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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Docente: Eng. John Edward Neira Villena D.Sc APRESENTAÇÃO • Disciplina: Resistência dos Materiais; • Código: ReMa1; • Carga horária: 64 horas, 48 teóricas e 16 práticas; • Período Letivo: 2017-1, 14/08/2017 a 18/12/2017; • Professor: John Edward Neira Villena; • Horários : Segunda-feira (14:00 às 15:40), Terça-feira (10:00 às 11:40); Sala 15. • Horário de Atendimento: Terça-feira (16:00 às 17:40); Sala 22. APRESENTAÇÃO • Professor: John Edward Neira Villena; Classe A – 40h/DE - FCT/UFG • Sala de Permanência: 22; • Email: johnneirav@hotmail.com; • Facebook: John Villena. APRESENTAÇÃO Física 1 (2º Período) Mecânica Aplicada (4º Período) Resistência dos Materiais (5º Período) EMENTA • Contato Inicial (13/03/2018); • Carregamento Axial (19-20/03/2018); • Tensão e deformação, propriedades mecânicas dos materiais (26/03/2018, 02-03-09-10-16/03/2018); • Primeira Prova (23/04/2017); • Flexão (17-24-30/04/2018, 07-08-14-15-21-22- 28/05/2018); • Segunda Prova (04/06/2017); EMENTA • Análise de tensões e deformações (29/05/2018, 05-11- 12/06/2018); • Deslocamentos em vigas (18-19/06/2018); • Terceira prova (02/07/2018); • Revisão e entrega das provas (03/07/2018); • Prova substitutiva - substitui a pior nota (09/07/2018) OBJETIVO Principal • O principal objetivo do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar ao futuro engenheiro os meios para analisar e projetar várias máquinas e estruturas portadoras de carga. OBJETIVO Específicos: • Ao final do curso, o aluno deverá ser capaz de analisar tensões e deformações de vários elementos estruturais, e determinar deflexão de vigas através de diferentes métodos de solução. AVALIAÇÕES • Primeira prova 23/04/2018; • Segunda prova 04/06/2018; • Terceira prova 02/07/2018; • Prova substitutiva 09/07/2018; • Avaliações: 0,0 a 9,0; • Trabalho: 0,0 a 1,0. BIBLIOGRAFIA BÁSICA BEER, F.P.; JONSTON, E.R; DEWOLF, J.T., Resistência dos Materiais. 4ª ed. São Paulo: McGraw-Hill Interamericana. 2006 HIBBELER, R.C., Resistência dos Materiais, 5ª. Ed. São Paulo, Prentice Hall. 2004. TIMOSHENKO, S. e GERE, J. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos- LTC. 1983. Bibliografia Complementar: BOTELHO M. H. C. Resistência dos Materiais. Edgard Blucher Ltda, São Paulo, Brasil. 2008. CRAIG, R. Jr, Mecânica dos Materiais, Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos- LTC. 2003. GERE, J. Mecânica dos Materiais, São Paulo, Thompson Learning. 2003. POPOV, E, Introdução à Mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard Blucher, 1978. TIMOSHENKO, S. P. Mecânica dos Sólidos. Rio de Janeiro: LTC, 1994. INTRODUÇÃO Mecânica: • Ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças. INTRODUÇÃO Mecânica Corpos Rígidos Corpos Deformáveis Fluidos Estática – Trata de corpos em repouso Cinemática – Trata de corpos em movimento Dinâmica – Trata de corpos em movimento Compressíveis Incompressíveis Hidráulica ........ Resistência dos Materiais ESTÁTICA A estrutura mostrada, projetada para suportar uma carga de 30 kN. A barra AB tem seção transversal retangular de 30 x 50 mm e a barra BC tem seção transversal circular com diâmetro de 20 mm. As duas barras estão conectadas por um pino em B e são suportadas por pinos e suportes em A e C, respectivamente. ESTÁTICA ESTÁTICA Então: A reação em Ax é dirigida ao longo do eixo da barra AB e provoca compressão nessa barra ESTÁTICA Podemos aplicar a proporção: Da qual obtemos: ESTÁTICA As forças F’AB e F’BC exercidas pelo pino B, respectivamente, na barra AB e haste BC são iguais e opostas a FAB e FBC TENSÕES NOS ELEMENTOS DE UMA ESTRUTURA FBC realmente representa a resultante das forças elementares distribuídas sobre toda a área A da seção transversal TENSÕES NOS ELEMENTOS DE UMA ESTRUTURA A tensão na seção transversal de área A de uma barra submetida a uma carga axial P, é obtida dividindo-se o valor da carga P pela área A: CARGA AXIAL E TENSÃO NORMAL Dividindo a intensidade de DF por DA, obtemos o valor médio da tensão sobre DA. Fazendo DA aproximar-se de zero, obtemos a tensão no ponto Q: CARGA AXIAL E TENSÃO NORMAL As condições de equilíbrio de cada uma das partes da barra exigem que essa intensidade seja igual à intensidade P das cargas concentradas. Temos, portanto: CARGA AXIAL E TENSÃO NORMAL Quando assumimos que as forças internas estão distribuídas uniformemente através da seção, segue-se da estática elementar que a resultante P das forças internas deve ser aplicada no centroide C da seção CARGA AXIAL E TENSÃO NORMAL Uma distribuição uniforme da tensão é possível somente se a linha de ação das cargas concentradas P e P´ passar através do centroide da seção considerada. CARGA AXIAL E TENSÃO NORMAL Uma força P aplicada no centroide da seção e um conjugado M, cuja intensidade é dada pelo momento M=P*d. TENSÃO DE CISALHAMENTO TENSÃO DE CISALHAMENTO TENSÃO DE CISALHAMENTO Ao dividir a força cortante P pela área A da seção transversal, obtemos a tensão média de cisalhamento na seção: TENSÃO DE CISALHAMENTO Cisalhamento simples: TENSÃO DE CISALHAMENTO Cisalhamento duplo: TENSÃO DE ESMAGAMENTO EM CONEXÕES Tensão de esmagamento: APLICAÇÃO À ANÁLISE E PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES No suporte, a parte superior do elemento ABC tem 9,5 mm de espessura e as partes inferiores têm 6,4 mm de espessura cada uma. É utilizada resina epóxi para unir as partes superior e inferior em B. O pino em A tem 9,5 mm de diâmetro e o pino usado em C tem 6,4 mm de diâmetro. APLICAÇÃO À ANÁLISE E PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES Determine (a) a tensão de cisalhamento no pino A, (b) a tensão de cisalhamento no pino C, (c) a maior tensão normal no elemento ABC, (d) a tensão de cisalhamento média nas superfícies coladas em B e (e) a tensão de esmagamento no elemento em C. APLICAÇÃO À ANÁLISE E PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES Corpo livre: todo o suporte. Tração. APLICAÇÃO À ANÁLISE E PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES a. Tensão de cisalhamento no pino A. APLICAÇÃO À ANÁLISE E PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES b. Tensão de cisalhamento no pino C. APLICAÇÃO À ANÁLISE E PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES c. Maior tensão normal no membro ABC. APLICAÇÃO À ANÁLISE E PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES d. Tensão de cisalhamento média em B. APLICAÇÃO À ANÁLISE E PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES e. Tensão de esmagamento no membro ABC em C. Temos que A é: CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Sabendo que o elemento DE tem 25,4 mm de largura e 3,2 mm de espessura, determine a tensão normal na parte central daquele vínculo quando (a) q = 0 e (b) q = 90. E C CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Solução Diagrama de corpo livre Calculando a área FDE Cx Cy Mc = 0+ N 2 2 CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Solução a) q = 0; FDE = -346,66 N b) q = 90; FDE = -173,33 N E C FDE Cx Cy CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Um sistema constituído de barras e cilindro hidráulico controla a posição dos garfos de uma empilhadeira. A carga suportada pelo sistema é 6.670 N. Sabendo que a espessura do elemento BD é 15,88 mm, CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Determine: a) a tensão de cisalhamento média no pino de 12,5 mm de diâmetro em B e b) a tensão de esmagamento em B noelemento BD. