Apostila ANOVA

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO RIO GRANDE DO SUL
UNIDADE NOVO HAMBURGO
Prof. Dr. Éder Julio Kinast
Análise de Variância para um fator de classificação (ANOVA One Way)
A análise de variância é um teste estatístico amplamente difundido entre os analistas e visa
fundamentalmente verificar se existe diferença significativa entre as médias de mais de duas
populações. A principal aplicação da ANOVA (Analyse of Variance) é a comparação de médias
oriundas de grupos diferentes, também chamados tratamentos, como por exemplo as médias
históricas de questões de satisfação, empresas que operam simultaneamente com diferentes
rendimentos, entre muitas outras aplicações.
Em uma ANOVA, calcula-se dois componentes: a variância das médias amostrais (variação
devida ao tratamento) e a variância dentro das amostras ou grupos (variação devida ao erro).
Exemplo 01. Suponha que queiramos comparar a eficácia de três detergentes, com base
nos seguintes graus de branqueamento em 15 pedaços de tecido de algodão branco, embebidos
em óleo de automóvel e lavados em seguida em uma máquina de lavar:
Detergente A Detergente B Detergente C
77 72 76
81 58 85
71 74 82
76 66 80
80 70 77
xA = 77 xB = 68 xC = 80
s2A = 15.5 s
2
B = 40.0 s
2
C = 13.5
sA = 3.937 sB = 6.325 sC = 3.674
Como a médias dessas três amostras são diferentes, interessa-nos saber se as diferenças
entre elas são significativas ou se podem ser atribuídas ao acaso. Assim, formula-se as seguintes
hipóteses:
• H0 : µ1 = µ2 = . . . = µK
• H1 : pelo menos uma média populacional é diferente.
Há três suposições básicas que devem ser satisfeitas para que se possa aplicar a análise de
variância.
1. As amostras devem ser aleatórias e independentes;
2. As amostras devem ser extraídas de populações normais;
3. As populações devem ter variâncias iguais.
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Método Clássico de Análise de Variância (ANOVA)
O Médodo Clássico de ANOVA consiste em montar uma tabela contendo várias informações
para o cálculo final do parâmetro Fteste. Existe duas possibilidades de análise:
1. experimentos com UM fator de classificação (ANOVA One Way);
2. experimentos com k tratamentos e r blocos (ANOVA Two Way).
Experimento inteiramente ao acaso com apenas um fator de classificação
Os dados deste tipo de análise podem ser arranjados conforme a tabela abaixo:
Tratamento 1 2 3 · · · k
y11 y21 y31 yk1
y12 y22 y32 yk2
y13 y23 y33 yk3
...
...
...
...
y1r y2r y3r · · · ykr
Total T1 T2 T3 · · · Tk →
∑
T =
∑
y
No de repetições r r r · · · r → n = k · r
Média y
1
y
2
y
3
· · · yk
Os seguintes fatores são necessários para essa análise:
a. Graus de liberdade
- de tratamentos υTr = k − 1
- do total υT = n− 1 onde n = k · r
- do resíduo υR = (n− 1)− (k − 1) = n− k
b. Fator de correção C =
(
∑
y)2
n
c. Soma dos quadrados total SQT =
∑
y2 − C
d. Soma dos quadrados dos tratamentos SQTr =
∑ T 2
r
− C
e. Soma dos quadrados dos resíduos SQR = SQT − SQTr
f. Quadrado médio do tratamento QMTr =
SQTr
k − 1
g. Quadrado médio dos resíduos QMR =
SQR
n− k
h. Fator Fteste =
QMTr
QMR
2
Com os fatores acima monta-se a tabela a seguir.
Tabela ANOVA I
Causas de Variação Graus de Liberdade Somas dos Quadrados Quadrados Médios Fator F
Tratamentos k − 1 SQTr QMTr Fteste
Resíduos n− k SQR QMR
Total n− 1 SQT
O fator Fteste deve ser comparado com o fator correspondente da distribuição Fα,k−1,n−k de
Fisher, que leva em conta os números de graus de liberdade e a confiança requerida.
Hipótese
Critério para
rejeitar H0
H0 : µ1 = µ2 = . . . = µK
H1 : pelo menos uma média populacional é diferente.
Fteste > Fα,k−1,n−k
Exemplo 01 (continuação). Testar ao nível de 5%, se existem diferenças significativas
entre os grupos de detergentes do início do texto.
Exemplo 02. Um pesquisador realizou um estudo para verificar qual posto de trabalho
gerava mais satisfação para o funcionário. Para isso, durante um mês, 10 funcionários foram
entrevistados. Ao final de um mês os funcionários responderam um questionário gerando uma
nota para o bem estar do funcionário. Testar ao nível de 5%, se existem diferenças significativas
entre os grupos.
Funcionário Varredor Balconista Gerente
1 5 7 8
2 6 8 9
3 7 7 8
4 6 8 9
5 5 9 8
6 6 7 8
7 7 8 9
8 5 6 10
9 6 7 8
10 6 6 9
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Comparação entre as Médias de uma ANOVA
Quando a análise de variância mostra que as médias dos tratamentos não são iguais, é
lógico perguntar quais as médias que diferem entre si. Para fazer a comparação das médias
duas a duas, mantendo um nível de significância, calcula-se uma Diferença Mínima Significativa
(DMS) da seguinte forma:
DMS = tα/2,νR ·
√
QMR
(
1
r1
+
1
r2
+ · · ·
)
Qualquer diferença (em módulo) entre duas médias maior que o DMS calculado, é consi-
derada estatisticamente significativa ao nível α especificado.
Exemplo 03. Testar ao nível de 5% as diferenças entre as médias do Exemplo 01 (dos
diferentes tipos de detergente).
Exemplo 04. Testar ao nível de 5% as diferenças entre as médias do Exemplo 02 (avaliação
dos funcionários em diferentes cargos).
Grupos Significativamente Diferentes
Após a realização da análise ANOVA e da Diferença Mínima Significativa, faz-se o cruza-
mento dos dados para determinar os grupos significativamente diferentes de médias.
Para isto, é conveniente ordenar os conjuntos de dados em ordem crescente da média obtida.
Exemplo 05. Montar os grupos estatísticos do Exemplo 01 (dos diferentes tipos de deter-
gente).
Exemplo 06. Montar os grupos estatísticos do Exemplo 02 (avaliação dos funcionários em
diferentes cargos).
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