probabilidade
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defeituosas obtidas. Calcule a média e o desvio padrão de X. 
Resposta. E(X) = 0,0909 e DP(X) = 0,2875 
 
 
2.10.3 Distribuição binomial 
 
 
Se um fenômeno é observado (ou um experimento é realizado), em que 2 resultados são 
possíveis, esta observação corresponde a um ensaio de Bernoulli. Diferentes ensaios de Bernoulli 
envolvem, cada um, uma variável aleatória Xi. Por exemplo, seja a probabilidade p de que um 
aluno seja reprovado em Matemática. Neste caso, a observação de um aluno corresponde a um 
ensaio de Bernoulli. 
Se a cada ensaio corresponde uma distribuição com mesmo parâmetro p, a observação 
conjunta de vários desses ensaios corresponde a uma distribuição binomial, discutida a seguir: 
 
 
41 
 
Suponha, agora, que n alunos são observados com relação a ter sido reprovado em Matemática, 
e sendo que a probabilidade de um aluno qualquer ter sido reprovado é igual a p, então pode-se 
definir uma variável aleatória associada ao número de alunos reprovados (X = 1, 2, 3, . . ., n). Tal 
variável aleatória apresenta distribuição de probabilidade, com parâmetros n e p, a qual é obtida 
pela expansão do binômio de Newton (p + q)
n
, o qual justifica a denominação da distribuição 
binomial, cuja função de probabilidade é dada por 
 
)()1()(),,( },...,1,0{ xIqpCppCxXPpxnf n
xnxx
n
xnxx
n
\uf02d\uf02d \uf03d\uf02d\uf03d\uf03d\uf03d
. 
 
Na realidade, como a cada aluno está associada uma distribuição de Bernoulli, então a soma das 
realizações dessas variáveis corresponde exatamente ao número de sucessos. Por isso, a 
distribuição binomial também é definida como a soma de n variáveis independentes com 
distribuição de Bernoulli. 
 
 
 Demonstra-se, para a distribuição binomial, que a esperança (média) e a variância são 
dadas, respectivamente, por: 
 
E(X) = np V(X) = np(1-p) = npq 
Demonstração 
 
À distribuição binomial é definida como a soma de n variáveis independentes com distribuição de 
Bernoulli, ou seja, se Xi, i = 1, . . .,n são variáveis aleatórias cada qual com distribuição de 
Bernoulli, então a variável X = 
\uf0e5
\uf03d
n
1i
iX
tem distribuição Binomial, assim, 
 
\uf03d)X(E \uf0e5\uf0e5
\uf03d\uf03d
\uf03d\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 n
1i
i
n
1i
i np)X(EXE
 
 
\uf03d)X(E 2 \uf028 \uf029\uf0e5\uf0e5
\uf03d\uf03d
\uf03d\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 n
1i
2
i
n
1i
2
i
npXEXE
 
 
\uf07b \uf07d npq)p1(np)pp()]X(E[)X(E)x(VXV)X(V
n
1i
2
n
1i
2
i
2
i
n
1i
i
n
1i
i \uf03d\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d\uf03d\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf03d \uf0e5\uf0e5\uf0e5\uf0e5
\uf03d\uf03d\uf03d\uf03d
 
 
 
 
 
 
42 
 
Exemplos 
 
( 1 ) Suponha que 5 geradores idênticos de uma usina hidrelétrica, com 100 MVA cada, tem uma 
probabilidade de 0,98 de estar em operação. Qual é probabilidade de um deles não estar em 
operação. 
 
Solução: 
p = 0,98 
)()1()(),,,( },...,1,0{ xIqpCppCxXPpxnf n
xnxx
n
xnxx
n
\uf02d\uf02d \uf03d\uf02d\uf03d\uf03d\uf03d
 
 
%22,90922,002,09224,05)98,01(98,0)4()98,0;4;5( 45445 ouCXPf \uf03d\uf0b4\uf0b4\uf03d\uf02d\uf03d\uf03d\uf03d
\uf02d
 
 
 ( 2 ) Segundo os registros de uma escola, a proporção média de alunos reprovados na disciplina 
de Matemática, na sétima série, ao longo dos anos, é 0,25. Assim, a probabilidade, de que numa 
turma de 40 alunos da sétima série ocorram, por exemplo, exatamente 7 alunos reprovados é: 
 
xnxx
n
xnxx
n qpCppCxXPpxnf
\uf02d\uf02d \uf03d\uf02d\uf03d\uf03d\uf03d )1()(),,(
 
%57,80857,0)25,01(25,0)7()25,0;7;40( 7407740 ouCXPf \uf03d\uf02d\uf03d\uf03d\uf03d
\uf02d
 
 
 
( 3 ) Sabe-se que 5% dos parafusos fabricados por uma indústria são defeituosos. Em um lote de 
10 parafusos, qual a probabilidade de: 
 
a) exatamente 2 serem defeituosos. 
b) menos de 2 serem defeituosos 
c) três ou mais serem defeituosos 
d) Qual a média e o desvio padrão do número de parafusos defeituosos? 
 
