5_th

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44646-04
Sistemas Robotizados
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE ENGENHARIA
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Aula 5
TransformaçõesTransformaçõesTransformaçõesTransformaçõesTransformaçõesTransformaçõesTransformaçõesTransformações HomogêneasHomogêneasHomogêneasHomogêneasHomogêneasHomogêneasHomogêneasHomogêneas
Prof. Felipe Kühne
•• RotaçãoRotaçãoRotaçãoRotaçãoRotaçãoRotaçãoRotaçãoRotação::::::::
Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula PassadaPassadaPassadaPassadaPassadaPassadaPassadaPassada
2




















⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=










z
y
x
z
y
x
p
p
p
kkkjki
jkjjji
ikijii
p
p
p
1
1
1
010101
010101
010101
0
0
0
1
1
00
pp R=
• Translação pura:Translação pura:Translação pura:Translação pura:
– Sistemas paralelos
– Origem O1 deslocada da origem O0
TransformaçõesTransformaçõesTransformaçõesTransformaçõesTransformaçõesTransformaçõesTransformaçõesTransformações HomogêneasHomogêneasHomogêneasHomogêneasHomogêneasHomogêneasHomogêneasHomogêneas
3
• Translação pura:Translação pura:Translação pura:Translação pura:
– Sistemas paralelos
– Origem O1 deslocada da origem O0
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas
4
• Translação pura:Translação pura:Translação pura:Translação pura:
– O ponto pppp pode ser representado com relação ao sistema 
O0x0y0z0 através da soma vetorial de pppp1 e :
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas
1
0
d
1
010
dpp +=
5
• Translação com rotação:Translação com rotação:Translação com rotação:Translação com rotação:
– Antes de realizar a soma vetorial, o sistema O1x1y1z1 deve ser 
paralelo ao sistema O0x0y0z0.
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas
6
• Translação com rotação:Translação com rotação:Translação com rotação:Translação com rotação:
– Antes de realizar a soma vetorial, o sistema O1x1y1z1 deve ser 
paralelo ao sistema O0x0y0z0.
• Entao:
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas
1
01
1
00
dpRp +=
7
• Translação com rotação:Translação com rotação:Translação com rotação:Translação com rotação:
• Escrevendo matricialmente:
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas
1
01
1
00
dpRp +=
1
1
00
pHp ′=′
p p 11 dR
8






=′
1
0
0
p
p 





=′
1
1
1
p
p





=
1
1
0
1
01
0
0
dR
H
Matriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação Homogênea do 
sistema O1x1y1z1 para o sistema 
O0x0y0z0.
• De forma genérica, escrevemos:De forma genérica, escrevemos:De forma genérica, escrevemos:De forma genérica, escrevemos:
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas
i
i
ii pHp 11 −− = 





= −−−
1
11
1
0
dR
H
i
i
i
ii
i
9


























⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=












−−−−
−−−−
−−−−
−
−
−
110001
1111
1111
1111
1
1
1
iz
iy
ix
i
ziiiiiii
i
yiiiiiii
i
xiiiiiii
zi
yi
xi
p
p
p
dkkkjki
djkjjji
dikijii
p
p
p
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas
• Composição de transformações:Composição de transformações:Composição de transformações:Composição de transformações:
10
• Composição de transformações:Composição de transformações:Composição de transformações:Composição de transformações:
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas
1
01
1
00
2
12
2
11
dpRp
dpRp
+=
+=
1
0
2
1
1
02
2
1
1
00
ddRpRRp ++=
11
2
1
0
2
1
1
0
2
1
1
0
0
1
p
0
ddRRR
p 




 +
= 2
2
00
pHp =






=
1
2
0
2
02
0
0
dR
H
• Composição de transformações:Composição de transformações:Composição de transformações:Composição de transformações:
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas






=
1
1
0
1
01
0
0
dR
H 





=
1
2
1
2
12
1
0
dR
H
• Genericamente:Genericamente:Genericamente:Genericamente:
12





 +
=





==
11
1
0
2
1
1
0
2
1
1
0
2
0
2
02
1
1
0
2
0
0
ddRRR
0
dR
HHH
n
n
n
1
3
2
2
1
1
00 −= HHHHH L
• Transformação inversa:Transformação inversa:Transformação inversa:Transformação inversa:
– Da rotação, vimos que:
• Então: ???
– É fácil observar que HT não mantém o formato de 
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas
T
RR =−1
T
HH =−1
– É fácil observar que H não mantém o formato de 
uma matriz de transformação homogênea. Logo isto 
não é verdade.
13






=
−−
−
1
11
1
0
dR
H
• Transformação inversa:Transformação inversa:Transformação inversa:Transformação inversa:
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas






=
1
1
0
1
01
0
0
dR
H
( ) ( ) 
14
( ) ( ) ( )







 −=
−
1
1
0
1
0
1
0
11
0
0
dRR
H
TT
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
11
H
0
dR
0
dRR
=





=




 −
=
• Matrizes básicas de transformação:Matrizes básicas de transformação:Matrizes básicas de transformação:Matrizes básicas de transformação:
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas










−
=
00
00
0001
, αα
αα
α
cs
sc
Rotx










−
=
00
001000
, φφ
φφ
φ
cs
sc
Rot y









 −
=
0100
00
00
,
θθ
θθ
θ
cs
sc
Rotz
15












=
1000
0100
0010
001
,
a
Trans ax












=
1000
0100
010
0001
,
b
Trans by












=
1000
100
0010
0001
,
c
Trans cz



 1000



 1000



 1000
• Exemplo:Exemplo:Exemplo:Exemplo: calcular p0.
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas










=
1
7
3
1
p










=
0
5
10
1
0
d o
30,
1
0 z
RR =
16
 
ExemploExemploExemploExemploExemploExemploExemploExemplo
17
• Exemplo:Exemplo:Exemplo:Exemplo: como podemos representar a transformação 
homogênea ? 
Transformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações HomogêneasTransformações Homogêneas
1
0
H
18