G3 2014-1 GABARITO

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G3 – FIS1026 – 29/05/2014 
MECÂNICA NEWTONIANA B 
 
NOME:___________________________________________________ 
Assinatura:_______________________________________________ 
Matrícula: ___________________ TURMA:_______ 
 
QUESTÃO VALOR GRAU REVISÃO 
1 4,0 
2 3,0 
3 3,0 
Total 10,0 
 
Dados: 
g = 10 m/s
2
; para constante: ω = αt; θ = 0 t + ½ αt
2
; 2= 0
2 
+ 2αθ; 
at = r; vt = r; ac = v
2
/r; ⃗ = ⃗  ⃗;  = I; I =  miri
2 
(partículas pontuais); Ip = Icm + Md
2
; 
Icm =  MR
2
 sendo: aro = 1; cilindro/disco = 1/2; esfera sólida = 2/5; Icm haste = (1/12) ML
2
; 
 ⃗⃗= ⃗  ⃗; L = I ω ;  ⃗ext = d ⃗⃗/dt ; 
 
Não serão aceitas respostas sem justificativas nas questões discursivas. 
Nas questões de múltipla escolha só escreva a letra correspondente à sua resposta. 
Não é permitido destacar folhas deste caderno de respostas. 
 
 
A prova só poderá ser feita a lápis, caneta azul ou preta 
E A RESPOSTA FINAL DEVE SER OBRIGATORIAMENTE ESCRITA À CANETA. 
 
G3 – FIS1026 – 29/05/2014 
 
Nome: _______________________________________ Matrícula: __________ 
 
 
(1ª questão: 4,0 pontos) Parte i: O momento de inércia rotacional de um corpo que gira em torno de 
um eixo depende da sua: 
a) velocidade angular, forma e massa; 
b) aceleração angular, massa e posição do eixo de rotação; 
c) massa, forma, tamanho e posição do eixo de rotação; 
d) massa, tamanho, forma e velocidade angular; 
e) nenhuma das anteriores. 
 
Parte ii: A figura ao lado mostra em um dado instante de tempo, dois corpos em 
movimento pendurados por uma corda enrolada em uma polia com diâmetro 
D = 0,5 m. A polia consiste de três hastes de massa m e um aro de massa M. O 
momento de inércia rotacional da polia IP é igual a 0,035 kgm
2. O corpo 1 tem 
massa m1 = 10 kg e o corpo 2 tem massa m2 = 5,0 kg. Existe um torque de atrito 
constante ⃗AT no eixo com módulo igual a 2,5 Nm e sentido anti-horário. 
a) Calcule a expressão literal para o momento de inércia rotacional da polia em 
função de m, M e D. 
b) Escreva as equações de movimento do sistema na sua forma literal. 
c) Determine numericamente o módulo da aceleração nos corpos 1 e 2. 
 
 (2ª questão: 3,0 pontos) Parte i: A figura mostra uma porta em repouso 
aberta, fazendo um ângulo de 60º com o eixo x negativo. A figura também 
indica o sistema de coordenadas a ser utilizado, que tem sua origem em 
cima de uma das dobradiças e na mesma altura da maçaneta da porta. A 
porta tem massa M, largura L e altura H. Em dado instante, ela é atingida por 
uma bola de massa m na sua extremidade, na altura da maçaneta. Logo 
antes de atingir a porta, a bola tinha uma velocidade V na direção do eixo z 
negativo. Logo após o impacto, a bola volta com aproximadamente a mesma 
velocidade na direção do eixo z positivo (m<<M). Considere que as 
dobradiças estão bem lubrificadas, portanto produzem um atrito desprezível. 
a) Escreva e expressão literal para o momento angular do sistema (bola-porta) em torno da origem, 
imediatamente antes da colisão. 
b) Suponha agora que o momento de inércia da porta seja IP = 4,0 kgm
2 e que o módulo do momento 
angular da bola logo antes da colisão ⃗⃗⃗ = 0,10 kgm
2/s. Calcule o tempo aproximado que a porta leva 
para fechar. 
 
x
y
z
1
2
Parte ii: Imagine uma partícula de massa m e com momento linear ⃗ que se desloca através do eixo x. 
Seja um ponto A localizado no eixo y negativo, em relação ao qual ela tem um momento angular ⃗⃗. Se 
em dado instante o vetor ⃗ (distância entre o ponto A e a partícula) faz um ângulo de 30º com a 
velocidade ⃗, o ângulo entre ⃗⃗ e ⃗ é: 
 
a) 0o b) 30º c) 60º d) 90º e) 120º 
 
 
(3ª questão: 3,0 pontos) Um aro de massa M e raio R está em repouso no 
topo de um plano inclinado que faz 30º com a horizontal. Existe atrito entre o 
plano e o aro. Em dado instante o aro é solto e passa a rolar sem deslizar 
plano abaixo. 
Parte i: A partir das forças que atuam no aro podemos afirmar o seguinte: 
i) A força normal não produz torque em relação ao centro de massa do aro. 
ii) A força de atrito produz torque em relação ao centro de massa do aro no sentido anti-horário. 
iii) A força peso produz torque em relação ao centro de massa do aro no sentido horário. 
iv) A força de atrito produz torque em relação ao ponto de contato no sentido anti-horário. 
v) A força peso produz torque em relação ao ponto de contato no sentido horário. 
 
