−



































 −
=
1000
00
00
0001
1000
0100
0010
001
1000
100
0010
0001
1000
0100
00
00
ii
ii
i
i
ii
ii
cs
sc
a
d
cs
sc
αα
ααθθ
θθ












−
−
=
−
1000
01 iii
iiiiiii
iiiiiii
i
i dcs
sascccs
casscsc
αα
θαθαθθ
θαθαθθ
H
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• AssumeAssumeAssumeAssume----se se se se quequequeque::::
– Os membros são numerados de 0000 a nnnn
– As juntas são numeradas de 1111 a nnnn
– A junta iiii conecta o membro iiii----1111 ao membro iiii
– O eixo zzzziiii----1111 é o eixo da junta iiii
– Sistema de coordenadas adicional no OT
Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
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Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
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Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
• Para começar:Para começar:Para começar:Para começar:
1. Identificar os eixos das juntas como zzzz0000, zzzz1111, …, zzzznnnn----1111
(zzzziiii----1111 é o eixo da junta iiii)
2. Escolher a origem do sistema da base OOOO0000
3. Escolher xxxx0000 e yyyy0000 de forma a completar o sistema
• Localizar a origem de cada junta, Localizar a origem de cada junta, Localizar a origem de cada junta, Localizar a origem de cada junta, OOOOiiii::::
a. Se zzzziiii----1111 interceptainterceptainterceptaintercepta zzzziiii, localizar OOOOiiii nesta intersecção
b. Se não coplanaresnão coplanaresnão coplanaresnão coplanares, onde a normal comum a zzzziiii e zzzziiii----1111
intercepta zzzziiii
c. Se zzzziiii----1111 e zzzziiii são paralelosparalelosparalelosparalelos existem várias normais 
comuns; localizar OOOOiiii na junta i+1i+1i+1i+1
Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
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• EstabelecerEstabelecerEstabelecerEstabelecer osososos eixoseixoseixoseixos xxxxiiii::::
– Se zzzziiii----1111 e zzzziiii se interceptaminterceptaminterceptaminterceptam, localizar xxxxiiii na direção
normal ao plano formado pelos eixos
– Se zzzziiii----1111 e zzzziiii são nãonãonãonão coplanarescoplanarescoplanarescoplanares ou são paralelosparalelosparalelosparalelos, 
localizar xxxxiiii na ao longo da normal comum
entre zzzziiii----1111 e zzzziiii.
• CondiçõesCondiçõesCondiçõesCondições DH:DH:DH:DH:
– DH1: O eixo xxxxiiii é perpendicular ao eixo zzzziiii----1111
– DH2: O eixo xxxxiiii intersecciona o eixo zzzziiii----1111
Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
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Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
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Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
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• Estabelecer o sistema do órgão terminal Estabelecer o sistema do órgão terminal Estabelecer o sistema do órgão terminal Estabelecer o sistema do órgão terminal OOOOnnnn:
– Localizar a origem OOOOnnnn no centro da garra
– CondiçõesDH1 e DH2
– Escolher zzzznnnn paralelo a zzzznnnn----1111
– Escolher yyyynnnn de forma a completar o sistema OOOOnnnn
Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
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Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
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• Agora Agora Agora Agora todostodostodostodos osososos sistemassistemassistemassistemas de de de de coordenadascoordenadascoordenadascoordenadas estãoestãoestãoestão
completoscompletoscompletoscompletos::::
– Eixos das juntas zzzziiii;
– Origens OOOOiiii;
– Eixos xxxxiiii;
• PodemosPodemosPodemosPodemos entãoentãoentãoentão determinardeterminardeterminardeterminar osososos parâmetrosparâmetrosparâmetrosparâmetros das das das das 
juntas!juntas!juntas!juntas!
– aaaaiiii
– ααααiiii
– ddddiiii
– θθθθiiii
Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
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aaaaiiii: distância, ao longo de xxxxiiii, de OOOOiiii à intersecção entre zzzziiii----1111 e xxxxiiii
(ou a distância mais curta entre zzzziiii----1111 e zzzziiii)
ααααiiii: ângulo, em torno de xxxxiiii, de zzzziiii----1111 a zzzziiii
ddddiiii: distância, ao longo de zzzziiii----1111, de OOOOiiii----1111 à intersecção entre zzzziiii----1111 e xxxxiiii
θθθθiiii: ângulo, em torno de zzzziiii----1111, de xxxxiiii----1111 a xxxxiiii
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• Note que:
– aaaaiiii e ααααiiii são constantes
– Se a junta iiii é rotacional: 
θθθθiiii variável (= var. da junta)
ddddiiii constante
– Se a junta iiii é prismática:
θθθθiiii constante
ddddiiii variável (= var. da junta)
• Então:
– Cada matriz é função da variável da junta i.i.i.i.
Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
i
i 1−H
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• Definimos, para iiii = 1111 … nnnn
– Se junta rotativa, θθθθiiii variável
– Se junta prismática, ddddiiii variável
• Próximo passo: calcular as matrizes de 
transformação homogênea e depois a matriz 
de transformação total 
Representação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DHRepresentação DH
iiii
i
i
i
da
x
z
O
θα ,,,





i
i 1−H
n
0H
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• Manipulador planar de 2 eixos:
ExemploExemploExemploExemploExemploExemploExemploExemplo
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• Manipulador planar de 2 eixos:
– Eixos rotativos paralelos � eixos zzzziiii----1111 e zzzziiii
paralelos entre si � várias normais comuns
• Escolhe-se OOOOiiii na junta iiii
• Escolhe-se xxxxiiii ao longo dos membros 
• aaaaiiii: distância de OOOOiiii até a intersecção de xxxxiiii e zzzziiii----1111 ao 
longo de xxxxiiii
• ddddiiii: distância de OOOOiiii----1111 até a intersecção de xxxxiiii e zzzziiii----1 1 1 1 ao 
longo de zzzziiii----1111 (todos nulos)
• ααααiiii: ângulo entre zzzziiii e zzzziiii----1111 (todos nulos)
• θθθθiiii: ângulo entre xxxxiiii----1111 e xxxxiiii
ExemploExemploExemploExemploExemploExemploExemploExemplo
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• Manipulador planar de 2 eixos:
Tabela de parâmetros:
ExemploExemploExemploExemploExemploExemploExemploExemplo
Junta iJunta iJunta iJunta i aaaaiiii ααααiiii ddddiiii θθθθiiii
1 aaaa1111 0 0 θθθθ1 *1 *1 *1 *
2 aaaa2222 0 0 θθθθ2 *2 *2 *2 *
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ExemploExemploExemploExemploExemploExemploExemploExemplo











 −
=
1000
0100
sin0cossin
cos0sincos
1111
1111
1
0
θθθ
θθθ
a
a
H











 −
=
1000
0100
sin0cossin
cos0sincos
2222
2222
2
1
θθθ
θθθ
a
a
H












++++
+++−+
==
1000
0100
)sin(sin0)cos()sin(
)cos(cos0)sin()cos(
212112121
212112121
2
1
1
0
2
0
θθθθθθθ
θθθθθθθ
aa
aa
HHH