Variáveis Aleatórias Bidimensionais

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Universidade Federal Fluminense 
 
DEPARTAMENTO 
DE ESTATÍSTICA 
 
Instituto de Matemática e Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS 
 
 
 
Ana Maria Lima de Farias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2009 
 
 
Conteúdo
1 Variáveis Aleatórias Bidimensionais Discretas 1
1.1 Exemplo (Bussab,Morettin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Distribuições conjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Distribuições marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Distribuições condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Vetor aleatório bidimensional discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Função de distribuição de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Distribuições marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Distribuições condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Esperança condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Independência de variáveis aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Exemplo (continuação) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Funções de variáveis aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Exemplo (continuação) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Covariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Propriedades da covariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2 Interpretação da covariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3 Independência e covariância de variáveis aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Coeficiente de correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Variáveis Aleatórias Bidimensionais Contínuas 18
2.1 Função de densidade conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Exemplo (Exercício 18, p. 220 - Bussab & Morettin) . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Densidades marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Exemplo 2.1.1 (continuação) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Exemplo 2.1.2 (continuação) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Distribuições e esperanças condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Exemplo 2.1.1 (continuação) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Exemplo 2.1.2 (continuação) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Independência de variáveis aleatórias contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Funções de variáveis aleatórias contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
CONTEÚDO ii
2.6 Covariância e correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 A distribuição t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7.1 Tabela da t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.8 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9 A distribuição normal bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9.1 Função de densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.9.2 Densidades Marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.9.3 Covariância e Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9.4 Distribuições Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9.5 Resumo dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.10 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Capítulo 1
Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Discretas
1.1 Exemplo (Bussab,Morettin)
Emmuitas situações, é comum que um experimento aleatório gere mais de uma variável de interesse.
Consideremos, por exemplo, um estudo da composição de famílias com 3 filhos quanto ao sexo das
crianças.
Podemos definir as seguintes variáveis:
X = número de meninos
Y =
½
1 se 1o filho é homem
0 caso contrário
Z = número de vezes que houve variação de sexo entre nascimentos consecutivos
Suponhamos que a probabilidade de nascer homem ou mulher seja igual a 1
2
, ou seja, que todas
as composições de família tenham a mesma probabilidade. Então, os possíveis resultados e os
valores das variáveis são os apresentados na tabela a seguir:
Evento X Y Z Pr
HHH 3 1 0 1/8
HHM 2 1 1 1/8
HMH 2 1 2 1/8
MHH 2 0 1 1/8
HMM 1 1 1 1/8
MHM 1 0 2 1/8
MMH 1 0 1 1/8
MMM 0 0 0 1/8
A partir desses resultados obtemos as seguintes distribuições de probabilidades para as variáveis
aleatórias X, Y , Z:
1
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 2
X :
x 0 1 2 3
p 1/8 3/8 3/8 1/8 E(X) =
3
2
E(X2) = 3 Var(X) =
3
4
Y :
y 0 1
p 1/2 1/2 E(Y ) =
1
2
E(Y 2) =
1
2
Var(Y ) =
1
4
Z :
z 0 1 2
p 1/4 1/2 1/4 E(Z) = 1 E(Z
2) =
3
2
Var(Z) =
1
2
1.1.1 Distribuições conjuntas
Vamos analisar agora a distribuição conjunta de 2 dessas variáveis, ou seja, queremos analisar,
por exemplo, a probabilidade de X ser igual a 1 e Y ser igual a 0, simultamente. Vamos calcular
essas probabilidades e apresentá-las em forma de tabela de dupla entrada, como fizemos no caso de
tabelas de freqüência bivariada.
(X,Y ) :
X pY (y)
0 1 2 3
Y 0 1/8 2/8 1/8 0 1/2
1 0 1/8 2/8 1/8 1/2
pX(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
(X,Z) :
X
0 1 2 3 pZ(z)
0 1/8 0 0 1/8 2/8
Z 1 0 2/8 2/8 0 4/8
2 0 1/8 1/8 0 2/8
pX(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
(Y,Z) :
Z pY (y)
0 1 2
Y 0 1/8 2/8 1/8 4/8
1 1/8 2/8 1/8 4/8
pZ(z) 2/8 4/8 2/8 1
Analisando simultaneamente as três variáveis, temos:
(x, y, x) Pr(X = x, Y = y, Z = z)
(0, 0, 0) 1/8
(1, 0, 1) 1/8
(1, 0, 2) 1/8
(1, 1, 1) 1/8
(2, 0, 1) 1/8
(2, 1, 2) 1/8
(2, 1, 1) 1/8
(3, 1, 0) 1/8
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 3
1.1.2 Distribuições marginais
A partir da distribuição conjunta de (X,Y ), como podemos obter a distribuição de X? E de Y ?
Note que, em termos dessa distribuição conjunta, o evento {X = 0} pode ser escrito como:
{X = 0} = {X = 0 ∩ Y = 0} ∪ {X = 0 ∩ Y = 1}
e como estes são eventos mutuamente exclusivos, resulta
Pr(X = 0) = Pr(X = 0, Y = 0) + Pr(X = 0, Y = 1) =
1
8
+ 0 =
1
8
Analogamente,
Pr(X = 1) = Pr(X = 1, Y = 0) + Pr(X = 1, Y = 1) =
2
8
+
1
8
=
3
8
Pr(X = 2) = Pr(X = 2, Y = 0) + Pr(X = 2, Y = 1) =
1
8
+
2
8
=
3
8
Pr(X = 3) = Pr(X = 3, Y = 0) + Pr(X = 3, Y = 1) = 0 +
1
8
=
1
8
Para a distribuição de Y temos:
Pr(Y = 0) = Pr(X = 0, Y = 0) + Pr(X = 1, Y = 0) + Pr(X = 2, Y = 0)
+Pr(X = 3, Y = 0) =
1
8
+
2
8
+
1
8
+ 0 =
4
8
=
1
2
Pr(Y = 1) = Pr(X = 0, Y = 1) + Pr(X = 1, Y = 1) + Pr(X = 2, Y = 1)
+Pr(X = 3, Y = 1) = 0 +
1
8
+
2
8
+
18
=
4
8
=
1
2
De maneira análoga, podemos obter a distribuição de Y a partir da distribuição conjunta de
(Y,Z) , por exemplo e, obviamente, obteremos o mesmo resultado.
1.1.3 Distribuições condicionais
A partir da distribuição conjunta de (X,Y ) pode-se obter a distribuição condicional de X, ou seja,
as probabilidades condicionais de cada valor de X, condicionada a um determinado valor de Y .
Aplicando a definição de probabilidade condicional, temos que:
X|Y = 0 :
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
Pr(X = 0 |Y = 0) = Pr(X = 0, Y = 0)
Pr(Y = 0)
=
1/8
1/2
=
1
4
Pr(X = 1 |Y = 0) = Pr(X = 1, Y = 0)
Pr(Y = 0)
=
2/8
1/2
=
1
2
Pr(X = 2 |Y = 0) = Pr(X = 2, Y = 0)
Pr(Y = 0)
=
1/8
1/2
=
1
4
Pr(X = 3 |Y = 0) = Pr(X = 3, Y = 0)
Pr(Y = 0)
=
0
1/2
= 0
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 4
Logo, a distribuição condicional de X dado que Y = 0 é:
X|Y = 0 : x 0 1 2 3p 1/4 1/2 1/4 0
Sendo uma distribuição de probabilidades, podemos calcular sua esperança e sua variância:
E(X |Y = 0) =P
x
xPr(X = x|Y = 0) = 0× 1
4
+ 1× 1
2
+ 2× 1
4
+ 3× 0 = 1
E(X2 |Y = 0) =P
x
x2 Pr(X = x|Y = 0) = 02 × 1
4
+ 12 × 1
2
+ 22 × 1
4
+ 32 × 0 = 3
2
Var(X |Y = 0) = E(X2 |Y = 0)− [E(X |Y = 0)]2 = 3
2
− 12 = 1
2
Analogamente, obtém-se a distribuição de X dado que Y = 1 ou a distribuição de Y dado que
X = 0, por exemplo:
Y |X = 0 :
⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
Pr(Y = 0 |X = 0) = Pr(X = 0, Y = 0)
Pr(X = 0)
=
1/8
1/8
= 1
Pr(Y = 1 |X = 0) = Pr(X = 0, Y = 1)
Pr(X = 0)
=
0
1/8
= 0
Y |X = 0 : y 0 1p 1 0
E(Y |X = 0) = 0 E(Y 2 |X = 0) = 0 Var(Y |X = 0) = 0
ou então:
Y |X = 1 :
⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
Pr(Y = 0 |X = 1) = Pr(X = 1, Y = 0)
Pr(X = 1)
=
2/8
3/8
=
2
3
Pr(Y = 1 |X = 1) = Pr(X = 1, Y = 1)
Pr(X = 1)
=
1/8
3/8
=
1
3
Y |X = 1 : y 0 1p 2/3 1/3
E(Y |X = 1) = 1
3
E(Y 2 |X = 1) = 1
3
Var(Y |X = 1) = 2
9
A seguir vamos formalizar os conceitos apresentados através do exemplo acima.
1.2 Definições
1.2.1 Vetor aleatório bidimensional discreto
Um vetor aleatório bidimensional é uma função bivariada que associa, a cada ponto de um espaço
amostral Ω, um par de números reais (x, y). Se a imagem de tal função é um conjunto enumerável
de pontos em R2, então o vetor é dito um vetor discreto. Veja a Figura 1.1.
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 5
Figura 1.1: Definição de vetor aleatório discreto
1.2.2 Função de distribuição de probabilidade
Seja (X,Y ) um vetor aleatório discreto assumindo os valores (xi, yj), i, j = 1, 2, . . . . A função de
distribuição de probabilidade conjunta é a função que associa a cada ponto (xi, yj) a sua respectiva
probabilidade:
p(xi, yj) = Pr(X = xi, Y = yj)
(Veja a Figura 1.2). Note que, do axioma Pr(Ω) = 1, resulta queP
i
P
j
Pr(X = xi, Y = yj) = 1
Figura 1.2: Definição de função de distribuição de probabilidade conjunta
Observação: podemos ter vetores aleatórios n-dimensionais, ∀n. (Veja a Figura 1.3.)
1.2.3 Distribuições marginais
Seja (X,Y ) um vetor aleatório discreto com distribuição conjunta p(xi, yj). Para não sobrecar-
regar a notação, vamos denotar essa distribuição conjuntoa por p(x, y), devendo ficar claro que
(x, y) representa um par qualquer de valores do vetr (X,Y ). A distribuição marginal de X é
definida como:
Pr(X = x) =
P
y
p(x, y) =
P
y
Pr(X = x, Y = y) ∀x
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 6
Figura 1.3: Distribuição de probabilidade tridimensional
Analogamente, a distribuição marginal de Y é definida como
Pr(Y = yj) =
P
x
p(x, y) =
P
x
Pr(X = x, Y = y) ∀y
Em geral, se (X1, X2, . . . ,Xn) é um vetor aleatório n−dimensional
Pr(Xi = xi) =
P
x1
· · · P
xi−1
P
xi+1
· · ·P
xn
Pr (X1 = x1, . . . , Xi−1 = xi−1, Xi+1 = xi+1, . . . ,Xn = xn)
1.2.4 Distribuições condicionais
Seja (X,Y ) um vetor aleatório discreto com distribuição conjunta p(x, y). A distribuição condicional
de X dado que Y = y é definida como:
Pr(X = x |Y = y) = Pr(X = x, Y = y)
Pr(Y = y)
∀x
Analogamente define-se a distribuição condicional de Y dado que X = x como
Pr(Y = y|X = x ) = Pr(X = x, Y = y)
Pr(X = x)
∀y
Note que existe uma distribuição condicional de X para cada valor y e uma distribuição condi-
cional de Y para cada valor x. Assim, se X assumir n valores diferentes e Y m valores distintos,
teremos ao todo n+m distribuições condicionais.
