probabilidade

Prévia do material em texto

Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Campus de Foz do Iguaçu 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PPRROOBBAABBIILLIIDDAADDEE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Carlos dos Santos 
 
 
Foz do Iguaçu 
Março / 2014 
 
 
 
1 
 
Sumário 
2. Probabilidade 2 
2.1 Introdução 2 
2.2 Experimento aleatório com espaço amosral e evento 3 
2.3 Teoria clássica de probabilidade 6 
2.4 A Teoria Frequentista de Probabilidade 7 
2.5 Probabilidade subjetiva 8 
2.6 Axiomas de probabilidade 8 
2.7 Principais teoremas de probabilidade 10 
2.8 Sequência de exercícios nº 1 20 
2.9 Variável aleatória 22 
2.9.1 – Definição Formal de Variável Aleatória 22 
2.9.2 Variável Aleatória Discreta 24 
2.9.3 Variável Aleatória Contínua 25 
2.9.4 Função de Probabilidade 25 
2.9.5 Função Densidade de Probabilidade 26 
2.9.6 Função de Distribuição Acumulada 29 
2.9.7 Esperança Matemática e Variância de Uma Variável Aleatória 32 
2.9.7.1 Propriedades da Esperança Matemática 33 
2.9.8 Sequência de exercícios nº 2 37 
2.10 Distribuições discretas de probabilidade 38 
2.10.2 Sequência de exercícios nº 3 40 
2.10.4 Sequência de exercícios nº 4 43 
2.10.5 Distribuição de Poisson 44 
2.10.6 Sequência de exercícios nº 5 46 
2.10.7 Distribuição Hipergeométrica 47 
2.10.8 Sequência de Exercícios nº 6 49 
2.11 Distribuições teóricas contínuas de probabilidade 50 
2.11.1 Distribuição Exponencial 50 
2.11.2 Sequência de exercícios nº 7 54 
2.11.3 Distribuição normal 56 
2.11.3.1 Distribuição normal reduzida 60 
2.11.4 Sequência de exercícios nº 8 69 
2.11.5 Aproximação normal à distribuição binomial 70 
2.11.6 Sequência de exercícios nº 9 75 
 
 
2 
 
2. Probabilidade 
 
2.1 Introdução 
 
Existem dois tipos de modelos na ciência, o modelo determinístico e o não-determinístico ou 
probabilístico. 
Os modelos determinísticos são utilizados em certos campos da ciência, como a física, a 
química analítica, ou a hidráulica, onde é possível elaborar modelos matemáticos que 
estabelecem relações precisas entre grandezas, devido ao grau de conhecimento relativamente 
alto dos fatores envolvidos. Por exemplo, o modelo da lei de Ohn pode ser descrito por 
 
 
Corrente = voltagem / resistência 
 
Ou 
 
I = E/R 
 
 
Esse modelo é determinístico ou mecanístico porque o mesmo é construído a partir do 
conhecimento do mecanismo físico básico, o qual relaciona que a corrente elétrica está em função 
da voltagem e da resistência, sem levar em consideração outros fatores. 
 
Modelo Determinístico ou Mecanístico Modelo que estabelece uma relação matemática precisa 
entre as variáveis envolvidas, devido o grau de conhecimento relativamente alto do sistema sob 
estudo. 
 
Em muitas situações é mais frequente que os mecanismos no sistema sob estudo não 
sejam suficientemente conhecidos, de maneira a possibilitar a construção de modelos 
determinísticos. 
A estatística lida essencialmente com modelos não determinísticos ou probabilísticos, ou 
seja, com aquelas situações onde os mecanismos do sistema não são tão conhecidos e, portanto, 
a previsão de resultados está envolta com um certo grau de incerteza, a qual é quantificada 
probabilisticamente. Modelos dessa natureza, que se preocupam em prever resultados com alta 
probabilidade, sem tentar especificar os agentes determinantes envolvidos, são chamados de não 
determinísticos ou probabilísticos. 
 
Modelo Não-Determinístico ou Probabilístico Modelo que procura prever um resultado, em 
geral usando probabilidades, sem se preocupar com a especificação dos agentes causais ou 
determinantes desse resultado. 
 
 
 
3 
 
Por exemplo, suponha que um pesquisador deseja saber qual é o tempo de carga de um 
aplicativo (Y) para cumprir determinada tarefa. Não há um modelo determinístico para essa 
situação, portanto, o pesquisador vai enumerar todas as possíveis variáveis explicativas para 
prever o tempo de carga, ou seja, capacidade do processador ( X1), capacidade de memória (X2), 
capacidade do HD (X3), etc., Assim, um possível modelo será: 
 
Y = α + β1X1 + β2X2 + β3X3 + ε 
 
Essa expressão representa um modelo de regressão linear múltipla, em que os coeficientes 
α, β1, β2 e β3 são estimados pelo método de mínimos quadrados. O termo ε representa os 
fatores aleatórios ou não controlados pelo modelo, tais como impulsos de voltagem, umidade, 
temperatura da máquina, etc. 
Devido aos fatores não controlados, o pesquisador irá prever o tempo de carga com um 
certo grau de confiança ou probabilidade. 
Dentro da teoria de probabilidade os termos “experimento”, “espaço amostral” e “evento”, 
são muito utilizados. Os conceitos desses termos são dados a seguir: 
 
2.2 Experimento aleatório com espaço amosral e evento 
 
Experimento É um processo de investigação científica de alguns procedimentos, feito para 
responder determinadas perguntas. 
 
 Um experimento é dito aleatório quando satisfaz as seguintes condições 
 
a) Pode ser repetido indefinidamente; 
b) O pesquisador é capaz de descrever todos os possíveis resultados do experimento, 
embora não se possa dizer com certeza qual ocorrerá; 
c) Obedece uma regularidade estatística, ou seja, quando o experimento for repetido um 
grande número de vezes, surgirá uma configuração definida (distribuição de frequência, 
agora chamada de distribuição de probabilidade). 
 
São experimentos aleatórios 
 
(1) tomar uma válvula eletrônica e verificar o tempo de vida; 
(2) medir o tempo de duração de uma lâmpada de LED; 
(3) medir a vazão do Lago na Barragem da Usina de Itaipu; 
(4) medição da resistência à ruptura de corpos de prova; 
(5) medição da dureza de corpos de prova de aço. 
 
 
 
4 
 
Espaço amostral Representado por , é o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório. Cada resultado de um experimento aleatório é denominado de ponto 
amostral. 
 
Exemplos: 
 
a) Lançar um dado e verificar a face de cima. O espaço amostral será: 
 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Os pontos amostrais serão: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
 
b) Testar o tempo de vida de uma válvula eletrônica até queimar. O espaço amostral será: 
 
}0/{  xRx
 
 
c) Resistência à ruptura de corpos de prova de concreto. . O espaço amostral será: 
 
}3600/{ kgfxRx 
 
 
 
d) O Espaço amostral também pode ser representado geometricamente. Suponha que uma 
empresa de eletricidade formou uma comissão da qual participavam 5 elementos da distribuição e 
4 da transmissão. Representando graficamente todas as possibilidades do número de ausentes 
teremos: 
 
 
5 
 
 
Figura 2.1 - Representação geométrica do espaço amostral. 
 
Percebe-se na figura 2.1 que o número de resultados do espaço amostral é 6 x 5 = 30 e que, as 
áreas sombreadas A, B e C, correspondem, respectivamente, aos eventos "um elemento 
ausente", "4 elementos ausentes" e "o número de ausentes da distribuição é maior que o da 
transmissão". Porém esses não são os únicos eventos possíveis desses espaço amostral. 
 
 
Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral . Deve-se considerar como eventos de 
qualquer espaço amostral, o evento impossível (aquele que nunca ocorre)  e o evento certo (o 
próprio espaço amostral ). 
 
Exemplo 
 
 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Os eventos desse espaço amostral ao lançar o dado uma vez, são: 
 
 = evento impossível; 
Eventos com um resultado possívelA = {1}, B = {2}, C = {3}, D = {4}, E = {5}, F = {6}. 
Eventos com dois resultados possíveis 
A = {1, 2}, B = {1, 3}, C ={1, 4}, D ={1, 5}, E ={1, 6}, 
F = {2, 3}, G = {2, 4}, H = {2, 5}, I = {2, 6}, 
J = {3, 4}, K ={3, 5}, L ={3, 6}, 
M = {4, 5}, N ={4, 6}, 
 
 
6 
 
O = {5, 5}, P ={5, 6}. 
Eventos com três resultados possíveis são 
A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4}, C ={1, 2, 5}, D ={1, 2, 6}, 
E ={2, 3, 4}, F ={2, 3, 5}, G ={2, 3, 6}, 
H ={3, 4, 5}, I ={3, 4, 6}, 
J = {4, 5, 6}. 
Eventos com quatro resultados possíveis são 
A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5}, C ={1, 2, 3, 6}, 
E ={2, 3, 4, 5}, F ={2, 3, 4, 6}, 
H ={3, 4, 5, 6} 
 
Evento com seis resultados possíveis. O próprio espaço amostral. 
 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
2.3 Teoria clássica de probabilidade 
 
Essa teoria baseia-se na existência de um espaço amostral  com n elementos unitários: 
 
 = {a1, a2, . . . , an} 
 
Este espaço amostral estaria associado ao objeto de estudo de um experimento, e seus 
elementos seriam igualmente prováveis de ocorrer, ou seja, 
 
P(a1) = P(a2) = . . . = P(an) = 
n
1
 
 
Em que P( . ) denota probabilidade. 
 
Exemplo: 
 
Suponha que um dado de jogo em perfeito estado é lançado e sua face é anotada. O 
espaço amostral é 
 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
 
assim, a probabilidade de que ocorra qualquer uma das faces será a mesma. 
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 
6
1
 
 
 
7 
 
 
Porém, esta teoria apresenta lacunas, uma vez que exige o conhecimento prévio da 
entidade física referente aos eventos de igual probabilidade. Além disso, muitas vezes os eventos 
de um espaço amostral não são igualmente prováveis. 
 
2.4 A Teoria Frequentista de Probabilidade 
 
A teoria frequentista de probabilidade possui uma motivação empírica para interpretar 
probabilidades (Wadsworth e Bryan, 1960). Na observação de certo fenômeno através de um 
experimento, a probabilidade de certo evento A é definida, formalmente, como a sua frequência 
relativa observada, à medida que o número de repetições tende para o infinito, ou seja, 
 
n
n
AP A
n 
 lim][
 
 
em que nA é o número de possibilidades favoráveis ao evento A, num total de n repetições de um 
experimento. Trata-se de uma definição operacional, no sentido que demanda a postulação de um 
experimento ou operação. 
Assim, as frequências relativas em populações infinitas são chamadas de probabilidades. 
 
