Cônicas e Quádricas
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Cônicas e Quádricas


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sentados enfileirados, com exercícios estéreis, sem valor
para a formação do homem."
Carlos Drummond de Andrade (1902-1987), poeta brasileiro.
Obter a equação canônica da parábola x 2xy + y 8x + 16 = 0
Resp.:
Uma parábola tem o foco na origem e diretriz a reta
r: 2x + 3y + 5 = 0. Ache a sua equação.
Resp.: 9x + 4y 12xy 20x 30y 25 = 0
2 2
2 2
- -
- - - -
01.
02.
CÔNICAS E QUÁDRICAS
Numa parábola tem-se o V = (6, 3) e a diretriz 3x 5y + 1 = 0.
Pede-se a sua equação.
Resp.: 25x + 9y 30xy 414x + 214y + 1529 = 0
Equação da parábola cujo foco é F = (0, 1) e cuja diretriz é a
reta 2x y = 0.
Resp.: x + 4y + 4xy 10y + 5 = 0
Obter a equação da parábola sabendo-se que o foco é
F = (1, 2) e o vértice coincide com a origem.
Resp.: 4x + 4xy + y 20x + 40y = 0
-
-
-
2 2
2 2
- -
- -2 2
03.
04.
05.
13
5y3x2
yx
r)(P,d0)(P,d
genérico da parábola.
pontoumy)(x,PSeja
22 ++=+
=
=
y
P
O
V
r
x
Jacir. J. Venturi
x
e
5
2
sen
52p5
2
p
:figuraDa)a
5
1
cos =q
=q
=Þ=
SUGESTÃO:
2
p
y
2 F
q 1
y '
x'
06. Calcular a equação da parábola de vértice no ponto (2, 2), que
passa pelo ponto P = (4, 1) e cujo eixo focal está sobre a reta
Resp: 9x + 16y 24xy 68x 76y + 284 = 0
Vide exercício precedente.
2 2 - - -
SUGESTÃO:
resposta.ase-tem1em2doSubstituind)
2
5
yx2
cosysenxy'
5
y2x
senycosxx'
:rotaçãodeFórmulasc)
ï
ï
þ
ïï
ý
ü
+
=q+q=
-
=q-q=
em relação ao sistema x Oy é:' 'paráboladaequaçãoAb) 1'px2y' 2 =
CÔNICAS E QUÁDRICAS
.x
4
3
2
1y +=
AOS MESTRES
Mais do que o conhecimento, o que faz o verdadei-
romestre é a dedicação.
Aos que, possuindo sabedoria, transmitiram-na
com amor, o nosso preito de imorredoura gratidão.
Aos que souberam suprir as limitações, doando-se
por inteiro, nosso perene reconhecimento.
Aos que simplesmente nos passaram conhecimen-
to:muito obrigado.
E aos que, carecendo de luzes, foram incapazes de
se doar, que não sejam julgados, mas compreendidos.
Johann W. Goethe (1749-1832), o maior poeta alemão.
Jacir. J. Venturi
UMA LIÇÃO DE VIDA
Eis a história verdadeira de um homem, cujo nome
todos conhecem e que sugere grande lição:
\u2013 aos sete anos, perde a mãe;
\u2013 até os 23 anos, tem uma infância e uma adolescência
pobre, trabalhando na lavoura para se manter nos estudos;
\u2013 aos 26 anos, endivida-se por conta da morte de seu
sócio;
\u2013 aos 27 anos, recebe um "não" ao propor casamento a
sua primeira namorada;
\u2013 aos 32 anos, o rompimento com a segunda namora-
da lhe provoca profunda depressão;
\u2013 aos 33 anos, perde a eleição para deputado estadual;
\u2013 aos 34 anos, não consegue eleger-se deputado federal;
\u2013 aos 41 anos, chora a morte do filho de quatro anos;
\u2013 aos 42 anos, falece seu pai;
\u2013 aos 45 anos, perde a eleição para o Senado.
\u2013 aos 50 anos, não consegue a indicação do partido
para o Senado;
\u2013 aos 51 anos, porém, é eleito e, aos 55, reeleito presi-
dente dos Estados Unidos.
Este homem se chamava Abraham Lincoln.
Em meio a tantos infortúnios, a bem da verdade,
Lincoln entremeou sucessos significativos no campo pessoal,
político e profissional.
Todos sabemos que a biografia dos grandes homens
não é pautada somente por vitórias mas, antes de tudo, pela
determinação em vencer obstáculos, sejam grandes ou
pequenos. A vida deve ser vivida intensamente, na busca cons-
tante da experiência e do aprimoramento físico, moral e inte-
lectual.
Igualmente, é importante o desenvolvimento de valo-
res interpessoais, como os relativos à ética, à cidadania, à
auto-estima, às relações humanas e de respeito ao meio ambi-
ente, ensejando pessoas flexíveis, abertas ao diálogo, a
mudanças e a novas tecnologias.
Pelo seu esforço e dedicação permanente aos estu-
dos, você será um vitorioso num mercado de trabalho extrema-
mente competitivo, mas carente de bons profissionais. É tão
competitivo que apenas 12% \u2013 dados da ONU \u2013 da população
brasileira está preparada para trabalhar em uma economia tec-
nologicamente avançada.
Do autor.
