probabilidade
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de soldagem. Qual é a 
probabilidade de que uma operação completa de soldagem requeira: 
 
a) mais de 6 minutos? Resposta: 0,3012 
b) 8 minutos ou menos? Resposta: 0,7981 
 
05 O tempo entre as chamadas para uma loja de suprimento de encanamentos tem uma média de 
15 minutos. Qual é a probabilidade de que a próxima chamada chegue: 
 
a) dentro de 5 minutos? Resposta: 0,2835 
b) dentro de 10 minutos? Resposta: 0,4866 
c) entre 5 e de 10 minutos? Resposta: 0,2031 
 
 
 
 
 
 
56 
 
2.11.3 Distribuição normal 
 
A distribuição normal corresponde a mais importante distribuição de probabilidade de 
variáveis aleatórias contínuas, devido à sua enorme aplicação nos mais variados campos do 
conhecimento. Variáveis como peso, altura, resistência à ruptura, entre outras, são pressupostas 
como obedecendo a distribuição normal. 
As razões do seu emprego extensivo incluem, é claro, uma motivação empírica, mas 
também uma certa comodidade matemática, já que a distribuição probabilística de varias funções 
de variáveis aleatórias normalmente distribuídas, são facilmente derivadas, como a distribuição t e 
F 
Uma v.a. X tem distribuição normal se sua função densidade de probabilidade é dada por: 
 
\uf0a5\uf02b\uf03c\uf03c\uf0a5\uf02d
\uf02d\uf02d
\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
x,
\u3c3
\u3bcx
2
1
e
\u3c02\u3c3
1
)x(f
2
 
em que: 
\uf070 = 3,1416... 
\uf06d e \uf073 são, respectivamente, a média e a variância populacionais da variável aleatória X. 
 
Trata-se de um modelo que procura explicar o comportamento de uma variável aleatória 
contínua que pode variar desde \uf02d\uf0a5 a \uf02b\uf0a5, sem explicar as causas desse comportamento. Por isso 
trata-se de um modelo não-determinístico ou probabilístico. 
Quando se deseja especificar que uma variável aleatória X segue uma distribuição normal 
com média \uf06d e variância \uf073
2
, pode-se utilizar a seguinte notação: X ~ N (\uf06d, \uf073
2
). 
O conceito de densidade, na elaboração de histogramas, onde a obtenção de frequências 
relativas pode ser feita a partir do cálculo de áreas, também pode ser usado aqui, pela elaboração 
de modelos nos quais probabilidades possam ser obtidas também mediante ao cálculo de áreas. 
Para ilustrar a ideia, imagine-se, de um ponto de vista estritamente teórico, que seja possível 
conhecer todos os elementos de uma população infinita. Além disso, uma variável aleatória 
contínua é utilizada para descrever os elementos da população. Conhecendo-se todos os 
elementos da população, um histograma poderia ser construído para representar a distribuição de 
frequência relativa dessa variável (Figura 4.1). 
 
 
57 
 
 
Figura 4.1 \u2013 Histograma hipotético referente a uma população infinita, utilizando 15 classes. 
 Ligando os pontos médios superiores dos retângulos desse histograma por linhas, o 
polígono de frequências fica 
 
 
Figura 4.2 \u2013 Polígono de frequências hipotético referente a uma população infinita, utilizando 15 
classes. 
 
 Imagine agora que, a partir desses mesmos infinitos elementos, uma nova distribuição de 
frequência relativa é utilizada, aumentanto o número de classes, e diminuindo a amplitude de cada 
uma ( Figura 2.2) 
 
Figura 2.2 \u2013 Histograma hipotético referente a uma população infinita, utilizando 25 classes. 
 
 
 
58 
 
Como são infinitos elementos, cada uma das classes nunca ficam vazias. Prosseguindo nessa 
tendência, ou seja, fazendo o número de classes tender ao infinito, e suas amplitudes tender a 
zero, será obtido, pela união dos pontos médios das classes, um polígono de frequências 
correspondente a uma curva (Figura 2.3) 
 
 
Figura 2.3. Polígono de frequência relativo a uma população infinita, utilizando infinitas classes. 
 