1.2.5 Esperança condicional
Para cada uma das distribuições condicionais, podemos calcular a respectiva esperança condicional:
EX(X |Y = y) =
P
x
xPr(X = x |Y = y) (1.1)
EY (Y |X = x) =
P
y
yPr(Y = y|X = x) (1.2)
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 7
Os subscritos X e Y nas definições acima servem para lembrar a dependência em X e Y de cada
uma das esperanças acima.
Note que, para cada valor y de Y temos um valor diferente de E(X|Y = y) e para cada valor
x de X, temos um valor diferente de E(Y |X = x).Sendo assim, podemos definir uma função g que
associa, a cada valor y de Y, o valor E(X|Y = y) e outra função h que associa a cada valor x de
X, o valor E(Y |X = x), ou seja,
g : y 7−→ g(y) = EX(X|Y = y)
h : x 7−→ h(x) = EY (Y |X = x)
Como X e Y são variáveis aleatórias, resulta que g(Y ) e h(X) são também variáveis aleatórias.
Vamos estabelecer a seguinte notação:
g(Y ) = EX(X|Y )
h(X) = EY (Y |X)
Podemos, então, calcular as esperanças de g(Y ) e h(X) e para lembrar a dependência em cada uma
das variáveis, vamos denotar essas esperanças por EY [g(Y )] e EX [h(X)]. Usando a definição (1.1),
temos que
EY [g(Y )] = EY [EX(X|Y )] =
P
y
g(y) Pr(Y = y) =
P
y
EX(X|Y = y) Pr(Y = y)
=
P
y
P
x
xPr(X = x|Y = y) Pr(Y = y) =P
y
P
x
x
Pr(X = x, Y = y)
Pr(Y = y)
Pr(Y = y)
=
P
y
P
x
xPr(X = x, Y = y) =
P
x
x
P
y
Pr(X = x, Y = y)
=
P
x
xPr(X = x) = E(X)
Na última linha usamos a definição da distribuição marginal de Y.
Analogamente, por (1.2), resulta que
EX [h(X)] = EX [EY (Y |X)] =
P
x
h(x) Pr(X = x) =
P
x
E(Y |X = x) Pr(X = x)
=
P
x
P
y
yPr(Y = y|X = x) Pr(X = x) =P
x
P
y
y
Pr(X = x, Y = y)
Pr(X = x)
Pr(X = x)
=
P
x
P
y
yPr(X = x, Y = y) =
P
y
y
P
x
Pr(X = x, Y = y)
=
P
y
yPr(Y = y) = E(Y )
Resumindo:
g(Y ) = EX(X|Y ) e EY [EX (X|Y )] = E (X)
h(X) = EY (Y |X) e EX [EY (Y |X)] = E (Y )
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 8
Exemplo (continuação)
Vamos continuar com o exemplo inicial, calculando as distribuições condicionais de Y dado X = xi
e suas esperanças:
Y |X = 0 : y 0 1p 1 0 EY (Y |X = 0) = 0
Y |X = 1 : y 0 1p 2/3 1/3 EY (Y |X = 1) =
1
3
Y |X = 2 : y 0 1p 1/3 2/3 EY (Y |X = 2) =
2
3
Y |X = 3 : y 0 1p 0 1 EY (Y |X = 3) = 1
Os valores possíveis de h(X) = EY (Y |X) são 0, 1
3
,
2
3
e 1 e esses valores ocorrem quando X = 0,
X = 1, X = 2 ou X = 3 respectivamente. Logo, as probabilidades de ocorrência de cada um deles
são exatamente as probabilidades deX assumir os seus valores, isto é, temos a seguinte distribuição:
h(X) = EY (Y |X) : e 0 1/3 2/3 1p 1/8 3/8 3/8 1/8
A esperança dessa distribuição é
EX [h(X)] = EX [EY (X|Y )] = 0× 1
8
+
1
3
× 3
8
+
2
3
× 3
8
+ 1× 1
8
=
4
8
=
1
2
= E(Y )
Para a distribuição condicional de X dado Y , temos os seguintes resultados:
X|Y = 0 : 0 1 2 32
8
4
8
2
8
0
EX (X|Y = 0) = 1
X|Y = 1 : 0 1 2 3
0 2
8
4
8
2
8
EX (X|Y = 1) = 2
e para a variável aleatória g(Y ) = EX (X|Y ) temos a seguinte f.d.p.
1 2
1
2
1
2
e
E[g(Y )] = EY [EX (X|Y )] = 1× 1
2
+ 2× 1
2
=
3
2
= E (X)
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 9
1.3 Independência de variáveis aleatórias
No exemplo anterior, obtivemoso seguinte resultado: a partir da distribuição conjunta de (Y,Z),
concluímos que:
Pr(Y = y |Z = z) = Pr(Y = y) ∀y, z
Em analogia com a definição de eventos aleatórios, esse fato nos leva à definição de variáveis
aleatórias independentes. No caso de eventos, a definição de independência Pr(A |B) = Pr(A)
tinha que considerar eventos B tais que Pr(B) 6= 0, mas ela levava a uma definição mais geral:
os eventos A e B são independentes se Pr(A ∩ B) = Pr(A) Pr(B). Analogamente, vamos definir
variáveis aleatórias independentes da seguinte forma.
Definição 1.1 Seja (X,Y ) um vetor aleatório discreto com distribuição conjunta p(x, y) = Pr(X =
x, Y = y). Dizemos que X e Y são independentes se e somente se
Pr(X = x, Y = y) = Pr(X = x) Pr(Y = y) ∀x, y
ou seja, a distribuição conjunta é o produto das distribuições marginais.
Note que a condição acima tem que valer para todo par possível de valores (x, y).
1.3.1 Exemplo (continuação)
X e Y não são independentes porque:
Pr(X = 0, Y = 0) =
1
8
6= Pr(X = 0)Pr(Y = 0) = 1
8
× 1
2
X e Z não são independentes porque:
Pr(X = 0, Z = 0) =
1
8
6= Pr(X = 0)Pr(Z = 0) = 1
8
× 2
8
Y e Z são independentes porque:
Pr(Y = 0, Z = 0) =
1
8
= Pr(Y = 0)Pr(Z = 0) =
1
2
× 2
8
Pr(Y = 0, Z = 1) =
1
4
= Pr(Y = 0)Pr(Z = 1) =
1
2
× 1
2
Pr(Y = 0, Z = 2) =
1
8
= Pr(Y = 0)Pr(Z = 2) =
1
2
× 1
4
Pr(Y = 1, Z = 0) =
1
8
= Pr(Y = 1)Pr(Z = 0) =
1
2
× 2
8
Pr(Y = 1, Z = 1) =
1
4
= Pr(Y = 1)Pr(Z = 1) =
1
2
× 1
2
Pr(Y = 1, Z = 2) =
1
8
= Pr(Y = 1)Pr(Z = 2) =
1
2
× 1
4
Note a equivalência das definições!
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 10
1.4 Funções de variáveis aleatórias
Muitas vezes, conhecida a distribuição conjunta de (X,Y ), estaremos interessados em estudar a
distribuição de uma variável aleatória definida como uma função f(X,Y ). Lidaremos aqui com
funções reais, isto é, f : R2 → R e uma atenção especial será dada às combinações lineares, ou seja,
funções do tipo f(X,Y ) = aX + bY, com a e b números reais quaisquer.
1.4.1 Exemplo (continuação)
Consideremos a seguinte função:
f1(X,Y ) = X2 + Y
cujos valores e probabilidades estão a seguir:
X Y Pr(X = x, Y = y) f1(X,Y ) = X2 + Y
0 0 1/8 0
1 0 2/8 1
2 0 1/8 4
3 0 0 9
0 1 0 1
1 1 1/8 2
2 1 2/8 5
3 1 1/8 10
Então, a esperança de X2 + Y é
E
¡
X2 + Y
¢
= 0× 1
8
+ 1× 2
8
+ · · ·+ 10× 1
8
= f1(0, 0)× Pr (X = 0, Y = 0) + f1(1, 0)× Pr (X = 1, Y = 0) + · · ·
+f1(3, 1)× Pr (X = 3, Y = 1)
Em geral, temos o seguinte
Teorema 1.1 Seja (X,Y ) um vetor aleatório discreto com fdp conjunta Pr(X = x, Y = y). Seja
h : R2 → R uma função real tal que cada par (x, y) é levado a h (x, y) . Então
E [h (X,Y )] =
P
i
P
j
h (xi, yj) Pr (X = xi, Y = yj)
Teorema 1.2 Seja (X,Y ) um vetor aleatório discreto com fdp conjunta Pr(X = x, Y = y). Seja
h : R2 → R uma função real tal que h (x, y) = x+ y. Então
E (X + Y ) = E(X) +E(Y )
(Esperança da soma é a soma das esperanças)
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 11
Demonstração: Usando o teorema anterior, temos que
E (X + Y ) =
P
i
P
j
(xi + yj) Pr (X = xi, Y = yj) =
=
P
i
P
j
xi Pr (X = xi, Y = yj) +
P
i
P
j
yj Pr (X = xi, Y = yj)
=
P
i
xi
P
j
Pr (X = xi, Y = yj) +
P
j
yj
P
i
Pr (X = xi, Y = yj) =
=
P
i
xi Pr (X = xi) +
P
j
yj Pr (Y = yj) = E(X) +E(Y )
Dos resultados já vistos, segue o resultado mais geral:
Resultado 1.1 SejamX1,X2, . . . ,Xn variáveis aleatórias discretas com distribuição conjunta p(x1,
x2, . . . , xn). Então:
E (a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn) = a1E(X1) + a2E(X2) + · · ·+ anE(Xn) (1.3)
Usando a definição de variância, vamos estudar a variância da soma de variáveis aleatórias.
Var(X + Y ) = E
£
(X + Y )2
¤
− [E(X + Y )]2 =
= E(X2 + 2XY + Y 2)− [E(X) +E(Y )]2 =
= E(X2) + 2E(XY ) +E(Y 2)− [E(X)]2 − 2E(X)E(Y )−E(Y 2) =
=
©
E(X2)− [E(X)]2
ª
+
©
E(Y 2)−E(Y 2)
ª
+ 2 [E(XY )−E(X)E(Y )] =
= Var(X) + Var(Y ) + 2 [E(XY )−E(X)E(Y )]
Então, na variância da soma, aparece um termo envolvendo a diferença entre a esperança do
produto e o produto das esperanças. Esse termo define a covariância de duas variáveis aleatórias.
1.5 Covariância
Definição 1.2 A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é definida por
Cov(X,Y ) = E [X −E(X)] [Y −E(Y )] = E(XY )−E(X)E(Y )
Substituindo essa definição na expressão da variância da soma de variáveis aleatórias obtém-se
o
Resultado 1.2 A variância da soma de duas v.a. é dada por
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Cov(X,Y )
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 12
1.5.1 Propriedades da covariância
Vamos usar as seguintes propriedades já vistas para a esperança para demonstrar propriedades
análogas da covariância:
E(X + b) = E(X) + b
E(aX) = aE(X)
E(aX + b) = aE(X) + b
1.
Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X,Y )
De fato:
Cov(aX + b, cY + d) = E [(aX + b)−E (aX + b) [(cY + d)−E (cY + d)]
= E[aX + b− aE(X)− b][cY + d− cE(Y )− d]
= E[aX − aE(X)][cY − cE(Y )]
= E{a[X −E(X)]c[Y −E(XY )]}
= acE[X −E(X)](Y −E(Y )]
= acCov(X,Y )
2.
