Exercicios Halliday sobre Trabalho e Energia Cinetica

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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, a`s 22:55
Exercı´cios Resolvidos de Fı´sica Ba´sica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal da Paraı´ba (Joa˜o Pessoa, Brasil)
Departamento de Fı´sica
Baseados na SEXTA edic¸a˜o do “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas
Contents
7 Trabalho e Energia Cine´tica 2
7.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
7.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
7.2.1 Trabalho: movimento 1D com forc¸a constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
7.2.2 Trabalho executado por forc¸a varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7.2.3 Trabalho realizado por uma mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7.2.4 Energia Cine´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7.2.5 Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7.2.6 Energia Cine´tica a Velocidades Elevadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jasongallas @ yahoo.com (sem “br” no final...)
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7 Trabalho e Energia Cine´tica
7.1 Questo˜es
Q 7-13
As molas A e B sa˜o ideˆnticas, exceto pelo fato de que A
e´ mais rı´gida do que B, isto e´ kA > kB . Qual das duas
molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem
o mesmo deslocamento e (b) quando elas sa˜o distendi-
das por forc¸as iguais.
I (a) Temos WA = kAx2/2 e WB = kBx2/2, onde x
representa o deslocamento comum a ambas molas. Por-
tanto,
WA
WB
=
kA
kB
> 1,
ou seja, WA > WB .
(b) Agora temos WA = kAx2A/2 e WB = kBx2B/2,
onde xA e xB representam os delocamentos provocados
pela forc¸a ideˆntica que atua sobre ambas as molas e que
implica ter-se, em magnitude,
F = kAxA = kBxB ,
donte tiramos xB = kAxA/kB . Portanto
WA
WB
=
kAx
2
A
kB(kAxA/kB)2
=
kB
kA
< 1,
ou seja, WA < WB .
7.2 Problemas e Exercı´cios
7.2.1 Trabalho: movimento 1D com forc¸a con-
stante
E 7-2 (7-7/6a edic¸a˜o)
Para empurrar um caixote de 50 kg num piso sem atrito,
um opera´rio aplica uma forc¸a de 210 N, dirigida 20o
acima da horizontal. Se o caixote se desloca de 3 m, qual
o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo opera´rio,
(b) pelo peso do caixote e (c) pela forc¸a normal exer-
cida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total
executado sobre o caixote?
I (a) A forc¸a aplicada e´ constante e o trabalho feito por
ela e´
WF = F · d = Fd cosφ,
onde F e´ a forc¸a, d e´ o deslocamento do caixote, e φ e´
o aˆngulo entre a forc¸a F e o deslocamento d. Portanto,
WF = (210)(3) cos 20
o = 590 J.
(b) A forc¸a da gravidade aponta para baixo, perpendic-
ular ao deslocamento do caixote. O aˆngulo entre esta
forc¸a e o deslocamento e´ 90o e, como cos 90o = 0, o
trabalho feito pela forc¸a gravitacional e´ ZERO.
(c) A forc¸a normal exercida pelo piso tambe´m atua per-
pendicularmente ao deslocamento, de modo que o tra-
balho por ela realizado tambe´m e´ ZERO.
(d) As treˆs forc¸as acima mencionadas sa˜o as u´nicas que
atuam no caixote. Portanto o trabalho total e´ dado pela
soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma
das treˆs forc¸as, ou seja, o trabalho total e´ 590 J.
P 7-9 (???/6a)
A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para
facilitar o levantamento de um peso L. Suponha que o
atrito seja desprezı´vel e que as duas polias de baixo, a`s
quais esta´ presa a carga, pesem juntas 20 N. Uma carga
de 840 N deve ser levantada 12 m. (a) Qual a forc¸a
mı´nima F necessa´ria para levantar a carga? (b) Qual o
trabalho executado para levantar a carga de 12 m? (c)
Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d)
Qual o trabalho executado pela forc¸aF para realizar esta
tarefa?