Probabilidade Frequência relativa associada a uma variável descritora de uma população 
infinita. 
 
Portanto, pode-se denominar a distribuição de frequência relativa associada a uma variável 
descritora de uma população infinita como uma distribuição de probabilidade. 
 
Distribuição de probabilidade Distribuição de frequência relativa em uma população infinita 
aos valores da variável de interesse. 
 
Exemplo: 
 
Observa-se que durante 100 tentativas de partida sob condições similares, uma 
determinada turbina a gás parte com sucesso 98 vezes. Qual a probabilidade desta turbina partir 
com sucesso quando necessário? 
 
 
Solução: 
 
Denominemos A como o evento ”a turbina a gás parte com sucesso”. Logo, 
 
 
8 
 
 
%9898,0
100
98
)( ouAP 
 
 
2.5 Probabilidade subjetiva 
 
 
Atualmente, pode-se dizer que a inferência estatística (a qual será estudada em seções 
posteriores), apresenta duas escolas de pensamento, a frequentista e a bayesiana. A primeira 
está baseada no conceito frequentista de probabilidade. Já, a inferência Bayesiana está 
assentada, também, em um enfoque subjetivo de probabilidade. Por ela, a formulação de modelos 
e sua verificação são feitas através da combinação de evidências experimentais (objetivas) com a 
opinião do pesquisador (subjetiva). 
Portanto, define-se probabilidade subjetiva como uma medida do grau de confiança de uma 
pessoa em relação a uma proposição (O’ Hagan, 1994). Ela é função da quantidade de 
informação disponível pela pessoa, e possui a restrição de que deve obedecer (assim como as 
teorias clássica e frequentista) a critérios de consistência, ou seja, aos axiomas de probabilidade 
os quais serão vistos a seguir. 
 
 
2.6 Axiomas de probabilidade 
 
Axiomas são propriedades das quais não é exigida uma prévia demonstração, 
simplesmente são aceitas. 
Seja o espaço amostral  associado a um dado experimento . A cada evento A   
associa-se um número real, denominado de probabilidade de A, o qual deve satisfazer às 
seguintes propriedades: 
 
(1
0
) 0  P(A)
 
 1 
(2
0
) P() = 1 (ou seja, a probabilidade do evento certo é igual 1) 
(3º) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos (aqueles que não ocorrem simultaneamente), 
a probabilidade de ocorrência de A ou de B é igual à soma das probabilidades de cada um, ou 
seja, 
 
)()()( BPAPBAP 
 
 
A última propriedade pode ser utilizada para uma sequência finita ou infinita de eventos 
mutuamente exclusivos, pertencentes a , ou seja, 
 
 
 
9 
 







 n
i
i
n
i
i APAP
11
)(
 











11
)(
i
i
i
i APAP 
 
 
Exemplo de aplicação 
 
Suponha que um determinado instituto tem os seguintes números de alunos matriculados 
por curso: 110 de Matemática Pura, 30 de Matemática Aplicada, 30 de Estatística e 30 de 
Computação. 
 
a) Qual é a probabilidade de que, um aluno escolhido ao acaso seja do curso de Matemática 
Pura? 
b) Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso seja do curso de Matemática Pura 
ou do Curso de Estatística? 
c) Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso seja do curso de Matemática Pura, 
ou de Matemática Aplicada, ou de Estatística ou da Computação? 
 
Solução 
 
Sejam os eventos 
 
A: o aluno é do curso de Matemática Pura 
B: o aluno é do Curso de Matemática Aplicada 
C: o aluno é do curso de Estatística 
D: O aluno é do Curso de Computação 
 
a) 
%5555,0
200
110
ou
n
n
P(A) A
 
b) 
%7070,0
200
30
200
110
)()( ouCPAP 
n
n
n
n
C)P(A CA
 
c) 
)()()()( DPCPBPAPB  D)CP(A
 
%1001
200
30
200
30
200
30
200
110
ou
n
n
n
n
n
n
n
n DCBA
 
 
 
10 
 
 
2.7 Principais teoremas de probabilidade 
 
 (1
o
) A probabilidade de um evento impossível  é zero, ou seja, P() = 0. 
 
Demonstração 
 
Seja A um evento qualquer. 
A e  são mutuamente exclusivos, pois 
A
 = , então, 
pelo 3º axioma 
)A(P)A(P 
+ P() 
pela teoria de conjuntos
AA 
 
Assim, 
)A(P)A(P 
 
Portanto, 
0)(P 
 
 
 
Exemplo de aplicação 
 
 Numa prova valendo 10 pontos, qual é a probabilidade de ocorrer de fato alguma nota maior 
do que 10? 
 
P(X > 10) = P() = 0 
 
 (2
o
) Se A
c 
 é o evento complementar de A, então P(A
C
) = 1 – P(A) 
 
Demonstração 
Considere o seguinte diagrama: 
 
Pelo diagrama observa-se que A e A
c
 são mutuamente exclusivos 
Logo, 
)A(P)A(P)AA(P cc 
 
 
 
11 
 
Como
ΩAA C 
 
Tem-se 
)()()()( cc APAPAAPP 
 
pelo 2
o
 axioma 
1)(P 
, 
logo, 
)A(P)A(P1 c
 
Portanto, P(A
C
) = 1 – P(A) 
 
 
Exemplo de aplicação 
 
 Se a probabilidade de um equipamento de segurança falhar durante sua utilização é de 5%, 
então a probabilidade deste equipamento não falhar durante sua utilização será, 
 
P(F
c
) = 1 - P(F) = 1 - 0,05 = 0,95 ou 95% 
 
 
(3
o
) SeBA 
, então 
)B(P)A(P 
 
 
Demonstração 
 Considere o seguinte Diagrama: 
 
 
 
Pode-se escrever 
B)(AAB C 
 
Ora, A e 
B)(AC 
 são mutuamente exclusivos. 
Logo, 
B)P(AP(A)P(B) C 
 
Assim, 
P(A)P(B)B)P(AC 
 
Pelo 1
o
 axioma, 
0P(A)P(B) 
. Ocorre P(A) - P(B) = 0, quando A = B. 
Portanto, 
)B(P)A(P 
 
 
 
12 
 
Observação: ocorre 
)()( BPAP 
 quando A = B 
 
Exemplo de aplicação 
 
 Suponha que seja feito um sorteio de uma bolsa de estudos de um curso de inglês, entre os 
alunos da UNIOESTE de Foz do Iguaçu. Existem 1402 alunos matriculados no total. Ha 141 
alunos no curso de Matemática, dos quais, 35 são do quarto ano. Qual é a probabilidade de ser 
sorteado: 
a) Um aluno do curso de Matemática 
b) Um aluno do quarto ano do curso de matemática 
Solução 
 
Os eventos são: 
A: O aluno é do curso de Matemática, 
B: O aluno é do quarto ano de Matemática, 
 
a) 
%06,101006,0
1402
141
)( ou
n
n
AP A 
 
 
b) 
%50,20,0250
1402
35
)( ou
n
n
BP B 
 
Como 
AB 
, tem-se P(B) < P(A). 
 
 
(4
o
) Teorema do Produto: A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B é 
igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, ou seja, 
 
)A/B(P)A(P)BA(P 
 
 Considerando dois eventos, pode ser que a ocorrência de um deles modifique a 
probabilidade de ocorrência do outro. Assim, a probabilidade do evento B, sabendo que A ocorreu, 
ou probabilidade condicional de B em relação a A, pode ser representada por P(B/A). Dessa 
forma, para P(A)  0, define-se 
   
 AP
BAP
A/BP


 
No caso de 3 eventos A, B e C, a probabilidade do evento C, sabendo que A e B ocorreram, 
é dada por 
 
 
 
13 
 
   
 
.
BAP
CBAP
BA/CP



 
 
Exemplo de aplicação 
 
O dono de um supermercado resolveu realizar uma promoção, sorteando dois brindes aos 
clientes que gastassem pelo menos 50 reais. Verificou-se que 500 clientes atenderam a esse 
quesito. Desses, 200 foram do Bairro A, 175 do B e 125 do C. Suponha que o ganhador de um 
prêmio não pode concorrer aos restantes (amostragem sem reposição). 
 
a) Qual a probabilidade de que os dois ganhadores sejam do bairro A? 
b) Qual a probabilidade de que ocorra um do bairro A e um do bairro B? 
c) Qual a probabilidade do segundo ser do bairro B, sendo que o primeiro cliente sorteado é do 
bairro A? 
d) Se fossem sorteados três brindes, qual seria a probabilidade de ser sorteado um de cada 
bairro? 
e) No sorteio três brindes, qual é a probabilidade de o terceiro cliente ser do bairro C, sendo que o 
primeiro é do Bairro A e o segundo do Bairro B. 
 
Solução 
 
n = 500; nA = 200, nB = 175, nC = 125 
 
Sejam os eventos: 
A: O cliente é do Bairro A 
B: O cliente é do Bairro B 
C: O cliente é do Bairro C 
 
 a) Como a amostragem é sem reposição 
 
 
     A/AP.APAAP 
 =
1n
1n
n
n AA


 1595,0
499
199
.
500
200

 
 b) 
     A/BP.APBAP 
 =
1n
n
n
n BA


 
= 
1403,0
499
175
.
500
200

 
 
 
14 
 
 c) 
   
 
.
AP
BAP
A/BP


= 
n
n
1n
n
n
n
A
BA


 =
3507,0
500
200
499
175
500
200


 
 d) 
       BA/CPA/BPAPCBAP 
 
= 
2n
n
1n
n
n
n CBA




 = 
0352,0
498
125
499
175
500
200

 
 e) 
   
 BAP
CBAP
BA/CP



 
1n
n
n
n
2n
n
1n
n
n
n
BA
CBA







 = 
2510,0
499
175
500
200
498
125
499
175
500
200



 
 
Os eventos são ditos independentes quando a ocorrência de um deles independe da 
ocorrência do outro. Dessa forma, se A e B são independentes, então 
 
P(B/A) = P(B), assim como, P(A/B) = P(A), 
 
E no Teorema do Produto tem-se que 
 
     BP.APBAP 
 
 
No caso de três eventos independentes: A, B e C, obtém-se 
)C(P)B(P)A(P)CBA(P 
 
 
Para o exemplo anterior, suponha que o ganhador de um prêmio possa concorrer aos 
restantes, ou seja, seu nome é reposto na urna (amostragem com reposição). 
 