Cov(X + Y,Z +W ) = Cov(X,Z) + Cov(X,W ) + Cov(Y,Z) + Cov(Y,W )
De fato:
Cov(X + Y,Z +W ) = E (X + Y ) (Z +W )−E (X + Y )E (Z +W ) =
= E(XZ +XW + Y Z + YW )− [E(X) +E(Y )] [E(Z) +E(W )] =
= E(XZ) +E(XW ) +E(Y Z) +E(YW )−E(X)E(Z)−
−E(X)E(W )−E(Y )E(Z)−E(Y )E(W )
= [E(XZ)−E(X)E(Z)] + [E(XW )−E(X)E(W )] +
+ [E(Y Z)−E(Y )E(Z)] + [E(YW )−E(Y )E(W )]
= Cov(X,Z) + Cov(X,W ) + Cov(Y, Z) + Cov(Y,W )
3. Dos resultados anteriores, segue que
Var(X − Y ) = Var(X) + Var(Y )− 2Cov(X,Y )
De fato:
Var(X − Y ) = Var[X + (−Y )] = Var(X) + Var(Y ) + 2Cov[X, (−1× Y )] =
= Var(X) + Var(Y ) + 2× (−1)Cov(X,Y ) =
= Var(X) + Var(Y )− 2Cov(X,Y )
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 13
1.5.2 Interpretação da covariância
No estudo da estatística descritiva, dados dois conjuntos de dados x1, . . . , xn e y1, . . . , yn referentes
a duas variáveis de interesse X e Y , definimos a covariância entre X e Y como
Cov(X,Y ) =
1
n
nX
i=1
(xi − x)(yi − y)
No contexto de variáveis aleatórias, a média é calculada como uma média ponderada pelas proba-
bilidades; assim, temos uma total analogia entre as definições de covariância nos dois contextos.
Foi visto também que a covariância é uma medida de associação linear entre as variáveis.
Construindo um diagrama de dispersão para as variáveis, se existir uma associação linear crescente,
os pontos (x, y) tenderão a se concentrar nos primeiro e terceiro quadrantes, onde o produto das
coordenadas é positivo. Se existir uma associação linear decrescente, os pontos se concentrarão
no segundo e quarto quadrantes, onde o produto é negativo. Como antes, o fato de se tomar
E[X − E(X)][Y − E(Y )], e não E(XY ), resulta da necessidade de “centrar” a nuvem de pontos
na origem (0, 0) e não em (E(X), E(Y )).
1.5.3 Independência e covariância de variáveis aleatórias
Da definição de independência de variáveis aleatórias, resulta o seguinte fato: se X e Y são variáveis
aleatórias independentes, qualquer conhecimento sobre Y não nos dá informação sobre X. Usando
essa interpretação, mais a interpretação do conceito de covariância, é de se esperar que a covariância
entre variáveis independentes seja nula (se elas são independentes, não deverá existir qualquer
associação entre elas, muito menos uma associação linear). Vamos ver um resultado geral que trata
dessa relação.
Resultado 1.3 Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então Cov(X,Y ) = 0.
Demonstração:
Se X e Y são independentes, então Pr(X = x, Y = y) = Pr(X = x) Pr(Y = y). Mas nesse
caso,
E(XY ) =
X
x
X
y
xyPr(X = x, Y = y) =
X
x
X
y
xyPr(X = x) Pr(Y = y) =
=
X
x
xPr(X = x)
X
y
yPr(Y = y) = E(X)E(Y)
Logo, Cov(X,Y ) = E(XY )−E(X)E(Y ) = 0.
Note que a recíproca desse resultado não é verdadeira, isto é, covariância nula não significa inde-
pendência entre as variáveis. Esse resultado pode ser visto intuitivamente a partir da interpretação
de covariância: covariância nula significa ausência de associação linear. Nada impede que exista
outro tipo de associação entre as variáveis, o que caracterizaria a falta de independência entre elas.
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 14
Como exemplo, consideremos a seguinte de distrbuição de probabilidade.conjunta:.
X pY (y)
0 1 2
1 3/20 3/20 2/20 2/5
Y 2 1/20 1/20 2/20 1/5
3 4/20 1/20 3/20 2/5
pX(x) 2/5 1/4 7/20 1
Para essa distribuição temos:
E(X) = 0× 2
5
+ 1× 1
4
+ 2× 7
20
=
19
20
E(Y ) = 1× 2
5
+ 2× 1
5
+ 3× 2
5
= 2
E(XY ) = 0× 3
20
+ 1× 3
20
+ 2× 2
20
+
+0× 1
20
+ 2× 1
20
+ 4× 2
20
+
+0× 4
20
+ 3× 1
20
+ 6× 3
20
=
38
20
=
19
20
× 2 = E(X)×E(Y )
Logo, Cov(X,Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 0 mas X e Y não são independentes porque, por
exemplo:
Pr(X = 0, Y = 1) =
3
20
6= Pr(X = 0)× Pr(Y = 1) = 8
20
× 8
20
1.6 Coeficiente de correlação
Como já definido anteriormente, o coeficiente de correlação entre duas variáveis X e Y é
Corr(X,Y ) =
Cov(X,Y )
σXσY
onde σX e σY são os desvios padrões de X e Y respectivamente.
A propriedade fundamental do coeficiente de correlação é dada no seguinte teorema:
Teorema 1.3 Dadas duas variáveis aleatórias X e Y com esperançca, variância e covariância
finitas, então
−1 ≤ Corr(X,Y ) ≤ 1
Teorema 1.4 Dadas duas variáveis aleatórias X e Y com esperanças, variâncias e covariâncvia
finitas, então
−1 ≤ Corr(X,Y ) ≤ 1
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 15
Demonstração:
Sejam
X∗ =
X −E(X)
σX
Y ∗ =
Y −E(Y )
σY
as variáveis padronizadas. Das propriedades de esperança e variância, sabemos que E (X∗) =
E (Y ∗) = 0 e Var (X∗) = Var (Y ∗) = 1. Sabemos também que a variância de qualquer variável
aleatória é não-negativa. Em particular,
Var (X∗ + Y ∗) ≥ 0⇒ Var (X∗) + Var (Y ∗) + 2Cov (X∗, Y ∗) ≥ 0⇒
1 + 1 + 2Cov (X∗, Y ∗) ≥ 0⇒ Cov (X∗, Y ∗) ≥ −1
Analogamente,
Var (X∗ − Y ∗) ≥ 0⇒ Var (X∗) + Var (Y ∗)− 2Cov (X∗, Y ∗) ≥ 0⇒
1 + 1− 2Cov (X∗, Y ∗) ≥ 0⇒ Cov (X∗, Y ∗) ≤ 1
Mas, usando as propriedades da covariância, temos que
Cov (X∗, Y ∗) = Cov
µ
X −EX
σX
,
Y −EY
σY
¶
=
1
σXσY
Cov[X −E(X), Y −E(Y )]
=
1
σXσY
Cov(X,Y )
= ρ (X,Y )
Conclui-se, então, que
−1 ≤ ρ (X,Y ) ≤ 1
Todas as propriedades vistas anteriormente, no contexto da estatística descritiva, continuam
válidas no contexto de variáveis aleatórias.
Consideremos o caso em que ρ (X,Y ) = 1. Então, Cov (X∗, Y ∗) = 1 e, portanto
Var (X∗ − Y ∗) = V ar(X∗) + V ar(Y ∗)− 2Cov(X∗, Y ∗) = 1 + 1− 2× 1 = 0
Mas V ar(X∗ − Y ∗) = 0 significa que X∗ − Y ∗ é uma constante, isto é,
X −EX
σX
− Y −EY
σY
= k ⇒
X −EX
σX
=
Y −EY
σY
+ k ⇒
X −E(X) = σX
σY
Y − σX
σY
EY + σXk ⇒
X =
σX
σY
Y + k
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 16
ou seja, existe uma associação linear crescente
³
σX
σY
> 0
´
perfeita entre X e Y .
Analogamente, se ρ (X,Y ) = −1,então Cov (X∗, Y ∗) = −1 e
Var (X∗ + Y ∗) = V ar(X∗) + V ar(Y ∗) + 2Cov(X∗, Y ∗) = 1 + 1 + 2× (−1) = 0
o que significa que X∗ + Y ∗ é uma constante, isto é,
X −EX
σX
+
Y −EY
σY
= k ⇒ X −EX
σX
= −Y −EY
σY
+ k ⇒
X −E(X) = −σX
σY
Y +
σX
σY
EY + σXk ⇒
X = −σX
σY
Y + k∗
ou seja, existe uma associação linear decrescente
³
−σXσY < 0
´
perfeita entre X e Y .
1.7 Exercícios propostos
1. A tabela abaixo dá a distribuição conjunta de X e Y :
X
Y 1 2 3
0 0,1 0,1 0,1
1 0,2 0,0 0,3
2 0,0 0,1 0,1
(a) Determine as distribuições marginais de X e Y.
(b) Calcule a esperança e a variância de cada uma das variáveisX e Y. (Resp.: 2, 2; 0, 76; 0, 9; 0, 49)
(c) Verifique se X e Y são independentes, justificando sua resposta. (Resp.: Não)
(d) Calcule P (X = 1|Y = 0) e P (Y = 2|X = 3). (Resp.: 1/3; 1/5)
(e) Calcule P (X ≤ 2) e P (X = 2, Y ≤ 1). (Resp.: 0, 5; 0, 1)
(f) Calcule a covariância e a correlação entre X e Y. (Resp.: 0, 12; 0, 1966)
2. Sejam X e Y variáveis aleatórias com E(X) = E(Y ) = 0 e Var(X) = Var(Y ) = 1. Prove que
ρ (U, V ) = 0, onde U = X + Y e V = X − Y.
3. Um aluno faz um teste de múltipla escolha com 4 questões do tipo Verdadeiro-Falso. Suponha
que o aluno esteja “chutando” todas as questões, uma vez que ele não estudou a matéria da
prova. Defina as seguintes variáveis aleatórias:
X1 = número de acertos entre as duas primeiras questões da prova
Y1 = número de acertos entre as duas últimas questões da prova
X2 = número de acertos entre as três primeiras questões da prova
Y2 = número de acertos entre as três últimas questões da prova
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 17
(a) Construa uma tabela com o espaço amostral associado a este experimento, listando todas
as possibilidades de acerto e os valores de X1, Y1, X2, Y2 e suas probabilidades.
(b) Construa a função de distribuição conjunta de (X1, Y1) com as respectivas marginais.
(c) Construa a função de distribuição conjunta de (X2, Y2) com as respectivas marginais.
(d) Verfique se X1 e Y1 são independentes. (Resp.: Sim)
(e) Verfique se X2 e Y2 são independentes. (Resp.: Não)
(f) Por que já era de se esperar as diferenças observadas em (d) e (e)?
(g) Calcule a covariância entre X1 e Y1. (Resp.: 0)
(h) Calcule a covariância entre X2 e Y2. (Resp.: 5/16)
(i) Calcule as seguintes distribuições condicionais com suas esperanças condicionais:
X2 |Y2 = 0 X2 |Y2 = 1 X2 |Y2 = 2 X2 |Y2 = 3
(j) Calcule E [E (X2 |Y2)] .
4. Uma moeda honesta é lançada 4 vezes. SejaX o número de caras nos 2 primeiros lançamentos
e seja Y o número de caras nos 3 últimos lançamentos.
(a) Liste todos os elementos do espaço amostral deste experimento, epsecificando os valores
de X e Y .
(b) Construa a função de distribuição conjunta de X e Y.
