apol ESTRUTURA ALGÉBRICA nota100
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Questão 1/10 - Estrutura Algébrica
A noção de ideal foi introduzida no final do século XIX pelo matemático alemão Richard Dedekind. Os ideais formam uma classe especial de subanéis e surgiram como ferramenta para o estudo da Teoria dos Números. Sobre esta noção, é correto afirmar
	
	A
	ZZ é ideal de Q.Q.
	
	B
	ZZ é ideal de R.R.
	
	C
	QQ é ideal de R.R.
	
	D
	J={(u0v0)\u2208M2(R)}J={(u0v0)\u2208M2(R)} é ideal de M2(R).M2(R).
	
	E
	2Z={2x; x\u2208Z}2Z={2x; x\u2208Z} é ideal de Z.
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica
Considere (A,+,\u22c5)(A,+,\u22c5) um anel. Um subconjunto não vazio B\u2282AB\u2282A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) se a,b\u2208Ba,b\u2208B, então a+b\u2208Ba+b\u2208B e a\u22c5b\u2208Ba\u22c5b\u2208B;
(ii) (B,+,\u22c5)(B,+,\u22c5) é um anel.
Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R.
II. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k\u2208Z}B={2k; k\u2208Z} é subanel de Z.Z.
III. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares  C={2k+1;k\u2208Z}C={2k+1;k\u2208Z} é subanel de Z.Z.
Agora, marque a sequência correta:
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que contém um polinômio mônico:
	
	A
	p(x)=3x3+2x2+3.p(x)=3x3+2x2+3.
	
	B
	p(x)=2x2\u22123\u221ax+2.p(x)=2x2\u22123x+2.
	
	C
	p(x)=2x5\u22123x3/2+2.p(x)=2x5\u22123x3/2+2.
	
	D
	p(x)=2x4+\u221a3x+3.p(x)=2x4+3x+3.
	
	E
	p(x)=x3\u22123x22+\u221a2.p(x)=x3\u22123x22+2.
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	O elemento neutro da adição de polinômios é o mesmo para a multiplicação de polinômios.
	
	B
	A adição, a multiplicação e a divisão de polinômios têm a propriedade comutativa.
	
	C
	A divisão de polinômios tem as mesmas propriedades da multiplicação.
	
	D
	O polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios.
	
	E
	O elemento neutro da divisão de polinômios é o zero.
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica
Considere o anel (R×R,+,\u22c5),(R×R,+,\u22c5), onde as operações de adição ++ e multiplicação \u22c5\u22c5 são definidas por (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b)\u22c5(c,d)=(ac,bd).(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b)\u22c5(c,d)=(ac,bd). Considere também o homomorfismo f:R×R\u2192M2(R)f:R×R\u2192M2(R) definido por f(a,b)=[a00b].f(a,b)=[a00b]. Com base nesta função, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
I. (   ) f(1,1)f(1,1) resulta na unidade do anel M2(R).M2(R).
II. (   ) O núcleo de ff é o conjunto N(f)={(0,0)}.N(f)={(0,0)}.
III. (   ) O conjunto imagem de ff é Im(f)=M2(R).Im(f)=M2(R).
Agora, marque a sequência correta:
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que contém o quociente q(x)q(x) e o resto r(x)r(x) da divisão do polinômio f(x)=x3\u22125x2+3x+8f(x)=x3\u22125x2+3x+8 por h(x)=x\u22123h(x)=x\u22123:
	
	A
	q(x)=3x2\u22122x\u22123 e r(x)=1.q(x)=3x2\u22122x\u22123 e r(x)=1.
	
	B
	q(x)=2x2\u22122x+3 e r(x)=1.q(x)=2x2\u22122x+3 e r(x)=1.
	
	C
	q(x)=x2\u22122x\u22123 e r(x)=\u22121.q(x)=x2\u22122x\u22123 e r(x)=\u22121.
	
	D
	q(x)=x2\u22123x+2 e r(x)=\u22121.q(x)=x2\u22123x+2 e r(x)=\u22121.
	
	E
	q(x)=x2\u22123x+3 e r(x)=\u22121.q(x)=x2\u22123x+3 e r(x)=\u22121.
0:01:35
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica
Considere o polinômio p(x)=x3+5x2\u221222x\u221256p(x)=x3+5x2\u221222x\u221256. Assinale a alternativa que contém as raízes reais de p(x)p(x):
	
	A
	2, 4 e 7.
	
	B
	-7, -4 e 2.
	
	C
	-2, 4 e 7.
	
	D
	-7, -4 e -2.
	
	E
	-7, -2 e 4.
0:02:00
Questão 8/10 - Estrutura Algébrica
Considere os polinômios f(x)=2x3\u22127x2+4x\u22121 e g(x)=x\u22124.f(x)=2x3\u22127x2+4x\u22121 e g(x)=x\u22124. Com base em p(x)p(x) e em q(x),q(x), analise as afirmativas:
I. O polinômio f(x)f(x) é unitário.
II. O grau do polinômio g(x)g(x) é 1.1.
III. O quociente da divisão do polinômio f(x)f(x) pelo polinômio g(x)g(x) é q(x)=2x2+x+8.q(x)=2x2+x+8.
São corretas as afirmativas:
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
0:02:15
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica
Sobre o anel do inteiros (Z,+,\u22c5)(Z,+,\u22c5), em que ++ e \u22c5\u22c5 denotam as operações usuais em ZZ, assinale a alternativa correta:
	
	A
	Para todo a\u2208Za\u2208Z, vale a\u22c50\u22600.a\u22c50\u22600.
	
	B
	A propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é válida, isto é, a\u22c5(b+c)=a\u22c5b+a\u22c5ca\u22c5(b+c)=a\u22c5b+a\u22c5c para todos a,b,c\u2208Z.a,b,c\u2208Z.
	
	C
	O elemento 2\u2208Z2\u2208Z possui inverso multiplicativo em Z.Z.
	
	D
	O anel (Z,+,\u22c5)(Z,+,\u22c5) possui divisores de zero.
	
	E
	(Z,+,\u22c5)(Z,+,\u22c5) é corpo.
0:02:24
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica
Considere os anéis (Z,+,\u22c5)(Z,+,\u22c5), (Q,+,\u22c5)(Q,+,\u22c5) e (R,+,\u22c5)(R,+,\u22c5), em que ++ e \u22c5\u22c5 denotam suas operações usuais. É correto afirmar que
	
	A
	(Z,+,\u22c5)(Z,+,\u22c5) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero.
	
	B
	(Z,+,\u22c5)(Z,+,\u22c5) é corpo.
	
	C
	(Q,+,\u22c5)(Q,+,\u22c5) não é domínio de integridade.
	
	D
	(Q,+,\u22c5)(Q,+,\u22c5) é corpo.
	
	E
	(R,+,\u22c5)(R,+,\u22c5) não é domínio de integridade.