I (a) Supondo que o peso da corda e´ desprezı´vel (isto e´,
que a massa da corda seja nula), a tensa˜o nela e´ a mesma
ao longo de todo seu comprimento. Considerando as
duas polias mo´veis (as duas que esta˜o ligadas ao peso
L) vemos que tais polias puxam o peso para cima com
uma forc¸a F aplicada em quatro pontos, de modo que a
forc¸a total para cima aplicada nas polias mo´veis e´ 4F .
Se F for a forc¸a mı´nima para levantar a carga (com ve-
locidade constante, i.e. sem acelera-la), enta˜o a segunda
lei de Newton nos diz que devemos ter
4F −Mg = 0,
onde Mg representa o peso total da carga mais polias
mo´veis, ou seja, Mg = (840 + 20) N. Assim, encon-
tramos que
F =
860
4
= 215 N.
(b) O trabalho feito pela corda e´ W = 4Fd = Mgd,
onde d e´ a distaˆncia de levantamento da carga. Portanto,
o trabalho feito pela corda e´
W = (860)(12) = 10320 J.
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(A resposta na traduc¸a˜o do livro esta´ incorreta.)
(c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento
da corda entre o conjunto superior e inferior de polias
diminui de um metro. Ou seja, a extremidade livre da
corda abaixo de 4 metros. Portanto, no total a extremi-
dade livre da corda move-se (4)(12) = 48 m para baixo.
(d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela
extremidade livre e´ W = Fd = Mgd/4, onde d e´ a
distaˆncia que a extremidade livre se move. Portanto,
W = (860)
48
4
= 10320 J.
Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d)
devem coincidir, o que na˜o ocorre com as respostas
fornecidas no livro.
P 7-12 (???/6a)
Um bloco de 3.75 kg e´ puxado com velocidade con-
stante por uma distaˆncia de 4.06 m em um piso hori-
zontal por uma corda que exerce uma forc¸a de 7.68 N
fazendo um aˆngulo de 15o acima da horizontal. Calcule
(a) o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b)
o coeficiente de atrito dinaˆmico entre o bloco e o piso.
I (a) A forc¸a na corda e´ constante, de modo que o tra-
balho e´ dado por W = F · d = Fd cosφ, onde F e´
a forc¸a exercida pela corda, d e´ a distaˆncia do desloca-
mento, e φ e´ o aˆngulo entre a forc¸a e o deslocamento.
Portanto
W = (7.68)(4.06) cos 15o = 30.1 J.
(b) A resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um
diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro)
forc¸as aplicadas.
Desenhe um ponto P representando o bloco. Em P , de-
senhe a forc¸a normal N apontando para cima, a forc¸a
peso mg apontando para baixo. Apontando horizontal-
mente para a esquerda desenhe a forc¸a f de atrito. De-
senhe a forc¸a F que puxa o bloco apontando para a dire-
ita e para cima, fazendo um aˆngulo φ com a horizontal,
Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos diz que para
que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equilı´brio
tanto na horizontal quanto na vertical, o que nos fornece
as equac¸o˜es, respectivamente,
F cosφ− f = 0,
N + F senφ−mg = 0.
A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por
f = µk N = µk(mg − F senφ),
onde o valor deN foi obtido da segunda equac¸a˜o acima.
Substituindo o valor de f na primeira das equac¸o˜es
acima e resolvendo-a para µk encontramos sem prob-
lemas que
µk =
F cosφ
mg − F senφ
=
(7.68) cos 15o
(3.57)(9.8)− (7.68) sen 15o = 0.22.
7.2.2 Trabalho executado por forc¸a varia´vel
P 7-16 (???/6a)
A forc¸a exercida num objeto e´ F (x) = F0(x/x0 − 1).
Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de
x = 0 ate´ x = 2x0 (a) fazendo um gra´fico de F (x) e
determinando a a´rea sob a curva e (b) calculando a inte-
gral analiticamente.
I (a) A expressa˜ode F (x) diz-nos que a forc¸a varia
linearmente com x. Supondo x0 > 0, escolhemos dois
pontos convenientes para, atrave´s deles, desenhar uma
linha reta.