(c) Calcule E(X), E(Y ), V ar(X), V ar(Y )
(d) Calcule Cov(X,Y ) e Corr(X,Y ).
(e) Se Z = X + Y, calcule E(Z) e V ar(Z)
(f) Se W = X − Y, calcule E(W ) e V ar(W ).
Capítulo 2
Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Contínuas
2.1 Função de densidade conjunta
Sejam X,Y duas variáveis aleatórias contínuas. A densidade conjunta f(x, y) é uma função que
satisfaz as seguintes propriedades:
1. f(x, y) ≥ 0
2.
Z +∞
−∞
Z +∞
−∞
f(x, y)dxdy = 1
3. Pr(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =
Z d
c
Z b
a
f(x, y)dxdy
2.1.1 Exemplo
Considere a seguinte função:
f(x, y) =
½
2 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
0 caso contrário
Vamos mostrar que f(x, y) realmente define uma função de densidade para, em seguida, calcular
Pr(X ≤ 1/2, Y ≤ 1/2).
O ponto principal no cálculo de integrais duplas é definir corretamente os limites de integração.
Na Figura 2.1 a parte sombreada representa a região de integração, ou seja, o domínio de variação
de X e Y. Note que, nessa região, para cada y no intervalo [0, 1], o valor de x varia de 0 até y.Z Z
f(x, y)dxdy =
Z 1
0
∙Z y
0
2dx
¸
dy =
Z 1
0
[2x]y0 dy =
Z 1
0
2ydy = y2
¯¯1
0
= 1
Obviamente, f(x, y) ≥ 0. Dessa forma, estão satisfeitas as condições e f(x, y) realmente define uma
função de densidade.
Para o cálculo de Pr(X ≤ 1/2, Y ≤ 1/2), temos que considerar a região de integração sombreada
na Figura 2.2.
18
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 19
Figura 2.1: Função de densidade para o Exemplo 1
Figura 2.2: Região de integração para o cáclulo de Pr(X ≤ 2, Y ≤ 2) − Exemplo 1
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 20
Pr(X ≤ 1/2, Y ≤ 1/2) =
R 1/2
0
£R y
0
2dx
¤
dy =
R 1/2
0
[2x]y0 dy =
R 1/2
0
2ydy = y2
¯¯1/20
=
1
4
2.1.2 Exemplo (Exercício 18, p. 220 - Bussab & Morettin)
Seja (X,Y ) um vetor aleatório com função de densidade conjunta dada por
f(x, y) =
½
1
8
x(x− y) 0 < x < 2;−x < y < x
0 caso contrário
Vamos mostrar que f(x, y) realmente define uma função de densidade conjunta. Como x > 0, o
sinal de f(x, y) é determinado pelo termo x− y. Para que f(x, y) ≥ 0, temos que ter x− y ≥ 0, ou
equivalentemente y ≤ x e essa condição é satisfeita no domínio de definição de f. Para mostrar queZ Z
f(x, y)dxdy = 1 vamos analisar o domínio de definição de f, que está ilustrado na Figura
2.3.
Figura 2.3: Domínio de definição de f(x, y) para o Exemplo 2.1.2
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 21
Note que, nesse domínio, para cada valor de x, y varia de −x a +x. Logo,Z Z
f(x, y)dxdy =
Z 2
0
Z +x
−x
1
8
x(x− y)dydx =
=
1
8
Z 2
0
Z +x
−x
(x2 − xy)dydx
=
1
8
Z 2
0
µ
x2y − xy
2
2
¶¯¯¯¯+x
−x
dx
=
1
8
Z 2
0
∙µ
x3 − x
3
2
¶
−
µ
−x3 − x
3
2
¶¸
dx
=
1
8
Z 2
0
2x3dx =
1
8
µ
x4
2
¶¯¯¯¯2
0
=
16
16
= 1
Logo, f(x, y) é uma função de densidade.
2.2 Densidades marginais
As densidades marginais de X e Y são:
fX(x) =
Z
f(x, y)dy (2.1)
fY (y) =
Z
f(x, y)dx
2.2.1 Exemplo 2.1.1 (continuação)
Vamos calcular as densidades marginais para o Exempo 2.1.1. Analisando a Figura 2.1, podemos
ver que, para y ∈ [0, 1], x varia de 0 a y. Logo,
fY (y) =
Z
f(x, y)dx =
Z y
0
2dx = 2y 0 ≤ y ≤ 1
Note que, como função de y, fY (y) é uma função linear. Deste resultado podemos ver que
E(Y ) =
Z 1
0
y2ydy = 2
y3
3
¯¯¯¯1
0
=
2
3
Para cada x ∈ [0, 1], y varia de x até 1. Logo,
fX(x) =
Z
f(x, y)dy =
Z 1
x
2dy = 2y|1x = 2(1− x) 0 ≤ x ≤ 1
que é também uma função linear de x. Podemos ver que
E(X) =
Z 1
0
x [2(1− x)] dx =
µ
x2 − 2x
3
3
¶¯¯¯¯1
0
=
1
3
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 22
2.2.2 Exemplo 2.1.2 (continuação)
Vamos calcular as densidades marginais para o Exemplo 2.1.2. Analisando a Figura 2.3, podemos
ver que, para x ∈ (0, 2), y varia de −x a +x. Logo, para x ∈ (0, 2)
fX(x) =
Z +x
−x
1
8
x(x− y)dy = 1
8
Z +x
−x
(x2 − xy)dy = 1
8
µ
x2y − xy
2
2
¶¯¯¯¯+x
−x
=
1
8
∙µ
x3 − x
3
2
¶
−
µ
−x3 − x
3
2
¶¸
=
2x3
8
=
x3
4
e daí podemos ver que
E(X) =
Z 2
0
x
x3
4
dx =
1
4
x5
5
¯¯¯¯2
0
=
32
20
=
8
5
Para calcularmos fY (y), teremos que considerar as duas partes do domínio de definição de y :
(−2, 0) e [0, 2). Para y ∈ (−2, 0), x varia de −y a 2 (veja a Figura 2.3). Logo,
fY (y) =
Z 2
−y
1
8
x(x− y)dx = 1
8
Z 2
−y
(x2 − xy)dx = 1
8
µ
x3
3
− yx
2
2
¶¯¯¯¯2
−y
=
1
8
∙µ
8
3
− 2y
¶
−
µ
−y
3
3
− y
3
2
¶¸
=
1
8
µ
5
6
y3 − 2y + 8
3
¶
=
1
48
¡
5y3 − 12y + 16
¢
− 2 < y < 0
Para y ∈ [0, 2), x varia de y a 2 (veja a Figura 2.3). Logo,
fY (y) =
Z 2
y
1
8
x(x− y)dx = 1
8
Z 2
y
(x2 − xy)dx = 1
8
µ
x3
3
− yx
2
2
¶¯¯¯¯2
y
=
1
8
∙µ
8
3
− 2y
¶
−
µ
y3
3
− y
3
2
¶¸
=
1
8
µ
1
6
y3 − 2y + 8
3
¶
=
1
48
¡
y3 − 12y + 16
¢
0 ≤ y < 2
Desses dois resultados podemos calcular
E(Y ) =
Z
yfY (y)dy =
Z 0
−2
y
1
48
¡
5y3 − 12y + 16
¢
dy +
Z 2
0
y
1
48
¡
y3 − 12y + 16
¢
dy
=
1
48
¡
y5 − 4y3 + 8y2
¢¯¯0
−2 +
1
48
µ
y5
5
− 4y3 + 8y2
¶¯¯¯¯2
0
=
1
48
©
0−
£
(−2)5 − 4(−2)3 + 8(−2)2
¤ª
+
1
48
µ
32
5
− 32 + 32
¶
=
1
48
µ
32− 32− 32 + 32
5
¶
= − 1
48
× 128
5
= − 8
15
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 23
2.3 Distribuições e esperanças condicionais
Por definição, temos que
fX|Y (x|y) = f(x, y)fY (y) (2.2)
Note que, para cada y temos uma densidade condicional diferente. Analogamente,
fY |X(y|x) = f(x, y)fX(x) (2.3)
e para cada x temos uma densidade condicional diferente. Como no caso discreto, definem-se as
seguintes esperanças condicionais:
EX(X |Y = y) =
Z
xX|Y f(x|y)dx =
Z
x
f(x, y)
fY (y)
dx (2.4)
EY (Y |X = x) =
Z
yfY |X(y|x)dy =
Z
y
f(x, y)
fX(x)
dy (2.5)
Note que, para cada valor y de Y temos um valor diferente de EX(X|Y = y) e para cada valor x
de X, temos um valor diferente de EY (Y |X = x).Assim, aqui também podemos definir uma função
g que associa, a cada valor y de Y, o valor EX(X|Y = y) e outra função h que associa a cada valor
x de X, o valor EY (Y |X = x), ou seja,
g : y 7−→ g(y) = EX(X|Y = y)
h : x 7−→ h(x) = EY (Y |X = x)
Como X e Y são variáveis aleatórias, resulta que g(Y ) e h(X) são também variáveis aleatórias:
g(Y ) = EX(X|Y )
h(X) = EY (Y |X)
Usando a definição (2.4), temos que
EY [g(Y )] = EY [EX(X|Y )] =
Z
g(y)fY (y)dy =
Z
EX(X|Y = y)fY (y)dy
=
Z µZ
x
f(x, y)
fY (y)
dx
¶
fY (y)dy =
Z Z
xf(x, y)dxdy
=
Z
x
µZ
f(x, y)dy
¶
dx =
Z
xfX(x)dx = E(X)
Na última linha usamos a definição da distribuição marginal de Y.
Analogamente, por (2.5), resulta que
EX [h(X)] = EX [EY (Y |X)] =
Z
h(x)fX(x)dx =
Z
EY (Y |X = x)fX(x)dx
=
Z µZ
y
f(x, y)
fX(x)
dy
¶
fX(x)dx =
Z Z
yf(x, y)dx
=
Z
y
µZ
f(x, y)dx
¶
dy =
Z
yfY (y)dy = E(Y 0
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 24
Como no caso discreto:
g(Y ) = EX(X|Y ) e EY [EX (X|Y )] = E (X)
h(X) = EY (Y |X) e EX [EY (Y |X)] = E (Y )
2.3.1 Exemplo 2.1.1 (continuação)
Vamos calcular as distribuições condicionais para o Exemplo 2.1.1. Vimos que, dado y, x pode
variar no intervalo [0, y]. Temos que
fX|Y (x|y) = f(x, y)fY (y) =
2
2y
=
1
y
0 ≤ x ≤ y
Note que essa é uma função de x, isto é, dado y, estamos calculando a distribuição condicional
de X; podemos ver que essa é uma função constante (não depende de x), o que caracteriza uma
densidade uniforme no intervalo [0, y].
A esperança condicional de X dado Y é
E(X|Y = y) =
Z
xfX|Y (x|y)dx =
yZ
0
x
1
y
dx =
1
y
x2
2
¯¯¯¯y
0
=
1
y
µ
y2
2
− 0
¶
=
y
2
Então, como função de y, E(X|Y = y) é uma função linear.
Como E(X|Y = y) é uma função de y, segue que E(X|Y = y) = h(y) é uma variável aleatória
e, portanto, podemos calcular sua esperança:
EY (EX(X|Y = y)) = EY (h(Y )) =
Z
h(y)fY (y)dy
=
Z 1
0
y
2
2ydy =
Z 1
0
y2dy =
1
3
= E(X)
Dado x, vimos que y pode variar de x até 1.
fY |X(y|x) = f(x, y)fX(x) =
2
2(1− x) =
1
1− x x ≤ y ≤ 1
que também é uma densidade uniforme no intervalo [x, 1].
