probabilidade
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\u2551 
\u25512,7 \u25510,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 \u2551 
\u25512,8 \u25510,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 \u2551 
\u25512,9 \u25510,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 \u2551 
\u25513,0 \u25510,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 \u2551 
\u25513,1 \u25510,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 \u2551 
\u25513,2 \u25510,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 \u2551 
\u25513,3 \u25510,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 \u2551 
\u25513,4 \u25510,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 \u2551 
\u25513,5 \u25510,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 \u2551 
\u25513,6 \u25510,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 \u2551 
\u25513,7 \u25510,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 \u2551 
\u25513,8 \u25510,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 \u2551 
\u25513,9 \u25510,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 \u2551 
\u255a\u2550\u2550\u2550\u2550\u2569\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u2550\u255d 
64 
 
 
 
 
Exemplos 
 
( 1 ) Suponha que os comprimentos de parafusos fabricados por determinada indústria seguem 
a distribuição normal com média de 200 mm e desvio padrão de 20mm. 
 
a) Qual é a probabilidade de um parafuso escolhido aleatoriamente apresente de 200mm a 
225mm de comprimento? 
 
Calcula-se em primeiro lugar o valor da variável padronizada Z., ou seja: 
 
 
\u3c3
\u3bcx
Z
\uf02d
\uf03d
20
200200
Z
\uf02d
\uf03d\uf0de
\uf0de Z = 0 
 
 
\u3c3
\u3bcx
Z
\uf02d
\uf03d
20
200225\uf02d
\uf03d\uf0de Z
\uf0de Z = 1,25 
 
 Pretende-se calcular a seguinte probabilidade: 
 
),Z(P)X(P 2510225200 \uf0a3\uf0a3\uf03d\uf0a3\uf0a3
 
 
Utiliza-se a Tabela 2.1, pois esta apresenta os valores desse tipo de probabilidade, ou 
seja, 
)zZ(P c\uf0a3\uf0a30
. 
Na tabela acha-se o valor de Z da seguinte forma: Os dígitos antes da vírgula e o 
primeiro após a mesma, deverão ser procurados na primeira coluna da esquerda. Já, o 
segundo dígito após a vírgula deverá ser procurado na linha superior da tabela. 
No exemplo foi achado Z = 1,25, então procura-se 1,2 na primeira coluna da esquerda 
e 5 na linha superior da tabela. O valor da probabilidade que se quer achar, está exatamente 
no cruzamento da linha que em que ocorre 1,2 com a coluna onde se tem o número 5, como 
mostra o esquema abaixo. 
 
 
 
Assim, 
),Z(P)X(P 2510225200 \uf0a3\uf0a3\uf03d\uf0a3\uf0a3
 = 0,3944 ou 39,44%. 
65 
 
 
 
Conclui-se, portanto, que a probabilidade de que um parafuso escolhido aleatoriamente 
apresente de 200mm a 225mm de comprimento é de 0.3944 ou 39,44%. 
 Isto quer dizer que a área sob a curva normal equivale a 0,3944 ou 39,44% da área total 
como mostra a Figura 2.4 
 
Figura 2.4 \u2013 Área sob a curva normal equivalente à probabilidade da taxa de colesterol ser 
maior ou igual a 200 e menor ou igual a 225mg/100ml de plasma. 
 
b) Qual é a probabilidade de que um parafuso escolhido aleatoriamente apresente mais do que 
225mm de comprimento? 
 
\u3c3
\u3bcx
Z
\uf02d
\uf03d
20
200225\uf02d
\uf03d\uf0de Z
\uf0de Z = 1,25 
 
 Calcular a probabilidade de ocorrer um valor maior do que xc = 225 é o mesmo que 
calcular a possibilidade de ocorrência de um valor maior que zc = 1,25. 
 A probabilidade procurada é P(X > 225) = P(Z > 1,25), ou seja, é do tipo P(Z > zc). A 
Tabela 2.2, dá esse tipo de probabilidade. No corpo dessa tabela ocorre o valor 0,1056 para Z 
= 1,25 como mostra o esquema a seguir: 
 
 
 
 Logo, P(X > 225) = P(Z > 1,25) = 0,1056, 
 
Conclui-se, portanto, que a probabilidade de que um parafuso escolhido aleatoriamente 
apresente mais do que 225mm de comprimento é de 0,1056 ou 10,56%. 
Isto quer dizer que a área sob a curva normal equivale a 0,1056 ou 10,56% da área 
total como mostra a Figura 2.5. 
 
66 
 
 
 
Figura 2.5 \u2013 Área sob a curva normal equivalente à Probabilidade da taxa de colesterol ser 
maior do que 225mg/100ml de plasma. 
 
c) Qual é a probabilidade de que um parafuso escolhido aleatoriamente apresente 
comprimento maior ou igual a 175mm e menor ou igual 225mm, simultaneamente.? 
 
 Em primeiro lugar devem ser achados os valores da variável aleatória Z. 
 
\u3c3
\u3bcx
Z
\uf02d
\uf03d
20
200175\uf02d
\uf03d\uf0de Z
\uf0de Z = -1,25. 
 
