apol ESTRUTURA ALGÉBRICA nota100

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Questão 1/10 - Estrutura Algébrica
A noção de ideal foi introduzida no final do século XIX pelo matemático alemão Richard Dedekind. Os ideais formam uma classe especial de subanéis e surgiram como ferramenta para o estudo da Teoria dos Números. Sobre esta noção, é correto afirmar
	
	A
	ZZ é ideal de Q.Q.
	
	B
	ZZ é ideal de R.R.
	
	C
	QQ é ideal de R.R.
	
	D
	J={(u0v0)∈M2(R)}J={(u0v0)∈M2(R)} é ideal de M2(R).M2(R).
	
	E
	2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é ideal de Z.
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica
Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) se a,b∈Ba,b∈B, então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B;
(ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel.
Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R.
II. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z.
III. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares  C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z.
Agora, marque a sequência correta:
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que contém um polinômio mônico:
	
	A
	p(x)=3x3+2x2+3.p(x)=3x3+2x2+3.
	
	B
	p(x)=2x2−3√x+2.p(x)=2x2−3x+2.
	
	C
	p(x)=2x5−3x3/2+2.p(x)=2x5−3x3/2+2.
	
	D
	p(x)=2x4+√3x+3.p(x)=2x4+3x+3.
	
	E
	p(x)=x3−3x22+√2.p(x)=x3−3x22+2.
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	O elemento neutro da adição de polinômios é o mesmo para a multiplicação de polinômios.
	
	B
	A adição, a multiplicação e a divisão de polinômios têm a propriedade comutativa.
	
	C
	A divisão de polinômios tem as mesmas propriedades da multiplicação.
	
	D
	O polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios.
	
	E
	O elemento neutro da divisão de polinômios é o zero.
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica
Considere o anel (R×R,+,⋅),(R×R,+,⋅), onde as operações de adição ++ e multiplicação ⋅⋅ são definidas por (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b)⋅(c,d)=(ac,bd).(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b)⋅(c,d)=(ac,bd). Considere também o homomorfismo f:R×R→M2(R)f:R×R→M2(R) definido por f(a,b)=[a00b].f(a,b)=[a00b]. Com base nesta função, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
I. (   ) f(1,1)f(1,1) resulta na unidade do anel M2(R).M2(R).
II. (   ) O núcleo de ff é o conjunto N(f)={(0,0)}.N(f)={(0,0)}.
III. (   ) O conjunto imagem de ff é Im(f)=M2(R).Im(f)=M2(R).
Agora, marque a sequência correta:
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que contém o quociente q(x)q(x) e o resto r(x)r(x) da divisão do polinômio f(x)=x3−5x2+3x+8f(x)=x3−5x2+3x+8 por h(x)=x−3h(x)=x−3:
	
	A
	q(x)=3x2−2x−3 e r(x)=1.q(x)=3x2−2x−3 e r(x)=1.
	
	B
	q(x)=2x2−2x+3 e r(x)=1.q(x)=2x2−2x+3 e r(x)=1.
	
	C
	q(x)=x2−2x−3 e r(x)=−1.q(x)=x2−2x−3 e r(x)=−1.
	
	D
	q(x)=x2−3x+2 e r(x)=−1.q(x)=x2−3x+2 e r(x)=−1.
	
	E
	q(x)=x2−3x+3 e r(x)=−1.q(x)=x2−3x+3 e r(x)=−1.
0:01:35
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica
Considere o polinômio p(x)=x3+5x2−22x−56p(x)=x3+5x2−22x−56. Assinale a alternativa que contém as raízes reais de p(x)p(x):
	
	A
	2, 4 e 7.
	
	B
	-7, -4 e 2.
	
	C
	-2, 4 e 7.
	
	D
	-7, -4 e -2.
	
	E
	-7, -2 e 4.
0:02:00
Questão 8/10 - Estrutura Algébrica
Considere os polinômios f(x)=2x3−7x2+4x−1 e g(x)=x−4.f(x)=2x3−7x2+4x−1 e g(x)=x−4. Com base em p(x)p(x) e em q(x),q(x), analise as afirmativas:
I. O polinômio f(x)f(x) é unitário.
II. O grau do polinômio g(x)g(x) é 1.1.
III. O quociente da divisão do polinômio f(x)f(x) pelo polinômio g(x)g(x) é q(x)=2x2+x+8.q(x)=2x2+x+8.
São corretas as afirmativas:
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
0:02:15
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica
Sobre o anel do inteiros (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), em que ++ e ⋅⋅ denotam as operações usuais em ZZ, assinale a alternativa correta:
	
	A
	Para todo a∈Za∈Z, vale a⋅0≠0.a⋅0≠0.
	
	B
	A propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é válida, isto é, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c para todos a,b,c∈Z.a,b,c∈Z.
	
	C
	O elemento 2∈Z2∈Z possui inverso multiplicativo em Z.Z.
	
	D
	O anel (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) possui divisores de zero.
	
	E
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo.
0:02:24
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica
Considere os anéis (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) e (R,+,⋅)(R,+,⋅), em que ++ e ⋅⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que
	
	A
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero.
	
	B
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo.
	
	C
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) não é domínio de integridade.
	
	D
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é corpo.
	
	E
	(R,+,⋅)(R,+,⋅) não é domínio de integridade.