Cônicas e Quádricas
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Cônicas e Quádricas


DisciplinaGeometria Analítica e Álgebra Linear3.760 materiais34.768 seguidores
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x13
zyx 222 =+---++
.v.u34R
3
4
V)c.;a.u12R4S)b;3R)a 32 p=p=p=p==
Jacir. J. Venturi
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Achar a equação da esfera de diâmetro AB, sendo A = (1, 2, 3)
e B = (3, 4, 9).
Resp.: (x 2) + (y 3) + (z 3) = 38
Dê as condições para que a quádrica
Ax + By + Cz + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 represente uma
superfície esférica.
Resp.: A = B = C 0 e D = E = F = 0
Determinar a equação da esfera de centro C = (1, 2, 5) e que
passe pela origem.
Resp.: x + y + z 2x + 4 y + 10z = 0
Obter a equação da esfera de C = ( 2, 3, 1) e tangente ao
plano yz.
Resp.: (x + 2) + (y + 3) + (z 1) = 4
Seja C = (2, 3, 5) o centro de uma esfera. Calcular a equação de
sua superfície, sabendo que a esfera é tangente ao plano cartesiano xy.
Resp.: x + y + z 4x 6y 10z + 13 = 0
Calcular a equação da esfera que seja concêntrica à esfera
x + y + z 4x - 6y 6z 16 = 0 e que passe pelo ponto P = (1, 4, 3).
Resp.: (x 2) + (y 3) + (z 3) = 38
Obter a equação da esfera que passe pela origem do sistema
cartesiano e seja concêntrica com 2x + 2y + 2z 4x + 8y + 2z + 1 = 0.
Resp.:
Verificar se as equações abaixo representam esferas reais,
imaginárias, umponto ou não representam esferas:
a) x + y + z 2x + 3y 5z 3 = 0
b) x + y + z 2x 4y + 6z + 14 = 0
c) x + y + z 4x y + 2z + 10 = 0
d) x + y z 4x + 2y + 3z 5 = 0
e) x + y + z 4xy + z 2 = 0
Resp.: a) esfera real; b) um ponto P = (1, 2, 3); c) uma esfera
imaginária; d) não é esfera; e) não é esfera.
-
- - -
¹
- -
-
- -
-
-
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
- - -
- - -
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-
- - -
- -
- -
- - -
- -
-
2
4
21
2
1
z)2y()1x( 22 =÷
ø
ö
ç
è
æ ++++-
CÔNICAS E QUÁDRICAS
10.
11.
12.
13.
Dada a esfera x + y + z = 25, calcular:
a) os pontos de interseção da esfera com o eixo das ordenadas;
b) a curva de interseção da esfera com o plano xy;
c) fazer a figura.
Resp.: a) P = (0, 5, 0) e P = (0, 5, 0);
b) x + y = 25 (círculo de R = 5);
c) figura:
Calcular o valor de k para que a equação
2x + 2y + 2z 4x + z + k = 0 represente uma esfera de raio 2.
Resp.:
Obter a equação da curva interseção da esfera
x + y + z 2x 2y 4z 3 = 0 com o plano cartesiano xy.
Resp.:
Achar a equação da curva interseção da esfera com o plano
paralelo ao eixo z, ao lado figurados.
Resp.:
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
1 2 -
-
- - - -
traço no plano xy
y
z
P1P2
x
8
47
k
-
=
0z
03y2x2yx
:círculo
22
ïî
ï
í
ì
=
=---+
z
2
x
p
2
y
)plano(02yx
)esfera(4zyx
:círculo
222
ïî
ï
í
ì
=-+
=++
Jacir. J. Venturi
14.
15.
16.
Conhecida a esfera x + y + z 2x 4y 3 = 0, obter a equação
de uma esfera concêntrica à mesma e tangente ao plano x + y z + 1 = 0.
Resp.:
Obter a equação dos planos tangentes à superfície esférica
Resp.:
a) Centro e raio da esfera: C = (1, 2, 0) e R = 1
b) Equação de ': 2x y z + d = 0
Obter a equação da esfera que passa pelos pontos A = (1, 0, 2)
e B = (3, 1, 5) e cujo centro se encontra sobre o eixo y.