a) Qual a probabilidade de o primeiro cliente sorteado ser do Bairro A e o segundo do B 
 
 
15 
 
b) Se fossem sorteados três brindes, qual a probabilidade de o primeiro cliente sorteado ser do 
Bairro A, o segundo do B e o terceiro do C. 
 
 a) 
     BP.APBAP 
 = 
n
n
n
n BA 
 = 
14,0
500
175
.
500
200

 
 
 b) 
       CPBPAPCBAP 
 
 
= 
n
n
n
n
n
n CBA 
 = 
035,0
500
125
500
175
500
200

 
 
 
Exemplo de aplicação 
 
Os funcionários de uma empresa estão distribuídos de acordo com a tabela a seguir: 
 
 Sexo Total 
Departamento Masculino Feminino 
A 25 25 50 
B 15 10 25 
C 20 5 25 
Total 60 40 100 
 
 
No sorteio de um funcionário, qual é a probabilidade de que este seja: 
 
a) Do sexo masculino? 
b) Do sexo masculino e do departamento A 
c) Do sexo masculino, sabendo que é do departamento A 
 
Solução 
 
Sejam os eventos: 
A: o funcionário é do departamento A 
B: o funcionário é do departamento B 
C: o funcionário é do departamento C 
M: o funcionário é do sexo masculino 
F: o funcionário é do sexo feminino 
 
 
 
16 
 
 a) 
%6060,0
100
60
)( ou
n
n
MP M 
 
 
b) 
   MAPMPAMP /)..(
 =
%2525,0
60
25
100
60)(
ou
n
n
n
n
M
MeAM 
 
 
 c) 
 
 
 
./
AP
MAP
AMP


= 
n
n
n
n
A
MeA )(
 = %505,0
50
25
100
50
100
25
ou 
 
 
(5
o
) Teorema da soma ou das probabilidades totais: A probabilidade de ocorrer pelo menos 
um entre dois eventos A e B, não necessariamente mutuamente exclusivos, é igual à soma das 
probabilidades de A e de B, menos a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente, ou seja, 
 
)BA(P)B(P)A(P)BA(P 
 
 
 
Demonstração 
 
Considere o seguinte diagrama: 
 
 
 
Pelo diagrama nota-se que os eventos CBA e BA são mutuamente exclusivos, e que 
)BA()BA(A C 
, então 
P(A) = 
)BA(P)A(P)BA(P)BA(P)BA(P CC 
 ( I ) 
 
 
17 
 
Observa-se que os eventos CAB e BA , também são mutuamente exclusivos, e que 
)BA()AB(B C 
, assim, 
P(B) = 
)BA(P)B(P)AB(P)BA(P)AB(P CC 
 ( II ) 
Os eventos CBA , CAB e BA também são mutuamente exclusivos e 
)BA(P)BA()BA(BA CC 
, logo, 
)BA(P)BA(P)BA(P)BA(P CC 
 
Dessa forma, de I e de II tem-se 
)BA(P)BA(P)B(P)BA(P)A(P)BA(P  
Portanto, 
)BA(P)B(P)A(P)BA(P 
 
 
Exemplo de aplicação 
 
 No circuito abaixo, a probabilidade de que cada relé esteja fechado é de 0,8. Supondo que 
cada relé seja aberto ou fechado independentemente um do outro, calcular a probabilidade de a 
corrente passar de A para B. 
 
Sejam os eventos: 
R1: o relé 1 está fechado, 
R2: o relé 2 está fechado, 
R3: o relé 3 está fechado, 
R4: o relé 4 está fechado, onde 
 
P(R1) = P(R2) = P(R3) = P(R4) = 0,8 
 
 A corrente passa de A para B se estiverem fechados os relés 1 e 2 ou 3 e 4, portanto deve-
se calcular 
)]RR()RR[(P 4321 
, onde os eventos 
)RR(e)RR( 4321 
 podem ocorrer 
simultaneamente (se os quatro relés estiverem fechados), dessa formatem-se: 
 
 )]()[()(()()]()[( 432143214321 RRRRPRRPRRPRRRRP
 
)R(P)R()R(P)R(P)R(P)R(P)R(P)R(P 43214321 
 
%04,87ou8704,08,08,08,08,08,08,08,08,0 
 
 
 
18 
 
 
(5
O
) Teorema de Bayes: Se A1, A2,. . ., An são eventos dois a dois mutuamente exclusivos tais que 
n21 AAA 
. Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas de vários eventos, e B um 
evento qualquer de  tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/Ai).Então, 
para um dado evento Ai, tem-se 
 
)/()()/()()/()(
)/()(
)/(
2211 nn
ii
i
ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
BAP




 
ou 





n
i
ii
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP
1
)/()(
)/()(
)/(
 
 
Demonstração 
 
Considere o seguinte diagrama da partição de  em eventos Ai (i=1,2,3,4,5) e sua interseção com 
B. 
 
 
Dessa maneira, ( I ) 



n
1i
i BAPBP )()(
. 
Como 
)(
)(
)/(
i
i
i
AP
BAP
ABP


, então: 
)()/()( iii APABPBAP 
.Dessa forma, 
 
 

n
i
n
i
iii APABPBAP
1 1
)()/()(
 
 
Porém, de ( I ) sabe-se que



n
i
i BAPBP
1
)()(
, então 
( II ) 



n
i
ii APABPBP
1
)()/()(
. 
 
Mas, como (III) 
)/()()( iii ABPAPBAP 
 
 
 
19 
 
 
Pensando agora em uma probabilidade condicional P(Ai/B) qualquer 
 







n
i
ii
ii
i
ABPAP
ABPAiP
BP
BAP
BAP
1
)/()(
)/()(
)(
)(
)/( tem-se, por (II) e (III) que 





n
i
ii
i
i
ABPAP
ABPAiP
BAP
1
)/()(
)/()(
)/(
 
 
Exemplo de Aplicação 
 
 Uma indústria produz quatro tipos de válvulas eletrônicas: A, B, C e D. A probabilidade de 
uma válvula do tipo A ser defeituosa é 1%, do tipo B é 0,5%, do tipo C é 2% e do tipo D é 0,2%. 
Em um depósito existem 1000 válvulas do tipo A, 500 do tipo B, 300 do tipo C e 200 do tipo D. 
Uma válvula é retirada aleatoriamente do depósito e verifica-se que esta é defeituosa. Qual é a 
probabilidade de que a válvula retirada seja do tipo D? 
 
Sejam os eventos 
 
A: a válvula é do tipo A, 
B: a válvula é do tipo B, 
C: a válvula é do tipo C, 
D: a válvula é do tipo D, 
E: a válvula é defeituosa. 
 
 O evento válvula defeituosa (E) ocorreu, portanto, a probabilidade de que seja do tipo D 
(sendo A, B, C e D mutuamente exclusivos) será dada por 
 
)/()()/()()/()()/()(
)/()(
)/(
DEPDPCEPCPBEPBPAEPAP
DEPDP
EDP



 
 
onde 
50,0
2000
1000
)( AP
;
25,0
2000
500
)( BP
;
15,0
2000
300
)( CP
;
10,0
2000
200
)( DP
 
 
P(E/A) = 1% = 0,01; P(E/B) = 0,5% = 0,005; 
P(E/C) = 2% = 0,02; P(E/D)= 0,2% = 0,002; 
 
Portanto, 
 
 
20 
 
 
%1,2021,0
002,010,0020,015,0005,025,0010,050,0
002,010,0
)/( ouEDP 



 
 
2.8 Sequência de exercícios nº 1 
 
01 No lançamento de um dado equilibrado considere os eventos A: ocorrência de face ímpar 
B: ocorrência de face menor do que 3 e C = face máxima observada igual a 5. 
a) Represente o espaço amostral 
b) Calcule P(A); P(B); P(C).R: 0,50; 0,3333; 0,8333 
02. Uma moeda perfeita será lançada 3 vezes. Sejam os eventos: E1: observar pelo menos duas 
coroas; E2: observar no máximo uma coroa; E3: observar as 3 faces iguais; E4: observar 3 coroas; 
E5: O primeiro lançamento resulta em coroa; E6: o segundo lançamento resulta em coroa E7: o 
terceiro lançamento resulta em coroa. 
 
a) Escreva o espaço amostral no caso de três lançamentos 
b) Calcule P(E1), P(E2), P(E3), P(E4), P(E5), P(E6) e P(E7) R: 0,50; 0,50; 0,25; 0,125; 0,50; 0,50; 
0,50 
 
03 Uma urna contém 20 bolas das quais 9 brancas, 5 azuis e 6 vermelhas. Duas bolas serão 
retiradas sucessivamente da urna, sem reposição. Calcular as seguinte probabilidades 
a) de a segunda bola extraída ser vermelha, dado que a primeira é vermelha. R: 0,2632 
b) de serem extraídas bolas de cores diferentes: R: 0,3395 
c) de serem extraídas bolas de mesma cor? R: 0,0475 
 
04. Sabe-se que na fabricação de um certo artigo, defeitos de um tipo ocorrem probabilidade 0,1 e 
defeitos de outro tipo com probabilidade 0,05. Qual será a probabilidade de que: 
a) um artigo não tenha ambos os tipos de defeitos: R: 0,995 
b) Um artigo seja defeituoso? R: 0,145 
 
05 Suponha que A e B associados a um experimento sejam eventos independentes. Se a 
probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6 enquanto a probabilidade de ocorrência de A for 
igual a 0,4 determine a probabilidade de ocorrência de B. R: 0,3333 
 
06. Um lote é composto de 1000 peças, sendo 95% perfeitas e 5% defeituosas. Duas peças são 
extraídas aleatoriamente desse lote, sem reposição, qual a probabilidade de que: 
a) ambas sejam perfeitas R: 0,90245 
b) ambas sejam defeituosas R: 0,00245 
c) uma seja defeituosa e a outra seja perfeita? 0,09510 
 
 
 
21 
 
07. No teorema da soma ou das probabilidades totais foi demonstrado que a probabilidade de 
ocorrer pelo menos um entre dois eventos A e B, não necessariamente mutuamente exclusivos, é 
igual à soma das probabilidades de A e de B, menos a probabilidade de A e B ocorrerem 
simultaneamente, ou seja, 
 
)BA(P)B(P)A(P)BA(P 
 
 
Demonstre que a probabilidade de ocorrer pelo menos um entre três eventos A, B e C, não 
necessariamente mutuamente exclusivos, é dada por: 
 
)CBA(P)CB(P)CA(P)BA(P)C(P)B(P)A(P)CBA(P 
 
 
08 Nos circuitos abaixo, supondo que cada relé funcione independentemente um do outro, sendo 
95% a probabilidade de que um relé qualquer esteja fechado, calcular a probabilidade de que 
corrente a corrente passe de A para B. 
 