CÔNICAS E QUÁDRICAS
1. DEFINIÇÃO
2. ELEMENTOS DA ELIPSE
É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das dis-
tâncias a dois pontos fixos F e F (focos) do mesmo plano, é uma constan-
te (2a), onde 2a > d(F , F )
Assim:
d(P, F ) + d(P, F ) = 2a
e
d(Q, F ) + d(Q, F ) = 2a
Na pág. 230 você tem a
etimologia da palavra
.
F , F : focos. A distân-
cia entre os focos F e F ,
igual a 2c, denomina-se
.
O: centro da elipse; é o
ponto médio do segmen-
to F F .
A , A , B , B : vértices
da elipse.
Eixo maior: é o seg-
mento A A e cujo com-
primento é 2a.
Eixo menor: é segmen-
to B B e cujo compri-
mento é 2b.
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
OBSERVAÇÃO:
elipse
distância focal
C A P Í T U L O
A Elipse
P
Q
F1 F2
2a
B2
b
O
B1
A1 F1 c F2
A2 2b
2c
2a
a
Jacir. J. Venturi
Do triângulo retângulo B OF hachurado na figura, obtemos a
:
a = b + c
N.B.: A rigor há um abuso de linguagem ao denominar-se de "eixo
maior" o segmento A A , e de "eixomenor" o segmento B B .
Uma importante característica da elipse é a sua excentricidade,
que é definida pela relação:
Como e são positivos e c < a, depreende-se que 0 < < 1.
Quanto mais próximo de zero for o valor de , mais a elipse se
aproxima de uma circunferência. Por outro lado, quanto mais achatada for
a elipse, mais o valor de se aproxima de .
Uma vez fixo o valor de a, há uma correspondência entre o valor
de e a distância focal: quanto mais a elipse se aproxima de uma circunfe-
rência, menor a distância entre os focos; e quanto mais achatada for a elip-
se, maior a distância entre os focos.
É fácil concluir quanto aos valores extremos do domínio de :
Se = 0 tem-se uma circunferência de diâmetro 2a e os focos F e
F coincidem com o centro da circunferência.
Se = 1 tem-se segmento retilíneo F F .
2 2
1 2 1 2
1
2
1 2
rela-
ção notável
a c
1
2 2 2
e
e
e
e
e
e
e
3. EXCENTRICIDADE
1, sendo a letra grega épsilon)e(0 <e<
a
c
=e
e = 1
C F Fº º1 2
e = 0
(CIRCUNFERÊNCIA)
F2
e = 0,4
F2
F1
e = 0,6
F2
F1
e = 0,8
F2
F1 F1
CÔNICAS E QUÁDRICAS
4. EQUAÇÃO CANÔNICA DA ELIPSE DE CENTRO NA ORIGEM
a) O eixomaiorcoincide com o eixo x.
canônica reduzida
Sejam:
P = (x, y) um ponto gené-
rico da elipse.
F = ( c, 0)
F = (c, 0)
Por definição:
d(P, F ) + d(P, F ) = 2a
que é chamada equação ou da elipse de cen-
tro na origem e focos sobre o eixo x.
&quot;.
1
2
1 2
-
OBSERVAÇÃO:
Está consagrado o uso da expressão: &quot;o eixo maior coincide com o
eixo x&quot;, mas, que numa linguagem mais precisa usar-se-ia: &quot;o eixo
maior pertence ao eixo x
y
P
F1 O F2 x
a2)0y()cx()0y()cx( 2222 =-+-+-++
notáveis:
x)eixomaior(eixo1
b
y
a
x
:bapormembrososambosDividindo
baycxb
:bcanotávelrelaçãopelaMas
)ca(ayax)c(aou
xccxa2a)yccx2x(a
quadrar:atornandoe4porDividindo
cx4a4y)c(x4a
radical:oIsolando
y)cx(y)cx(a4a4yc)(x
produtososndodesenvolveequadradoaoElevando
y)cx(a2yc)(x
:membro2.ºaoradical2.ºoTranspondo
2
2
2
2
22
222222
222
22222222
22242222
222
2222222
2222
º=+
=+
=-
-=+-
+-=++-
-=+-
+-++--=++
+--=++
Jacir. J. Venturi
b) O eixomaior coincide com o eixo y.
a
a
Na figura tem-se:
F = (0, c) e F = (0, c)
De forma análoga de-
monstra-se que para um
ponto P = (x, y) pertencente à
elipse tem-se a equação canô-
nica:
(eixomaior eixo y)
Aqui cabe um destaque: na equação canônica é a medida do
semi-eixo maior e representa o maior dos denominadores. Se o número
a é denominador de:
x então os focos estão sobre o eixo x;
y então os focos estão sobre o eixo y.
Exemplifiquemos: A equação representa uma elip-
se na qual a = 16; portanto a medida do seu eixomaioré
eixomaior coincide como o eixo y.
Depreende-se ainda, da
equação, que b = 4 b = 2.
1 2 -
º
Þ
2
2
2
2
2
2
y
P
F1
O
F2
x
1
a
y
b
x
2
2
2
2
=+
1
16
y
4
x 22
=+
y
F1
F2
x
4
- 4
-2 2
)32,0(Fe)32,0(F
:Então
3.2c
12416bac
:focosdossCoordenada
21
222
-==
=Þ
Þ=-=-=
8 e o162a2 ==
CÔNICAS E QUÁDRICAS
5. IDENTIFICAÇÃO DA ELIPSE
01.
Uma equação do tipo Ax + By = F representa uma elipse com cen-
tro na origem