Para x = 0 temos F = −F0 enquanto que para x = 2x0
temos F = F0, ou seja devemos desenhar uma linha
reta que passe pelos pontos (0,−F0) e (2x0, F0). Fac¸a
a figura!
Olhando para a figura vemos que o trabalho total e´ dado
pela soma da a´rea de dois triaˆngulos: um que vai de
x = 0 ate´ x = x0, o outro indo de x = x0 ate´ x = 2x0.
Como os dois triaˆngulos tem a mesma a´rea, sendo uma
positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total e´
ZERO.
(b) Analiticamente, a integral nos diz que
W =
∫ 2x0
0
F0
( x
xo
− 1
)
dx
= F0
( x2
2x0
− x
)∣∣∣2x0
0
= 0.
7.2.3 Trabalho realizado por uma mola
E 7-18 (7-21/6a)
Uma mola com uma constante de mola de 15 N/cm esta´
presa a uma gaiola, como na Fig. 7-31. (a) Qual o tra-
balho executado pela mola sobre a gaiola se a mola e´
distendida de 7.6 mm em relac¸a˜o ao seu estado relax-
ado? (b) Qual o trabalho adicional executado pela mola
se ela e´ distendida por mais 7.6 mm?
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I (a) Quando a gaiola move-se de x = x1 para x = x2
o trabalho feito pela mola e´ dado por
W =
∫ x2
x1
(−kx) dx = − 1
2
kx2
∣∣∣x2
x1
= − 1
2
k(x22 − x21),
onde k e´ a constante de forc¸a da mola. Substituindo
x1 = 0 m e x2 = 7.6× 10−3 m encontramos
W = −1
2
(1500)(7.6× 10−3)2 = −0.043 J.
(b) Agora basta substituir-se x1 = 7.6 × 10−3 m e
x2 = 15.2× 10−3 m na expressa˜o para o trabalho:
W = −1
2
(1500)
[
(15.2)2 − (7.6)2
]
× (10−3)2
= −0.13 J.
Perceba que durante o segundo intervalo o trabalho re-
alizado e´ mais do que o dobro do trabalho feito no
primeiro intervalo. Embora o deslocamento tenha sido
ideˆntico em ambos intervalos, a forc¸a e´ maior durante o
segundo intervalo.
7.2.4 Energia Cine´tica
E 7-21 (7-???/6a)
Se um foguete Saturno V com uma espac¸onave Apolo
acoplada tem uma massa total de 2.9 × 105 kg e atinge
uma velocidade de 11.2 km/s, qual a sua energia cine´tica
neste instante?
I Usando a definic¸a˜o de energia cine´tica temos que
K =
1
2
mv2 =
1
2
(2.9× 105)(11.2× 103)2
= 1.75× 1013 J.
E 7-22 (7-1/6a)
Um ele´tron de conduc¸a˜o (massa m = 9.11× 10−31 kg)
do cobre, numa temperatura pro´xima do zero absoluto,
tem uma energia cine´tica de 6.7 × 10−19 J. Qual a ve-
locidade do ele´tron?
I A energia cine´tica e´ dada por K = mv2/2, onde m e´
a massa do ele´tron e v a sua velocidade. Portanto
v =
√
2K
m
=
√
2(6.7× 10−19)
9.11× 10−31 = 1.2× 10
6 m/s.
E 7-29 (???/6a)
Um carro de 1000 kg esta´ viajando a 60 km/h numa
estrada plana. Os freios sa˜o aplicados por um tempo
suficiente para reduzir a energia cine´tica do carro de
50 kJ. (a) Qual a velocidade final do carro? (b) Qual
a reduc¸a˜o adicional de energia cine´tica necessa´ria para
fazeˆ-lo parar?
I (a) A energia cine´tica inicial do carro e´Ki = mv2i /2,
onde m e´ a massa do carro e
vi = 60 km/h =
60× 103
3600
= 16.7 m/s
e´ a sua velocidade inicial. Isto nos fornece
Ki = (1000)(16.7)
2/2 = 1.39× 105 J.