R: 0,999875 
R: 0,999756 
 
09 Numa fábrica existem 100 máquinas. Algumas dessas são novas (N) e outras velhas (V), 
algumas são da firma A e outras são da firma B conforme a tabela abaixo 
 
Estado Firma Total 
 A B 
Nova (N) 35 30 65 
Velha (V) 25 10 35 
Total 60 40 100 
 
 
 
22 
 
Um operário qualquer entra na fábrica e pega uma máquina. 
 
a) Qual é a probabilidade dela ser velha? Resposta: 0,35 ou 35% 
b) Qual é a probabilidade dela ser velha sendo que á da firma B? Resposta: 0,25 ou 25% 
 
 
10. Certa indústria, possui cinco máquinas: A, B, C, D e E, as quais produzem os mesmos tipos de 
peças, que serão utilizadas na montagem de equipamentos elétricos. Sabe-se que a produção 
diária da máquina A é o dobro da produção diária da máquina D, que as produções das máquinas 
B e C são iguais e que a máquina E produz 20 peças a mais que a máquina A. De acordo com o 
setor de controle de qualidade dessa indústria, são defeituosas, respectivamente, 1%, 2%, 5%, 1% 
e 3% das peças produzidas pelas máquinas A, B, C, D e E. Uma peça foi tomada aleatoriamente e 
verificou-se que ela é defeituosa. Utilizando o teorema de Bayes, calcular a probabilidade de que 
essa peça tenha sido fabricada pela máquina E, sabendo que as máquinas A e B produzem, 
respectivamente, 200 e 150 peças. R: 0,3284 
 
2.9 Variável aleatória 
 
As variáveis descritoras de uma população infinita podem ser qualitativas ou quantitativas, 
como visto na parte de Estatística Descritiva. Quando são associados valores de probabilidade às 
variáveis descritoras, como é no caso de populações infinitas, elas também são chamadas de 
variáveis aleatórias. 
 
Variável Aleatória De modo informal é a variável descritora de populações infinitas, a cujos 
valores são associadas probabilidades de ocorrência. 
 
Por convenção, as variáveis aleatórias são sempre quantitativas,mesmo se referindo a 
qualidades. No exemplo da produção de peças defeituosas, às categorias “perfeita” e “defeituosa” 
podem ser associados os valores 0 e 1, respectivamente. Dessa forma, as vaiáveis aleatórias 
podem ser discretas ou contínuas. 
As variáveis aleatórias são denotadas por letras maiúsculas, e suas realizações por letras 
minúsculas. Assim, a probabilidade de que uma variável aleatória X assuma determinado valor x, 
é denotada por P[X = x] ou P(x). 
 
 
2.9.1 – Definição Formal de Variável Aleatória 
 
 Seja “” um experimento aleatório e  o espaço amostral associado ao experimento. Uma 
função X que associa números reais a cada evento “e” do espaço amostral  é denominada 
 
 
23 
 
variável aleatória. Assim, formalmente, uma variável aleatória X é uma função com domínio  e 
contradomínio a reta dos reais: 
 
R:)(X ω
 
 
 
Geometricamente, tem-se: 
 
 
Figura 2.2 Representação geométrica de uma variável aleatória 
 
em que: 
e: é um evento qualquer de ; 
 é o espaço amostral 
X: é uma função (aqui denominada inadequadamente de variável aleatória); 
X(e): é um número real associado ao evento “e” de ; 
Rx: é o contradomínio ou conjunto dos possíveis valores de X. 
 
 Meyer (1983) aponta a fraqueza dessa terminologia, uma vez que se chama “variável” a 
uma função. Além disso, o termo aleatório também não é apropriado, uma vez que o acaso não 
está evidente na sua definição. Entretanto, devido o seu uso generalizado, também será adotada 
aqui. 
 
Exemplo 
 
Imagine que duas peças estão para ser coletados de um lote. Sejam os eventos, D: peça 
defeituosa e P: peça perfeita. Logo o espaço amostral será: 
 
 = {PP; DP; PD, DD} 
Seja variável aleatória X que expressa o número de peças defeituosas. Então, o contradomínio 
será: 
 
RX = {0, 1, 2} 
Geometricamente ter-se-á: 
 
 
24 
 
 
Figura 2.3 Representação geométrica da variável aleatória qualidade da peça 
 
2.9.2 Variável Aleatória Discreta 
 
Diz-se que uma variável aleatória X é discreta, se o número de possíveis valores de X (ou 
seja, Rx seu contradomínio) for finito ou infinito enumerável. 
No exemplo de peça defeituosa ou perfeita, às categorias “defeituosa” e “perfeita” puderam 
ser associados os valores 0 e 1, respectivamente. Por convenção as variáveis aleatórias são 
sempre quantitativas, mesmo se referindo a qualidades. Portanto, as vaiáveis aleatórias antes 
chamadas de qualitativas e as quantitativas discretas, na teoria de probabilidades, passam a ser 
chamadas de variáveis aleatórias discretas. 
 
Exemplos 
 
1) Seja X a variável que representa o número de peças defeituosas em cada 5 inspecionadas. O 
contradomínio será finito, ou seja 
 
Rx = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 
2) Seja X a variável que representa o número de vezes que um transistor muda de estado na 
memória deum computador. O contradomínio será infinito e enumerável, ou seja, 
 
Rx = {0, 1, 2, . . .} 
 
3) Seja X a variável que representa o número de moléculas em uma amostra de gás. O 
contradomínio será infinito e enumerável, ou seja, 
 
Rx = {1, 2, . . .} 
 
4) Seja X a variável que representa o número de usuários de uma rede de computadores em certo 
período do dia. O contradomínio será infinito e enumerável, ou seja, 
 
Rx = {0, 1, 2, . . .} 
 
 
25 
 
 
2.9.3 Variável Aleatória Contínua 
 
Uma variável aleatória X é dita contínua, se corresponder a dados de medida, isto é, se o 
número de valores possíveis desta não puder ser enumerado. Assim, os elementos do 
contradomínio de X são representados em forma de intervalo. Dessa forma, na teoria de 
probabilidades, todas as variáveis quantitativas contínuas são chamadas apenas de variáveis 
aleatórias contínuas. 
 
Exemplos 
 
a) resistência à ruptura de corpos de prova. 
 
}500X0/Rx{Rx 
 
 
b)Tempo de duração em horas de um dispositivo eletrônico 
 
}0x/Rx{Rx 
 
 
Outros exemplos de variáveis aleatórias contínuas podem ser citados, tais como: resistência à 
tração de cabos, diâmetro de tubos, etc. 
 
2.9.4 Função de Probabilidade 
 
Seja X uma variável aleatória discreta. A cada possível resultado xi está associado um 
número P(xi) = P(X = xi), denominado probabilidade de xi. A função p é denominada de função de 
probabilidade da variável aleatória X e segue às seguintes propriedades. 
 
i) P(X = xi)  0, para todo i; 
ii 




1i
1 xi) P(X
. 
 
O conjunto dos pares [xi, P(xi)] é denominado de distribuição de probabilidade. 
Exemplo 
 
Retornando ao exemplo do número de peças defeituosas em duas inspecionadas. O espaço 
amostral foi 
 
 
 
26 
 
 = {DD; DP; PD, PP} 
 
e o contradomínio. 
RX = {0, 1, 2} 
 
A probabilidade de ocorrer nenhuma peça defeituosa será 
25,0
4
1
)0X(P)0(P 
 
 
A probabilidade de ocorrer uma peça defeituosa será 
50,0
4
2
)1X(P)1(P 
 
A probabilidade de ocorrerem duas peças defeituosas será 
25,0
4
1
)2X(P)2(P 
 
 
Confirmando a propriedade “ii” 
 



3
1i
i 125,050,025,0)2X(P)1X(P)0X(P)x(P
 
 
Graficamente tem-se: 
 
Figura 2.4 – Representação geométrica da função de 
probabilidade 
 
 
 
2.9.5 Função Densidade de Probabilidade 
 
Seja X uma variável aleatória contínua. Define-se função densidade de probabilidade como 
sendo a função f que satisfaz às seguintes propriedades: 
 
 
27 
 
 
i) f(x)  0, para qualquer valor de x. 
ii) 



 1dx)x(f
 
 
 A propriedade (ii) indica que a área total limitada pela curva que representa a função f(x) e 
o eixo das abscissas é igual a 1 
 Seja o intervalo [a,b]  RX. Então a probabilidade da variável aleatória contínua X assumir 
algum valor dentro desse intervalo será dado por: 
 

b
a
dx)x(f]bXa[P
,para qualquer a e b. 
 
que pode representar, por exemplo, a área escura sob a curva no gráfico a seguir: 
 
 
Figura 2.4 - Representação geométrica de uma função densidade de probabilidade. 
 
Verifica-se na figura 2.4 que, para variáveis aleatórias contínuas, as probabilidades são 
interpretadas como áreas. Portanto, para qualquer valor x0  RX, tem-se 
 
0dx)x(f]xX[P
0
x
0
x
0  
 
 
Devido à probabilidade de uma variável aleatória contínua ser nula num ponto, tem-se que 
 
)bXa(P)bXa(P)bXa(P)bXa(P 
 
Exemplo 
 
 
28 
 
 
 (1) Seja uma variável aleatória contínua, cuja fdp é dada por: 
 
f(x) = x/16, 2 < x < 6 
 = 0, para quaisquer outros valores. 
 
Calcular: 
a) 
);4X3(P 
 
b) P(X > 5); 
c) 
);6X2(P 
 
d) Representar graficamente a fdp. 
 
