Graficos_Minimos_Quadrados_turmaC

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LE 202 – Física Experimental I 
Gráficos Lineares 
Método dos Mínimos Quadrados 
 
Profas. Ana Luiza C. Pereira 
e Vanessa P. Gomes 
 
 
 
Gráficos 
• Depois de realizar medidas, é comum representar os dados na forma de 
gráficos, para maior clareza. Um gráfico pode mostrar informações que 
não podem ser facilmente descritas por palavras ou equações. Nos 
relatórios sobre os experimentos realizados, em muitos casos, vocês 
precisarão produzir gráficos. 
Medidas da Voltagem em função da corrente 
fluindo através de um resistor 
Corrente (A) 
V
o
lt
ag
e
m
 (
m
V
) 
 
1) Escala: É essencial escolher adequadamente a escala. Deve ser feita uma 
escala independente para cada eixo: os dois eixos não precisam ter a mesma 
origem e nem a mesma escala numérica. A escala deve ser marcada nos eixos 
sempre usando valores com intervalos regulares entre si (por exemplo: 2 em 
2, ou 50 em 50, ou 0,1 em 0,1...). Indiquem de 5 a 10 marcas. Não usem na 
escala os valores da própria tabela! (a menos que estes já sejam valores com 
intervalos regulares, igualmente espaçados). 
2) Em papel milimetrado: Se usarem o papel milimetrado, tentem aproveitar 
uma boa área do papel. Façam uso inteligente das subdivisões indicadas no 
próprio papel (que é subdividido em múltiplos de 10). 
 Como elaborar um bom gráfico 
 
3) Eixos e Unidades: Escrevam nos eixos os nomes de cada quantidade física 
representada e, entre parênteses, as unidades usadas. 
 
4) Marcação dos Pontos: Marquem pontos facilmente visíveis: 
 Devem ser clara cuidadosamente marcados. 
 
5) Evitem ligar os pontos. Somente deverá ser usada uma curva entre os pontos 
quando for útil apresentar um guia para os olhos ou quando um modelo for 
comparado ou ajustado aos pontos experimentais. Em ambos os casos, o 
procedimento, modelo ou utilidade da curva deve ser mostrada no texto e a 
curva claramente identificada. Se a relação entre os pontos parecer linear, por 
exemplo, pode-se ajustar uma reta aos pontos (ver a seguir). 
 
6) Os valores dos pontos nunca devem ser colocados no gráfico. Para isto existem 
as tabelas. 
 
 
 
 Como elaborar um bom gráfico 
7) Barras de erro: Os pontos das medidas deverão aparecer com suas 
respectivas barras de erro. A posição central do ponto é a média da 
medida (x, y). A barra de erro no eixo x começa em x − ∆x e vai até x + 
∆x. O mesmo para o eixo y. 
 
 Ex: Seja uma medida x = 0,6 ± 0,1 e y = 0,5 ± 0,2. No gráfico a seguir, o 
valor (0,6 ; 0,5) é mostrado pelo ponto e as linhas mostram os valores dos 
erros. Essas linhas são chamadas de barras de erro. 
 
 
 Como elaborar um bom gráfico 
Obs: Se a barra de erro for muito 
pequena, pode ser necessário indicar 
algo como: “a barra de erro é menor 
que símbolo representado”, ou “a 
barra de erro é muito pequena para 
aparecer na figura”. 
 
Gráficos com Relação Linear 
• Reconhecer o padrão dos dados ao analisar o gráfico é útil, mas 
geralmente não é o suficiente. Será ainda mais útil se pudermos obter a 
equação matemática que se ajusta aos dados. Isso nos permite depois 
calcular o valor da variável dependente (y) para qualquer valor da 
variável independente (x). 
 
• Se os pontos graficados fornecem uma relação linear, podemos ajustar 
aos dados uma reta e obter a equação da reta ajustada: 
 
 
 onde A e B são constantes. A é a inclinação da reta (coefeiciente angular) 
e B é o coeficiente linear. 
 
 
 
Gráficos com Relação Linear 
• Se x e y são variáveis linearmente relacionadas. Se as medidas de x e y 
não tivessem incertezas, então cada ponto cairia exatamente sobre uma 
reta: , como no gráfico à esquerda. 
 
• Na prática, sempre há incertezas, e o máximo que podemos esperar é 
que a distância de cada ponto em relação à reta seja razoável quando 
comparada às incertezas. 
Gráficos com Relação Linear 
• O problema que temos é então encontrar a reta que 
melhor se ajusta às medidas, ou seja, encontrar as melhores constantes 
A e B a partir das medidas. 
 
• Há o método gráfico, que é aproximado, e há o método analítico, 
chamado de regressão linear ou método dos mínimos quadrados. 
1) Método Gráfico 
• Traça-se-se com uma régua (e com bom senso) uma reta que se ajuste 
bem ao conjunto de pontos. A reta não precisa passar necessariamente 
por nenhum dos pontos, mas precisa balancear cuidadosamente, 
minimizando a distância de todos os pontos à reta. 
 
