Aulas-09 e 10 - Cálculo de áreas

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APONTAMENTOS DE AULA – TOPOGRAFIA 
AULAS 09 e 10: CÁLCULO DA POLIGONAL 
Extraído da apostila “fundamentos da topografia, de Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 
 
 A avaliação de áreas é uma atividade comum na Topografia. Por exemplo, na compra e venda de imóveis 
rurais e urbanos esta informação se reveste de grande importância. Basicamente os processos para determinação de 
áreas podem ser definidos como analíticos, gráficos, computacionais e mecânicos. 
 
 PROCESSO GRÁFICO 
Neste processo a área a ser avaliada é dividida em figuras geométricas, como triângulos, quadrados ou outras 
figuras, e a área final será determinada pela somatória de todas as áreas das figuras geométricas. A figura 1 ilustra a 
aplicação do método gráfico, através do processo de divisão da área em quadrículas e em figuras geométricas 
equivalentes. 
 
 
PROCESSO COMPUTACIONAL 
Atualmente é uma forma bastante prática para o cálculo de áreas. Baseado no emprego de algum programa gráfico, 
como por exemplo, o AutoCAD, no qual são desenhados os pontos que definem a área levantada e o programa 
calcula esta área, por métodos analíticos. 
 
PROCESSO MECÂNICO 
Utiliza-se um equipamento denominado de planímetro (figura 2). Este consiste em dois braços articulados, com um 
ponto fixo denominado de pólo e um cursor na extremidade dos braços, o qual deve percorrer o perímetro do 
polígono que se deseja calcular a área. Também apresenta um tambor giratório. De acordo com CINTRA (1996), 
"pode-se demonstrar que o giro do tambor e, portanto, a diferença de leituras, é proporcional à área envolvida pelo 
contorno percorrido". 
 
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A área será dada por: 
 
Área = k. (Lf - Li) 
 
onde: 
k é a constante do aparelho para um dado comprimento do braço graduado; 
Lf é a leitura final; 
Li é a leitura inicial. 
O valor de K pode ser determinado planimetrando-se uma área conhecida (S) diversas vezes (n). 
 
k = (n . S)/ (Lf - Li) 
 
De acordo com CINTRA(1996) o pólo deve ser posicionado fora da área que esta sendo avaliada, caso contrário, 
deve-se adicionar à área o chamado "círculo zero", fornecido pelo fabricante. 
 
PROCESSOS ANALÍTICOS 
Neste método a área é avaliada utilizando fórmulas matemáticas que permitem, a partir das coordenadas dos 
pontos que definem a feição, realizarem os cálculos desejados. O cálculo da área de poligonais, por exemplo, pode 
ser realizado a partir do cálculo da área de trapézios formados pelos vértices da poligonal (fórmula de Gauss). 
Através da figura 3 é possível perceber que a área da poligonal definida pelos pontos 1, 2, 3 e 4 pode ser 
determinada pela diferença entre as áreas 1 e 2. 
 
 
 
 
A área 1 pode ser calculada a partir das áreas dos trapézios formados pelos pontos 2', 2, 1, 1´ e 1', 1, 4, 4'. Na figura 4 
é apresentada a fórmula de cálculo da área de um trapézio qualquer. 
 
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Para facilitar a compreensão, será calculada a área do trapézio formado pelos pontos 2', 2, 1, 1' (figura 5). 
 
 
 
Conforme pode ser visto na figura 5, a área do trapézio será dada por: 
 
 
Desta forma a área 1 (figura 3) será calculada por: 
 
Da mesma forma, a área 2 será calculada por: 
 
A área da poligonal (Ap) será dada por: 
 
Desenvolvendo tem-se: 
 
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Reescrevendo a equação acima, eliminando-se o sinal negativo obtém-se: 
 
Genericamente a equação acima pode ser reescrita por: 
 
Sendo n igual ao número de pontos da poligonal. Deve-se observar que quando i = n, o valor de i+1 deve ser 
considerado como sendo 1, ou seja, o primeiro ponto novamente. Outra fórmula pode ser obtida a partir da 
resolução da equação acima. 
 
Simplificando os termos semelhantes e reescrevendo a equação obtém-se: 
 
A equação acima pode ser representada genericamente por: 
 
ou também de outra forma, conforme equação abaixo cuja dedução fica para o leitor: 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 1- Dadas as coordenadas dos pontos de uma poligonal, calcular a área da mesma. 
 
Efetuando-se os cálculos utilizando-se a equação 
 
 
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Conferindo, empregando-se a equação 
 
 
 
 
Outro processo de cálculo da área da poligonal utilizando-se a Equação conhecida por COORDENADAS 
TOTAIS: 
 
 
O cálculo da área utilizando-se a equação acima pode ser realizado facilmente montando-se uma tabela com as 
coordenadas dos pontos, com o cuidado de repetir a coordenada do primeiro ponto no final da tabela, e 
multiplicando-se de acordo com o ilustrado pela figura 6. 
 
 
EXERCÍCIO 2 - A partir dos dados fornecidos no exercício 1, calcular a área da poligonal empregando-se a equação 
de COORDENADAS TOTAIS: 
 
 
 
 
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: 
 
Para o cálculo de área de uma poligonal utilizando-se o processo de 
COORDENADAS TOTAIS o ponto com as coordenadas consideradas X0 e Y0 
deve ser o ponto mais a oeste da poligonal. No exercício acima o ponto mais a 
oeste foi o ponto 01, por isso a tabela iniciou-se por ele e na última linha 
repetiu-se suas coordenadas para fechar a poligonal.