 
Solução 
 
a) 
219,0
32
7
2
7
.
16
1
2
9
8
16
1
2
x
16
1
dx
16
x
)4X3(P
4
3
24
3















 
 
 
b) 
344,0
32
11
2
11
.
16
1
2
25
18
16
1
2
x
16
1
dx
16
x
)5X(P
6
5
6
5
2















 
 
 
c) 
  1218
16
1
2
x
16
1
dx
16
x
)6X2(P
6
2
26
6









 
 
 
d) para x = 2  f(2) = 2/16 = 1/8 
para x = 6  f(6) = 6/16 = 3/8 
 
 
 
 
 
29 
 
Portanto, observa-se através deste exemplo que, no caso de variáveis aleatórias 
contínuas unidimensionais, o cálculo de probabilidades refere-se ao cálculo de áreas.(2) Seja X uma variável aleatória contínua, cuja fdp é dada por: 
 
f(x) = k, 
)tetanconsk(5X2 
 
= 0, para quais quer outros valores 
 
a) Determinar o valor de k 
b) Representar graficamente a fdp 
 
a) Sabe-se que 



 1dx)x(f
é a uma das condições para que f(x) seja uma fdp, a outra é f(x)  0. 
Logo, 
 
3
1
k1]25[k1xk1kdx
5
2
5
2

 
 
Essa fdp é denominada de uniformemente distribuída 
 
b) Gráfico 
 
 
2.9.6 Função de Distribuição Acumulada 
 
Independente de uma variável aleatória ser discreta, ou contínua, uma importante função 
associada a esta é a função de distribuição acumulada, função de distribuição de probabilidade, 
ou simplesmente, função distribuição, a qual segue as seguintes propriedades: 
 
i) Se x1 < x2, então F(x1)  F(x2), ou seja F(x) é uma função não decrescente 
 
 
30 
 
 
ii) 
0)x(Flim
x


 
 
iii) 
1)x(Flim
x


 
 
iv) 
)x(F)x(F]xXx[P 1221 
 
 
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória discreta é dada por: 
 



k
1i
ikk ]x[P]xP[X]F[x
 
 
No caso de uma variável aleatória contínua, a função de distribuição acumulada é expressa 
por: 



x
dz)z(f)xX(P)x(F
 
Exemplos: 
 
( 1 ) Seja a variável aleatória X que representa o número de transformadores defeituosos, em cada 
lote de 100 unidades, tomados da linha de produção, segundo o quadro abaixo: 
 
i 1 2 3 4 5 6 
X 0 1 2 3 4 5 
Proporção 0,32 0,28 0,20 0,12 0,06 0,02 
 
Essas proporções podem ser consideradas como probabilidades no sentido que, se um 
lote for tomado ao acaso da linha de produção, existe uma probabilidade, por exemplo, de 28% de 
que ela contenha apenas 1 transformador defeituoso. A probabilidade de que ele contenha 3 
transformadores defeituosos, ou menos, é dada por: 
 


  ]xX[P]xX[P]xX[P]xX[P
1i
]xX[P]xX[P]x[F 4321
4
i44
 
 F[3] = P[X  3] = P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] + P[X = 3] 
= 0,32 + 0,28 + 0,20 + 0,12 = 0,92 ou 92% 
 
Resumidamente tem-se os seguintes resultados de F(X): 
 
 
31 
 
X 0 1 2 3 4 5 
F(X) 0,32 0,60 0,80 0,92 0,98 1,00 
 
Graficamente tem-se: 
 
Figura 2.4– Representação gráfica da F(X) 
 
 
Exemplo: 
 
( 2 ) Seja a variável aleatória contínua X, referente ao tempo de vida útil (em horas) de aspersores 
de uma determinada marca, cuja função densidade é dada por: 








0x0
0xe020
xf
x020
,
,,
)(
, 
 
 
Assim, por exemplo, a probabilidade de que um aspersor dessa marca, tomado ao acaso, 
dure pelo menos 100 horas, é dada por: 
 



x
dz)z(f)xX(P)x(F
 
dzedzXPF Z



100
0
02,0
0
02,00)100()100(
 


100
0
02,002,00 dze z
 
 
Propriedade b
a
kx
b
a
kx
k
e
dxe 
 
 
2100.02,0
100
0
z02,0
e11e
02,0
e
02,0 












 = 0,8647 ou 86,47% 
 
 
32 
 
 
Resumidamente têm-se os seguintes resultados de F(X): 
 
X 1 10 20 30 40 50 
F(X) 0,0198 0,1813 0,3297 0,4512 0,5507 0,6321 
X 100 150 200 300 400 
F(X) 0,8647 0,9502 0,9816 0,9975 0,9996 
 
 
Assim, o gráfico de F(X) fica: 
 
 
 
2.9.7 Esperança Matemática e Variância de Uma Variável Aleatória 
 
O conhecimento das funções de probabilidade, de densidade de probabilidade e de 
distribuição acumulada de uma variável aleatória é importante, mas pode não ser suficiente para 
descrever satisfatoriamente o comportamento da mesma. Particularmente, surgem algumas 
questões com frequência. Por exemplo, em geral deseja-se saber o valor médio que a variável 
assume. Em outras palavras, se infinitas realizações da variável fossem observadas, qual seria a 
média.? Devido a isto, é importante a utilização da esperança matemática, expectância, valor 
esperado, ou média de uma variável aleatória. Para uma variável aleatória discreta a esperança 
matemática é dada por: 
 




1i
i E(X) ]xX[px i
 
 
 No exemplo do número de transformadores defeituosos, se infinitos lotes de 100 unidades 
forem tomados da linha de produção observados, o número médio transformadores defeituosos 
por lote será: 
 
 
 
33 
 
 1,38 0,025 0,064 0,12 3 0,202 0,28 1 0,320 E(X) 
Transformadores defeituosos 
 
 
A esperança matemática de uma variável contínua tem a seguinte expressão: 
 




-
E(X) dx)x(fx
 
 
No exemplo do tempo de vida de aspersores de uma marca, se forem observados infinitos deles, o 
tempo médio de vida corresponderá a: 
 




 
0
0,02x
0
0,02x dxex0,02dx0,02eE(X) x
 
 
como a função é f(x) = xe-0,002x é da família exponencial pode-se aplicar a seguinte propriedade 
de integrais. 
 
 
Assim, para 
 



0
0,02x dxex0,02E(X)
, m = 1, a = 0,02 e n = 1 
logo, 
50
020
1
020
2
020XE
2

,
!
,
,)(
horas 
 
2.9.7.1 Propriedades da Esperança Matemática 
 
i) E(k) = k 
 
Demonstração: 



n
1i
i
n
1i
i k1k)x(Pk)x(Pk)k(E
 
 
ii) E(k.X) = k. E(X), onde k é uma constante 
 
 
34 
 
 
Demonstração: 
 



n
1i
ii
n
1i
ii )X(Ek)x(Pxk)x(Pxk)Xk(E
 
 
 
iii) E(X  Y) = E(X) 

E(Y) (será demonstrada em variáveis aleatórias bidimensionais) 
 
Demonstração: 
 
 
   
)y,x(py)y,x(px)y,x(p)yx()YX(E ji
m
1i
n
1j
jji
m
1i
n
1j
iji
m
1i
n
1j
ii
 
 
)Y(E)X(E)y(Py)x(px)y,x(py)y,x(px
n
1j
jj
m
1i
ii
n
1j
m
1i
jij
m
1i
n
1j
jii    
  
 
 
iv) E(X  k) = E(X)  k 
 
Demonstração: 
 
k)X(E)k(E)X(E)k E(X 
 
 
 
v) E(XY) = E(X).E(Y) se X e Y são independentes. (será demonstrada em variáveis 
aleatórias bidimensionais) 
 
 
Demonstração: 
 
 
  
)y(p),x(pyx)y,x(pyx)YX(E jii
m
1i
n
1j
ijii
m
1i
n
1j
i
 
 
)Y(E)X(E)y(py)x(px
n
1j
jj
m
1i
ii  

 
 
 
 
35 
 
As observações de uma determinada variável aleatória podem se concentrar em torno do 
valor médio, ou estar mais dispersas. A resposta a essa questão pode ser dada pela variância de 
uma variável aleatória, a qual é dada por: 
 
V(X) = E(X
2
) – E(X) 
 
 Sendo X uma variável aleatória discreta tem-se que: 
 




1i
2
i
2 x )E(X ]XX[p i
 
 
 
No exemplo dos transformadores defeituosos em cada lote de 100. 
3,62 0,02
2
5 0,06
2
4 0,12 
2
3 0,20
2
2 0,28 
2
1 0,32
2
0 )
2
E(X 
 
 (transformadores defeituosos)
2
 
 
e a variância será de: 
 
V(X) = E(X
2
) – [E(X)]
2
 = 3,62 – (1,38)
2
 = 1,72 (transformadores defeituosos)
2
 
 
Extraindo a raiz quadrada desse valor, obtém-se o chamado desvio padrão, de significado mais 
imediato, uma vez que está associado, a grosso modo, ao quanto, em média, os valores se 
distanciam da esperança matemática ou média. 
 
DP(X) = 
1,311,7156 
 transformadores defeituosos 
 
A seguir será calculada a variância para o exemplo do tempo de vida de aspersores de uma 
marca. 
 
V(X) = E[X – E(X)]
2
 = E(X2
) – [E(X)]
2
 
 
Para variável aleatória contínua, basta tomar: 
 
dxXfxXE 22 )()( 



 
Assim, 
 
 


0
0,02x22 dx0,02exXE )( 


0
0,02x2 dxex0,02
 
 
 
36 
 
 
como a função f(x) = x
2
 e
-0,002x
 é da família exponencial pode-se aplicar a seguinte propriedade de 
integrais. 
 
 
 
Assim, para 
 



0
0,02x22 dxex0,02)E(X
, m = 2, a = 0,02 e n = 1 
logo, 
5000
020
2
020
3
020XE
23

,
!
,
,)(
horas 
 
Assim, a variância fica 
 
V(X) = E(X
2
) – [E(X)]
2
 = 5000 - [50]
2
 = 2500 horas ao quadrado 
 
e o desvio padrão fica 
 
DP(X) = 
502500
horas 
 
 A variância também apresenta certas propriedades: 
 
i) V(k) = 0, sendo k um constante 
ii) V(kX) = k
2
V(X) 
iv) V(X  k) = V(X) 
iv) V(X  Y) = V(X) + V(Y) COV(X, Y) 
 
Sendo COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) é denomina de covariância entre as variáveis 
aleatórias X e Y. Se X e Y são variáveis aleatórias independentes uma da outra, então E(XY) = 
E(X)E(Y). Portanto a COV(X,Y) = 0. Embora COV(X,Y) = 0 sempre que X e Y são independentes, 
a recíproca não é verdadeira, isso é, mesmo que ocorra COV(X,Y) = 0, nem pode-se dizer que X e 
Y são independentes. 
 
