TEORIA DOS ERROS

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
FÍSICA EXPERIMENTAL I
Agosto/2014
TEORIA DOS ERROS
Trabalho referente à disciplina
Física Experimental I lecionada
Pelo professor Nelson. 
Agosto/2014
TEORIA DOS ERROS
	As grandezas físicas são determinadas experimentalmente por medidas ou combinações de medidas. Essas medidas tem uma incerteza intrínseca que advém das características dos equipamentos utilizados na sua determinação e também do operador. Assim, a experiência mostra que, sendo uma medida repetida várias vezes com o mesmo cuidado e procedimento pelo mesmo operador ou por vários operadores, os resultados obtidos não são, em geral, idênticos. 
	Ao fazermos a medida de uma grandeza física achamos um número que a caracteriza. Quando este resultado vai ser aplicado, é frequentemente necessário saber com que confiança podemos dizer que o número obtido representa a grandeza física. Deve-se, então, poder expressar a incerteza de uma medida de forma que outras pessoas possam entende-las e para isso utiliza-se de uma linguagem universal. Também deve-se utilizar métodos adequados para combinar as incertezas dos diversos fatores que influem no resultado. 
	A maneira de se obter e manipular os dados experimentais, com a finalidade de conseguir estimar com a maior precisão possível o valor da grandeza medida e o seu erro, exige um tratamento adequado que é o objetivo da chamada “Teoria dos Erros”, e que será abordada aqui na sua forma mais simples e suscinta.
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Vamos considerar uma situação hipotética em que temos um objeto AB e desejamos medi-lo com uma régua graduada em centímetros, como se mostra na Figura 1. 
Figura 1 - Medida de um objeto com uma régua graduada em centímetros
Na leitura do comprimento do objeto AB, podemos afirmar com certeza que ele possui 8 cm exatos, mas a fração de 1 cm a mais dos 8 cm não podemos afirmar com certeza qual é. Esta fração não se pode medir, mas pode ser avaliada ou estimada pelo experimentador dentro de seus limites de percepção. 
Se 3 experimentadores fossem anotar o comprimento de AB: 
1) Todos os três anotariam os 8 cm exatos. 
2) Mas poderiam avaliar a fração do 1 cm restante de formas diferentes, como: 
fração de 1 cm = 0,7 cm 
fração de 1 cm = 0,8 cm 
fração de 1 cm = 0,6 cm 
e nenhum dos três estariam errados. 
Logo o comprimento de AB poderia ser anotado como sendo: 
AB = 8 cm + 0,7 cm, ou 
AB = 8 cm + 0,8 cm, ou 
 AB = 8 cm + 0,6 cm 
Se, por exemplo, um quarto experimentador anotasse a fração do 1 cm como sendo 0,75 cm, que sentido se poderia atribuir a esse resultado? 
Ao se medir com uma régua graduada em centímetro, tem sentido avaliar décimos de centímetros (milímetros) mas é discutível ou mesmo inaceitável avaliar centésimos ou frações menores. Em medições, é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da menor divisão da escala do instrumento. Estimar centésimos ou milésimos da menor divisão da escala está fora da percepção da maioria dos seres humanos. 
Se tomarmos a medida que representa o comprimento do objeto AB como 8,7 cm, observamos que ela apresenta 2 dígitos ou algarismos. Um, o 8, que representa a medida exata, isenta de qualquer dúvida, e o outro, o 7, que resultou da medida da fração de 1 cm avaliada na escala, logo, é no algarismo 7 que residirá a dúvida ou incerteza da medida do comprimento. 
Podemos então, dizer que as medidas realizadas pelos três experimentadores é composta de 1 algarismo exato, (não duvidoso, o 8) e o algarismo duvidoso (onde reside a incerteza da leitura, o 7 ou o 8 ou o 6). 
Definimos então, algarismos significativos de uma medida como todos os algarismos que temos certeza (os exatos) e mais um duvidoso (sempre o algarismo duvidoso é o último da direita). 