 A probabilidade de que um parafuso qualquer seja defeituoso é p = 0,05, logo 1- p = 0,95. 
Portanto, 
 
a) P[X=2] = 
0746,0)95,0()05,0( 21022,10 \uf03d
\uf02dC
 
 
b) P(X< 2 ) = P(X= 0 ) + P(X=1) = 
9138,03151,05987,0)95,0()05,0(()95,0()05,0( 1101110
01000
10 \uf03d\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d
\uf02d\uf02d CC
 
 
c)
)]2X(P)1X(P)0X(P[1)3X(P1)3X(P \uf03d\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d\uf02d\uf03d\uf03c\uf02d\uf03d\uf0b3
 
 
 
43 
 
01151,0]07463,031512,059874,0[1 \uf03d\uf02b\uf02b\uf02d\uf03d
 
 
d) E(X) = np = 10 . 0,05 = 0,5 peças defeituosas 
Intepretação: significa que, se forem coletadas várias a amostras com 10 parafusos em cada uma, o 
número médio de parafusos defeituosos será 0,5. 
 
sdefeituosapeças69,095,005,010npq)x(vDP \uf03d\uf0d7\uf0d7\uf03d\uf03d\uf03d
 
2.10.4 Sequência de exercícios nº 4 
 
01 Um exame do tipo teste é constituído de 20 questões, cada uma delas com 5 respostas 
alternativas, das quais uma é correta. Se um estudante responde as questões ao acaso, qual é a 
probabilidade de que consiga acertar exatamente 10 questões? Resposta: 0,02 ou 2 % 
 
02 Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que 
contém 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comparar uma caixa contendo 
 
a) Nenhuma peça defeituosa. Resposta: 0,2824 ou 28,24 % 
b) uma peça defeituosa. Resposta: 0,3766 ou 37,66 % 
 
03 Uma amostra de 25 peças é retirada, com reposição de um lote que contém 10% de peças 
defeituosas. Calcule a probabilidade de que 
 
a) O lote não contenha peças defeituosas. Resposta: 0,0718 
b) O lote contenha exatamente três peças defeituosas. Resposta: 0,2265 
c) O lote contenha pelo menos uma peça defeituosa. Resposta: 0,9282 
d) O lote contenha entre três e seis peças defeituosas. Resposta: 0,2030 
e) O lote contenha de três a seis defeituosas. Resposta: 0,4537 
f) Calcule o valor esperado e o desvio padrão. Resposta: E(X) = 2,5 DP(X) = 1,5 
 
04. Umm levantamento efetuado em um pregão da bolsa de valores mostrou que naquele dia, 
40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto que as ações das 
empresas restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Um fundo negocia com ações de 1º 
dessas empresas. Calcule a probabilidade de que nesse dia: 
a) todas as ações tenham se valorizado. Reposta: 0,01% 
b) No máximo as ações de duas empresas tenham se valorizado. Reposta: 1,23% 
 
 
 
44 
 
05. Uma indústria de computadores suspeita que 3% de um determinado tipo de peça que ela 
produz, são defeituosos. Se tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que, numa 
amostra de quatro peças, sejam encontradas: 
 
a) no mínimo duas defeituosas. Reposta: 0,52% 
b) duas peças boas ou menos. Reposta: 0,33% 
 
06. Uma empresa distribuidora costuma falhar em suas entregas de mercadorias, 15% das vezes, 
por atraso de entrega, ou por mercadoria fora da especificação, ou por danos, etc., causando 
reclamações por parte dos clientes.. Calcule a probabilidade de: 
a) Não ocorrer reclamações em dez entregas de hoje. Resposta: 19,69% 
b) ocorrer pelo menos uma reclamação nas quatro entregas de hoje. Resposta: 47,80% 
c) ocorrer no máximo uma reclamação nas dez entregas de hoje. Resposta: 54,43% 
 
07. Um produto eletrônico contém 40 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer circuito 
seja defeituoso é de 0,01. Os circuitos integrados são independentes e o produto opera apenas se 
não houver circuitos integrados defeituosos. Qual é a probabilidade de que o produto opere? 
Resposta: 66,89% 
 
 
2.10.5 Distribuição de Poisson 
 
Certos casos de distribuição binomial são melhor abordados por um tratamento matemático 
diferenciado. Estabelecendo 
\uf0a5\uf0aen 
, de maneira que o produto np, ou seja, a média se mantenha 
constante, a distribuição binomial resulta em: 
 
)x(I
x!
e
x)(XP),x(f },...,1,0{
x \uf06c\uf02d\uf06c
\uf03d\uf03d\uf03d\uf06c
 
 
em que\uf06c = np ; e = 2,7183...,.que define a função de probabilidade da distribuição de Poisson. 
Como fizemos 
\uf0a5\uf0ae n
, então p \uf0ae 0 , para que o produto \uf06c = np seja constante. Portanto,
Jorge
Jorge fez um comentário
Concordo com você Augusto Lima, tem muitos erros na apostila que o nosso prof utiliza, porem ele sempre corrige os mesmo em sala e nunca atualiza a apostila. Mas o conteudo em si da apostila é muito bom.
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Augusto
Augusto fez um comentário
Acredito que algumas respostas estejam incorretas nos exercícios de distribuição normal.
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