 
 
 
37 
 
2.9.8 Sequência de exercícios nº 2 
 
01. O tempo de vida em horas de um tipo de componente eletrônico produzido por certa indústria, 
tem fdp dada por: 
 








1000,0
1000,
1000
)( 2
x
xse
xxf
 
 
Determinar: a) a função de distribuição acumulada; R: para X <1000 e 1 – 100/x para x  1000 
b) a probabilidade de que o tempo de vida de um componente eletrônico tomado ao 
acaso esteja entre 1700 e 1800 horas. R: 0,0327 
c) O tempo médio (esperança) de vida. Não é definido 
 
02. Em uma indústria, verificou-se que o número de vezes (X) por semana, que um técnico é 
solicitado para regular certos equipamentos, tem distribuição de probabilidade dada por: 
 
xi 0 1 2 3 4 
P(xi) 0,75 0,15 0,05 0,03 0,02 
 
a) Representar graficamente as funções de probabilidade e de distribuição acumulada. 
b) Qual a probabilidade do técnico ser solicitado menos de 2 vezes em uma semana?R: 0,90 
c) Qual a probabilidade do técnico ser solicitado 3 ou mais vezes em uma semana?R: 0,05 
d) Calcular o valor esperado de X.R: 0,42 
e) Calcular a variância de X.R: 0,7636 
 
03. Considere o comprimento X dos parafusos produzidos por certa companhia como uma variável 
aleatória contínua, tendo fdp 
 


 

valoresoutrosquaisquerpara
xxcx
xf
,0
10),1(
)(
 
 
a) Determine a constante c.R: 6 
b) Represente graficamente a fdp. 
c) Determine a função de distribuição acumulada de X. 
R: F(x) = 0 para x < 0, 3x
2
 – 2x
3
 para 0 x 1 e 1 para x > 1 
d) Calcular E(X) e V(X) R: 0,5 e 0,05 
 
04. A espessura (em mm) das chapas produzidas por certa siderúrgica, 
 
 
38 
 
tem fdp dada por 
 














.50
,543/)5(
,423/1
,213/)1(
,10
)(
xse
xsex
xse
xsex
xse
xf
 
 
a) Representar graficamente a fdp. 
b) Determinar a função de distribuição acumulada e representa-la graficamente. 
R: F(x) = 0 para x < 1, (1/6).(x
2
 – 2x + 1) para 1 x 2, (1/6).(2x-3) para 2 < x < 4, 
(1/6).(-x
2
 + 10x – 19) para 4 x  5 e 1 para X > 5 
c) Calcular a probabilidade de uma chapa qualquer ter espessura superior a 2,5 mm. R: 2/3 
d) Calcular a espessura média (esperança). 
 
 
2.10 Distribuições discretas de probabilidade 
 
É comum o uso de variáveis de contagem, como já comentado. Nessa situação, o uso de 
modelos (distribuições) discretos é indicado para descrever o fenômeno. Nesta seção serão 
abordadas algumas distribuições de probabilidade relativas a variáveis aleatórias discretas. 
 
2.10.1 Distribuição de bernoulli 
 
Quando uma variável é classificada com base em apenas dois resultados possíveis, tais 
como planta atacada ou não atacada por inseto, peça perfeita ou defeituosa, sexo feminino ou 
masculino, aluno aprovado ou reprovado, etc., define-se a chamada distribuição de Bernoulli. Em 
tais situações, pode-se definir uma variável aleatória que assume valores iguais a 0 ou 1, 
associados a dois resultados possíveis. O evento a partir do qual a variável assume o valor 1 é por 
vezes denominado de evento de sucesso, ou simplesmente sucesso, e a probabilidade p desse 
evento ocorrer pode ser chamada de probabilidade de sucesso. Assim, uma variável aleatória X 
apresenta distribuição de Bernoulli se tem a seguinte função de probabilidade: 
 








casosoutrosem0
0xsep,1
1xsep,
x)P(Xp)f(x;
 
 
É usual denotar (1-p) pela letra q. Outra maneira de representar esta função é: 
 
 
 
39 
 
(x)I(x)I 1}{0,1}{0,
x1xx1x qp)p1(px)P(X p)f(x,  
 
 
em que I é a função indicadora do intervalo de valores que a v.a. X pode assumir. 
 
Exemplo: 
 
Numa fábrica, a probabilidade de que uma peça seja perfeita é 0,95. Qual a probabilidade 
de que um peça escolhida aleatoriamente da linha de produção seja defeituosa? 
 
Solução: 
 
O evento de sucesso é “ peça é defeituosa” , então, para este atribui-se o valor X = 1. A 
probabilidade de insucesso (peça perfeita) é 1 – p = 0,95, logo, a probabilidade de sucesso (peça 
defeituosa) será p = 0,5. Assim, a probabilidade de que uma peça escolhida ao acaso seja 
defeituosa será: 
 
0,050,950,05p)(1p1)P(X p)f(x, 0x1x  
 
 
 Percebe-se, portanto, que o evento de sucesso não precisa ser, necessariamente, aquele 
que o observador gostaria que ocorresse na prática (no exemplo, peça perfeita), mas sim, aquele 
sobre o qual deseja-se calcular a probabilidade de ocorrência (no exemplo, peça defeituosa). 
É fácil observar que a esperança e a variância de uma variável aleatória X com distribuição 
de Bernoulli, são dadas por: 
 
E(X) = p V(X) = pq 
 
Demonstração 
 
pE(X)p1)1p(0]xX[px E(X)
1
0x
 

 
p)E(Xp1)1p(0]xX[px]xX[px )E(X 222
2
1i
i
2
i
1i
i
2
i
2  



 
V(X) = E(X
2
) – [E(X)]
2
= p – p
2
 = p(1 – p)  V(X) = pq 
 
A esperança de X, p, não deve ser interpretada como uma probabilidade, mas sim, um valor 
numérico médio, fracionário (frequência relativa média), que a variável assume. Ou seja, se 
infinitas realizações são observadas, o número médio de X corresponderá a p. 
 
 
 
40 
 
 
 
Exemplo: 
 
Para o exemplo anterior, o valor médio da proporção de peças defeituosas, se infinitas 
peças forem inspecionadas, será 
 
E(X) = p = 0,05 
E a variância 
 
V(X) = pq = 0,05 . 0,95 = 0,0475 
 
2.10.2 Sequência de exercícios nº 3 
 
01. No lançamento de um dado, a variável X representa o número de faces iguais a 4 obtidas. 
Determine a média e o desvio padrão. Resposta. E(X) = 1/6 e DP(X) = 0,37 
 
02. Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 vermelhas. Uma bola é retirada da urna e a varável X 
representa o número de bolas brancas obtidas. Calcule a média e o desvio padrão de X. 
Resposta. E(X) = 0,375) e DP(X) = 0,484 
 
03. Um caixa contém 12 canetas das quais 5 são defeituosas. Uma caneta é selecionada ao 
acaso e a variável X representa o número de canetas defeituosas obtidas. Calcule a média e o 
desvio padrão de X. Resposta. E(X) = 0,4167 e DP(X) = 0,4930 
 
04. Um lote contém 50peças boas e 5 defeituosas. Uma peça é selecionada deste lote e a variável 
X representa o número de peçasdefeituosas obtidas. Calcule a média e o desvio padrão de X. 
Resposta. E(X) = 0,0909 e DP(X) = 0,2875 
 
 
2.10.3 Distribuição binomial 
 
 
Se um fenômeno é observado (ou um experimento é realizado), em que 2 resultados são 
possíveis, esta observação corresponde a um ensaio de Bernoulli. Diferentes ensaios de Bernoulli 
envolvem, cada um, uma variável aleatória Xi. Por exemplo, seja a probabilidade p de que um 
aluno seja reprovado em Matemática. Neste caso, a observação de um aluno corresponde a um 
ensaio de Bernoulli. 
Se a cada ensaio corresponde uma distribuição com mesmo parâmetro p, a observação 
conjunta de vários desses ensaios corresponde a uma distribuição binomial, discutida a seguir: 
 
 
41 
 
Suponha, agora, que n alunos são observados com relação a ter sido reprovado em Matemática, 
e sendo que a probabilidade de um aluno qualquer ter sido reprovado é igual a p, então pode-se 
definir uma variável aleatória associada ao número de alunos reprovados (X = 1, 2, 3, . . ., n). Tal 
variável aleatória apresenta distribuição de probabilidade, com parâmetros n e p, a qual é obtida 
pela expansão do binômio de Newton (p + q)
n
, o qual justifica a denominação da distribuição 
binomial, cuja função de probabilidade é dada por 
 
)()1()(),,( },...,1,0{ xIqpCppCxXPpxnf n
xnxx
n
xnxx
n
 
. 
 
Na realidade, como a cada aluno está associada uma distribuição de Bernoulli, então a soma das 
realizações dessas variáveis corresponde exatamente ao número de sucessos. Por isso, a 
distribuição binomial também é definida como a soma de n variáveis independentes com 
distribuição de Bernoulli. 
 
 
 Demonstra-se, para a distribuição binomial, que a esperança (média) e a variância são 
dadas, respectivamente, por: 
 
E(X) = np V(X) = np(1-p) = npq 
Demonstração 
 
À distribuição binomial é definida como a soma de n variáveis independentes com distribuição de 
Bernoulli, ou seja, se Xi, i = 1, . . .,n são variáveis aleatórias cada qual com distribuição de 
Bernoulli, então a variável X = 


n
1i
iX
tem distribuição Binomial, assim, 
 
)X(E 









 n
1i
i
n
1i
i np)X(EXE
 
 
)X(E 2  









 n
1i
2
i
n
1i
2
i
npXEXE
 
 
  npq)p1(np)pp()]X(E[)X(E)x(VXV)X(V
n
1i
2
n
1i
2
i
2
i
n
1i
i
n
1i
i 







 

 
 
 
 
 
 
42 
 
Exemplos 
 
( 1 ) Suponha que 5 geradores idênticos de uma usina hidrelétrica, com 100 MVA cada, tem uma 
probabilidade de 0,98 de estar em operação. Qual é probabilidade de um deles não estar em 
operação. 
 
Solução: 
p = 0,98 
)()1()(),,,( },...,1,0{ xIqpCppCxXPpxnf n
xnxx
n
xnxx
n
 
 
 
%22,90922,002,09224,05)98,01(98,0)4()98,0;4;5( 45445 ouCXPf 

 
 
 ( 2 ) Segundo os registros de uma escola, a proporção média de alunos reprovados na disciplina 
de Matemática, na sétima série, ao longo dos anos, é 0,25. Assim, a probabilidade, de que numa 
turma de 40 alunos da sétima série ocorram, por exemplo, exatamente 7 alunos reprovados é: 
 
xnxx
n
xnxx
n qpCppCxXPpxnf
  )1()(),,(
 
%57,80857,0)25,01(25,0)7()25,0;7;40( 7407740 ouCXPf 

 
 
 
( 3 ) Sabe-se que 5% dos parafusos fabricados por uma indústria são defeituosos. Em um lote de 
10 parafusos, qual a probabilidade de: 
 
a) exatamente 2 serem defeituosos. 
b) menos de 2 serem defeituosos 
c) três ou mais serem defeituosos 
d) Qual a média e o desvio padrão do número de parafusos defeituosos? 
 