• Para determinar o coeficiente angular A (inclinação da reta), deve-se 
escolher dois pontos desta reta ajustada : (x1,y1) and (x2,y2). O 
coeficiente angular será dado por: 
 
 
 
• Obs: escolha pontos da reta e não pontos das medidas, pois estes nem 
sempre pertencem à reta!. De preferência, escolha pontos distantes um 
do outro para aumentar a precisão. 
 
• O coeficiente linear B é simplesmente o valor de y para x = 0. 
• Cuidado: os coeficientes da reta têm unidades! A unidade de A é 
[unidade de y] / [unidade de x]. A unidade de B é a mesma de y. 
Exercício 1 
 Num experimento mediu-se posição em função do tempo de um 
certo objeto em movimento e encontraram-se os resultados 
apresentados na tabela a seguir. Considere que para cada medida da 
posição há uma imprecisão na medida de ± 2 cm. Faça um gráfico da 
posição em função do tempo em papel milimetrado e obtenha, pelo 
método gráfico, a equação da reta que melhor se ajusta às medidas. 
2) Método dos Mínimos Quadrados 
• O método gráfico é aproximado. Por ele, duas pessoas não 
encontram exatamente os mesmos valores para os coeficientes da 
melhor reta. O método dos mínimos quadrados (ou regresão linear) 
usa estatística para definir a reta que melhor se ajusta ao conjunto 
de medidas. 
• Sejam N medidas 
 
• Qual a melhor reta ?? 
 
 
• Para um dado xi experimental, o y (xi) 
da melhor reta terá um pequeno 
desvio em relação ao yi medido. Esse 
desvio é dado por: 
y medido y da reta 
2) Método dos Mínimos Quadrados 
• O método gráfico é aproximado. Por ele, duas pessoas não 
encontram exatamente os mesmos valores para os coeficientes da 
melhor reta. O método dos mínimos quadrados (ou regresão linear) 
usa estatística para definir a reta que melhor se ajusta ao conjunto 
de medidas. 
• Sejam N medidas 
 
• Qual a melhor reta ?? 
 
 
• Para um dado xi experimental, o y (xi) 
da melhor reta terá um pequeno 
desvio em relação ao yi medido. Esse 
desvio é dado por: 
y medido y da reta 
2) Método dos Mínimos Quadrados 
• O método dos mínimos quadrados consiste em obter a melhor reta (ou 
seja, os melhores parâmetros A e B) através da minimização do desvio 
total S: 
 
 
(obs: se não tomarmos os quadrados, a 
soma de todos os desvios tende a zero): 
2) Método dos Mínimos Quadrados 
• Temos que encontrar A e B tais que S seja mínimo. Ou seja, temos que 
minimizar S em relação a A e B: 
 
 
 
 
• Como fazer isso? 
• Para minimização, as derivadas de S em relação a A e B têm que ser nulas 
(reparem que os somatórios na expressão de S são números uma vez que 
se tem as medidas): 
(1) 
(2) 
2) Método dos Mínimos Quadrados 
• Com as eqs. (1) e (2), caímos num sistema de 2 eqs e 2 variáveis. A partir 
da eq. (2) têm-se: 
 
 
 
 • Substituindo na eq. (1): 
 
 
 
2) Método dos Mínimos Quadrados 
 
• Ou 
 
 
2) Método dos Mínimos Quadrados 
 
• Além de fornecer os coeficientes A e B da melhor reta que se ajusta ao 
conjunto de dados medidos, o método permite calcular as incertezas na 
determinaçãode A e de B. 
 
• No caso em que a variável y é medida com incerteza (sendo as 
incertezas iguais pra todo y), tem-se: 
 
 
 
• Incerteza em A: 
 
 
 
• Incerteza em B: 
 
 
 
Exercício 2 
 Encontrar pelo método dos mínimos quadrados a equação da reta que 
melhor se ajusta às medidas do exercício 1. Considere novamente que 
para cada medida da posição há uma imprecisão na medida de ± 2 cm, e 
calcule agora também a imprecisão na determinação dos coeficientes da 
reta. 
Exercício 2 - Resolução 
N=8 
Exercício 2 - Resolução 
 
Não esquecer as unidades e nem 
o arredondamento correto do 
valor de A e B de acordo com a 
incerteza (erro) 
Na calculadora 
 
• Limpar Memória 
 
• Mode 3 1 (3 = regressão, 1 = linear) 
 
• Entrar dados: xi, yi M+ 
 
• Shift S-var -> A , B 
 
• Ou Shift S-Sum (encontra as somatórias) 
 
y = A + Bx (cuidado, na calculadora Cassio, A é o coeficiente linear e B é o 
angular, ao contrário do que fizemos aqui)