 Este tipo de enfoque motivou os estatísticos, desde o século XVIII, a desenvolver modelos 
(ou seja, funções), entre eles a distribuição normal, para descrever populações infinitas, que 
relacionam os valores de uma variável aleatória contínua com suas correspondentes densidades 
de frequência relativa. 
Como em populações infinitas as frequências relativas são chamadas de probabilidades, então, da 
mesma forma fala-se em densidade de probabilidade. Em vista disso, a função f(x) da Figura 4.4 
acima, é chamada de função densidade de probabilidade, ou simplesmente, função densidade. 
A aparência do gráfico da função densidade de uma v.a. X normalmente distribuída está 
representada na Figura 4.5: 
 
Figura 2.4 Aspecto da distribuição Normal 
 
 De maneira análoga ao que foi visto nos histogramas, a obtenção de frequências relativas 
(ou seja, de probabilidades) é feita utilizando o cálculo de áreas em gráficos da função densidade 
de probabilidade. 
 
 
59 
 
A distribuição normal também é conhecida por curva normal ou curva de Gauss, e possui as 
seguintes propriedades: 
 
1) Ela é simétrica em relação a x = \uf06d; 
2) Possui a forma campanular ou forma de sino; 
3) As medidas de posição, ou seja, a média, a mediana e a moda confundem-se no 
mesmo ponto, e são todas iguais a \uf06d. 
4) É definida simplesmente a partir dos parâmetros \uf06d e \uf073
2
; 
5) Possui dois pontos de inflexão (mudança de concavidade da curva) correspondentes 
aos pontos x - \uf073 e x + \uf073; 
6) Assintótica em relação ao eixo das abscissas, ou seja, ela nunca intercepta o eixo dos 
X; 
7) A área total sob a curva, como em qualquer função densidade de probabilidade, é igual 
a 1. 
 
 Já comentado anteriormente, a probabilidade de que uma variável aleatória contínua 
assuma exatamente um certo valor é praticamente igual a zero e, portanto, nesse caso o enfoque 
mais apropriado é obter probabilidades de que a variável pertença a classes ou intervalos. 
Também foi comentado que esse cálculo de probabilidades, para variáveis quantitativas 
contínuas, é obtido através de áreas relativas a gráficos com funções densidades de 
probabilidade. 
 Assim, cada área é equivalente à probabilidade de que a variável aleatória contínua X esteja 
contida em um intervalo [a,b]. Teoricamente, esta probabilidade poderia ser obtida da seguinte 
maneira: 
 
P(a < X <b) = dx
b
a
2x
2
1
e
2
1
dx
b
a
)x(f \uf0f2\uf0f2
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d\uf02d
\uf03d \u3c3
\u3bc
\u3c0\u3c3
 
 
 No caso da distribuição normal, essa integral não tem solução explícita, e por isso é 
necessário fazer uso de um procedimento alternativo, a chamada distribuição normal reduzida, 
como será visto no próximo tópico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
2.11.3.1 Distribuição normal reduzida 
 
 A distribuição normal com média \uf06d = 0 e variância \uf073
2
 = 1 é conhecida como distribuição 
normal reduzida ou padronizada. Uma variável aleatória com essa distribuição geralmente é 
simbolizada por Z. 
 Uma propriedade interessante de uma variável aleatória X que segue qualquer distribuição 
normal é a de que ela pode ser transformada em uma variável Z, pela seguinte expressão: 
 
\u3c3
\u3bcx
z
\uf02d
\uf03d
, 
 
 Diz-se, então, que Z é uma variável aleatória que segue a distribuição normal com média 
\uf06d = 0 e variância \uf073
2
 = 1, ou seja, Z \uf0c7 N (0, 1). 
Assim, a função densidade de probabilidade da variável aleatória Z pode ser escrita da 
seguinte forma: 
 
\uf02b\uf0a5\uf03c\uf03c\uf0a5\uf02d
\uf02d
\uf073
\uf03d Z
2z
2
1
e
\u3c02
1
zf ,)(
, 
 
Como \uf073
2
 = 1, então \uf073 = 1 e a função densidade de probabilidade fica 
 
\uf02b\uf0a5\uf03c\uf03c\uf0a5\uf02d
\uf02d
\uf03d Z
2z
2
1
e
\u3c02
1
zf ,)(
 
 
 A probabilidade de que variável aleatória X assuma valores dentro de um intervalo ou classe 
[a, b] coincide com a probabilidade da variável aleatória Z estar contida em um intervalo ou classe 
[c, d]. Dessa forma, 
 
P[a < X < b] = P [c < Z < d] = 
\uf0f2\uf0f2
\uf02d
\uf03d
d
c
d
c
dz
2z
2
1
Jorge
Jorge fez um comentário
Concordo com você Augusto Lima, tem muitos erros na apostila que o nosso prof utiliza, porem ele sempre corrige os mesmo em sala e nunca atualiza a apostila. Mas o conteudo em si da apostila é muito bom.
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Augusto
Augusto fez um comentário
Acredito que algumas respostas estejam incorretas nos exercícios de distribuição normal.
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