Resp.: x + (y 15) + z = 230
a) Centro da esfera
C = (0, y, 0)
b) d(C, A) = d(C, B)
y = 15
2 2 2
2 2 2
x + y + z 2x 4y + 4 = 0 e que sejam paralelos ao plano : 2x y z + 1 = 0.2 2 2 p
SUGESTÃO:
SUGESTÃO:
p -
-
Série B
\u201cDuvidar de tudo ou acreditar em tudo são atitudes
preguiçosas. Elas nos dispensam de refletir.\u201d
Henri Poincaré - matemático francês.
- - -
-
-
- - - -
3
16
z)2y()1x( 222 =+-+-
06zyx2 =±--
6d1
114
d0)1(2)1()1(2
±=Þ=
++
+-+-+
c) d(C, ') = Rp
230)A,C(dR)c ==
z
x
y
A B
C
.
.
.
CÔNICAS E QUÁDRICAS
p
p'
p''
17.
18.
19.
Uma superfície esférica passa pelos pontos P = (0, 0, 2),
P = (1, 0, 2) e P = (1, 3, 3) e tem o centro no plano xz. Calcule a sua equa-
ção.
Resp.:
Achar a equação da esfera que passa pelos pontos A = (0, 1, 1),
B = (1, 1, 2) e C = (1, 0, 2) e cujo centro pertence ao plano xy.
Resp.:
Calcular a equação da esfera que passe pelo ponto A = (0, 3, 2)
e tangente ao plano : x + y z = 0 no ponto P = (0, 1, 1).
Resp.:
a) Equação de r: lembremos da
equação de uma reta que passa
por um ponto P = (x , y , z ) e
que seja perpendicular ao plano
: ax + by + cz + d = 0 (vide cap. 8
do livro Álgebra vetorial e G.A.).
No exercício empauta:
b) Mas o centro C = ( , , ) r:
c)Mas a d (C, A) = d (C, P )
( 0) + ( 3) + ( 2) = ( 0) + ( 1) + ( 1) 2
Substituindo 1 em 2 :
1
2 3
1
1 1 1 1
1
p -
p
a b g
a b g a b g -
SUGESTÃO:
Î
2 2
2 2 2 2 2 2- - - - -
4
21
z
2
1
y)2x( 2
2
2 =+÷
ø
ö
ç
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æ -+-
4
101
)7z(y
2
1
x 22
2
=-++÷
ø
ö
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4
75
2
3
z
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7
y
2
5
x
222
=÷
ø
ö
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æ ++÷
ø
ö
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æ -+÷
ø
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æ -
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-
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1
1z
1
1y
1
0x
:r
-
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-
c
zz
b
yy
a
xx
:r 111
==
2
35
)P,C(dR)d 1
î
í
ì
+b-=b
-b=a
-
-g
=
-b
=
a
1
2
1
ou
1
1
1
1
1
÷
ø
ö
ç
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æ -=
2
3
,
2
7
,
2
5
C
Jacir. J. Venturi
C
A
r
P1
p
20.
21.
22.
23.
Uma esfera é passante por A = (0, 2, 3) e tangente ao plano
x + y + z 3 = 0 emseupontoB=(0,1,2).Obtenhaaequaçãodaesfera.
Resp.:
Calcular a equação da esfera que passa pelo ponto A = (2, 3, 5)
e é tangente ao plano : x + y + z 3 = 0 no ponto B = (1, 0, 2).
Resp.:
Achar a equação do plano tangente à esfera
x + y + z 4x 6y + 2 = 0 em seu ponto P = (1, 2, 3).