E(Y |x) =
Z
yfY |X(y|x)dy =
Z 1
x
y
1
1− xdy =
1
1− x
y2
2
¯¯¯¯1
x
=
1
2(1− x)
¡
1− x2
¢
=
1
2(1− x)(1− x)(1 + x) =
x+ 1
2
Como função de x, E(Y |x) é uma função linear e sua esperança é
E(E(Y |X)) =
Z 1
0
x+ 1
2
fX(x)dx =
Z 1
0
x+ 1
2
2(1− x)dx =
Z 1
0
(1− x2)dx
=
µ
x− x
3
3
¶¯¯¯¯1
0
=
2
3
= E(Y )
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 25
2.3.2 Exemplo 2.1.2 (continuação)
Vamos calcular as distribuições condicionais para o Exemplo 2.1.2. Vimos que, dado x, y pode
variar no intervalo [−x, x]. Temos que
fY |X(y|X = x) = f(x, y)fX(x) =
1
8
x(x− y)
x3
4
=
1
2
µ
1
x
− 1
x2
y
¶
− x < y < x
e, portanto,
E(Y |X = x) =
Z x
−x
y
1
2
µ
1
x
− 1
x2
y
¶
dy =
1
2
Z x
−x
µ
1
x
y − 1
x2
y2
¶
dy
=
1
2
µ
1
x
y2
2
− 1
x2
y3
3
¶¯¯¯¯x
−x
=
1
2
∙µ
1
x
x2
2
− 1
x2
x3
3
¶
−
µ1
x
(−x)2
2
− 1
x2
(−x)3
3
¶¸
=
1
2
h³x
2
− x
3
´
−
³x
2
+
x
3
´i
= −x
3
Como E(Y |X = x) é uma função de x, que varia no intervalo (0, 2), podemos calcular sua esperança
em relação a fx :
E(E(Y |X)) =
Z 2
0
−x
3
x3
4
dx = − 1
12
x5
5
¯¯¯¯2
0
= − 8
15
= E(Y )
2.4 Independência de variáveis aleatórias contínuas
Seja (X,Y ) um vetor aleatório bidimensional com função de densidade conjunta f(x, y). Sejam
fX(x) e fY (y) as densidades marginais de X e Y, respectivamente. Então, diz-se que X e Y são
variáveis aleatórias independentes se
f(x, y) = fX(x)fY (y)
ou seja, a densidade conjunta tem que ser o produto das densidades marginais para todo par (x, y)
no domínio de definição.
2.5 Funções de variáveis aleatórias contínuas
Assim como no caso discreto, conhecida a densidade conjunta de (X,Y ), estaremos interessados
em estudar a densidade de uma variável aleatória definida como uma função h(X,Y ), .onde h é
uma função real, isto é, h : R2 → R e novamente uma atenção especial será dada às combinações
lineares, ou seja, funções do tipo h(X,Y ) = aX + bY, com a e b números reais quaisquer.
Teorema 2.1 Sejam X,Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta f(x, y) e seja
h : R2 → R uma função qualquer. Então
E [h(X,Y )] =
R R
h(x, y)f(x, y)dxdy
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 26
Teorema 2.2 Sejam X,Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta f(x, y) e seja
h : R2 → R uma função definida por h(X,Y ) = aX + bY então
E [h(X,Y )] = aE(X) + b(E(Y )
Vamos ver, agora, uma extensão para o caso bidimensional de um teorema visto para o caso
univariado que tratava de funções inversíveis.
Teorema 2.3 Sejam X,Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta fX,Y (x, y) > 0
numa região A ⊂ R2. Suponha que (i) u = h1(x, y) e v = h2(x, y) definam uma transformação
biunívoca de A ⊂ R2 em B ⊂ R2; (ii) as derivadas parciais de x = h−11 (u, v) e y = h−12 (u, v) sejam
contínuas em B ⊂ R2; (iii) o Jacobiano da transformação seja diferente de zero para (u, v) ∈ B.
Então, a densidade conjunta de U = h1(X,Y ) e V = h2(X,Y ) é dada por
fU,V (u, v) = |J | fX,Y
¡
h−11 (u, v), h
−1
2 (u, v)
¢
onde |J | é o módulo do Jacobiano da transformação definido pelo seguinte determinante:
J =
¯¯¯¯
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
¯¯¯¯
2.5.1 Exemplo
Sejam X,Y variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por f(x, y) = 4xy, 0 < x < 1; 0 <
y < 1. Vamos determinar a densidade de U = XY.
Para aplicar o Teorema 2.3, temos que definir uma segunda função; vamos definir V = X. Logo,
nossa transformação é definida por
u = h1(x, y) = xy
v = h2(x, y) = x
e a transformação inversa é dada por
x = v
y =
u
v
Como 0 < x < 1 e 0 < y < 1, temos que ter 0 < v < 1 e 0 < uv < 1. Assim, a região
A = {(x, y) : 0 < x < 1; 0 < y < 1}
é transformada na região
B = {(u, v) : 0 < v < 1; 0 < u < v}
Veja a Figura 2.4.
O Jacobiano é ¯¯¯¯
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
¯¯¯¯
=
¯¯¯¯
0 1
1
v
−u
v2
¯¯¯¯
= −1
v
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 27
Figura 2.4: Domínio de definição da variável (Z,W ) do Exemplo 2.5.1
e a densidade conjunta de Z e W é
fZ,W (z, w) =
¯¯¯¯
−1
v
¯¯¯¯
· 4vu
v
=
4u
v
0 < v < 1; 0 < u < v
Como nosso interesse está na densidade de U, temos que calcular a densidade marginal fU(u).
Analisando a região no lado direito da Figura 2.4, vemos que, fixado u, v varia de u até 1. Logo,
fU(u) =
Z 1
u
4u
v
dv = 4u (ln v)1u = −4u lnu 0 < u < 1
2.6 Covariância e correlação
As definições de covariância e correlação são as mesmas vistas para o caso discreto
Cov(X,Y ) = E [X −E(X)] [Y −E(Y )] = E(XY )−E(X)E(Y )
Corr(X,Y ) =
Cov(X,Y )
σXσY
valendo todas as propriedades.
2.7 A distribuição t de Student
Como uma aplicação do Teorema 2.3, vamos obter a distribuição de uma variável aleatória que
será extremamente útil no estudo da Inferência Estatística. Essa distribuição é a distribuição t
de Student, obtida por William Gosset (1876-1937), que trabalhava na Cervejaria Guinness na
Irlanda. Como a cervejaria não permitia a publicação de resultados de pesquisa obtidos por seus
funcionários, Gosset publicou, sob o pseudônimo de Student, o artigo “The Probable Error of a
Mean” na revista Biometrika (vol. 6, no. 1).
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 28
Sejam Z ∼ N(0; 1) e Y ∼ χ2(n) variáveis aleatórias independentes. Vamos obter a densidade
da variável aleatória
U =
Zp
Y/n
Da hipótese de independência segue que
fZ,Y (z, y) = fZ(z)fY (y) =
1√
2π
e−z
2/2 1
Γ
¡
n
2
¢
2n/2
yn/2−1e−y/2
Como no exemplo anterior, vamos completar a transformação definindo
u =
zp
y/n
v = y
Então a região
A = {(z, y) : −∞ < z <∞; 0 < y <∞}
é transformada na região
B = {(u, v) : −∞ < u <∞; 0 < v <∞}
e temos que
z = u
p
v/n
y = v
Logo, o jacobiano da transformação é
J =
¯¯¯¯
∂z
∂u
∂z
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
¯¯¯¯
=
¯¯¯¯ p
v/n u√n
1
2
√
v
0 1
¯¯¯¯
=
p
v/n
Assim, a densidade conjunta de (U, V ) é
fU,V (u, v) =
p
v/n
1√
2π
e−(u
2v/n)/2 1
Γ
¡
n
2
¢
2n/2
vn/2−1e−v/2
=
v1/2√
2nπ
1
Γ
¡
n
2
¢
2n/2
vn/2−1e−
1
2
�
u2
n +1
�
v
=
1√
2nπ
1
Γ
¡
n
2
¢
2n/2
v
n+1
2
−1e−
1
2
�
u2
n +1
�
v
e a densidade marginal de U é
fU(u) =
R
fU,V (u, v)dv
=
1√
2nπ
1
Γ
¡
n
2
¢
2n/2
R∞
0
v
n+1
2
−1e−
1
2
�
u2
n +1
�
vdv
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 29
Façamos a seguinte mudança de variável
w =
1
2
µ
u2
n
+ 1
¶
v
Então
fU(u) =
1√
2nπ
1
Γ
¡
n
2
¢
2n/2
Z ∞
0
"
w
1
2
¡
u2
n + 1
¢#n+12 −1 e−w dw
1
2
¡
u2
n + 1
¢
=
1√
2nπ
1
Γ
¡
n
2
¢
2n/2
1£
1
2
¡
u2
n + 1
¢¤n+1
2
Z ∞
0
w
n+1
2
−1e−wdw
=
1√
nπ
1
Γ
¡
n
2
¢
21/22n/2 · ¡1
2
¢n+1
2
1¡
u2
n + 1
¢n+1
2
Γ
µ
n+ 1
2
¶
=
1√
nπ
Γ
¡
n+1
2
¢
Γ
¡
n
2
¢ µ1 + u2
n
¶−n+1
2
Essa é a densidade t de Student.
Definição 2.1 Diz-se que uma variável aleatória contínua T tem distribuição t de Student se sua
função de densidade é dada por
fT (t) =
1√
nπ
Γ
¡
n+1
2
¢
Γ
¡
n
2
¢ µ1 + t2
n
¶−n+1
2
−∞ < t <∞
Essa expressão, certamente, é assustadora! Mas eis uma boa notícia: não precisaremos dela
para calcular probabilidades! No entanto, é interessante notar duas características básicas dessa
expressão: o argumento t da função aparece elevado ao quadrado e fT depende apenas do número
de graus de liberdade da qui-quadrado e, portanto, o parâmetro desta distribuição é, também, o
número de graus de liberdade.
Da primeira observação resulta o fato de que fT é simétrica em torno de zero, ou seja fT (t) =
fT (−t).
Da segunda observação resulta que cada número de graus de liberdade dá origem a uma dis-
tribuição t diferente. No entanto, pela simetria da curva, todas as distribuições t têm média 0.
Além disso, o gráfico da função de densidade da t também tem forma de sino, como a distribuição
normal.
Na Figura 2.5 ilustram-se diferentes distribuições t (n = 1, 2, 10, 30) e, a título de comparação,
em cada gráfico acrescenta-se também a densidade normal padrão. Nos dois gráficos superiores
(n = 1, 2) fica mais nítido o fato de a distribuição t ter maior dispersão. Nos dois gráficos inferiores
(n = 10, 30) o que chama a atenção é a quase coincidência da densidade t com a densidade N(0; 1).
Esse é um resultado importante: à medida que aumenta o número de graus de liberdade, a
distribuição t de Student aproxima-se da N(0; 1). A variância da distribuição t com n graus de
liberdade é igual a nn−2 (n> 2) e podemos ver que essa variância converge a 1, que é a variância
da N(0; 1), quando n→∞.
Vamos representar por t(n) a distribuição t de Student com n graus de liberdade.
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 30
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-6 -4 -2 0 2 4 6
N(0;1)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-6 -4 -2 0 2 4 6
N(0;1)
t(10)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-6 -4 -2 0 2 4 6
N(0;1) x t(30)
N(0;1)
t(1)
t(2)
Figura 2.5: Compração da distribuição t com a N(0; 1)
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 31
2.7.1 Tabela da t-Student
Assim como no caso da qui-quadrado, seria necessária uma tabela para cada valor de n. Os pro-
gramas computacionais de estatística calculam probabilidades associadas a qualquer distribuição t.