Apo´s reduzir em 50 kJ a energia cine´tica teremos
Kf = 1.39× 105 − 50× 103 = 8.9× 104 J.
Com isto, a velocidade final do carro sera´
vf =
√
2Kf
m
=
√
2(8.9× 104)
1000
= 13.3 m/s
= 47.8 km/h.
(b) Como ao parar a energia cine´tica final do carro sera´
ZERO, teremos que ainda remover 8.9×104 J para faze-
lo parar.
P 7-35 (7-17/6a)
Um helico´ptero levanta verticalmente um astronauta de
72 kg ate´ 15 m de altura acima do oceano com o
auxı´lio de um cabo. A acelerac¸a˜o do astronauta e´ g/10.
Qual o trabalho realizado sobre o astronauta (a) pelo
helico´ptero e (b) pelo seu pro´prio peso? Quais sa˜o (c)
a energia cine´tica e (d) a velocidade do astronauta no
momento em que chega ao helico´ptero?
I (a) Chame de F a magnitude da forc¸a exercida pelo
cabo no astronauta. A forc¸a do cabo aponta para cima e
o peso mg do astronauta aponta para baixo. Ale´m disto,
a acelerac¸a˜o do astronauta e´ g/10, para cima. De acordo
com a segunda lei de Newton,
F −mg = mg/10,
de modo que F = 11mg/10. Como a forc¸a F e o deslo-
camento d esta˜o na mesma direc¸a˜o, o trabalho feito pela
forc¸a F e´
WF = Fd =
11mg
10
d =
11(72)(9.8)(15)
10
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= 1.16× 104 J.
(b) O peso tem magnitude mg e aponta na direc¸a˜o
oposta do deslocamento. Ele executa um trabalho
Wg = −mgd = −(72)(9.8)(15) = −1.06× 104 J.
(c) O trabalho total feito e´
WT = 11600− 10600 = 1000 J.
Como o astronauta partiu do repouso, o teorema do
Trabalho-Energia diz-nos que sua energia cine´tica final
devera´ ser igual a WT
(d) Como K = mv2/2, a velocidade final do astronauta
sera´
v =
√
2K
m
=
√
2(1000)
72
= 5.27 m/s = 18.9 km/h.
P 7-36 (7-19/6a)
Uma corda e´ usada para fazer descer verticalmente um
bloco, inicialmente em repouso, de massa M com uma
acelerac¸a˜o constante g/4. Depois que o bloco desceu
uma distaˆncia d, calcule (a) o trabalho realizado pela
corda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado sobre o
bloco pelo seu peso, (c) a energia cine´tica do bloco e (d)
a velocidade do bloco.
I (a) Chame de F a magnitude da forc¸a da corda so-
bre o bloco. A forc¸a F aponta para cima, enquanto que
a forc¸a da gravidade, de magnitude Mg, aponta para
baixo. A acelerac¸a˜o e´ g/4, para baixo. Considere o
sentido para baixo como sendo o sentido positivo. A se-
gunda lei de Newton diz-nos que Mg − F = Mg/4,
de modo que F = 3Mg/4. A forc¸a esta´ direcionada no
sentido oposto ao deslocamento de modo que o trabalho
que ela faz e´
WF = −Fd = −3
4
Mgd.
(b) A forc¸a da gravidade aponta no mesmo sentido
que o deslocamento de modo que ela faz um trabalho
Wg = Mgd.
(c) O trabalho total feito sobre o bloco e´
WT = −3
4
Mgd+Mgd =
1
4
Mgd.
Como o bloco parte do repouso, o valor acima coincide
com sua energia cine´tica K apo´s haver baixado uma
distaˆncia d.
(d) A velocidade apo´s haver baixado uma distaˆncia d e´
v =
√
2K
M
=
√
gd
2
.
7.2.5 Poteˆncia
P 7-43 (???/6a)
Um bloco de granito de 1400 kg e´ puxado por um guin-
daste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade
constante de 1.34 m/s (Fig. 7-38). O coeficiente de atrito
dinaˆmico entre o bloco e a rampa e´ 0.4. Qual a poteˆncia
do guindaste?