Assinale a letra que corresponde somente à afirmações verdadeiras: 
 
a) ii e iii b) i, iii e iv c) i, ii e iii d) i e v e) nenhuma das opções anteriores. 
Parte ii: 
a) Utilizando conceitos de energia calcule a velocidade do centro de massa do aro após ele ter rolado 
uma distância d ao longo do plano inclinado. 
b) Calcule o valor do módulo da força de atrito que atua no aro. 
 
1° Questão 
 
Parte 1 - O momento de inércia rotacional de um corpo depende da sua massa, forma, tamanho e 
posição do eixo de rotação. Portanto, letra c) 
 
Parte 2 
a) 
 [
 
 
 (
 
 
)
 
] (
 
 
) 
→ ( ) 
 ; 
 
 
 → 
( ) 
 
 
b) Corpo 1: (
 
 
) 
 Corpo 2: 
Roldana: (
 
 
) (
 
 
) 
c) Substituindo a relação entre as acelerações dos componentes do sistema e somando as equações de 
movimento, obtemos: 
 
 
 
 ( 
 
 
) → 
( ) 
 
 
 
( 
 
 
)
 
 → 
( ) 
( 
 
 
)
 → 
 
 
 → 
2° Questão 
 
 Parte 1 
a) ⃗⃗ ⃗ ⃗ → ⃗⃗ ( ̂ ̂) ( ̂) 
→ ⃗⃗ (
 
 
) ( ̂) 
 ⃗⃗ ⃗⃗ (repouso) ; ⇒ ⃗⃗ ⃗⃗ ( 
 
 
) ̂ 
b) O sistema é fechado e livre de torques externos na direção do eixo da rotação da porta em suas 
dobradiças (também livre de forças de atrito no eixo), logo ocorrerá conservação do momento 
angular total do sistema na direção do eixo y. 
 → ( 
 
 
) ̂ ( 
 
 
) ̂ ⃗⃗ → (
 
 
) ̂ ⃗⃗⃗ 
→ 
 
 
 ̂ ⃗⃗⃗ → 
 
 
 ̂ ⃗⃗⃗ → ⃗⃗⃗ ( 
 
 
) ̂ 
→ ⃗⃗⃗ ( 
 
 ⁄ ) ̂ 
Verificou-se então que, após a colisão, a porta passa a fechar com velocidade angular 
constante 0,05 rad/s em direção à parede, percorrendo o ângulo de 60° (π/3 rad). Desta forma: 
 
 
 
 → 
 
 
 → 
 
 
 → 
 
Parte 2 - O momento angular é sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores ⃗ e ⃗, portanto a 
resposta correta é a letra d). 
 
3° Questão 
 
Parte 1 - As afirmações corretas são a (i) e a (v). Letra d) 
 
Parte 2 
a) A força de atrito não dissipa energia no rolamento suave, logo trata-se de um sistema conservativo 
de forças e a energia mecânica do sistema é conservada. 
 → 
Tomando como referência o ponto de contato do aro com o solo e Uref = 0 J em h = 0 m, após o aro 
ter percorrido uma distância d ao longo do plano inclinado. 
 → 
 
 
 
; Momento de inércia do aro para rotações em relação ao ponto de 
 contato com o solo: 
 
 → 
 
 
 
 → 
 ; {
 
 
 
 → √
 
 
 
b) Adotando como referência um sistema de coordenadas com o eixo x paralelo ao plano inclinado(sentido positivo no mesmo sentido do movimento do centro de massa do aro) e o eixo y 
perpendicular à direção do plano inclinado. Em adição, consideraremos que as rotações no sentido 
horário são positivas (mesmo sentido da rotação do aro na descida do plano). Assim, as equações de 
movimento para a segunda lei de Newton para o movimento de rolamento do aro são: 
Translação do CM: {
 
 
 ; ; 
Rotação em relação ao CM do aro: { ; 
 → 
 
 
 
 → (eq. I) 
Substituindo eq. I na equação para o eixo x: 
 → 
 
 
 → 
 
 
 → 
 
 
 
Ou de Torricelli temos: vcm
2
 = v0
2
 + 2acms → 
 
 
 = 2 acmd → acm = 
 
 
 
Desta forma, substituindo o resultado da aceleração em eq. I: 
→