Mas nos livros didáticos é comum apresentar uma tabela da distribuição t que envolve os valores
críticos, ou seja, valores que deixam determinada probabilidade acima deles. Mais precisamente, o
valor crítico da t(n) associado à probabilidade α é o valor tn;α tal que
Pr(t(n) > tn;α) = α
Veja a Figura 2.6.
Figura 2.6: Ilustração do valor crítico tn;α da distribuição t(n)
Ao final desta apostila apresentamos a Tabela 4, que é uma apresentação usual dos valores
críticos da distribuição t. Nesta tabela, cada linha corresponde a um número diferente de graus de
liberdade e cada coluna corresponde a uma área α na cauda superior. No corpo da tabela temos o
valor crítico tn;α.
2.7.2 Exemplos
Vamos ver, agora, alguns exemplos de utilização da Tabela 4.
1. Na distribuição t(15) encontre a abscissa t15;0,05.
2. Na distribuição t(23) encontre a abscissa t tal que Pr(|t(23)| > t) = 0, 05.
3. Na distribuição t(12) encontre a abscissa t tal que Pr(|t(12)| ≤ t) = 0, 90.
Solução
1. Como o número de graus de liberdade é 15, temos que nos concentrar na linha correspondente
a gl = 15. A abscissa t0,05 deixa área 0,05 acima dela; assim, temos que olhar a coluna referente
a α = 0, 05; Logo, t15;0,05 = 1, 753.
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 32
2. Usando as propriedades da função módulo, temos a seguinte equivalência:
Pr(|t(23)| > t) = 0, 05⇐⇒
Pr(t(23) < −t) + Pr(t(23) > t) = 0, 05
Pela simetria da densidade t, Pr(t(23) < −t) = Pr(t(23) > t). Substituindo:
Pr(t(23) > t) + Pr(t(23) > t) = 0, 05⇐⇒
Pr(t(23) > t) = 0, 025⇐⇒
t = 2, 069
Esse último valor foi encontrado na Tabela 2, consultando-se a linha correspondente a 23
graus de liberdade e coluna correspondente à área superior de 0,025. Veja a Figura 2.7(a).
3. Das propriedades da função módulo e da simetria da densidade t resultam as seguintes equiv-
alências (veja a Figura 2.7(b):
Pr(|t(12)| ≤ t) = 0, 90⇐⇒
Pr(−t ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒
Pr(−t ≤ t(12) < 0) + Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒
2× Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒
Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 45⇐⇒
Pr(t(12) > t) = 0, 05⇐⇒
t = 1, 782
2.7.3 Exercícios
Utilize a Tabela 4 e as propriedades da função de densidade t−Student para encontrar a abscissa
t que satisfaz as condições pedidas:
1. Pr(t(18) > t) = 0, 10
2. Pr(t(8) < t) = 0, 90
3. Pr(t(27) < t) = 0, 005
4. Pr(|t(30)| > t) = 0, 02
5. Pr(|t(24)| ≤ t) = 0, 80
2.8 Exemplo
Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com as seguinte função de densidade conjunta:
f(x, y) =
½
cx se 0 < y < x e y < 1− x
0 c.c.
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 33
Figura 2.7: Solução dos Exemplos 2 e 3
1. Faça um gráfico ilustrando o domínio de definição de X e Y.
2. Calcule o valor da constante c.
3. Calcule as marginais de X e Y, mostrando que realmente definem uma função de densidade.
4. Calcule E(X), E(Y ), V ar(X), V ar(Y ).
5. Calcule a distribuição condicional fX|Y (x|y).
6. Calcule a esperança condicional E(X|Y = y) - essa esperança é uma função de y!
7. Use os resultados anteriores para mostrar que E[E(X|Y )] = E(X).
8. Calcule a distribuição condicional fY |X(y|x)
9. Calcule a esperança condicional E(Y |X = x) - essa esperança é uma função de x!
10. Use os resultados anteriores para mostrar que E[E(Y |X)] = E(Y ).
11. Calcule Cov(X,Y ).
Solução
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 34
Figura 2.8: Construção da região de integração para o Exemplo 2.8
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 35
1. Na Figura 2.8 ilustram-se as regiões 0 < y < x (linha superior à esquerda) e y < 1 − x
(linha superior à direita). A região de integração é a interseção dessas duas regiões, que está
ilustrada na linha inferior.
Para achar o ponto de interseção das duas retas, basta explicitar as condições e resolver o
sistema: ½
y = x
y = 1− x
Substitutindo a primeira equação na segunda, obtemos que y = 1−y =⇒ 2y = 1 =⇒ y = 1/2.
Como neste ponto de interseção y = x, concluimos que o ponto de interseção é o ponto
(1/2; 1/2). Na Figura 2.9 temos o domínio de varição de X e Y .
Figura 2.9: Região de integração para o Exemplo 2.8
2. Como f(x, y) ≥ 0, temos que ter c > 0. A segunda condição éR R
R f(x, y)dxdy = 1
onde R é o domínio de variação de X e Y. Analisando a Figura 2.9, vemos que, para cada
y no intervalo (0; 1/2), a abscissa x varia de y a 1 − y (são as 2 retas que definem R).Note
que começamos fixando y e depois olhamos a variação de x; isso implica na seguinte ordem
de integração:R 1/2
0
³R 1−y
y cxdx
´
dy = 1⇐⇒
R 1/2
0
³R 1−y
y xdx
´
dy =
1
c
⇐⇒R 1/2
0
µ
x2
2
¶¯¯¯¯1−y
y
dy =
1
c
⇐⇒
R 1/2
0
£
(1− y)2 − y2
¤
dy =
2
c
⇐⇒
R 1/2
0
(1− 2y)dy = 2
c
⇐⇒
¡
y − y2
¢¯¯1/2
0
=
2
c
⇐⇒ 1
2
− 1
4
=
2
c
⇐⇒ 2
8
=
2
c
⇐⇒ c = 8
O mesmo resultado é obtido invertendo-se a ordem de integração. A diferença é que temos
que “quebrar” o domínio de variação de x em 2 partes: 0 < x ≤ 1/2 e 1/2 < x < 1. Para
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 36
x ∈ (0; 1/2], vemos na Figura 2.9 que 0 < y < x e para x ∈ (1/2; 1), 0 < y < 1 − x. Então,
temosR R
R f(x, y)dxdy = 1⇐⇒
R 1/2
0
¡R x
0
cxdy
¢
dx+
R 1
1/2
³R 1−x
0
cxdy
´
dx = 1⇐⇒R 1/2
0
cx
¡R x
0
dy
¢
dx+
R 1
1/2 cx
³R 1−x
0
dy
´
dx = 1⇐⇒
R 1/2
0
cx2dx+
R 1
1/2 cx(1− x)dx = 1⇐⇒
c
x3
3
¯¯¯¯1/2
0
+
µ
c
x2
2
− cx
3
3
¶¯¯¯¯1
1/2
= 1⇐⇒ c
24
+
³ c
2
− c
3
´
−
³ c
8
− c
24
´
= 1⇐⇒
c+ 12c− 8c− 3c+ c
24
= 1⇐⇒ 3c
24
= 1⇐⇒ c = 8
Resulta, então, que
f(x, y) =
½
8x se 0 < y < x e y < 1− x
0 c.c.
3. As marginais de X e Y são dadas, respectivamente, por
fX(x) =
R
R f(x, y)dy fY (y) =
R
R f(x, y)dx
Para cada uma dessas integrais temos que definir o domínio de variação da variável de inte-
gração no domínio de definição de (X,Y ).
Como visto no item 2, para cada y fixo no intervalo (0; 1/2), x varia de y a 1− y. Logo,
fY (y) =
Z 1−y
y
8xdx = 4x2
¯¯1−y
y = 4(1− y)
2 − 4y2 = 4− 8y + 4y2 − 4y2
ou seja:
fY (y) = 4(1− 2y) 0 < y < 1/2 (2.6)
Note que é fundamental explicitar o domínio de variação de y, de acordo com a região conjunta!
Para a marginal de X, novamente temos que “quebrar” o domínio de variação nos intervalos
(0; 1/2] e (1/2; 1). Para x ∈ (0; 1/2], vemos na Figura 2.9 que 0 < y < x e, neste caso,
fX(x) =
R x
0
8xdy = 8x
R x
0
dy = 8x2
Para x ∈ (1/2; 1), 0 < y < 1− x, e neste caso
fX(x) =
R 1−x
0
8xdy = 8x
R 1−x
0
dy = 8x(1− x)8x(1− x)
Logo,
fx(x) =
½
8x2 0 < x ≤ 1/2
8x(1− x) 1/2 < x < 1 (2.7)
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 37
4. Temos que usar as marginais de X e Y e as definições de esperança e variância.
E(X) =
R 1
0
xfX(x)dx =
R 1/2
0
x8x2dx+
R 1
1/2 x8x(1− x)dx
= 8
x4
4
¯¯¯¯1/2
0
+ 8
x3
3
¯¯¯¯11/2
− 8x
4
4
¯¯¯¯1
1/2
= 2 x4
¯¯1/2
0
+
8
3
x3
¯¯1
1/2 − 2 x
4
¯¯1
1/2
= 2 · 1
16
+
8
3
µ
1− 1
8
¶
− 2
µ
1− 1
16
¶
=
1
8
+
8
3
· 7
8
− 2 · 15
16
=
1
8
+
7
3
− 15
8
=
7
3
− 14
8
=
56− 42
24
=
14
24
=
7
12
E(Y ) =
R 1/2
0
yfY (y)dy =
R 1/2
0
y4(1− 2y)dy =
R 1/2
0
¡
4y − 8y2
¢
dy
= 4
y2
2
¯¯¯¯1/2
0
− 8 y
3
3
¯¯¯¯1/2
0
= 2 · 1
4
− 8
3
· 1
8
=
1
2
− 1
3
=
1
6
E(X2) =
R 1
0
x2fX(x)dx =
R 1/2
0
x28x2dx+
R 1
1/2 x
28x(1− x)dx
= 8
x5
5
¯¯¯¯1/2
0
+ 8
x4
4
¯¯¯¯1
1/2
− 8x
5
5
¯¯¯¯1
1/2
=
8
5
x5
¯¯1/2
0
+ 2 x4
¯¯1
1/2 −
8
5
x5
¯¯1
1/2
=
8
5
· 1
32
+ 2
µ
1− 1
16
¶
− 8
5
µ
1− 1
32
¶
=
1
20
+
15
8
− 31
20
=
15
8
− 30
20
=
15
8
− 3
2
=
15− 12
8
=
3
8
Logo,
V ar(X) =
3
8
−
µ
7
12
¶2
=
3
8
− 49
144
=
54− 49
144
=
5
144
E(Y 2) =
R 1/2
0
y2fY (y)dy =
R 1/2
0
y24(1− 2y)dy =
R 1/2
0
¡
4y2 − 8y3
¢
dy
= 4
y3
3
¯¯¯¯1/2
0
− 8 y
4
4
¯¯¯¯1/2
0
=
4
3
· 1
8
− 2 · 1
16
=
1
6
− 1
8
=
4− 3
24
=
1
24
Logo,
V ar(Y ) =
1
24
−
µ
1
6
¶2
=
1
24
− 1
36
=
3− 2
72
=
1
72
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 38
5. Note que fX|Y (x|y) é uma função de x; para cada y ∈ (0; 1/2), temos uma distribuição
condicional diferente
fX|Y (x|y) = f(x, y)fY (y) =
8x
4(1− 2y) =
2x
1− 2y 0 < x < 1
6. Note que E(X|Y = y) é uma função de y! Para cada y, vimos que x varia de y a 1− y; logo
E(X|Y = y) = R xfX|Y (x|y) = R 1−yy x 2x1− 2ydx = 11− 2y ·
µ
2x3
3
¶¯¯¯¯1−y
y
=
2
3(1− 2y) ·
£
(1− y)3 − y3
¤
=
2 (1− 3y + 3y2 − 2y3)
3(1− 2y) = h(y)
7. O problema pede para calcular E[E(X|Y )] = E[h(Y )] :
E[E(X|Y )] = R h(y)fY (y)dy = R 1/20 2 (1− 3y + 3y2 − 2y3)3(1− 2y) · 4(1− 2y)dy
=
8
3
R 1/2
0
¡
1− 3y + 3y2 − 2y3
¢
dy =
=
8
3
µ
y − 3y
2
2
+ y3 − 2y
4
4
¶¯¯¯¯1/2
0
=
8
3
µ
1
2
− 3
2
· 1
4
+
1
8
− 1
2
· 1
16
¶
=
8
3
µ
1
2
− 2
8
− 1
32
¶
=
8
3
· 16− 8− 1
32
=
8
3
· 7
32
=
7
12
= E(X)
8. Note que fY |X(y|x) é uma função de x; para cada x ∈ (0; 1), temos uma distribuição condi-
cional diferente. Mas aqui fX(x) é definida por duas expressões diferentes, uma para cada
um dos intervalos (0; 1/2] e (1/2; 1). Logo, a condicional fY |X(y|x) também será definida por
duas expressões.