 A probabilidade de que um parafuso qualquer seja defeituoso é p = 0,05, logo 1- p = 0,95. 
Portanto, 
 
a) P[X=2] = 
0746,0)95,0()05,0( 21022,10 
C
 
 
b) P(X< 2 ) = P(X= 0 ) + P(X=1) = 
9138,03151,05987,0)95,0()05,0(()95,0()05,0( 1101110
01000
10 
 CC
 
 
c)
)]2X(P)1X(P)0X(P[1)3X(P1)3X(P 
 
 
 
43 
 
01151,0]07463,031512,059874,0[1 
 
 
d) E(X) = np = 10 . 0,05 = 0,5 peças defeituosas 
Intepretação: significa que, se forem coletadas várias a amostras com 10 parafusos em cada uma, o 
número médio de parafusos defeituosos será 0,5. 
 
sdefeituosapeças69,095,005,010npq)x(vDP 
 
2.10.4 Sequência de exercícios nº 4 
 
01 Um exame do tipo teste é constituído de 20 questões, cada uma delas com 5 respostas 
alternativas, das quais uma é correta. Se um estudante responde as questões ao acaso, qual é a 
probabilidade de que consiga acertar exatamente 10 questões? Resposta: 0,02 ou 2 % 
 
02 Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que 
contém 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comparar uma caixa contendo 
 
a) Nenhuma peça defeituosa. Resposta: 0,2824 ou 28,24 % 
b) uma peça defeituosa. Resposta: 0,3766 ou 37,66 % 
 
03 Uma amostra de 25 peças é retirada, com reposição de um lote que contém 10% de peças 
defeituosas. Calcule a probabilidade de que 
 
a) O lote não contenha peças defeituosas. Resposta: 0,0718 
b) O lote contenha exatamente três peças defeituosas. Resposta: 0,2265 
c) O lote contenha pelo menos uma peça defeituosa. Resposta: 0,9282 
d) O lote contenha entre três e seis peças defeituosas. Resposta: 0,2030 
e) O lote contenha de três a seis defeituosas. Resposta: 0,4537 
f) Calcule o valor esperado e o desvio padrão. Resposta: E(X) = 2,5 DP(X) = 1,5 
 
04. Umm levantamento efetuado em um pregão da bolsa de valores mostrou que naquele dia, 
40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto que as ações das 
empresas restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Um fundo negocia com ações de 1º 
dessas empresas. Calcule a probabilidade de que nesse dia: 
a) todas as ações tenham se valorizado. Reposta: 0,01% 
b) No máximo as ações de duas empresas tenham se valorizado. Reposta: 1,23% 
 
 
 
44 
 
05. Uma indústria de computadores suspeita que 3% de um determinado tipo de peça que ela 
produz, são defeituosos. Se tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que, numa 
amostra de quatro peças, sejam encontradas: 
 
a) no mínimo duas defeituosas. Reposta: 0,52% 
b) duas peças boas ou menos. Reposta: 0,33% 
 
06. Uma empresa distribuidora costuma falhar em suas entregas de mercadorias, 15% das vezes, 
por atraso de entrega, ou por mercadoria fora da especificação, ou por danos, etc., causando 
reclamações por parte dos clientes.. Calcule a probabilidade de: 
a) Não ocorrer reclamações em dez entregas de hoje. Resposta: 19,69% 
b) ocorrer pelo menos uma reclamação nas quatro entregas de hoje. Resposta: 47,80% 
c) ocorrer no máximo uma reclamação nas dez entregas de hoje. Resposta: 54,43% 
 
07. Um produto eletrônico contém 40 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer circuito 
seja defeituoso é de 0,01. Os circuitos integrados são independentes e o produto opera apenas se 
não houver circuitos integrados defeituosos. Qual é a probabilidade de que o produto opere? 
Resposta: 66,89% 
 
 
2.10.5 Distribuição de Poisson 
 
Certos casos de distribuição binomial são melhor abordados por um tratamento matemático 
diferenciado. Estabelecendo 
n 
, de maneira que o produto np, ou seja, a média se mantenha 
constante, a distribuição binomial resulta em: 
 
)x(I
x!
e
x)(XP),x(f },...,1,0{
x 

 
 
em que = np ; e = 2,7183...,.que define a função de probabilidade da distribuição de Poisson. 
Como fizemos 
 n
, então p  0 , para que o produto  = np seja constante. Portanto,a 
distribuição de Poisson é aplicável no estudo eventos raros, ou seja, com baixa probabilidade p 
de ocorrência. 
A distribuição de Poisson pode ser utilizada no lugar da distribuição binomial, com um grau 
de aproximação muito bom, desde que n seja grande e p seja pequeno. Na prática, essa 
aproximação geralmente é usada para n  50 e np <5. 
A esperança e a variância da distribuição de Poisson são iguais, ou seja, 
 
E (X) = V(X) = np 
 
 
45 
 
 
Demonstração 
 
 

0x
]xX[px E(X) 




0x
x
x!
e
x 











1x
x
0x
x
1)!-x(
e
1)!-(xx
e
x
 
 
Observação: se s = x – 1  x = s + 1 e se x = 1 s = 0, logo, 
 
np
!s
e
!s
e
)X(E
1
0s
s
0s
1s













 
 
 

0x
22 ]xX[px )E(X 






 






1x
x
1x
x
0x
x
2
1)!-x(
e
x
1)!-x(x
e
xx
x!
e
x
 
 
Observação: se s = x – 1  x = s + 1 e se x = 1 s = 0, logo, 
 





 



0s
s
0s
1s
2
!s
e)1s(
!s
e)1s(
)X(E
 
 


















  
 




2
0s
1
0s
ss
2 )S(E
!s
e
!s
es
)X(E

 
 
V(X) = E(X
2
) – [E(X)]
2
=
np22 
 
 
Exemplos: 
 
( 1 ) Verificou-se que a probabilidade de falha de um transistor em um instrumento eletrônico, 
durante uma hora de operação, é igual a 0,005. Calcular a probabilidade de 
 
a) Não haver falhas em 80 horas de operação; 
b) haver menos de duas falhas em 80 horas de operação 
 
Como n = 80 > 50 e np = 80x0,005 = 0,4 < 5, a distribuição de Poisson pode utilizada para 
calcular tais probabilidades 
 
 
46 
 
 
 
a) 
6703,0
!0
4,0
)0(
4,00

e
YP
 
 
 
b) P(X< 2 ) = P(X= 0 ) + P(X=1) + P(X=2) = 
9384,02681,06703,0
!1
4,0
!0
4,0 4,014,00

 ee
 
 
( 2 ) O número de partículas radioativas emitidas em cada intervalo de 5 segundos, são contadas. 
Suponha que o número de partículas emitidas, durante o intervalo de 5 segundos, tenha uma 
distribuição de Poisson com média de duas partículas. Tendo sido observados 10 intervalos de 
tempo, qual a probabilidade de que em cada um deles, menos de 3 partículas sejam emitidas? 
 
Tem-se  = 2,0, portanto 
 
)2X(P)1X(P)0X(P)3X(P 
 
6767,02707,02707,01351,0
!2
e2
!1
e2
!0
e2 222120

 , 
 
que representa a probabilidade de emissão de menos de 3 partículas em um intervalo de tempo. 
Portanto, no caso de 10 intervalos de tempo, tem-se a probabilidade: 
 
P(X1 < 3  X2 < 3 . . . X10 < 3) = P(X1 < 3) . P(X2 < 3). . . P(X10 < 3) = (0,6767)
10
 = 0,0201. 
 
 
2.10.6 Sequência de exercícios nº 5 
 
01 Uma máquina produz uma proporção p = 0,009 de peças defeituosas. Suponha que são 
inspecionas 100 peças. Pergunta-se: 
 
a) É permitida a utilização da distribuição de Poisson para calcular probabilidades neste exemplo, 
com uma boa aproximação da distribuição da distribuição binomial? Justifique a sua resposta. 
b) Qual é a probabilidade de ocorrerem 8 peças defeituosas? Calucle pela distribuiçãode Poisson 
e pela distribuição binomial. Reposta: pela Poisson (0,000004), pela binomial (0,000003) 
 
02 Supondo que o número de carros que chegam à fila de um guichê de pedágio tem distribuição 
de Poisson com média de três carros por minuto, Calcule a probabilidade de que cheguem cinco 
carros nos próximos dois minutos. Resposta: 0,1606 ou 16,06% 
 
 
47 
 
 
03 Uma Cia de seguros realiza seguros para 100 carros de uma grande empresa de São Paulo. O 
percentual de carros roubados no ano passado, em São Paulo, foi de 3,5%. Qual é a 
probabilidade de, no ano passado, desta Cia, ter ocorrido roubo de: 
 
a) nenhum carro? Resposta: 0,0302 
b) um carro? ? Resposta: 0,1057 
c) No máximo dois carros? Resposta:0,3209 
 
04 O controle de qualidade de uma montadora de automóveis acusa que 1% das falhas no 
processo de proteção antioxidante da lataria dos veículos que ela produz. Foram encomendados 
100 veículos. Calcule a probabilidade de que a falha citada ocorra em: 
 
a) nenhum um veículo. Resposta: 0,3679 
b) apenas um veículo. Resposta: 0,3679 
c) No máximo um veículo. Resposta: 0,7358 
d) mais de um veículo. Resposta: 0,2662 
 
 
2.10.7 Distribuição Hipergeométrica 
 
 
Foi visto em seções anteriores, que a distribuição binomial se aplica quando a 
probabilidade do evento de sucesso se mantém constante em todas as realizações de um 
experimento. A distribuição binomial é utilizada, portanto, quando se tem amostragem com 
reposição ou em populações infinitas. 
A distribuição Hipergeométrica pode ser utilizada quando têm-se uma amostra com n 
elementos coletados de uma população com N elementos, sem reposição, sendo que r deles 
correspondem ao evento de sucesso e se quer saber a probabilidade de que, dentre os n 
observados, x correspondam ao evento de sucesso. 
 
n
N
xn
rN
x
r
C
CC
xXP

 )(
 
 
n
NC
 representa a contagem do número total possível de amostras de tamanho n coletadas sem 
reposição de uma população de tamanho N; 
 
x
rC
representa o número possível de maneiras que o evento de sucesso x da amostra pode 
ocorrer em um total de r vezes que o evento de sucesso ocorre na população; 
 
 
48 
 
 
xn
rNC


representa o número possível de maneiras que o evento de fracasso n - x da amostra pode 
ocorrer de um total de N - r que o evento de fracasso ocorre na população. 
 