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Solução Diagrama de corpo livre E Bx By MB = 0+ = 0+ CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Solução E Bx By Fy = 0+ CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Solução a) t no pino B E Bx By CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Solução b) tensão de esmagamento em B. E Bx By CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Uma carga P é aplicada a uma barra de aço suportada por uma chapa de alumínio na qual foi feito um furo de 12 mm conforme mostra a figura. Sabendo que a tensão de cisalhamento não deve exceder 140 MPa na barra de aço e 60 MPa na chapa de alumínio, determine a máxima carga P que pode ser aplicada à barra. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Para a barra de aço: CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Para a chapa de alumínio: O valor limite da carga P é o menor valor entre P1 e P2. P = 52,78 x 103N TENSÃO EM UM PLANO OBLÍQUO SOB CARREGAMENTO AXIAL TENSÃO EM UM PLANO OBLÍQUO SOB CARREGAMENTO AXIAL TENSÃO EM UM PLANO OBLÍQUO SOB CARREGAMENTO AXIAL TENSÃO EM UM PLANO OBLÍQUO SOB CARREGAMENTO AXIAL Carga axial Tensão para θ = 0 Tensão para θ = 45º Tensão para θ = -45º TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Componentes de tensão Força cortante Força normal TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Componentes de tensão TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Componentes de tensão TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Componentes de tensão TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Componentes de tensão: Considerando um pequeno cubo de lado a centrado em Q e as tensões que atuam em cada uma das seis faces. TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Componentes de tensão: Multiplicando as componentes de tensão correspondentes pela área D A de cada face. TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Componentes de tensão: Como há forças iguais e opostas às forças mostradas na figura que atuam nas faces ocultas do cubo, está claro que as 3 Equações ficam satisfeitas TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Componentes de tensão: Considerando os momentos das forças em relação aos eixos Qx´, Qy ´ e Qz´ desenhados a partir de Q em direções, respectivamente, paralelas aos eixos x, y e z. TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Componentes de tensão: Utilizando a projeção no plano xy, notamos que somente as forças de cisalhamento têm momentos, em relação ao eixo z, diferentes de zero. Concluímos que: TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Componentes de tensão: Utilizando: Concluímos que: Utilizando: Concluímos que: Concluímos que são necessárias somente seis componentes de tensão para definir o estado de tensão em um determinado ponto Q em lugar das nove componentes consideradas originalmente. Essas seis componentes são: TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Componentes de tensão: Notamos também que, em um determinado ponto, o cisalhamento não pode ocorrer apenas em um plano; deve sempre existir uma tensão de cisalhamento igual em outro plano perpendicular ao primeiro. TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Componentes de tensão: Exercício Proposto Uma carga P centrada é aplicada ao bloco de granito mostrado na figura. Sabendo que o valor máximo resultante da tensão de cisalhamento no bloco é 17,24 MPa, TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Exercício Proposto determine: a) a intensidade de P, b) a orientação da superfície na qual ocorre a tensão de cisalhamento máxima, c) a tensão normal que atua na superfície e d) o valor máximo da tensão normal no bloco. TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Exercício Proposto Solução a) Intensidade de P TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Exercício Proposto Solução b) Orientação da superfície Lembrando que E que: Temos que: TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Exercício Proposto Solução b) Orientação da superfície Então: Para ter TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Exercício Proposto Solução c) a tensão normal TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO Exercício Proposto Solução d) valor máximo da tensão normal TENSÃO SOB CONDIÇÕES GERAIS DE CARREGAMENTO CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Determinação do limite de resistência de um material: PL: força máxima é chamada de carga-limite do corpo de prova. sL: limite da tensão normal do material utilizado. Essa tensão, também conhecida como limite de resistência à tração. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Carga admissível e tensão admissível; coeficiente de segurança: CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto O vínculo AB deve ser feito de um aço para o qual o limite da tensão normal é 450 MPa. Determine a área da seção transversal para AB para a qual o coeficiente de segurança seja 3,50. Suponha que o vínculo seja reforçado adequadamente ao redor dos pinos em A e B. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Solução Diagrama de corpo livre Temos que Então: Dx P 0,2 m Dy FAB D+ Introdução TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama força-deformação (d ) Delta TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Em ambos os casos, o valor da tensão é o mesmo: s = P/A. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Em ambos os casos, a relação entre a deformação e o comprimento da barra é a mesma; ela é igual a d/L. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformação específica: • Definimos deformação específica normal em uma barra sob carregamento axial como a deformação por unidade de comprimento da barra. e : Deformação específica normal (épsilon) d : Deformação L: Comprimento TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Seção transversal uniforme. • A tensão normal s tem um valor constante igual a P/A por toda a barra; • a deformação específica e pode ser definida como a relação entre a deformação total d sobre o comprimento total L da barra. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Seção transversal variável. • A tensão normal s = P/A varia ao longo do elemento; • é necessário definir a deformação específica em determinado ponto Q; • Definimos a deformação específica normal no ponto Q como: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exemplo • Considere, por exemplo, uma barra de comprimento L 0,600 m com seção transversal uniforme, que sofre uma deformação d = 150x10-6 m. • Determine deformação específica. • Expressando em m: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exemplo • Considere, por exemplo, uma barra de comprimento L 0,600 m com seção transversal uniforme, que sofre uma deformação d = 150x10-6 m. • Determine deformação específica. • Utilizando unidades inglesas: • Comprimentos e deformações são expressos em polegadas ou micropolegadas (mpol) TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Materiais Cristalinos e Policristalinos Núcleos de cristalização Crescimento dos cristalitos Conclusão da solidificação Contornos dos grãos (microscópio) TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Imperfeições nos sólidos Todos os sólidos cristalinos contêm lacunas; A necessidade da existência das lacunas é explicada considerando os princípios da termodinâmica. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Impurezas nos sólidos Metais com pureza superior a 99,9999%; De 1022 a 1023 átomos de impurezas/m3 do material. Ligas, prata de lei (92,5 Ag e 7,2 Cu). Resistência mecânicae corrosão. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação • Geralmente utilizado ensaio de tração; • A área da seção transversal da parte central cilíndrica do corpo de prova foi determinada com precisão; • Marcas de referência determinam um distância L0; • L0 é conhecida como comprimento de referência do corpo de prova. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação • Máquina de teste, máquina de ensaio universal; TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação • Carga centrada P; • L é medida com um extensômetro, • O alongamento d = L- L0 é registrado para cada valor de P. • Um segundo extensômetro mede a alteração no diâmetro. • Para cada par de leituras P e d é calculada a s = P/A0 • e = L/L0 • Diagrama tensão-deformação e como abscissa e s como ordenada. • Os diagramas s -e variam muito dependendo de T e da v da carga TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Materiais dúcteis típicos; • Escoam na Tambiente; • L aumenta linearmente a uma taxa muito baixa; • Parte inicial: linha reta com inclinação bastante acentuada; • Após sE, grande deformação com pequeno aumento relativo de P. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação sL Discordâncias – defeitos lineares TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Discordâncias e Deformação Plástica A deformação plástica macroscópica corresponde simplesmente a uma deformação permanente resultante do movimento das discordâncias, ou escorregamento, em resposta à aplicação de uma tensão cisalhante TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Corpo de prova ensaiado de um material dúctil. • Após um certo valor máximo de P, o diâmetro de uma parte do corpo de prova começa a diminuir, em razão da instabilidade local (estricção). • Após a estricção, P mais baixas são suficientes para manter o corpo de prova alongando, até a ruptura. • Superfície cônica que forma um ângulo de aproximadamente 45 (cisalhamento). TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação: Materiais dúcteis Resistência ao escoamento Limite de resistência Resistência à ruptura TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação: Materiais dúcteis Até 200 vezes maior TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação: Materiais frágeis Limite de resistência Resistência à ruptura • Ferro fundido, vidro e pedra; • sem mudança notável na taxa de alongamento • e no instante da ruptura é muito menor Corpo de prova ensaiado de um material frágil. • Sem estricção no corpo de prova; • Ruptura ocorre ao longo de uma superfície perpendicular à carga. • Concluímos que as tensões normais são as principais responsáveis pela falha de materiais frágeis. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação: Materiais dúcteis • Diferentes características de escoamento • Aço: ponto de escoamento superior (transitório), e ponto de escoamento inferior. Fenômeno de encruamento. Escoamento inferior = resistência ao escoamento. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação: Materiais dúcteis • Determinação da resistência ao escoamento pelo método do desvio. e = 0,2% e = 0,002 TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação: Materiais dúcteis • Ductilidade de um material é definida como: L0: comprimento inicial do corpo de prova LR: comprimento final na ruptura AR: área inicial do corpo de prova A0: área final na ruptura TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação: Concreto TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação : Materiais dúcteis • Compressão: curva tensão-deformação específica obtida seria essencialmente a mesma em sua parte inicial reta e no início da parte correspondente ao escoamento e encruamento. • Para determinado aço, sE é a mesma tanto na tração como na compressão. • Para valores maiores de e, as curvas tensão-deformação na tração e na compressão divergem • Deve-se notar que a estricção não pode ocorrer na compressão. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Diagrama tensão-deformação: Concreto TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Lei de Hooke; módulo de elasticidade • E é chamado de módulo de elasticidade do material envolvido, ou também módulo de Young; é expresso nas mesmas unidades da s ; • O maior valor de s para o qual a lei de Hooke pode ser utilizada para determinado material é conhecido como o limite de proporcionalidade daquele material; • Para materiais dúcteis que possuem um ponto de escoamento bem definido, o limite de proporcionalidade quase coincide com o ponto de escoamento. • Para outros materiais, o limite de proporcionalidade não pode ser definido tão facilmente. Lei de Hooke; módulo de elasticidade Porção elástica da curva tensão- deformação não é linear; Ferro fundido cinzento, concreto e muitos polímero; Para esse comportamento não linear, utiliza-se normalmente ou o módulo tangente ou o módulo secante. