probabilidade
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Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Campus de Foz do Iguaçu 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PPRROOBBAABBIILLIIDDAADDEE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Carlos dos Santos 
 
 
Foz do Iguaçu 
Março / 2014 
 
 
 
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Sumário 
2. Probabilidade 2 
2.1 Introdução 2 
2.2 Experimento aleatório com espaço amosral e evento 3 
2.3 Teoria clássica de probabilidade 6 
2.4 A Teoria Frequentista de Probabilidade 7 
2.5 Probabilidade subjetiva 8 
2.6 Axiomas de probabilidade 8 
2.7 Principais teoremas de probabilidade 10 
2.8 Sequência de exercícios nº 1 20 
2.9 Variável aleatória 22 
2.9.1 \u2013 Definição Formal de Variável Aleatória 22 
2.9.2 Variável Aleatória Discreta 24 
2.9.3 Variável Aleatória Contínua 25 
2.9.4 Função de Probabilidade 25 
2.9.5 Função Densidade de Probabilidade 26 
2.9.6 Função de Distribuição Acumulada 29 
2.9.7 Esperança Matemática e Variância de Uma Variável Aleatória 32 
2.9.7.1 Propriedades da Esperança Matemática 33 
2.9.8 Sequência de exercícios nº 2 37 
2.10 Distribuições discretas de probabilidade 38 
2.10.2 Sequência de exercícios nº 3 40 
2.10.4 Sequência de exercícios nº 4 43 
2.10.5 Distribuição de Poisson 44 
2.10.6 Sequência de exercícios nº 5 46 
2.10.7 Distribuição Hipergeométrica 47 
2.10.8 Sequência de Exercícios nº 6 49 
2.11 Distribuições teóricas contínuas de probabilidade 50 
2.11.1 Distribuição Exponencial 50 
2.11.2 Sequência de exercícios nº 7 54 
2.11.3 Distribuição normal 56 
2.11.3.1 Distribuição normal reduzida 60 
2.11.4 Sequência de exercícios nº 8 69 
2.11.5 Aproximação normal à distribuição binomial 70 
2.11.6 Sequência de exercícios nº 9 75 
 
 
2 
 
2. Probabilidade 
 
2.1 Introdução 
 
Existem dois tipos de modelos na ciência, o modelo determinístico e o não-determinístico ou 
probabilístico. 
Os modelos determinísticos são utilizados em certos campos da ciência, como a física, a 
química analítica, ou a hidráulica, onde é possível elaborar modelos matemáticos que 
estabelecem relações precisas entre grandezas, devido ao grau de conhecimento relativamente 
alto dos fatores envolvidos. Por exemplo, o modelo da lei de Ohn pode ser descrito por 
 
 
Corrente = voltagem / resistência 
 
Ou 
 
I = E/R 
 
 
Esse modelo é determinístico ou mecanístico porque o mesmo é construído a partir do 
conhecimento do mecanismo físico básico, o qual relaciona que a corrente elétrica está em função 
da voltagem e da resistência, sem levar em consideração outros fatores. 
 
Modelo Determinístico ou Mecanístico Modelo que estabelece uma relação matemática precisa 
entre as variáveis envolvidas, devido o grau de conhecimento relativamente alto do sistema sob 
estudo. 
 
Em muitas situações é mais frequente que os mecanismos no sistema sob estudo não 
sejam suficientemente conhecidos, de maneira a possibilitar a construção de modelos 
determinísticos. 
A estatística lida essencialmente com modelos não determinísticos ou probabilísticos, ou 
seja, com aquelas situações onde os mecanismos do sistema não são tão conhecidos e, portanto, 
a previsão de resultados está envolta com um certo grau de incerteza, a qual é quantificada 
probabilisticamente. Modelos dessa natureza, que se preocupam em prever resultados com alta 
probabilidade, sem tentar especificar os agentes determinantes envolvidos, são chamados de não 
determinísticos ou probabilísticos. 
 
Modelo Não-Determinístico ou Probabilístico Modelo que procura prever um resultado, em 
geral usando probabilidades, sem se preocupar com a especificação dos agentes causais ou 
determinantes desse resultado. 
 