Demonstra-se que a esperança e a variância de uma variável aleatória com distribuição 
hipergeométrica são, respectivamente: 
 
E(X) = np e 
)1(
)(
)1()(



N
nN
pnpXV
 
Em que p representa a probabilidade do evento de sucesso na população, ou seja, p = r/N. 
 
Exemplos 
 
( 1 ) Uma firma compra lâmpadas por centenas. Examina sempre uma amostra de 15 lâmpadas 
para verificar se estão boas. Se uma centena inclui 12 lâmpadas queimadas, qual é a 
probabilidade de se escolher, numa amostragem sem reposição, 
 
a) nenhuma lâmpada queimada. 
b) pelo menos uma lâmpada queimada. 
c) nessa situação, qual é o provável número médio, a variância e o desvio padrão do número de 
lâmpadas queimadas na amostra? 
 
Solução 
N = 100, r = 12, n =15 
 
a) 
1253,0)0()(
15
100
015
12100
0
12 








C
CC
XP
C
CC
xXP
n
N
xn
rN
x
r
 
 
a) P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,1253 = 0,8747 
 
 
b) E(X) = np = 15.(12/100) = 15.0,12 = 1,8  2 Lâmpadas queimadas 
 
36,1
)1100(
)15100(
)12,01(12,015
)1(
)(
)1()( 






N
nN
pnpXV
 (Lâmpadas queimadas)
2
 
 
 
 
 
 
49 
 
( 2 ) Pequenos motores são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade 
examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for 
defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os 50 motores são testados. 
Suponha que há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual é a probabilidade de que seja 
necessário examinar todos os motores dessa caixa? 
 
Solução 
N = 50, n = 5, r = 6 
 
4874,05126,011)0(1)1(1)1(
)(
5
50
05
650
06 








C
CC
XPXPXP
C
CC
xXP
n
N
xn
rN
x
r
 
 
 
2.10.8 Sequência de Exercícios nº 6 
 
01. Lotes de 40 peças são aceitáveis se contém, no máximo, três peças defeituosas. O processo 
de amostragem consiste em extrair aleatoriamente, cinco peças de cada lote e rejeitá-lo se for 
encontrada pelo menos uma peça defeituosa nas cinco peças extraídas. Há três peças 
defeituosas em todo o lote? Qual é a probabilidade de o lote ser rejeitado? 
Resposta: 0,3376 
 
02. Num lote de 10 misseis, são lançados quatro escolhidos aleatoriamente. Se o lote contém três 
que não funcionam, qual é a probabilidade de que 
a) todos os quatro funcionem? Resposta: 0,1667 
b) NO máximo dois funcionem? Resposta: 0,9667 
 
03. Numa urna há 40 bolas brancas e 60 pretas. São retiradas 20 bolas sem reposição. Qual é a 
probabilidade de que ocorram no mínimo duas bolas brancas? Resposta: 0,9998 
 
04. Uma fábrica de motores para máquinas de lavar roupas separa para inspeção, uma amostra 
de 30 itens da sua linha de produção diária de 350 peças. É 14 o número de peças por dia. Qual é 
a probabilidade de que a amostra contenha pelo menos 3 motores defeituosos? Resposta: 0,1085 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
2.11 Distribuições teóricas contínuas de probabilidade 
 
2.11.1 Distribuição Exponencial 
 
Uma variável aleatória X tem distribuição exponencial se sua função densidade de 
probabilidade é dada por: 
 










0xse0
0xsee
)x(f
x
 
 
O gráfico da função da f.d.p. da distribuição exponencial é 
 
 
 
A função de distribuição acumulada de X é dada por: 
 
F(x) = 
x
z
z e
e
dzedzzf
x
xx 



 

  1)(
000
 
Logo, 
 










0xse0
0xsee1
)x(F
x
 
 
Uma função de interesse em estudos de confiabilidade é a função de falha h(x), calculada por 
 
 
 
51 
 
)x(F1
)x(f
)t(h


 
Para a distribuição exponencial tem-se então 
 






)e1(1
e
)x(H
x
x
, ou seja, uma constante. 
 
Essa característica de taxa de falha constante faz com que a distribuição exponencial 
seja largamente empregada nos estudos de confiabilidade de sistemas de potência. 
O valor médio ou esperança e a variância de X são dados, respectivamente, por: 
 


1
)X(E
 e 
2
1
)X(V


 
 
Demonstração 
 








0
x
0
x dxxedxexdx)x(xf)X(E
 
 
lembremos da seguinte propriedade do cálculo: para funções da família exponencial tem-se 
 
 
Logo, para 



0
xdxxe)X(E
 
tem-se m = 1, a =  e n = 1 
 
 
 








0
x2
0
x222 dxexdxexdx)x(fx)X(E
 
tem-se m = 2, a =  e n = 1 
 
 
52 
 
 
 
 
23323
2
3
1
)X(V
21212
 [E(X)]2 E(x2) V(X)























 
 
 
Exemplos 
 
( 1 ) Numa grande rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários ao sistema 
podem ser modeladas por um processo de Poisson com média  = 25 conexões por hora. A 
medição do tempo, em horas, entre duas conexões consecutivas segue a distribuição exponencial. 
Qual é a probabilidade desse tempo: 
 
a) exceder a 6 minutos? 
b) estar entre 2 e 3 minutos? 
c) Qual é o tempo médio e a variância até a próxima conexão. 
 
Solução: 
 
a)  = 25 conexões por hora, então 6/60 = 0,1 hora 
 
A função de distribuição acumulada da distribuição exponencial é dada por 
 










0xse0
0xsee1
)x(F
x
 
 
Logo, 
 
P( x > 0,1 ) = 1 – P( X ≤ 0,1) = 1 – F(0,1) = 1 – (1 – e
-(0,1).25
) = e
-(0,1).25
 = 0,0821 
 
b) 2/60 = 0,033, 3/60 =0,05 
 
A propriedade iv da distribuição acumulada é P (x1 ≤ X ≤ x2) = F(x2) - F(x1), logo, 
 
 
53 
 
 
P( 0,033 < X < 0,05) = F (0,05) – F(0,033) = (1 – e
-(0,05).25
) – (1 – e
-(0,033).25
) 
P( 0,033 < X < 0,05) = - e
-(0,05).25
 + e
-(0,033).25
 = -0,2865 +0,4382 = 0,1517 
 
c) 
 
hXE 04,0
25
11
)( 

 ou 2,4 min 
 
Intepretação: significa que, se nessa rede de computadores forem medidos os tempos, 
entre várias conexões consecutivas, o tempo médio será de 0,04h ou 2,4 min. 
 
 
2
22
0016,0
25
11
)( hXV  
 
 
( 2 ) A vida útil de tubos de TV segue a distribuição exponencial com média de 800horas de uso 
contínuo. Qual é a probabilidade de que a fábrica tenha que substituir um tubo gratuitamente, se 
oferece uma garantia de 300 horas de uso? 
 
Solução 
P(X ≤ 300) = ? 
 
 
00125,0
800
11
800
1
)(  XE
 
 
A função de distribuição acumulada da distribuição exponencial é dada por 
 










0xse0
0xsee1
)x(F
x
 
 
Logo, 
 
P(X ≤ 300) = F(300) = 1 – e
-0,00125. 300
 = 0,31127. 
 
Portanto, a probabilidade de que a fábrica tenha que substituir um tubo de TV gratuitamente, se 
oferece uma garantia de 300h de uso, é 0,3127 ou 31,27%. 
 
 
54 
 
 
 
( 3 ) A taxa de saída observada de determinada linha de transmissão (LT) é de 1,2 saídas por 100 
km de linha por ano. Se a linha possui 200 km de comprimento, qual a probabilidade de que essa 
LT não opere nas próximas 24 horas? 
 
Solução: 
 
A taxa de saída é de 1,2 saídas a cada 100 km por ano. Então, em 200 km a taxa será 
 
22,1 
 = 2,4 saídas/ano 
 
Se cada dia tem 24 horas e cada ano tem 365 dias, o ano terá 24*365 = 8760 horas. 
 
Dessa forma, a taxa média de saída será, 
 
00027397,08760/4,2  saídas/hora 
 
A função de distribuição acumulada da distribuição exponencial é dada por 
 










0xse0
0xsee1
)x(F
x
 
 
Logo, 
 
P(X ≤ 24) = F(24) = 1 – e
-(0,00027397).24
 = 1 – 0,99345154 = 0,00654846 
 
Logo, a probabilidade de que a linha de transmissão não opere nas próximas 24 horas, é de 
0,00654846 ou 0,6%. Então, corre-se um risco baixo de falta de energia. 
 
 
2.11.2 Sequência de exercícios nº 7 
 
01 Supondo que a variável aleatória X tenha distribuição exponencial com parâmetro  = 3, 
determine: 
 
a) P(X ≤ 0) Resposta: 0 
 
 
55 
 
b) P(X ≥ 3) Resposta: 0,00012 
c) P(X ≤ 2) Resposta: 0,99752 
d) P(2<X<3) Resposta: 0,00236 
 
02 Supondo que a variável aleatória X tenha distribuição exponencial com parâmetro  = 5, 
determine: 
 
a) P(X > 5) Resposta: 0,3679 
b) P(X > 15) Resposta: 0,0489 
c) P(X >20) Resposta: 0,0183 
 
03 As contagens registradas por um contador de gêiser segue a distribuição de Poisson, com 
média de duas contagens por minuto. 
 
a) Qual é a probabilidade de que seja contado nenhum gêiser em um intervalo de 30segundos? 
Resposta 0,3678 
b) Qual é a probabilidade de que a primeira contagem ocorra em 10 segundos ou menos? 
Resposta 0,2835 
c) Qual é a probabilidade de que a primeira contagem ocorra entre 10 e 30 segundos? 
Resposta 0,2835 
 
04 Um robô completa uma operação de soldagem em um automóvel, com uma taxa média de 12 
soldagens por hora. O tempo para completar uma operação de soldagem é definido a partir do 
momento do início do procedimento de soldagem até o início do próximo procedimento. A variável 
aleatória X representa o tempo para completar uma operação