\u3c3
\u3bcx
Z
\uf02d
\uf03d
20
200225\uf02d
\uf03d\uf0de Z
\uf0de Z = 1,25 
 
 Então, a probabilidade a ser calculada é 
 
P(175 \uf0a3 X \uf0a3 225) = P(-1,25 \uf0a3 Z \uf0a3 1,25) 
 
Porém as tabelas 4.1 e 4.2 não fornecem o valor dessa probabilidade, diretamente. 
 O segredo para resolver esse problema está em decompor esta probabilidade em outras 
duas, como mostra a figura 2.6 
 
 
 
Figura 2.6 \u2013 Representação da área sob a curva normal com a variável aleatória Z variando de 
\u20131,25 a 1,25 (a), de -1,25 a 0 (b) e de 0 a 1,25 (c) e. 
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Percebe-se facilmente que a junção ou soma das áreas sombreadas dos gráficos \u201cb\u201d e 
\u201cc\u201d, resulta na área sombreada do gráfico \u201ca\u201d, portanto, 
 
P (-1,25 \uf0a3 Z \uf0a3 1,25) = P (-1,25 \uf0a3 Z \uf0a3 0) + P (0 \uf0a3 Z \uf0a3 1,25) 
 
A Tabela 2.1 dá os valores de P (-1,25 \uf0a3 Z \uf0a3 0) e P (0 \uf0a3 Z \uf0a3 1,25) de acordo com o esquema a 
seguir: 
 
 
 
Logo, 
 
P (-1,25 \uf0a3 Z \uf0a3 1,25) = P (-1,25 \uf0a3 Z \uf0a3 0) + P (0 \uf0a3 Z \uf0a3 1,25) 
 
= 0,3944 + 0,3944 = 0,7888 
 
Assim, 
 
P (175 \uf0a3 X \uf0a3 225) = P (-1,25 \uf0a3 Z \uf0a3 1,25) = 0,7888 
 
Conclui-se, portanto, que a probabilidade de que um parafuso escolhido aleatoriamente 
apresente comprimento maior ou igual a 175mm e menor ou igual a 225mm, é 0,7888 ou 
78,88%. 
 
 
 
 
Figura 2.7 \u2013 Área sob a curva normal referente à probabilidade da taxa de colesterol ser maior 
ou igual a 175 e menor ou igual a 225mg/100ml de plasma. 
68 
 
 
 
d) Qual é a probabilidade de que um parafuso escolhido aleatoriamente apresente 
comprimento maior do que 175 mm? 
 
 O primeiro passo é calcular o valor de Z. 
 
 
\u3c3
\u3bcx
Z
\uf02d
\uf03d
20
200175\uf02d
\uf03d\uf0de Z
\uf0de Z = -1,25, 
logo, 
 
 P (X > 175) = P (Z > \u20131,25) 
 
As tabelas 4.1 e 4.2 não apresentam esta probabilidade de imediato. Porém, se o leitor 
lembrar que a Tabela 2.2 apresenta, a probabilidade de Z ser menor do que um determinado 
valor crítico negativo zc, ou seja 
 
P(Z<-zc) = P(Z \uf0a3 \u2013 1,25), 
 
e que a área máxima sob a curva normal é igual a 1 ou 100%, tem-se que 
 
1,25) P(Z - 1 1,25) P(Z \uf0a3\uf03d\uf03e
, 
 
como mostra o a figura 2.8 
 
Figura 2.8 \u2013 Representação da área sob a curva normal total (a), de Z \uf0a3 -1,25 (b) e de Z > 
1,25 (c). 
 
Observa-se que subtraindo a área sombreada do gráfico \u201cb\u201d da área total sob a curva 
normal do gráfico \u201ca\u201d, obtém-se a área sombreada do gráfico \u201cc\u201d. Assim, 
 
P(X > 175) = P(Z > \u2013 1,25) = 1 \u2013 P(Z 
\uf0a3
 \u2013 1,25) 
 
69 
 
 
 Agora, a probabilidade procurada é P(Z <-1,25), ou seja, é do tipo P(Z <-zc). A Tabela 2.2 
fornece esse tipo de probabilidade diretamente. No corpo dessa tabela ocorre o valor 0,1056 
para Z = 1,25 como mostra o esquema a seguir: 
 
 
Dessa forma, 
 
P (X > 175) = P (Z > \u2013 1,25) = 1 \u2013 P(Z \u2264 \u2013 1,25) = 1 - 0,1056 = 0,8944 
 
Conclui-se, portanto, que a probabilidade de que um parafuso escolhido aleatoriamente 
apresente mais do que 175mm de comprimento, é 0.8944 ou 89,44%. 
 
Portanto, a probabilidade de uma pessoa apresentar taxa de colesterol maior do que 
175mg por 100ml de plasma sanguíneo é igual a 0,8944 ou 89,44%. Isto equivale a dizer que a 
área sob a curva normal é igual a 0,8944 ou 89,44% da área total como mostra a Figura 2.9. 
 
Figura 2.9 \u2013 Área sob a curva normal referente à probabilidade da taxa de colesterol ser maior 
do que 175 mg por 100ml de plasma.
Jorge
Jorge fez um comentário
Concordo com você Augusto Lima, tem muitos erros na apostila que o nosso prof utiliza, porem ele sempre corrige os mesmo em sala e nunca atualiza a apostila. Mas o conteudo em si da apostila é muito bom.
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Augusto
Augusto fez um comentário
Acredito que algumas respostas estejam incorretas nos exercícios de distribuição normal.
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