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\uf03d\uf0c7\uf0c7\uf0c7\uf02d\uf0c7\uf02b\uf0c7\uf03d\uf0c7\uf0c8\uf0c7 )]()[()(()()]()[( 432143214321 RRRRPRRPRRPRRRRP
 
)R(P)R()R(P)R(P)R(P)R(P)R(P)R(P 43214321 \uf0d7\uf0d7\uf0d7\uf02d\uf0d7\uf02b\uf0d7\uf03d
 
%04,87ou8704,08,08,08,08,08,08,08,08,0 \uf03d\uf0d7\uf0d7\uf0d7\uf02d\uf0d7\uf02b\uf0d7\uf03d
 
 
 
18 
 
 
(5
O
) Teorema de Bayes: Se A1, A2,. . ., An são eventos dois a dois mutuamente exclusivos tais que 
\uf057\uf03dn21 AAA \uf055\uf04c\uf055\uf055
. Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas de vários eventos, e B um 
evento qualquer de \uf057 tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/Ai).Então, 
para um dado evento Ai, tem-se 
 
)/()()/()()/()(
)/()(
)/(
2211 nn
ii
i
ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
BAP
\uf0d7\uf02b\uf02b\uf0d7\uf02b\uf0d7
\uf0d7
\uf03d
\uf04c
 
ou 
\uf0e5
\uf03d
\uf0d7
\uf0d7
\uf03d
n
i
ii
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP
1
)/()(
)/()(
)/(
 
 
Demonstração 
 
Considere o seguinte diagrama da partição de \uf057 em eventos Ai (i=1,2,3,4,5) e sua interseção com 
B. 
 
 
Dessa maneira, ( I ) 
\uf0e5
\uf03d
\uf0c7\uf03d
n
1i
i BAPBP )()(
. 
Como 
)(
)(
)/(
i
i
i
AP
BAP
ABP
\uf0c7
\uf03d
, então: 
)()/()( iii APABPBAP \uf0d7\uf03d\uf0c7
.Dessa forma, 
\uf0e5 \uf0e5
\uf03d \uf03d
\uf0d7\uf03d\uf0c7
n
i
n
i
iii APABPBAP
1 1
)()/()(
 
 
Porém, de ( I ) sabe-se que
\uf0e5
\uf03d
\uf0c7\uf03d
n
i
i BAPBP
1
)()(
, então 
( II ) 
\uf0e5
\uf03d
\uf0d7\uf03d
n
i
ii APABPBP
1
)()/()(
. 
 
Mas, como (III) 
)/()()( iii ABPAPBAP \uf0d7\uf03d\uf0c7
 
 
 
19 
 
 
Pensando agora em uma probabilidade condicional P(Ai/B) qualquer 
 
\uf0e5
\uf03d
\uf0d7
\uf0d7
\uf03d
\uf0c7
\uf03d
n
i
ii
ii
i
ABPAP
ABPAiP
BP
BAP
BAP
1
)/()(
)/()(
)(
)(
)/( tem-se, por (II) e (III) que 
\uf0e5
\uf03d
\uf0d7
\uf0d7
\uf03d
n
i
ii
i
i
ABPAP
ABPAiP
BAP
1
)/()(
)/()(
)/(
 
 
Exemplo de Aplicação 
 
 Uma indústria produz quatro tipos de válvulas eletrônicas: A, B, C e D. A probabilidade de 
uma válvula do tipo A ser defeituosa é 1%, do tipo B é 0,5%, do tipo C é 2% e do tipo D é 0,2%. 
Em um depósito existem 1000 válvulas do tipo A, 500 do tipo B, 300 do tipo C e 200 do tipo D. 
Uma válvula é retirada aleatoriamente do depósito e verifica-se que esta é defeituosa. Qual é a 
probabilidade de que a válvula retirada seja do tipo D? 
 
Sejam os eventos 
 
A: a válvula é do tipo A, 
B: a válvula é do tipo B, 
C: a válvula é do tipo C, 
D: a válvula é do tipo D, 
E: a válvula é defeituosa. 
 
 O evento válvula defeituosa (E) ocorreu, portanto, a probabilidade de que seja do tipo D 
(sendo A, B, C e D mutuamente exclusivos) será dada por 
 
)/()()/()()/()()/()(
)/()(
)/(
DEPDPCEPCPBEPBPAEPAP
DEPDP
EDP
\uf0d7\uf02b\uf0d7\uf02b\uf0d7\uf02b\uf0d7
\uf0d7
\uf03d
 
 
onde 
50,0
2000
1000
)( \uf03d\uf03dAP
;
25,0
2000
500
)( \uf03d\uf03dBP
;
15,0
2000
300
)( \uf03d\uf03dCP
;
10,0
2000
200
)( \uf03d\uf03dDP
 
 
P(E/A) = 1% = 0,01; P(E/B) = 0,5% = 0,005; 
P(E/C) = 2% = 0,02; P(E/D)= 0,2% = 0,002; 
 
Portanto, 
 
 
20 
 
 
%1,2021,0
002,010,0020,015,0005,025,0010,050,0
002,010,0
)/( ouEDP \uf03d
\uf0d7\uf02b\uf0d7\uf02b\uf0d7\uf02b\uf0d7
\uf0d7
\uf03d
 
 
2.8 Sequência de exercícios nº 1 
 
01 No lançamento de um dado equilibrado considere os eventos A: ocorrência de face ímpar 
B: ocorrência de face menor do que 3 e C = face máxima observada igual a 5. 
a) Represente o espaço amostral 
b) Calcule P(A); P(B); P(C).R: 0,50; 0,3333; 0,8333 
02. Uma moeda perfeita será lançada 3 vezes. Sejam os eventos: E1: observar pelo menos duas 
coroas; E2: observar no máximo uma coroa; E3: observar as 3 faces iguais; E4: observar 3 coroas; 
E5: O primeiro lançamento resulta em coroa; E6: o segundo lançamento resulta em coroa E7: o 
terceiro lançamento resulta em coroa. 
 
