Cônicas e Quádricas
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Cônicas e Quádricas


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+ 3 . t
z = Z + 1 . t
l
l
paramétricas
t
"Seja você mesmo, mas não seja sempre o mesmo."
Gabriel, o Pensador.
2 2 2 p -
p
RESOLUÇÃO:
CÔNICAS E QUÁDRICAS
ïî
ï
í
ì
=++
=++
0)ntZ,mtY,tX(f
0)ntZ,mtY,tX(f
d
2
1
l
l
+
+
r
g
p
d
Exercícios
ïî
ï
í
ì
=+-
=++
0zyx
4zyx
d
222
®
=--++- 03YZXZ8Z
4
15
YX4 222
b) A diretriz é representada pelas equações:
c) Substituindo as equação paramétricas emd:
d) Equação da superfície cilíndrica:
Isolando \u201ct\u201d de 2 :
t = X Y + Z 3
Levando 3 em 1 :
(2X Y + Z) + (3X 2Y + 3Z) + (X Y + 2Z) = 4
ou desenvolvendo-se os quadrados:
(Equação que representa uma superfície circular de diretrizes
paralelas à reta r).
Achar a equação da superfície cilíndrica de geratrizes
paralelas ao vetor v = (1, 1, 1) e cuja diretriz seja a curva de interseção do
plano x y + z = 0 com a superfície quádrica x = yz.
Resp.: X + 2Y + Y Z 3XY + XZ YZ = 0
Determinar a equação de uma superfície cilíndrica cuja diretriz
é a hipérbole 4x y = 3, no plano xy, e cujas geratrizes são paralelas à reta
.
Resp.:
-
- - -
- - -
-
- - -
-
2 2 2
2 2
2 2
7X + 3Y + 7Z 9XY + 13XZ 9YZ 2 = 02 2 2
\u201cA coisa mais importante que um pai pode fazer
pelos filhos é amar a mãe deles.\u201d
H. Jackson Brown
01.
02.
Jacir. J. Venturi
ïî
ï
í
ì
=+++-+
=+++++
20)tZ()t3Y()tX(
14)tZ()t3Y()tX(
d
222
-
-
=
+
=
2
3z
1
1y
2
x
:r
SUGESTÃO:
SUGESTÃO:
a) Equações da di-
retriz:
b) Equações para-
métricas:
c) Substitua as e-
quações paramé-
tricas nas equa-
ções da diretriz.
A diretriz de uma superfície cilíndrica é a curva interseção da
esfera x + y + z = 4 com o plano : x + y z = 0. As geratrizes são
perpendiculares ao plano . Escrever a equação da superfície cilíndrica.
Resp.: X + Y + Z XY + XZ + YZ 6 = 0
Lembrar-se da condição
de ortogonalidade de reta e plano:
= a = 1, m = b = 1 e
n = c = 1
2 2 2
2 2 2
p -
p
- -
-
l
03.
ï
î
ï
í
ì
-=
+=
+=
t2Zz
t1Yy
t2Xx
ï
ï
í
ì
=
=-
0z
3yx4
d
22
î
CÔNICAS E QUÁDRICAS
r z
O
x
d
y
ïî
ï
í
ì
=
=+-
0z
02xyx
d
22
=
+
=
-
1
z
1
1y
0
1x
:r
04.
05.
06.
Calcular a equação da superfície cilíndrica cujas geratrizes
são perpendiculares ao plano 2x + y + 3z + 5 = 0 e cuja diretriz é a curva
Resp.: (3X 2Z) (3X 2Z) (3Y Z) + 54 = 0
(Não é superfície quádrica)
A equação 9x + z 6xz 27y + 9z = 0 representa uma
superfície cilíndrica. Determinar a equação da diretriz no plano xy.
Resp.:
Só para efeito de ilustração
(sem preocupação de escala),
observe a figura: trata-se de uma
superfície cilíndrica parabólica, cuja
diretriz é a parábola x = 3y no plano
xy (de equação z = 0).
Calcular a equação da superfície cilíndrica de geratrizes para-
lelas à reta e circunscreve a esfera x + y + z = 1.
Resp.: 2X + Y + Z 2YZ 2 = 0
3 2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
-
SUGESTÃO:
- - -
- -
- -
Jacir. J. Venturi
ïî
ï
í
ì
=
=
0z
y3x
d
2
y
=
+
=
-
.
3
z
2
1y
1
1x
:r
== .
1
z
2
y
2
x
:r
SUGESTÃO:
SUGESTÃO:
a) Equação paramétricas
b) Substituindo as equações paramétri-
cas na equação da esfera, obtém-se
uma equação do 2.º grau em . A
condição de tangência é que o dis-
criminante = b 4ac da equação
do 2.º grau em seja nulo.
Achar a equação da superfície cilíndrica circunscrita ao parabo-
lóide x = y + z e cujas geratrizes sejam paralelas à reta
Resp.: 36Y + 16Z 52X + 8Y + 12Z 48YZ 1 = 0
Pede-se a equação do cilindro cujas geratrizes têm a direção
do vetor v = i j e que circunscreva a superfície quádrica x + y + 2xz 2 = 0.
Resp.: X + Y Z + 2XY + 2YZ + 2XZ 4 = 0
A figura abaixo representa uma superfície cilíndrica de
equação x + y + z xy + xz + yz 36 = 0. Achar as coordenadas dos
Resp.: P = (4, 4, 2) e P' = ( 4, 4, 2)
Na equação dada faz-se x = 2z e y = 2z.
t
t
D
- -
- -
- - -
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
-
- - -
- -
pontos P e P', interseção da superfície cilíndrica com a reta
07.
08.
09.