I Para determinar a magnitude F da forc¸a com que
o guindaste puxa o granito usaremos um diagrama de
corpo livre.
Chamemos de f a forc¸a de atrito, no sentido oposto ao
de F . A normal N aponta perpendicularmente a` rampa,
enquanto que a magnitude mg da forc¸a da gravidade
aponta verticalmente para baixo.
Da figura dada vemos que aˆngulo θ do plano inclinado
vale
θ = tan−1
(30
40
)
= 37o.
Tomemos o eixo x na direc¸a˜o do plano inclinado, apon-
tando para cima e o eixo y apontando no mesmo sentido
da normal N.
Como a acelerac¸a˜o e´ zero, as componentes x e y da se-
gunda lei de Newton sa˜o, respectivamente,
F − f −mg sen θ = 0,
N −mg cos θ = 0.
Da segunda equac¸a˜o obtemos que N = mg cos θ, de
modo que f = µkN = µkmg cos θ. Substiutindo este
resultado na primeira equac¸a˜o e resolvendo-a para F
obtemos
F = mg
(
sen θ + µk cos θ
)
.
A forc¸a do guindaste aponta no mesmo sentido que a ve-
locidade do bloco, de modo que a poteˆncia do guindaste
e´
P = Fv
= mgv
(
sen θ + µk cos θ
)
= (1400)(9.8)(1.34)
(
sen 37o + 0.4 cos 37o
)
= 17 kW.
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P 7-47 (???/6a)
Uma forc¸a de 5 N age sobre um corpo de 1.5 kg inicial-
mente em repouso.Determine (a) o trabalho executado
pela forc¸a no primeiro, segundo e terceiro segundos e
(b) a poteˆncia instantaˆnea aplicada pela forc¸a no final
do terceiro segundo.
I (a) A poteˆncia e´ dada por P = Fv e o trabalho feito
por F entre o instante t1 e t2 e´
W =
∫ t2
t1
P dt =
∫ t2
t1
Fv dt.
Como F e´ a forc¸a total, a magnitude da acelerac¸a˜o e´
a = f/m e a velocidade em func¸a˜o do tempo e´ dada
por v = at = Ft/m. Portanto
W =
∫ t2
t1
F 2t
m
dt =
1
2
F 2
m
(
t22 − t21
)
.
Para t1 = 0s e t2 = 1s temos
W1 =
1
2
(52
15
)
[(1)2 − (0)2] = 0.83 J.
Para t1 = 1s e t2 = 2s temos
W2 =
1
2
(52
15
)
[(2)2 − (1)2] = 2.5 J.
Para t1 = 2s e t2 = 3s temos
W3 =
1
2
(52
15
)
[(3)2 − (2)2] = 4.2 J.
(b) Substitua v = Ft/m em P = Fv obtendo enta˜o
P = F 2t/m para a poteˆncia num instante t qualquer.
Ao final do terceiro segundo temos
P =
(5)2(3)
15
= 5 W.
P 7-48 (7-35/6a)
Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa
total de 1200 kg e deve subir 54 m em 3 min. O con-
trapeso do elevador tem uma massa de 950 kg. Cal-
cule a poteˆncia (em cavalos-vapor) que o motor do el-
evador deve desenvolver. Ignore o trabalho necessa´rio
para colocar o elevador em movimento e para frea´-lo,
isto e´, suponha que se mova o tempo todo com veloci-
dade constante.
I O trabalho total e´ a soma dos trabalhos feitos pela
gravidade sobre o elevador, o trabalho feito pela gravi-
dade no contrapeso, e o trabalho feito pelo motor sobre
o sistema: WT = We + Wc + Wm. Como o elevador
move-se com velocidade constante, sua energia cine´tica
na˜o muda e, de acordo com o teorema do Trabalho-
Energia, o trabalho total feito e´ zero. Isto significa que
We +Wc +Wm = 0.