Exemplos: 
15,4 cm: temos 3 algarismos significativos (1 e 5 são exatos e 4 é o duvidoso) 
21,31 m/s: temos 4 algarismos significativos (2,1 e 3 são exatos e 1 é o duvidoso) 
8,0 m/s2: temos 2 algarismos significativos ( 8 é o exato e 0 é o duvidoso) 
6 N: temos 1 algarismo significativo e ele próprio é o duvidoso 
1,6 x 10-19: temos 2 algarismos significativos 
É importante salientarmos aqui, que a quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Por exemplo, na medida o objeto AB: 
8,7 cm: 2 algarismos significativos 
8,7 x 10-3 m = 0,0087 m: 2 algarismos significativos 
8,7 x 10-5 km = 0,000087 km: 2 algarismos significativos 
8,7 x 10 mm = 87 mm: 2 algarismos significativos 
Os dígitos ou algarismos de um número contam-se da esquerda para a direita, a partir do primeiro não nulo, e são significativos todos os exatos e somente o primeiro duvidoso.
Arredondamento
Um número é arredondado para outro, com o número de algarismos significativos desejados, pelo cancelamento de um ou mais algarismos da direita para a esquerda. Duas regras podem ser utilizadas neste caso: 
1. “Quando o algarismo suprimido é menor do que 5, o imediatamente anterior permanece igual.” 
2. “Quando o algarismo suprimido é maior ou igual a 5, o imediatamente anterior é acrescido de uma unidade.” 
Exemplos: 
L = 2,143 m ⇒ L = 2,14 m, depois de arredondado 
L = 0,0506 m ⇒ L = 0,051 m, depois de arredondado
Operações com Algarismos Significativos
Adição e Subtração
Para as operações de adição ou subtração, devemos primeiramente arredondar os valores dos algarismos significativos a fim de deixá-los com o mesmo número de casas decimais. Abaixo temos um exemplo básico para a soma de três medidas de comprimento, feitas por instrumentos diferentes: 47,186 m, 107,4 m e 68,93 m.
Dessa forma, podemos escrever a operação da figura acima da seguinte maneira: S = 47,2 m + 107,4 m + 68,9 m, obtendo como resultado S = 223,5 m. Após os cálculos, escolhemos como referência o número que apresenta menos casas decimais. Para as operações de subtração devemos seguir o mesmo raciocínio feito para a adição, mas seguindo suas determinadas regras.
Multiplicação e Divisão
Para as operações de multiplicação e divisão realizamos as operações normalmente, sendo que o resultado final deve ser escrito com o mesmo número de algarismos significativos ao do fator que possui a menor quantidade de algarismos significativos. Vejamos um exemplo básico: o cálculo da medida da área da face de uma porta, que tem a forma retangular, medindo 2,083 m de comprimento e 0,817 m de largura:
O resultado obtido na multiplicação acima deve ser arredondado para ficar com três algarismos significativos, que correspondem ao número de algarismos significativos do fator 0,817 m. Por isso, devemos arredondar o resultado, dando como resposta 1,70 m2.
Caso se esteja utilizando uma equação, os números puros não podem ser levados em conta como referência para a determinação dos algarismos significativos. Por exemplo, a área de um triângulo é dada por  , em que b é a medida da base e h é a altura relativa àquela base. Para um triângulo de base 2,36 cm e altura 11,45 cm, o cálculo da área será:
O resultado será escrito S = 13,5 cm2 (de modo que tenha apenas três algarismos significativos, como o fator 2,36 cm), pois o número 2, no denominador, não serviu de parâmetro para a determinação do número de algarismos significativos da resposta. Ele pertence à equação, não é resultado de medição.
Notação Científica
A notação científica serve para expressar números muito grandes ou muito pequenos. O segredo é multiplicar um número pequeno por uma potência de 10.
A forma de uma Notação científica é: m . 10 e, onde m significa mantissa e E significa ordem de grandeza. A mantissa SEMPRE será um valor em módulo entre 1 e 10.
Transformando:
Para transformar um numero grande qualquer em notação cientifica, devemos deslocar a vírgula para a esquerda até o primeiro algarismo desta forma:
200 000 000000 » 2,00 000 000 000
Note que a vírgula avançou 11 casas para a esquerda, então em notação científica este número fica: 2 . 1011.
Para com valores muito pequenos, é só mover a virgula para a direita, e a cada casa avançada, diminuir 1 da ordem de grandeza:
0,0000000586 » movendo a virgula para direita » 5,86 (avanço de 8 casas) » 5,86 . 10-8 -12.000.000.000.000 » -1,2 . 1013
2.3.1 Operações com Notação Científica
a) Adição
Para somarmos diversos números em notação científica é necessário que todos eles possuam a mesma ordem de grandeza.
