Aplicação de Métodos Numéricos na Engenharia

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MEC-SETEC 
INSTITUTO FEDERAL DE MINAS GERAIS 
 ​CAMPUS ​AVANÇADO PIUMHI 
Bacharelado em Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE CÁLCULO NUMÉRICO 
Aplicação de Métodos Numéricos na Engenharia 
 
 
ANDRÉ HENRIQUE GARCIA 
GUSTAVO LUIZ 
IURI MOREIRA DE A. MARTINS 
MILENE CUNHA COSTA 
SAMUEL HENRIQUE O. LIMA 
 
 
 
 
 
PIUMHI 
2018 
 
ANDRÉ HENRIQUE GARCIA 
GUSTAVO LUIZ 
IURI MOREIRA DE A. MARTINS 
MILENE CUNHA COSTA 
SAMUEL HENRIQUE O. LIMA 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE CÁLCULO NUMÉRICO 
Aplicação de Métodos Numéricos na Engenharia 
 
 
 
Relatório apresentado ao Instituto Federal 
de Minas Gerais, Campus Avançado 
Piumhi, como requisito para aprovação na 
disciplina de Cálculo Numérico. 
Professor ​: Vinicius Paiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PIUMHI 
2018 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO 4 
2 OBJETIVOS 5 
2.1 Objetivo Geral 5 
2.2 Objetivo Específico 5 
3 DESENVOLVIMENTO 6 
3.1 Definição do problema 6 
3.2 Modelagem matemática 7 
3.3 Solução numérica 7 
3.4 Obtenção dos resultados 8 
4​ ​ANÁLISE DOS RESULTADOS 8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
O concreto é uma rocha artificial formada por uma mistura de agregados 
graúdos, miúdo e material ligante, podendo ter ainda aditivos químicos e minerais. 
Os agregados são normalmente classificados por origem, tamanho, forma e textura. 
Na engenharia civil, o concreto é de extrema importância, sendo o material 
mais utilizado para construção, devido o seu baixo custo relativo, disponibilidade dos 
seus componentes, durabilidade e versatilidade . 
Para obter um concreto com a resistência e durabilidade necessária para que 
a construção suporte a carga, é de suma importância que a dosagem dos materiais 
constituintes seja correta, de modo que não tenha gasto de material desnecessário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
2 OBJETIVOS 
 
2.1 Objetivo Geral 
 
● Colocar em prática os conceitos estudados nas disciplinas de Materiais de 
Construção Civil. 
● Apresentar uma prática da Engenharia Civil resolvida por métodos numéricos. 
 
2.2 Objetivo Específico 
 
● Apresentar a solução para um problema de dosagem dos componentes do 
concreto, através da resolução de um sistema pelo método da Eliminação de 
Gauss. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 DESENVOLVIMENTO 
 
A eliminação de gauss, é um método para se resolver sistemas de equações 
lineares, este método consiste em aplicar sucessivas operações elementares num 
sistema linear, de modo que transforme o sistema original em um sistema de mais 
fácil resolução e que apresenta as mesmas soluções. 
Deste modo, foi aplicado o método da eliminação de gauss para resolver o 
sistema de 4 variáveis e 4 incógnitas, definido pela dosagem em peso dos 
componentes do concreto e a resistência obtida em MPa. 
 
3.1 Definição do Problema 
 
Ao misturar os materiais para fabricar o concreto, foi anotado os resultados 
obtidos conforme as proporções indicadas: 
1. Adicionou-se 2 partes de água, 2 partes de cimento, 1 parte de brita e 
1 de areia, resultando em um concreto concreto com a resistência de 7 
MPa; 
2. Adicionou-se 1 parte de água e 2 partes de brita, e retirou-se 1 parte 
de cimento e 1 parte de areia, resultando em um concreto com a 
resistência de 1 MPa; 
3. Adicionou-se 3 partes de água, 2 partes de cimento, e retirou-se 3 
partes de brita e 2 partes de areia, resultando em um concreto com a 
resistência de 4 MPa; 
4. Adicionou-se 4 partes de água, 3 partes de cimento, 2 partes de brita e 
1 parte de areia, resultando em um concreto com a resistência de 12 
MPa. 
 
 
 
 
6 
3.2 Modelagem Matemática 
 
Após a coleta dos dados, foi criado um sistema de equações com as 
proporções e os resultados obtidos. 
 
 
3.3 Solução Numérica 
 
A seguir, os dados obtidos foram inseridos conforme a tabela 1 a fim de 
resolver o sistema pelo métodos da eliminação de gauss. 
Tabela 1: Dados obtidos a partir do problema inicial 
Linha Multiplicador Coeficiente Termo 
Independente 
Transformação 
L 1 0 
L 2 0 
L 3 0 
L 4 0 
 
m 21 = 2
1− 
m 31 = 2
3−
 
m 41 = 2
4−
 
7 
1 
4 
12 
 
L 2 1 
L 3 1 
L 4 1 
 
m 32 = 2
1−
 
m 42 = 2
1−
 
-2,5 
-6,5 
-2 
L 2 1 L 2 0 + m 21 .L 1 0 ← 
L 3 1 L 3 0 + m 31 .L 1 0 ← 
L 4 1 L 4 0 + m 41 .L 1 0 ← 
L 3 2 
L 4 2 
 
m 43 = 5,25
0,75− 
-5,25 
-0,75 
L 3 2 L 3 1 + m 32 .L 2 1 ← 
L 4 2 L 4 1 + m 42 .L 2 1 ← 
L 4 3 
 
0 L 4 3 L 4 2 + m 43 .L 3 2 ← 
Fonte: Arquivo Próprio 
 
 
 
 
7 
 
3.4 Obtenção dos Resultados 
 
Após sucessivas etapas com operações elementares, obteve-se um sistema 
simples de resolver, de modo que as soluções deste sistema são equivalentes as 
soluções do sistema original. 
Para encontrar a solução do sistema, foi utilizado o método da substituição. 
 
 
 
 
 
4 ANÁLISE DOS RESULTADOS 
Ao analisar os resultados obtidos, observamos que os mesmos foram 
satisfatórios.O método utilizado que nos trouxe um maior retorno durante o 
desenvolvimento foi o método de eliminação de gauss. 
Vimos a importância do conteúdo aprendido no decorrer do curso em 
aplicações específicas da área da engenharia, pois otimiza o tempo diminuindo o 
custo final do produto. 
 
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