Para x ∈ (0; 1/2]
fY |X(y|x) = f(x, y)fX(x) =
8x
8x2
=
1
x
Para x ∈ (1/2; 1)
fY |X(y|x) = f(x, y)fX(x) =
8x
8x(1− x) =
1
1− x
Logo,
fY |X(y|x) =
½
1
x 0 < y < 1/2; 0 < x ≤ 1/2
1
1−x 0 < y < 1/2; 1/2 < x < 1
9. Note que E(Y |X = x) é uma função de x! Por definição,
E(Y |X = x) = R yfY |X(y|x)dy
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 39
Como a densidade é definida por duas expressões, o mesmo ocorrerá com E(Y |X = x).
Para x ∈ (0; 1/2], vimos que y varia de 0 até x; logo
E(Y |X = x) = R x
0
y
1
x
dy =
1
x
y2
2
¯¯¯¯x
0
=
x
2
Para x ∈ (1/2; 1), vimos que y varia de 0 até 1− x; logo
E(Y |X = x) = R 1−x
0
y
1
1− xdy =
1
1− x
y2
2
¯¯¯¯1−x
0
=
1− x
2
Logo
E(Y |X = x) = h(x) =
½ x
2
0 < x ≤ 1/2
1−x
2
1/2 < x < 1
10. Como E(Y |X = x) = h(x), segue que
E[E(Y |X] = E[h(X)] = R h(x)fX(x)dx) =
=
R 1/2
0
x
2
.8x2dx+
R 1
1/2
1− x
2
· 8x(1− x)dx
=
R 1/2
0
4x3dx+ 4
R 1
1/2 x(1− x)
2dx
= x4
¯¯1/2
0
+ 4
R 1
1/2(x− 2x
2 + x3)dx
=
1
16
+ 4
µ
x2
2
− 2x
3
3
+
x4
4
¶¯¯¯¯1
1/2
=
1
16
+ 4
∙µ
1
2
− 2
3
+
1
4
¶
−
µ
1
2
· 1
4
− 2
3
· 1
8
+
1
4
· 1
16
¶¸
=
1
16
+ 4
∙
6− 8 + 3
12
−
µ
1
8
− 1
12
+
1
64
¶¸
=
1
16
+ 4
∙
1
12
− 1
8
+
1
12
− 1
64
¸
=
1
16
+ 4
∙
1
6
− 1
8
− 1
64
¸
=
1
16
+ 4 · 32− 24− 3
192
=
1
16
+
5
48
=
8
48
=
1
6
= E(Y )
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 40
11. Temos que
E(XY ) =
Z Z
xyfX,Y (x, y)dxdy
=
1/2Z
0
⎛
⎝
1−yZ
y
xy8xdx
⎞
⎠ dy
= 8
1/2Z
0
y
⎛
⎝
1−yZ
y
x2dx
⎞
⎠ dy
= 8
1/2Z
0
y
µ
x3
3
¶¯¯¯¯1−y
y
dy
=
8
3
1/2Z
0
y
£
(1− y)3 − y3
¤
dy
=
8
3
1/2Z
0
y
¡
1− 3y + 3y2 − 2y3
¢
dy
=
8
3
∙
y2
2
− y3 + 3
4
y4 − 2
5
y5
¸1/2
0
=
8
3
µ
1
8
− 1
8
+
3
4
· 1
16
− 2
5
· 1
32
¶
=
1
8
− 1
30
=
15− 4
120
=
11
120
Logo,
Cov(X,Y ) =
11
120
− 7
12
· 1
6
=
11
23 · 5 · 3 −
7
23 · 32 =
33− 35
23 · 32.5 = −
2
23 · 32.5 = −
1
180
2.9 A distribuição normal bidimensional
Se X ∼ N(μ;σ2) sua densidade é dada por
f(x) =
1√
2πσ2
exp
"
−1
2
µ
x− μ
σ
¶2#
−∞ < x <∞ (2.8)
e vimos que E(X) = μ e V ar(X) = σ2. Vamos ver agora o caso da normal bidimensional.
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 41
2.9.1 Função de densidade
A função de densidade normal bidimensional é dada pela função
f(x, y) =
1
2πσxσy
p
1− ρ2
exp
µ
−1
2
A
¶
(2.9)
onde
A =
1
1− ρ2
"µ
x− μx
σx
¶2
− 2ρ
µ
x− μx
σx
¶µ
y − μy
σy
¶
+
µ
y − μy
σy
¶2#
(2.10)
Os parâmetros dessa distribuição são μx, μy, σx, σy, ρ.
Para facilitar os cálculos subsequentes, vamos reescrever A da seguinte forma:
A =
1
1− ρ2
"µ
x− μx
σx
¶2
− 2ρ
µ
x− μx
σx
¶µ
y − μy
σy
¶
+
µ
y − μy
σy
¶2
+ ρ2
µ
y − μy
σy
¶2
− ρ2
µ
y − μy
σy
¶2#
Note que somamos e subtraimos o mesmo termo. Reorganizando os termos:
A =
1
1− ρ2
("µ
x− μx
σx
¶2
− 2ρ
µ
x− μx
σx
¶µ
y − μy
σy
¶
+ ρ2
µ
y − μy
σy
¶2#
+
"µ
y − μy
σy
¶2
− ρ2
µ
y − μy
σy
¶2#)
O termo entre o primeiro par de colchetes é da forma a2 − 2ab+ b2; logo, podemos escrever
A =
1
1− ρ2
(∙µ
x− μx
σx
¶
− ρ
µ
y − μy
σy
¶¸2
+
"¡
1− ρ2
¢µy − μy
σy
¶2#)
=
=
1
1− ρ2
∙µ
x− μx
σx
¶
− ρ
µ
y − μy
σy
¶¸2
+
µ
y − μy
σy
¶2
=
=
1
1− ρ2
"
(x− μx)σy − ρσx
¡
y − μy
¢
σxσy
#2
+
µ
y − μy
σy
¶2
=
=
1
(1− ρ2)σ2x
∙
x− μx − ρ
σx
σy
¡
y − μy
¢¸2
+
µ
y − μy
σy
¶2
Então, podemos escrever a densidade conjunta como
f(x, y) =
1
2πσxσy
p
1− ρ2
exp
(
−1
2
1
(1− ρ2)σ2x
∙
x− μx − ρ
σx
σy
¡
y − μy
¢¸2
− 1
2
µ
y − μy
σy
¶2)
=
1p
2πσ2y
p
2πσ2x(1− ρ2)
exp
(
−1
2
1
(1− ρ2)σ2x
∙
x− μx − ρ
σx
σy
¡
y − μy
¢¸2)
exp
"
−1
2
µ
y − μy
σy
¶2#
[lembre-se que exp(a+ b) = exp(a) exp(b)].
Se definimos
η(y) = μx + ρ
σx
σy
¡
y − μy
¢
(2.11)
ξ2 =
¡
1− ρ2
¢
σ2x
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 42
então podemos escrever:
f(x, y) =
1p
2πσ2y
exp
"
−1
2
µ
y − μy
σy
¶2#
1p
2πξ2
exp
∙
− 1
2ξ2
(x− η(y))2
¸
(2.12)
É interessante notar que ηy depende apenas de y e ξ é uma constante.
Se somarmos e subtrairmos
³
x−μx
σx
´2
em (2.10), obteremos de forma análoga a seguinte expressão
para f(x, y) :
f(x, y) =
1p
2πσ2x
exp
"
−1
2
µ
x− μx
σx
¶2#
1p
2πζ2
exp
∙
− 1
2ζ2
(x− η(x))2
¸
(2.13)
onde
η(x) = μy + ρ
σy
σy
(x− μx) (2.14)
ζ2 =
¡
1− ρ2
¢
σ2y
2.9.2 Densidades Marginais
As densidadesmarginais são calculadas como
fX(x) =
R
f(x, y)dy
fY (y) =
R
f(x, y)dx
Vamos calcular fY (y) usando a expressão (2.12):
fY (y) =
R
f(x, y)dx
=
+∞R
−∞
(
1p
2πσ2y
exp
"
−1
2
µ
y − μy
σy
¶2#
1p
2πξ2
exp
∙
− 1
2ξ2
(x− η(y))2
¸)
dx
=
1p
2πσ2y
exp
"
−1
2
µ
y − μy
σy
¶2# +∞Z
−∞
1p
2πξ2
exp
∙
− 1
2ξ2
(x− η(y))2
¸
dx
Mas o integrando é a função de densidade de uma variável aleatória normal com média η(y) (que
não depende de x) e variância ξ2 (uma constante): compare o integrando com a função de densidade
N(μ;σ2) dada em (2.8). Logo, essa integral é igual a 1,pelas propriedades da função de densidade
e isso nos dá
fY (y) =
1p
2πσ2y
exp
"
−1
2
µ
y − μy
σy
¶2#
que é a expressão da densidade normal com média μy e variância σ2y.
Por simetria (note a simetria de x e y na função de densidade conjunta), ou usando a expressão
(2.13), concluímos que fX(x) é normal com média μx e variância σ2x.