a) Escreva o espaço amostral no caso de três lançamentos 
b) Calcule P(E1), P(E2), P(E3), P(E4), P(E5), P(E6) e P(E7) R: 0,50; 0,50; 0,25; 0,125; 0,50; 0,50; 
0,50 
 
03 Uma urna contém 20 bolas das quais 9 brancas, 5 azuis e 6 vermelhas. Duas bolas serão 
retiradas sucessivamente da urna, sem reposição. Calcular as seguinte probabilidades 
a) de a segunda bola extraída ser vermelha, dado que a primeira é vermelha. R: 0,2632 
b) de serem extraídas bolas de cores diferentes: R: 0,3395 
c) de serem extraídas bolas de mesma cor? R: 0,0475 
 
04. Sabe-se que na fabricação de um certo artigo, defeitos de um tipo ocorrem probabilidade 0,1 e 
defeitos de outro tipo com probabilidade 0,05. Qual será a probabilidade de que: 
a) um artigo não tenha ambos os tipos de defeitos: R: 0,995 
b) Um artigo seja defeituoso? R: 0,145 
 
05 Suponha que A e B associados a um experimento sejam eventos independentes. Se a 
probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6 enquanto a probabilidade de ocorrência de A for 
igual a 0,4 determine a probabilidade de ocorrência de B. R: 0,3333 
 
06. Um lote é composto de 1000 peças, sendo 95% perfeitas e 5% defeituosas. Duas peças são 
extraídas aleatoriamente desse lote, sem reposição, qual a probabilidade de que: 
a) ambas sejam perfeitas R: 0,90245 
b) ambas sejam defeituosas R: 0,00245 
c) uma seja defeituosa e a outra seja perfeita? 0,09510 
 
 
 
21 
 
07. No teorema da soma ou das probabilidades totais foi demonstrado que a probabilidade de 
ocorrer pelo menos um entre dois eventos A e B, não necessariamente mutuamente exclusivos, é 
igual à soma das probabilidades de A e de B, menos a probabilidade de A e B ocorrerem 
simultaneamente, ou seja, 
 
)BA(P)B(P)A(P)BA(P \uf0c7\uf02d\uf02b\uf03d\uf0c8
 
 
Demonstre que a probabilidade de ocorrer pelo menos um entre três eventos A, B e C, não 
necessariamente mutuamente exclusivos, é dada por: 
 
)CBA(P)CB(P)CA(P)BA(P)C(P)B(P)A(P)CBA(P \uf0c7\uf0c7\uf02b\uf0c7\uf02d\uf0c7\uf02d\uf0c7\uf02d\uf02b\uf02b\uf03d\uf0c8\uf0c8
 
 
08 Nos circuitos abaixo, supondo que cada relé funcione independentemente um do outro, sendo 
95% a probabilidade de que um relé qualquer esteja fechado, calcular a probabilidade de que 
corrente a corrente passe de A para B. 
 
R: 0,999875 
R: 0,999756 
 
09 Numa fábrica existem 100 máquinas. Algumas dessas são novas (N) e outras velhas (V), 
algumas são da firma A e outras são da firma B conforme a tabela abaixo 
 
Estado Firma Total 
 A B 
Nova (N) 35 30 65 
Velha (V) 25 10 35 
Total 60 40 100 
 
 
 
22 
 
Um operário qualquer entra na fábrica e pega uma máquina. 
 
a) Qual é a probabilidade dela ser velha? Resposta: 0,35 ou 35% 
b) Qual é a probabilidade dela ser velha sendo que á da firma B? Resposta: 0,25 ou 25% 
 
 
10. Certa indústria, possui cinco máquinas: A, B, C, D e E, as quais produzem os mesmos tipos de 
peças, que serão utilizadas na montagem de equipamentos elétricos. Sabe-se que a produção 
diária da máquina A é o dobro da produção diária da máquina D, que as produções das máquinas 
B e C são iguais e que a máquina E produz 20 peças a mais que a máquina A. De acordo com o 
setor de controle de qualidade dessa indústria, são defeituosas, respectivamente, 1%, 2%, 5%, 1% 
e 3% das peças produzidas pelas máquinas A, B, C, D e E. Uma peça foi tomada aleatoriamente e 
verificou-se que ela é defeituosa. Utilizando o teorema de Bayes, calcular a probabilidade de que 
essa peça tenha sido fabricada pela máquina E, sabendo que as máquinas A e B produzem, 
respectivamente, 200 e 150 peças. R: 0,3284 
 
2.9 Variável aleatória 
 
As variáveis descritoras de uma população infinita podem ser qualitativas ou quantitativas, 
como visto na parte de Estatística Descritiva. Quando são associados valores de probabilidade às 
variáveis descritoras, como é no caso de populações infinitas, elas também são chamadas de 
variáveis aleatórias. 
 
Variável Aleatória De modo informal é a variável descritora de populações infinitas, a cujos 
valores são associadas probabilidades de ocorrência. 
 
Por convenção, as variáveis aleatórias são sempre quantitativas,
Jorge
Jorge fez um comentário
Concordo com você Augusto Lima, tem muitos erros na apostila que o nosso prof utiliza, porem ele sempre corrige os mesmo em sala e nunca atualiza a apostila. Mas o conteudo em si da apostila é muito bom.
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Augusto
Augusto fez um comentário
Acredito que algumas respostas estejam incorretas nos exercícios de distribuição normal.
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