CÔNICAS E QUÁDRICAS
r
P'
P
® ® ®
ï
î
ï
í
ì
+=
+=
=
tZz
tYy
Xx
Série B
\u201cSuaviter in modo, fortiter in re.\u201d
(Suave no modo, forte na ação) \u2013 Aforisma latino.
Calcular a direção das geratrizes do cilindro
x + y + 2z 2xz + 2yz 2 = 0. Achar também a equação da diretriz no
plano xy.
Resp.:
a) Cortamos a superfície
cilíndrica com um dos
planos coordenados.
Seja xy tal plano, de
equação z = 0. A dire-
triz tem equação:
b) O vetor v = ( ', m', n') procurado tem coordenadas proporcio-
nais, e ipso facto, uma das coordenadas pode ser reduzida à unidade:
v = ( , m, 1).
c) Equações paramétricas:
x = X + t
y = Y + mt
z = Z + 1t
d) Levando as equações paramétricas nas equações da diretriz:
2 2 2 - -
SUGESTÃO:
l
l
l
10.
ïî
ï
í
ì
=-+
=
02yx
0z
d
22
ïî
ï
í
ì
=
=+-=
0z
)círculo(2yx
de)1,1,1(v
22
®
®
v
2
2
x
y
z
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ï
í
ì
=-+++
-=Þ=+
202)mtY()tX(
1Zt0tZ
d
22
®
Jacir. J. Venturi
®
= .2R
®
e) Substituindo 1 em 2 :
(X Zt) + (Y Zt) 2 = 0
desenvolvendo:
X + Y + ( + m )Z 2 XZ 2mYZ 2 = 0
f) Comparando esta equação com a equação dada:
O sistema é compatível, pois = 1 e m = 1 verificam a equação
3 e destarte v = (1, 1, 1).
Para z = 0, tem-se a equação da diretriz no plano xy: x + y = 2, que
representa um círculo de centro na origem e Isto posto, a
equação dada representa uma superfície cilíndrica circular cujas
geratrizes têm a direção do vetor v = (1, 1, 1). Na figura, ao se
representar o vetor v, não houve a preocupação quanto à sua
escala. Se o sistema não fosse compatível, a superfície dada não
seria cilíndrica.
Determinar a reta que passa por P = (1, 5, 3) e que dá a
direção das geratrizes do cilindro x 3x z + 3xz z + z 2y = 0.
Resp.:
Pergunta-se se a equação x + y + 2z 2xz 2yz + 3 = 0
representa uma superfície cilíndrica?
Resp.: A equação dada é a de uma superfície cilíndrica.
Verificar se a equação 3x 6x 3y yz + 3 = 0 representa uma
superfície cilíndrica.
Resp.: A equação dada é a de uma superfície cilíndrica (o
sistema não é compatível). Veremos no próximo capítulo
que se trata de uma superfície cônica.
- - -
- - -
-
-
-
2 2
2 2 2 2 2
2 2
3 2 2 3
2 2 2
2
l l
l
OBSERVAÇÃO:
não
11.
12.
13.
-
- - -
- -
- - -
+
=
-
=
-
2
3z
1
5y
2
1x
:r
ïï
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í
ì
-=Þ=-
=Þ-=-
=+
1m2m2
122
32m22
ll
l
î
®
CÔNICAS E QUÁDRICAS
®
14.
15.
Calcule a diretriz (no plano xy), a geratriz e esboce o gráfico da
superfície cilíndrica 16x + z 8xz 48y + 12z = 0.
Resp.:
Achar a equação da superfície cilíndrica de rotação que passa
pelo ponto A = (2, 0, 1) e que tem para eixo a reta
Resp.: X + 2Y + Z 2XZ 6X + 8Y + 6Z + 5 = 0
A superfície cilíndrica procurada circunscreve uma esfera de
centro C e cujo R = d(C, A).
a) Cálculo do plano (passa
por A e é perpendicular a r):
: 1(x) + 0(y) + 1(z) + d = 0
Mas A : 1(2) + 0(0) + 1(1) +
+ d = 0 d = 3
: x + z 3 = 0
b) Equação da esfera:
Cálculo de C ( de com r)
c) Substituindo as equações paramétricas de r na equação de
, obtém-se t = 2 e C = (3, 2, 0). Por sua vez
Destarte, a esfera tem equação (x 3) + (y + 2) + (z 0) = 6.
2 2
2 2 2
2 2 2
-
-
p
p
p
p
Þ -
p -
Ç p
p -
- -
SUGESTÃO:
Î
Î
-
-
9
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=
+
=
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.
1
2z
0
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1
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A
r
C
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t2z
2y
t1x
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== .6)A,C(dR
Jacir. J. Venturi
®
v
z
y
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4
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4
1
v
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ï
í
ì
=
=
0z
y3x
d
2
® ®
d) Equações paramétricas das geratrizes (paralelas a r):
Abordaremos um tipo particular de superfície cilíndrica com
relevante interesse para o Cálculo Diferencial e Integral:
Isto posto, a equação
f(x, y) = 0 representa uma su-
perfície cilíndrica cujas geratri-
zes têm a direção do eixo z.
A justificativa teórica do
que se expõe procede do fato de
que as geratrizes sendo para-
lelas ao eixo z têm a direção do
vetor v = (0, 0, n). Destarte, no de-
senvolvimento da teoria no início
do presente capítulo substitua o
vetor v = ( ,m,n)porv=(0,0,n).
A equação f(x, y) = 0 apresenta uma dupla interpretação:
I) No E , f(x, y) = 0 representa uma curva no plano xy;
II) No E , f(x, y) = 0 representa uma superfície cilíndrica de gera-
trizes paralelas ao eixo z e curva diretriz