Resp.: : x + y 3z + 6 = 0
a) Cálculo do centro da esfera:
C = (2, 3, 0)
b) Equação da reta r (reta por dois pontos:
C e P ):
Donde = 1, m = 1 e n = 3
c) Equação do plano : O plano é
perpendicular à reta r (ver cap. 8, do
livro Álg. Vetorial e G.A.):
: x + my + nz + d = 0
: 1 (x) + 1(y) + ( 3)z + d = 0
Mas P = (1, 2, 3) :
1(1) + 1(2) 3(3) + d = 0 d = 6
Pede-se a equação do plano tangente à esfera
x + y + z 6x + 8z = 0 na origem do sistema cartesiano.
Resp.: 3x 4z = 0
p
p
- -
p -
-
p p
p
p
Þ
2 2 2
2 2 2
O
O
O
SUGESTÃO:
l
l
Î
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
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3
3z
1
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1
1x
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ø
ö
ç
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æ -+÷
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ö
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è
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ø
ö
ç
è
æ -
196
1083
14
47
z
14
19
y
14
33
x
222
=÷
ø
ö
ç
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æ -+÷
ø
ö
ç
è
æ -+÷
ø
ö
ç
è
æ -
4
3
2
5
z
2
3
y
2
1
x
222
CÔNICAS E QUÁDRICAS
C
r
p = ?PO
24.
25.
25.
26.
Ache o valor de k para que o plano 2x + y 2z k = 0 seja
tangente à superfície esférica x + y + z = 25.
Resp.: k = ± 15
A esfera (x 1) + (y + 1) + z = 2 e o plano : y + z 1 = 0 são
tangentes no ponto T. Calcular as coordenadas de T.
Resp.: T = (1, 0, 1)
a) Centro da esfera
C = (1, 1, 0)
b) Cálculo da reta r (reta que passa pelo
ponto C e é perpendicular a ):
c) Cálculo da interseção da reta r com o
plano :
Resolvendo o sistema acima:
x = 1 y = 0 z = 1 (coord. de T).
Achar o ponto de tangência T da esfera x + y + z = 25 com o
plano 2x + y 2z 15 = 0.
Resp.:
Obter a equação da esfera tangente ao plano : x + y 2 = 0 no
ponto P = (0, 2, 0) e também ao plano ': x + z + 1 = 0.
Resp.:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
p -
-
p
p
Þ Þ
p
p
SUGESTÃO:
- -
-
- -
-
T
p
C
r
ïî
ï
í
ì
=-+p
=
+
=
-
01zy:
1
z
1
1y
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÷
ø
ö
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æ -=
3
10
,
3
5
,
3
10
T
=
+
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-
1
z
1
1y
0
1x
:r
=+÷
ø
ö
ç
è
æ -+÷
ø
ö
ç
è
æ +
=+-+-
9
2
z
3
5
y
3
1
x
2z)3y()1x(
2
22
222
Jacir. J. Venturi
SUGESTÃO:
SUGESTÃO:
a) Cálculo da reta r (reta que passa
por P e é perpendicular ao plano ):
b) Mas C = ( , , ) r:
c) d(C, ) = d(C, ')
d) Resolvendo 1 e 2 :
Uma esfera tem o centro na reta r: x = y = z e é tangente à reta
no ponto T = (0, 1, 2). Calcule a equação da esfera.
Resp.:
a) Cálculo de (plano que passa
por T e é perpendicular à reta s):
: 2x + 3y + z + d = 0
T 2(0) + 3(1) + 2 + d = 0
d = 5
: 2x + 3y + z 5 = 0
p
a b g
p p
p
p
p Þ
Þ
p
Î
Î
27.
-
-
+g+b+a
=
-g+b+a
2
2
1)(1)(0)(1
2
2)(0)(1)(1
+a=bÞ=gÞ
g
=
-b
=
a
120
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-
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p
P
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T
C
r
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2
)P,'C(d'R0'
3
5
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3
1
'a
==Þ=gÞ=bÞ=a 2)P,C(dR031
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1z
3
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2
x
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ø
ö
ç
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æ -+÷
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ö
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æ -+÷
ø
ö
ç
è
æ -
36
75
6
5
z
6
5
y
6
5
x
222
CÔNICAS E QUÁDRICAS
b) Cálculo de C:
c) Cálculo de R:
Achar o centro e o raio do círculo interseção da esfera
x +