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 43
2.9.3 Covariância e Correlação
Seja (X,Y ) um vetor normal bidimensional. Vamos calcular a covariância entre X e Y. Por
definição, temos que Cov(X,Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ); no caso da normal bidimensional, isso
significa que Cov(X,Y ) = E(XY )− μxμy. Precisamos, então, calcular E(XY ). Por definição,
E(XY ) =
Z Z
xyf(x, y)dxdy
=
+∞Z
−∞
+∞Z
−∞
xy
1p
2πσ2y
exp
"
−1
2
µ
y − μy
σy
¶2#
1p
2πξ2
exp
∙
− 1
2ξ2
(x− η(y))2
¸
dxdy
Analisando a expressão que define η(y) e ξ, podemos ver que ξ é constante e η(y) depende apenas
de y. Assim,
E(XY ) =
+∞Z
−∞
⎧
⎨
⎩y
1p
2πσ2y
exp
"
−1
2
µ
y − μy
σy
¶2#+∞Z
−∞
x
1p
2πξ2
exp
∙
− 1
2ξ2
(x− η(y))2
¸
dx
⎫
⎬
⎭ dy
Note a integral com relação a x : por definição, ela é a esperança de uma densidade normal com
média η(y), ou seja, a integral com relação a x é η(y) = μx + ρ
σx
σy
¡
y − μy
¢
. Logo,
E(XY ) =
+∞Z
−∞
(
y
1p
2πσ2y
exp
"
−1
2
µ
y − μy
σy
¶2# ∙
μx + ρ
σx
σy
¡
y − μy
¢¸)
dy
=
+∞Z
−∞
y
∙
μx + ρ
σx
σy
¡
y − μy
¢¸
fY (y)dy
=
+∞Z
−∞
μxyfY (y)dy +
+∞Z
−∞
ρ
σx
σy
y
¡
y − μy
¢
fY (y)dy
= μx
+∞Z
−∞
yfY (y)dy + ρ
σx
σy
+∞Z
−∞
¡
y2 − yμy
¢
fY (y)dy
A primeira integral é a média de fY (y), ou seja, é μy. Já a segunda integral é
+∞Z
−∞
¡
y2 − yμy
¢
fY (y)dy = E(Y 2 − μyY ) = E(Y 2)− μyE(Y )
Como Y ∼ N(μy, σ2y), resulta que
σ2y = E(Y
2)− [E(Y )]2 = E(Y 2)− μ2y =⇒ E(Y 2) = σ2y + μ2y
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 44
Substituindo, resulta que a segunda integral é
E(Y 2)− μyE(Y ) = σ2y + μ2y − μ2y = σ2y
Substituindo obtemos que
E(XY ) = μxμy + ρ
σx
σy
σ2y = μxμy + ρσxσy
e, portanto,
Cov(X,Y ) = E(XY )−E(X)E(Y ) = μxμy + ρσxσy − μxμy = ρσxσy
Finalmente, como a correlação é igual a
Cov(X,Y )
σxσy
, resulta que, se (X,Y ) tem distribuição
normal bidimensional, então
ρ = Corr(X,Y )
Dessa forma, os parâmetros da distribuição normal bidimensional são μx, μy (médias das marginais),
σ2x, σ2y (variâncias das marginais) e ρ (correlação entre X e Y ).
2.9.4 Distribuições Condicionais
Por definição, temos que
fY |X(y|x) = f(x, y)fX(x)
=
1
2πσxσy
p
1− ρ2
exp
¡
−1
2
A
¢
1p
2πσ2x
exp
∙
− 1
2σ2x
(x− μx)2
¸
=
1√
2πσy
p
1− ρ2
exp
∙
−1
2
A+
1
2σ2x
(x− μx)2
¸
=
1
σy
p
2π(1− ρ2)
exp
∙
−1
2
µ
A− 1
σ2x
(x− μx)2
¶¸
Vamos trabalhar o termo que aparece entre parênteses na exponencial, somando e subtraindo
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 45
um termo apropriado para completar o quadrado:
A− 1
σ2x
(x− μx)2 =
1
1− ρ2
"µ
x− μx
σx
¶2
− 2ρ
µ
x− μx
σx
¶µ
y − μy
σy
¶
+
µ
y − μy
σy
¶2#
− 1
σ2x
(x− μx)2
=
1
1− ρ2
"
−2ρ
µ
x− μx
σx
¶µ
y − μy
σy
¶
+
µ
y − μy
σy
¶2#
+
"
1
1− ρ2
µ
x− μx
σx
¶2
− 1
σ2x
(x− μx)2
#
=
1
1− ρ2
"µ
y − μy
σy
¶2
− 2ρ
µ
x− μx
σx
¶µ
y − μy
σy
¶
+ ρ2
µ
x− μx
σx
¶2
− ρ2
µ
x− μx
σx
¶2#
+
"
1
1− ρ2
µ
x− μx
σx
¶2
− 1
σ2x
(x− μx)2
#
=
1
1− ρ2
"µ
y − μy
σy
¶2
− 2ρ
µ
x− μx
σx
¶µ
y − μy
σy
¶
+ ρ2
µ
x− μx
σx
¶2#
− ρ
2
1− ρ2
µ
x− μx
σx
¶2
+
"
1
1− ρ2
µ
x− μx
σx
¶2
− 1
σ2x
(x− μx)2
#
=
1
1− ρ2
∙
y − μy
σy
− ρx− μx
σx
¸2
+
µ
x− μx
σx
¶2 ∙
− ρ
2
1− ρ2 +
1
1− ρ2 − 1
¸
=
1
1− ρ2
∙
y − μy
σy
− ρx− μx
σx
¸2
+
µ
x− μx
σx
¶2µ−ρ2 + 1− 1 + ρ2
1− ρ2
¶
=
1
1− ρ2
∙
y − μy
σy
− ρx− μx
σx
¸2
=
1
σ2y(1− ρ2)
∙
y − μy − ρ
σy
σx
(x− μx)
¸2
Logo,
fY |X(y|x) = 1
σy
p
2π(1− ρ2)
exp
(
−1
2
1
σ2y(1− ρ2)
∙
y − μy − ρ
σy
σx
(x− μx)
¸2)
Usando (2.14), conclui-se que
fY |X(y|x) = 1p
2πζ2
exp
∙
− 1
2ζ2
(y − η(x))2
¸
Assim, a distribuição condicional de Y |X = x é uma normal com média
η(x) = μy + ρ
σy
σx
(x− μx)
e variância
ζ2 =
¡
1− ρ2
¢
σ2y
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 46
Por simetria, a distribuição condicional de X|Y = y é uma normal com média
η(y) = μx + ρ
σx
σy
¡
y − μy
¢
e variância
ξ2 =
¡
1− ρ2
¢
σ2x
Note que as esperanças condicionais são funções lineares, isto é:
E(Y |X = x) = μy + ρ
σy
σx
(x− μx)
e
E(X|Y = y) = ηy = μx + ρ
σx
σy
¡
y − μy
¢
2.9.5 Resumo dos resultados
Se (X,Y ) tem distribuição normal bidimensional, então a densidade conjunta é
f(x, y) =
1
2πσxσy
p
1− ρ2
exp
µ
−1
2
A
¶
onde
A =
1
1− ρ2
"µ
x− μx
σx
¶2
− 2ρ
µ
x− μx
σx
¶µ
y − μy
σy
¶
+
µ
y − μy
σy
¶2#
As densidades marginais são normais:
X ∼ N
¡
μX , σ
2
X
¢
Y ∼ N
¡
μY , σ
2
Y
¢
As distribuições condicionais são normais:
Y |X = x ∼ N ¡ηx, ζ2¢
onde
ηx = μy + ρ
σy
σx
(x− μx)
ζ2 =
¡
1− ρ2
¢
σ2y
e
X|Y = y ∼ N ¡ηy; ξ2¢
onde
ηy = μx + ρ
σx
σy
¡
y − μy
¢
ξ2 =
¡
1− ρ2
¢
σ2x
Note que
h(x) = E(Y |X = x) = μy + ρ
σy
σx
(x− μx)
g(y) = E(X|Y = y) = μx + ρ
σx
σy
¡
y − μy
¢
e ambas são funções lineares.
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 47
2.10 Exercícios propostos
1. Seja (X,Y ) um vetor aleatório cuja função de densidade é constante na região A ⊂ R2 definida
por A = {(x, y); 0 < y < x;x+ y < 1}. Determine
(a) a função de densidade conjunta de X e Y.
(b) as marginais fX e fY
(c) E(X), E(Y ), V ar(X), V ar(Y )
(d) P (X < 0, 5;Y > 0, 25)
(e) P (X + Y > 1/2)
(f) a covariância e a correlação entre X e Y.
2. Seja (X,Y ) um vetor aleatório cuja função de densidade é constante na região A ⊂ R2 definida
por A = {(x, y) | 0 < x < 1;x+ y < 1}. Determine
(a) a função de densidade conjunta de X e Y.
(b) as marginais fX e fY
(c) E(X), E(Y ), V ar(X), V ar(Y )
(d) P (X < 0, 5;Y > 0, 5)
(e) a covariância e a correlação entre X e Y.
3. Considere a seguinte função de densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y :
f(x, y) =
½
e−y se 0 < x < y
0 caso contrário
(a) Obtenha as densidades marginais de X e Y , identificando as suas respectivas dis-
tribuições de probabilidade.
(b) Verifique se X e Y são independentes, justificando a sua resposta.
4. Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com a seguinte função de densidade conjunta:
f(x, y) =
½
cy2 se 0 < x < 2 e 0 < y < 1
0 c.c.
(a) Faça um gráfico ilustrando o domínio de variação de X e Y.
(b) Calcule o valor da constante c.
(c) Calcule as marginais de X e Y, mostrando que realmente definem uma função de densi-
dade.
(d) CalculeE(X), E(Y ), V ar(X), V ar(Y ).
(e) X e Y são independentes? Justifique sua resposta.
(f) Calcule P (Y > 2−X).
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 48
(g) Calcule P (X ≤ 1)
5. SejaX o tempo (em segundos) necessário para um corredor completar os primeiros 500 metros
de uma corrida e seja Y o tempo (em segundos) necessário para ele completar os próximos
500 metros na mesma corrida. Suponha que (X,Y ) tenha distribuição normal bivariada com
os seguintes parâmetros:
μX = 59
μY = 60
σX = σY = 1
ρ = 0, 5.
(a) Calcule Pr(X ≤ 60) e Pr(Y ≤ 59).
(b) Se ele correu os primeiros 500 metros em 60 segundos, qual é a probabilidade de que ele
leve menos de 59 segundos para completar os 500 metros seguintes?
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 49
Casa inteira
e 1a. Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490
0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327
0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891
1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214
1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298
1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147
1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774
1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189
1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408
1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449
1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327
1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062
1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670
2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169
2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574
2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899
2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158
2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361
2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520
2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643
2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736
2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807
2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861
3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900
3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929
3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950
3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965
3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976
3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983
3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989
3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992
3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995
3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997
4,0 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998
Para abscissas maiores que 4,09, use a probabilidade 1,00000
Tabela 1
Tabela da Distribuição Acumulada da Normal Padrão
2a decimal
Valores de p
)Pr()( zZzp ≤=Φ=
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS CONTÍNUAS 50
Casa inteira
e 1a. Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586
0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535
0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409
0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173
0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793
0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240
0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490
0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524
0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327
0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891
1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214
1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298
1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147
1,3 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988 0,41149 0,41309 0,41466 0,41621 0,41774
1,4 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,43056 0,43189
1,5 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,44295 0,44408
1,6 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449
1,7 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327
1,8 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,46995 0,47062
1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670
2,0 0,47725 0,47778 0,47831 0,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169
2,1 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,48537 0,48574
2,2 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899
2,3 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158
2,4 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361
2,5 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520
2,6 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49632 0,49643
2,7 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736
2,8 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807
2,9 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861
3,0 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49896 0,49900
3,1 0,49903 0,49906 0,49910 0,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,49926 0,49929
3,2 0,49931 0,49934 0,49936 0,49938 0,49940 0,49942 0,49944 0,49946 0,49948 0,49950
3,3 0,49952 0,49953 0,49955 0,49957 0,49958 0,49960 0,49961 0,49962 0,49964 0,49965
3,4 0,49966 0,49968 0,49969 0,49970 0,49971 0,49972 0,49973 0,49974 0,49975 0,49976
3,5 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983
3,6 0,49984 0,49985 0,49985 0,49986 0,49986 0,49987 0,49987 0,49988 0,49988 0,49989
3,7 0,49989 0,49990 0,49990 0,49990 0,49991 0,49991 0,49992 0,49992 0,49992 0,49992
3,8 0,49993 0,49993 0,49993 0,49994 0,49994 0,49994 0,49994 0,49995 0,49995 0,49995
3,9 0,49995 0,49995 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49997