Se houver diferença, devemos realizar uma conversão para igualar o expoente das potências de 10.
Para realizar esta soma vamos deixar todas as potências com o expoente 2.
A primeira parcela permanece inalterada:
No caso da segunda parcela precisamos reduzir o expoente de 3 para 2, então a vírgula na mantissa será deslocada uma posição para direita:
Esta operação é o mesmo que multiplicar a mantissa por 10 e dividir a potência também por 10.
A terceira parcela terá o expoente aumentado em 3 unidades e a vírgula da mantissa será deslocada o mesmo número de posições para a esquerda:
Isto é equivalente a dividir a mantissa por 1000 ou 103 e multiplicar a potência pelo mesmo valor.
Agora temos todas as parcelas com a mesma ordem de grandeza:
Somamos as mantissas:
Como a mantissa não é menor que 10, precisamos deslocar a vírgula uma posição para a esquerda, acrescentando também uma unidade ao expoente:
Portanto:
b) Subtração
Para a realização da subtração também é necessário que o minuendo e o subtraendo possuam a mesma ordem de grandeza.
Vejamos a subtração abaixo cujos termos já vimos no caso da adição:
Vamos deixar todas as potências com o expoente 2 e realizar a subtração:
Veja que a diferença não está no padrão desejado, então precisamos deslocar a vírgula 1 posição para a esquerda e adicionar 1 uma unidade ao expoente:
Logo:
c) Multiplicação
A multiplicação é bastante simples. Multiplicamos as mantissas e somamos as ordens de grandeza.
Multiplicando as mantissas e somando os expoentes temos:
Então:
d) Divisão
Dividimos as mantissas e subtraímos as ordens de grandeza.
Dividindo as mantissas e subtraindo os expoentes temos:
Portanto:
e) Potenciação
Para elevarmos um número em notação científica a um expoente n, devemos elevar a mantissa a n e multiplicar a ordem de grandeza também por n.
Realizando os procedimentos indicados temos:
Logo:
f) Radiciação
Para realizarmos a radiciação é necessário que a ordem de grandeza seja divisível pelo índice, para assim podermos realizar a retirada do radical.
Note que a ordem de grandeza, que é igual a 2, não é divisível pelo índice 3. Para ser, vamos adicionar 1 unidade a ela, deslocar a vírgula da mantissa 1 posição para a esquerda e realizar a radiciação:
Então:
Ordem de Grandeza
Quando trabalhamos com grandezas físicas, muitas vezes não precisamos nos preocupar com valores exatos. Podemos apenas avaliar, com aproximação, um resultado ou uma medida. Um recurso que facilita os cálculos muito longos, em uma avaliação, é a utilização das ordens de grandeza.
Por definição, ordem de grandeza de um número é a potência de dez mais próxima desse número. Assim, para obter a ordem de grandeza de um número N qualquer, em primeiro lugar, devemos escrevê-lo em notação científica, ou seja, no formato:
N = x.10n
em que 1 ≤ x ≤10 e  n é um número inteiro
Em seguida, devemos comparar x com o ponto médio do intervalo de 1 (= 100) a 101. Em outras palavras, devemos comparar o valor de x com o valor 100,5, como mostra a figura abaixo:
Figura 2 – Gráfico da escala de potências
Observe que 
é, aproximadamente, o ponto médio do intervalo [100, 101] em uma escala logarítmica. A partir dessa comparação, 
BIBLIOGRAFIA
http://wwwp.fc.unesp.br/~malvezzi/downloads/Ensino/Disciplinas/LabFisI_Eng/ApostilaTeoriaDosErros.pdf
http://www.infoescola.com/matematica/algarismos-significativos-algarismos-duvidosos/
http://www.infoescola.com/matematica/notacao-cientifica/
http://www.brasilescola.com/fisica/operacoes-com-algarismos-significativos.htm
http://www.mundoeducacao.com/fisica/ordem-grandeza.htm
http://educar.sc.usp.br/fisica/erro.html
http://www.matematicadidatica.com.br/NotacaoCientifica.aspx
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