 
 
3 
 
Por exemplo, suponha que um pesquisador deseja saber qual é o tempo de carga de um 
aplicativo (Y) para cumprir determinada tarefa. Não há um modelo determinístico para essa 
situação, portanto, o pesquisador vai enumerar todas as possíveis variáveis explicativas para 
prever o tempo de carga, ou seja, capacidade do processador ( X1), capacidade de memória (X2), 
capacidade do HD (X3), etc., Assim, um possível modelo será: 
 
Y = \u3b1 + \u3b21X1 + \u3b22X2 + \u3b23X3 + \u3b5 
 
Essa expressão representa um modelo de regressão linear múltipla, em que os coeficientes 
\u3b1, \u3b21, \u3b22 e \u3b23 são estimados pelo método de mínimos quadrados. O termo \u3b5 representa os 
fatores aleatórios ou não controlados pelo modelo, tais como impulsos de voltagem, umidade, 
temperatura da máquina, etc. 
Devido aos fatores não controlados, o pesquisador irá prever o tempo de carga com um 
certo grau de confiança ou probabilidade. 
Dentro da teoria de probabilidade os termos \u201cexperimento\u201d, \u201cespaço amostral\u201d e \u201cevento\u201d, 
são muito utilizados. Os conceitos desses termos são dados a seguir: 
 
2.2 Experimento aleatório com espaço amosral e evento 
 
Experimento É um processo de investigação científica de alguns procedimentos, feito para 
responder determinadas perguntas. 
 
 Um experimento é dito aleatório quando satisfaz as seguintes condições 
 
a) Pode ser repetido indefinidamente; 
b) O pesquisador é capaz de descrever todos os possíveis resultados do experimento, 
embora não se possa dizer com certeza qual ocorrerá; 
c) Obedece uma regularidade estatística, ou seja, quando o experimento for repetido um 
grande número de vezes, surgirá uma configuração definida (distribuição de frequência, 
agora chamada de distribuição de probabilidade). 
 
São experimentos aleatórios 
 
(1) tomar uma válvula eletrônica e verificar o tempo de vida; 
(2) medir o tempo de duração de uma lâmpada de LED; 
(3) medir a vazão do Lago na Barragem da Usina de Itaipu; 
(4) medição da resistência à ruptura de corpos de prova; 
(5) medição da dureza de corpos de prova de aço. 
 
 
 
4 
 
Espaço amostral Representado por \uf057, é o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório. Cada resultado de um experimento aleatório é denominado de ponto 
amostral. 
 
Exemplos: 
 
a) Lançar um dado e verificar a face de cima. O espaço amostral será: 
 
\u2126 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Os pontos amostrais serão: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
 
b) Testar o tempo de vida de uma válvula eletrônica até queimar. O espaço amostral será: 
 
}0/{ \uf0b3\uf0ce\uf03d\uf057 xRx
 
 
c) Resistência à ruptura de corpos de prova de concreto. . O espaço amostral será: 
 
}3600/{ kgfxRx \uf0b3\uf0a3\uf0ce\uf03d\uf057
 
 
 
d) O Espaço amostral também pode ser representado geometricamente. Suponha que uma 
empresa de eletricidade formou uma comissão da qual participavam 5 elementos da distribuição e 
4 da transmissão. Representando graficamente todas as possibilidades do número de ausentes 
teremos: 
 
 
5 
 
 
Figura 2.1 - Representação geométrica do espaço amostral. 
 
Percebe-se na figura 2.1 que o número de resultados do espaço amostral é 6 x 5 = 30 e que, as 
áreas sombreadas A, B e C, correspondem, respectivamente, aos eventos "um elemento 
ausente", "4 elementos ausentes" e "o número de ausentes da distribuição é maior que o da 
transmissão". Porém esses não são os únicos eventos possíveis desses espaço amostral. 
 
 
Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral \uf057. Deve-se considerar como eventos de 
qualquer espaço amostral, o evento impossível (aquele que nunca ocorre) \uf0c6 e o evento certo (o 
próprio espaço amostral \uf057). 
 
Exemplo 
 
 
\u2126 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Os eventos desse espaço amostral ao lançar o dado uma vez, são: 
 
\uf0c6 = evento impossível; 
Eventos com um resultado possível
Jorge
Jorge fez um comentário
Concordo com você Augusto Lima, tem muitos erros na apostila que o nosso prof utiliza, porem ele sempre corrige os mesmo em sala e nunca atualiza a apostila. Mas o conteudo em si da apostila é muito bom.
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Augusto
Augusto fez um comentário
Acredito que algumas respostas estejam incorretas nos exercícios de distribuição normal.
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