O elevador move-se 54 m para cima, de modo que o tra-
balho feito pela gravidade sobre ele e´
We = −megd = −(1200)(9.8)(54) = −6.35× 105 J.
O contrapeso move-se para baixo pela mesma distaˆncia,
de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele e´
Wc = mcgd = (950)(9.8)(54) = 5.03× 105 J.
Como WT = 0, o trabalho feito pelo motor e´
Wm = −We −Wc = (6.35− 5.03)× 105
= 1.32× 105 J.
Este trabalho e´ feito num intervalo de tempo ∆t =
3 min = 180 s e, portanto, a poteˆncia fornecida pelo
motor para levantar o elevador e´
P =
Wm
∆t
=
1.32× 105
180
= 735 W.
Este valor corresponde a
735 W
746 W/hp
= 0.99 hp.
P 7-49 (???/6a)
A forc¸a (mas na˜o a poteˆncia) necessa´ria para rebocar um
barco com velocidade constante e´ proporcional a` veloci-
dade. Se sa˜o necessa´rios 10 hp para manter uma veloci-
dade de 4 km/h, quantos cavalos-vapor sa˜o necessa´rios
para manter uma velocidade de 12 km/h?
I Como o problema afirma que a forc¸a e´ proporcional
a` velocidade, podemos escrever que a forc¸a e´ dada por
F = αv, onde v e´ a velocidade e α e´ uma constante de
proporcionalidade. A poteˆncia necessa´ria e´
P = Fv = αv2.
Esta fo´rmula nos diz que a poteˆncia associada a uma
velocidade v1 e´ P1 = αv21 e a uma velocidade v2 e´
P2 = αv
2
2 . Portanto, dividindo-se P2 por P1 podemos
nos livrar da constante α desconhecida, obtendo que
P2 =
(v2
v1
)2
P1.
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Para P1 = 10 hp e v2 = 3v1, vemos sem problemas que
P2 =
(12
4
)2
(10) = (3)2(10) = 90 hp.
Observe que e´ possı´vel determinar-se explicitamente o
valor de α a partir dos dados do problema. Pore´m, tal
soluc¸a˜o e´ menos elegante que a acima apresentada, onde
determinamos α implicitamente, chegando ao resultado
final mais rapidamente.
7.2.6 Energia Cine´tica a Velocidades Elevadas
E 7-50 (???/6a)
Um ele´tron se desloca de 5.1 cm em 0.25 ns. (a) Qual e´
a relac¸a˜o entre a velocidade do ele´tron e a velocidade da
luz? (b) Qual e´ a energia do ele´tron em ele´trons-volt?
(c) Qual o erro percentual que voceˆ cometeria se usasse
a fo´rmula cla´ssica para calcular a energia cine´tica do
ele´tron?
I (a) A velocidade do ele´tron e´
v =
d
t
=
5.1× 10−2
0.25× 10−9 = 2.04× 10
8 m/s.
Como a velocidade da luz e´ c = 2.998×108 m/s, temos
v =
2.04
2.998
c = 0.68 c.
(b) Como a velocidade do ele´tron e´ pro´xima da veloci-
dade da luz,devemos usar expressa˜o relativı´stica para a
energia cine´tica:
K = mc2
( 1√
1− v2/c2 − 1
)
= (9.11× 1031)(2.998× 108)×( 1√
1− (0.68)2 − 1
)
= 3.0× 10−14 J.
Este valor e´ equivalente a
K =
3.0× 10−14
1.60× 10−19 = 1.90× 10
5 = 190 keV.
(c) Classicamente a energia cine´tica e´ dada por
K =
1
2
mv2 =
1
2
(9.11× 10−31)(2.04× 108)2
= 1.90× 10−14 J.
Portanto, o erro percentual e´, simplificando ja´ a poteˆncia
comum 10−14 que aparece no numerador e denomi-
nador,
erro percentual =
3.0− 1.9
3.0
= 0.37,
ou seja, 37%. Perceba que na˜o usar a fo´rmula rela-
tivı´stica produz um grande erro!!
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