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Lei de Hooke; módulo de elasticidade • Algumas das propriedades físicas dos metais estruturais, como resistência, ductilidade e resistência à corrosão, podem ser muito afetadas pela inclusão de elementos de liga, tratamento térmico e processos de fabricação utilizados. • possuem o mesmo módulo de elasticidade TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Lei de Hooke; módulo de elasticidade • independente da direção de carregamento: materiais são isotrópicos. • depende da direção de carregamento: materiais anisotrópicos. • Materiais compósitos reforçados com fibras • Ex, Ey e Ez são diferentes TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Comportamento elástico e comportamento plástico de um material • O limite de proporcionalidade e o limite elástico aumentaram em consequência do encruamento; • R se manteve inalterado, a ductilidade diminuiu. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações de elementos sob carregamento axial • Se a s = P/A não ultrapassar o limite de proporcionalidade do material, podemos aplicar a lei de Hooke • Lembrando que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações de elementos sob carregamento axial • Se a barra estiver carregada em outros pontos, ou se ela consistir em diversas partes com várias seções transversais e possivelmente de diferentes materiais, precisamos dividi-la em partes componentes que satisfaçam individualmente às condições de cada parte i • Lembrando que TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exemplo • Determine a deformação da barra de aço submetida às forças dadas (E = 200 GPa). TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exemplo • Dividimos a barra em três partes: • Calculando P TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exemplo • Dividimos a barra em três partes: • Calculando P • Aplicando Exercício Prático Um corpo de provas de ferro fundido maleável, tendo uma seção transversal retangular com dimensões de 4,8 mm × 15,9 mm é deformado em tração. Usando os dados carga-alonga- mento mostrados na tabela a seguir, complete os itens (a) a (f). a) Represente graficamente os dados da tensão em função da deformação específica. b) Calcule o módulo de elasticidade. c) Determine o limite de escoamento para um desvio de 0,002. d) Determine o limite de resistência à tração para essa liga. e) Indiquese o material possui um comportamento frágil ou dúctil. f) Qual é a ductilidade em termos de deformação percentual? TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Prático: Solução Carga N Comprimento mm 0,000 75,000 4.740 75,025 9.140 75,050 12.920 75,075 16.540 75,113 18.300 75,150 20.170 75,225 22.900 75,375 25.070 75,525 26.800 75,750 28.640 76,500 30.240 78,000 31.100 79,500 31.280 81,000 30.820 82,500 29.180 84,000 27.190 85,500 24.140 87,000 18.970 88,775 Fratura TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformação Específica (e) Tensão (MPa) 0 0 0,000333333 62,10691824 0,000666667 119,7589099 0,001 169,2872117 0,001506667 216,7190776 0,002 239,7798742 0,003 264,2819706 0,005 300,0524109 0,007 328,4853249 0,01 351,1530398 0,02 375,2620545 0,04 396,2264151 0,06 407,4947589 0,08 409,8532495 0,1 403,8259958 0,12 382,3375262 0,14 356,2631027 0,16 316,2997904 0,183666667 248,5587002 Fratura ଶ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Prático: Solução Exercício Prático: Solução a) Te ns ão (M Pa ) Deformação Específica TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Prático: Solução b) Te ns ão (M Pa ) Deformação Específica TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Prático: Solução c) Te ns ão (M Pa ) Deformação Específica ா TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Prático: Solução d) TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Te ns ão (M Pa ) Deformação Específica Exercício Prático: Solução e) Dúctil f) ோ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Proposto A figura mostra, para um ferro fundido cinzento, a curva tensão-deformação em tração na região elástica. Determine (a) o módulo tangente tomado a 10,3 MPa e (b) o módulo secante tomado a 6,9 MPa TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Proposto Solução: a) Temos que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Proposto Solução: b) Temos que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Carregamentos repetidos; fadiga. • milhares ou milhões de vezes • Uma falha por fadiga é de natureza frágil, mesmo para materiais normalmente dúcteis; • falha inicia em uma trinca microscópica ou em alguma imperfeição similar • no mar ou próximo do mar, ou corrosão, redução de 50%. Limite de resistência à fadiga metade do limite de resistência TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Tensões e deformações específicas verdadeiras • tensão de engenharia • tensão verdadeira • deformação específica de engenharia • deformação elementar • deformação específica verdadeira TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL • Quando ambas as extremidades da barra se movem a deformação da barra é medida pelo deslocamento relativo A é a área da seção transversal de AB; E é módulo de elasticidade de AB. Deformações de elementos sob carregamento axial TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL • A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB é de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma seção transversal com área de 500 mm2; Exemplo • A barra CD é de aço (E = 200 GPa) e tem uma seção transversal com área de 600 mm2. • Para a força de 30 kN mostrada na figura, determine os deslocamentos dos pontos (a) B, (b) D e (c) E. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL • Corpo livre: barra BDE Exemplo tração compressão TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL • Deslocamento do ponto B. Exemplo Contração em AB TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL • Deslocamento do ponto D. Exemplo Tração em CD TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL • Deslocamento do ponto E. Exemplo TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL • A barra BD feita de aço (E = 200 GPa) é utilizada para contenção lateral da haste comprimida ABC; • O máximo esforço que se desenvolve em BD é igual a 0,02P; • Se a tensão não deve exceder 110,0 MPa e a máxima mudança de comprimento da barra BD não pode exceder 0,001 vez o comprimento de ABC; • Determine o menor diâmetro possível de ser utilizado para o membro BD. Exercício proposto TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL • Solução • Temos que: • Considerando a tensão s = 110MPa podemos determinar a área de BD Exercício proposto TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL • Solução • Considerando a deformação máxima: • Lembrando que: Exercício proposto TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL • Solução • Escolhemos a menor área: Exercício proposto TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios • O cabo BC de 4 mm de diâmetro é feito de um aço com E = 200 GPa. • Sabendo que a máxima tensão no cabo não pode exceder 190 MPa e que a deformação do cabo não deve exceder 6 mm, • Determine a máxima força P que pode ser aplicada TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: • Determinado BC • Diagrama de corpo livre ଶ ଶ FBC Ax Ay MA = 0+ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: • Considerando a tensão admissível s = 190 x 106 Pa FBC Ax Ay ଶ ଷ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: • Considerando a deformação admissível d = 6 x 10-3 m FBC Ax Ay ଶ ଽ ିଷ ଷ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: • Considerando o menor valor da carga: FBC Ax Ay ଷ ଷ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Para a treliça de aço (E = 200 GPa) e o carregamento mostrado, determine as deformações dos componentes AB e AD, sabendo que suas áreas de seção transversal são, respectivamente, 2.400 mm2 e 1.800 mm2. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: O valor das reações é O membro BD é um membro com força igual a 0. Comprimento de AB ଶ ଶ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: Diagrama de corpo livre em A Fy = 0+ Fx = 0+ FAB FAD RA=114 kN TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: Membro AB RA=114 kN FAB FAD ିଷ ଷ ଽ ି TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: Membro AD RA=114 kN FAB FAD ିଷ ଷ ଽ ି TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas estaticamente indeterminados • Uma barra de comprimento L, seção transversal de área A1, e módulo de elasticidade E1, foi colocada dentro de um tubo do mesmo comprimento L, mas de seção transversal de área A2 e módulo de elasticidade E2. Qual é a deformação da barra e do tubo quando uma força P é aplicada em uma placa lateral rígida como mostra a figura? TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas estaticamente indeterminados • Solução • Temos que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas estaticamente indeterminados • Solução • Podemos escrever: • Igualando as deformações: • Lembrando que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas estaticamente indeterminados Método de superposição • Mais suportes do que aqueles necessários para manter seu equilíbrio resulta em mais reações desconhecidas do que equações de equilíbrio disponíveis. • designar uma das reações como redundante e eliminar o suporte correspondente • reação redundante deve ser mantida na solução • A solução real do problema é obtida considerando-seseparadamente as deformações provocadas pelas forças e pela reação redundante e somando ou superpondo os resultados obtidos. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas estaticamente indeterminados Método de superposição • Exemplo • Seja a barra de aço, presa em ambas as extremidades por apoios fixos, submetida ao carregamento indicado. • Determine o valor das reações nesses apoios. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas estaticamente indeterminados Método de superposição TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas estaticamente indeterminados Método de superposição Determinado dL: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas estaticamente indeterminados Método de superposição Determinado dR: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas estaticamente indeterminados Método de superposição Considerando que a deformação total d da barra deve ser zero: substituindo dL e dR: Temos que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas estaticamente indeterminados Método de superposição Determinando RA TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Um tubo de aço (E = 200 GPa) com diâmetro externo de 31,8 mm e espessura de 3,18 mm é colocado em um torno de bancada ajustado de maneira que as mandíbulas apenas toquem as extremidades do tubo sem exercerem nenhuma pressão sobre ele. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios As duas forças mostradas na figura são então aplicadas ao tubo. Após aplicar essas forças, o torno de bancada é ajustado para diminuir a distância entre suas mandíbulas em 0,2 mm. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Determine: (a) as forças aplicadas pelo torno de bancada no tubo em A e D e (b) a variação do comprimento da parte BC do tubo. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: • Para o tubo: ଶ ଶ ଶ ଶ ି ଶ RDRA TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: • De A a B: RDRA ଽ ି ିଽ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: • De B a C: ଽ ି ିଽ ି RDRA TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: • De C a D: RDRA ଽ ି ିଽ ି TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: • De A a D: • Sabendo que a) RDRA େୈ ିଽ ି ିଽ ି TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: b) Lembrando que: RDRA ିଽ ି ିଽ ି ି ିଷ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • Considerando: • Onde: a: coeficiente de dilatação térmica e representa uma quantidade por grau C ou por grau F dT: deformação, é proporcional à variação de temperatura DT e ao comprimento L da barra TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • A deformação dT deve ser associada a uma deformação específica: • Lembrando que: • Temos: • Onde: eT: deformação específica térmica, provocada pela variação de temperatura da barra. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • Temos que eT = 0 • Estado de tensão (sem a deformação específica correspondente) na barra. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • Estaticamente indeterminado • Método da superposição: • Considerando d = 0 • Tensão em razão de DT: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • Exemplo: • Determine os valores da tensão nas partes AC e CB da barra de aço, quando a temperatura da barra for de -45 C, sabendo que ambos os apoios rígidos estão ajustados quando a temperatura estiver a 20 C. • Use os valores E = 200 GPa e a a = 12 x 10-6/C para o aço. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • Exemplo: • Calculando a deformação: • Calculando RB: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • Exemplo: • Calculando RB: • Lembrando que a d = 0 TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • Exemplo: • Lembrando que P1 = P2 = 81,12 kN temos que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • Exemplo: • Embora a deformação total da barra deva ser zero, as deformações das partes componentes AC e CB não serão nulas. • eAC está composta por eT e e • Calculando a deformação específica térmica eT produzida na barra livre por DT TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • Exemplo: • A outra componente de eAC está associada com a tensão s1 por causa da força RB aplicada à barra TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • Exemplo: • Somando as duas componentes da deformação específica em AC, obtemos TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • Exemplo: • Calculando a deformação específica na parte CB da barra TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Problemas que envolvem mudanças de temperatura • Exemplo: • Lembrando que: • dAC e dCB são dadas por: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Coeficiente de Poisson Considerando que: temos: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Carregamento multiaxial; lei de Hooke generalizada • Até agora, utilizávamos o eixo x, designamos por P a força interna em uma dada localização e as componentes de tensão correspondentes TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Carregamento multiaxial; lei de Hooke generalizada TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Carregamento multiaxial; lei de Hooke generalizada • Podemos expressar d x, d y e d z em função de sx, sy e sz, se consideraremos separadamente o efeito de cada componente de tensão e combinaremos os resultados obtidos. • Determinando separadamente os efeitos das várias forças e combinando os resultados obtidos, desde que sejam satisfeitas as condições a seguir: 1. Cada efeito está linearmente relacionado com a força que o produz. 2. A deformação resultante de determinada força é pequena e não afeta as condições de aplicação das outras forças. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Carregamento multiaxial; lei de Hooke generalizada Lembrando que: Componentes de : Só no limite de proporcionalidade! TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Proposto Em um ensaio de tração padrão, uma barra de alumínio de 20 mm de diâmetro está submetida a uma força de tração de P = 30 kN. Sabendo que n = 0,35 e E = 70 GPa, determine (a) o alongamento da barra em um comprimento de referência de 150 mm e (b) a variação no diâmetro da barra. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Proposto Solução TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Proposto Solução TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Proposto Solução a) Lembrando que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Proposto Solução b) Temos que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Uma força de tração de 2669 N é aplicada a um corpo de prova feito de placa de aço plana de 1,588 mm (E = 200 GPa, n = 0,30). Determine a variação resultante (a) no comprimento de referência de 50,8 mm, (b) na largura da parte AB do corpo de prova (c)na espessura da parte AB e TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: Temos que Então: Temos que: ଶ ି ଶ ௫ ି ௫ ௫ ଽ ି ௬ ௭ n ௫ ି ି TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: a) Então: b) Temos: c) Também: ௫ ௫ ି ି ௬ ௬ ି ି ௭ ௭ ି ିଽ ିଷ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Proposto Uma barra cilíndrica com 100 mm de comprimento e diâmetro de 10,0 mm deve ser deformada utilizando-se uma carga de tração de 27.500 N. Ela não deve sofrer deformação plástica, e a redução no seu diâmetro não deve ser superior a 7,5 × 10−3 mm. Dentre os materiais listados a seguir, quais são possíveis candidatos? Justifique sua(s) escolha(s). Material Módulo de Elasticidade (GPa) Limite de Escoamento (MPa) Coeficiente de Poisson Liga de alumínio 70 200 0,33 Latão 101 300 0,34 Aço 207 400 0,30 Liga de titânio 107 650 0,34 TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Proposto Solução: Considerando que o carregamento é aplicado no eixo x podemos determinar a tensão normal como: Dentre os materiais listados a Liga de Alumínio e o Latão possuem valor de limite de escoamento inferior, então ficam descartados. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Proposto Solução: Temos que: Então: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício Proposto Solução: Para o aço: Então o aço atente Para a liga de titânio Então a liga de titânio fica descartada. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica O volume do cubo é: Considerando que e são muito pequenas: Designando a variação de volume do elemento por e: Ou: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica Lembrando que: Temos: ou TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica Considerando a pressão hidrostática (-p) temos: Introduzindo a constante k: Temos: k: módulo de compressibilidade volumétrica do material (ou módulo de bulk) TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica Exercício Determine a variação em volume DV do bloco de aço, quando ele é submetido a uma pressão hidrostática p = 180 MPa. Use E = 200 GPa e v = 0,29. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica Exercício Solução: Calculando o módulo de compressibilidade: Calculando a dilatação: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica Exercício Solução: O volume é: Sabendo que e = DV / V TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformação de cisalhamento As tensões de cisalhamento tenderão a deformar um elemento em forma de cubo do material transformando-o em um paralelepípedo oblíquo. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformação de cisalhamento gxy: deformação de cisalhamento (em radianos) TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformação de cisalhamento Lei de Hooke para tensão e deformação de cisalhamento G: módulo de rigidez ou módulo de elasticidade transversal do material (Pa ou PSI) G é menos da metade, e mais de um terço de E. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformação de cisalhamento TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformação de cisalhamento Exercício: Um bloco retangular de um material com um módulo de elasticidade transversal G = 620 MPa é colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, enquanto a placa superior está submetida a uma força horizontal P. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformação de cisalhamento Exercício: Sabendo que a placa superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine: (a) a deformação de cisalhamento média no material e (b) a força P que atua na placa superior. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformação de cisalhamento Exercício: a) Deformação de cisalhamento. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformação de cisalhamento Exercício: b) Força atuante na placa superior TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Lei de Hooke generalizada para um material isotrópico e homogêneo submetido a um estado de tensão mais geral E, n e G, devem ser determinadas experimentalmente TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Outras discussões sobre deformação sob carregamento axial; relação entre E, v e G • A força axial P provoca nesse elemento uma deformação de cisalhamento g´ igual ao valor pelo qual aumenta ou diminui cada um dos ângulos mostrados. • t e g´ são máximas em um plano que forma um ângulo de 45 com o eixo da força. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Outras discussões sobre deformação sob carregamento axial; relação entre E, v e G • Considerando o elemento prismático temos que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Outras discussões sobre deformação sob carregamento axial; relação entre E, v e G • Aplicando a fórmula da tg da diferença de dois ângulos: • Como gm/2 é um ângulo muito pequeno: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Outras discussões sobre deformação sob carregamento axial; relação entre E, v e G • Temos também que: • Igualando os membros: • Como ex << 1 TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Outras discussões sobre deformação sob carregamento axial; relação entre E, v e G • Lembrando que: • Temos: ou • Das figuras, temos: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Relações de tensão-deformação para materiais compósitos reforçados com fibras • Primeiro índice indica a direção da força e o segundo a direção da contração TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Relações de tensão-deformação para materiais compósitos reforçados com fibras • Para o carregamento multiaxial teremos 3 valores de E e 6 de n • Anisotrópico • Primeiro índice indica a direção da força e o segundo a direção da contração • Isotrópico TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Relações de tensão-deformação para materiais compósitos reforçados com fibras • Considerando que os coeficientes das componentes de tensão são simétricos: • Temos que embora diferentes, nxy e nxy não são independentes; qualquer um deles pode ser obtido a partir do outro se os valores correspondentes do módulo de elasticidade forem conhecidos. • O mesmo vale para nyz e nzy, e para nzx e nxz. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Relações de tensão-deformação para materiais compósitos reforçados com fibras • Para o caso de cisalhamento para materiais anisotrópicos temos que: • Lembrando que pra isotrópicos temos: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios A placa homogênea ABCD está submetida a um carregamento biaxial. Sabe-se que sz = s0 e que a variação no comprimento da placa na direção x deve ser zero, ou seja, e x = 0. Designando por E o módulo de elasticidade e por n o coeficiente de Poisson, determine (a) a intensidade necessária de sz e (b) a relação s0 /ez. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução Temos: Então TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução a) Temos que: b) Temos que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Distribuição de tensão e deformação específica sob carregamento axial; princípio de Saint-Venant Se: constantes, e se as s não exceder o limite de proporcionalidade, temos: Temos que a distribuição de s em qualquer ponto TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Distribuição de tensão e deformação específica sob carregamento axial; princípio de Saint-Venant Se as forçasforem concentradas, os elementos nas vizinhanças imediatas dos pontos de aplicação das forças estarão submetidos a tensões muito grandes, os outros elementos próximos das extremidades do componente não serão afetados pelo carregamento. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Distribuição de tensão e deformação específica sob carregamento axial; princípio de Saint-Venant TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Distribuição de tensão e deformação específica sob carregamento axial; princípio de Saint-Venant 1. O carregamento real e o utilizado para calcular as tensões devem ser estaticamente equivalentes. 2. As tensões não podem ser calculadas dessa maneira nas vizinhanças imediatas dos pontos de aplicação das forças. Métodos teóricos avançados ou experimentais devem ser utilizados para determinar a distribuição de tensões nessas regiões. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Concentrações de tensão TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Concentrações de tensão TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Concentrações de tensão TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Material elásticoplástico TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo A barra é submetida a uma força axial até que seja atingido um alongamento de 7 mm e a força é então removida. Qual é a deformação permanente resultante? região elástica e sE = 300 MPa. Uma barra de comprimento L = 500 mm e seção transversal com área A = 60 mm2 é feita de um material elastoplástico que tem um módulo de elasticidade E = 200 GPa em sua TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Solução O ponto de maior deformação específica é o ponto C Também: Após a remoção da força: dD correspondente a eD TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo As extremidades da barra e do tubo são fixadas a um suporte rígido em um dos lados e a uma placa rígida no outro, como mostra a seção longitudinal. Uma barra cilíndrica com 800 mm de comprimento e seção transversal com área A = 48 mm2 é colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento e seção transversal de área At = 60 mm2. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Supõe-se que a barra e o tubo sejam ambos elastoplás- ticos, com módulos de elasticidade Eb = 200 GPa e Et = 80 GPa, e as tensões de escoamento (sb)E = 250 MPa e (st)E = 300 MPa. Desenhe o diagrama força-deslocamento do conjunto constituído por barra e tubo quando P é aplicada à placa, conforme mostra a figura. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Solução Determinando a força interna e o alongamento da barra quando ela começa a escoar TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Solução Determinando a força interna e o alongamento do tubo quando começa a escoar TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Solução Considerando que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Se a força P aplicada ao conjunto constituído pela barra e pelo tubo do exemplo anterior é aumentada de zero a 24 kN e diminuída de volta a zero, determine: (a) o alongamento máximo do conjunto e (b) a deformação permanente depois que a força é removida. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Solução Alongamento máximo: Considerando que com P = 24kN, a barra está na região plástica com: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Solução Alongamento máximo Considerando que com P = 24kN o tubo ainda está na região elástica temos que: Temos também: O alongamento máximo do conjunto é: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Solução Alongamento máximo TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Solução: Deformação permanente: A força Pb diminui ao longo da linha CD paralela à parte inicial da curva de carregamento, A força Pt diminui ao longo da curva de carregamento original, pois a tensão de escoamento não foi excedida no tubo. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Solução: Deformação permanente: P = Pb + Pt, diminuirá ao longo de uma linha CE paralela à parte OEb da curva de força- deslocamento do conjunto Calculando a inclinação de Oeb: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Solução: Deformação permanente: FE representa a deformação do conjunto durante a fase de descarregamento d ´, OE representa a deformação permanente dp depois que a força P foi removida. Do triângulo CEF temos: A deformação permanente: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Exemplo Solução: Deformação permanente: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Lembrando que: Temos que: Para que smax não exceda sE: Temos: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Deformações plásticas Quando: Temos que: Podemos concluir que: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Tensões residuais Exemplo Determine as tensões residuais na barra e no tubo dos exemplos anteriores depois da carga P ser aumentada de zero até 24 kN e diminuída de volta a zero. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Tensões residuais Exemplo Solução: Da figura temos que as forças internas Pb e Pt não voltam a zero. As tensões correspondentes também não são iguais a zero depois que o conjunto foi descarregado. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Tensões residuais Exemplo Solução: Determinando as tensões reversas s b´ e s t´. provocadas pelo descarregamento e somando-as às tensões máximas s b 250 MPa e s t 200 Mpa encontradas anteriormente. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Tensões residuais Exemplo Solução: Temos que: As tensões reversas são: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Tensões residuais Exemplo Solução: As tensões residuais são: CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a um carregamento conforme mostra a figura. Determine a intensidade da força P para a qual a tensão normal de tração na barra AB é duas vezes a intensidade da tensão de compressão da barra BC. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Solução CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Solução CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Solução Igualando sAB a 2sBC CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Um medidor de deformação localizado em C na superfície do osso AB indica que a tensão normal média no osso é 3,80 MPa, quando o osso está submetido a duas forças de 1200 N como mostra a figura. Supondo que a seção transversal do osso em C seja anular e sabendo que seu diâmetro externo é 25 mm, determine o diâmetro interno da seção transversal do osso em C. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Solução Temos: Também: CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto A barra rígida EFG é suportada pelo sistema de treliça mostrado na figura. Sabendo que a componente CG é uma haste circular sólida de 18,0 mm de diâmetro, determine a tensão normal em CG. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Solução Utilizando a parte EFGCB: Comprimento de AE Então: FAB FAE FDE y+ CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Solução Utilizando a parte EFG: Temos Então: FAE FDE FBF FCG FCF F+CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Quando a força P alcançou 8 kN, o corpo de prova de madeira mostrado na figura falhou sob cisalhamento ao longo da superfície indicada pela linha tracejada. Determine a tensão de cisalhamento média ao longo daquela superfície no instante da falha. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Solução A área sob cisalhamento é: Então: CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Uma barra de aço AB de 15,88 mm de diâmetro está encaixada em um furo redondo próximo à extremidade C de uma vigota de madeira CD. Para o carregamento mostrado, determine (a) a tensão normal média máxima na madeira, (b) a distância b para a qual a tensão de cisalhamento média é 690 kPa nas superfícies indicadas pelas linhas pontilhadas e (c) a tensão de esmagamento média na madeira. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Solução: a) Temos: então CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Solução: b) Temos: CONSIDERAÇÕES DE PROJETO Exercício Proposto Solução: c) Temos: TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Uma barra de alumínio de 1,5 m de comprimento não deve se alongar mais que 1 mm e a tensão normal não deve exceder 40 MPa quando a barra está submetida a uma força axial de 3 kN. Sabendo que E = 70 GPa, determine o diâmetro necessário para a barra. Resp: d = 9,77 mm. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: Temos que: Tensão: Deformação: ିଷ ଽ ଷ ଷ ି ଶ ଶ ଷ ଽ ିଷ ି ଶ ଶ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: Considerando o maior valor ଶ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Ambas as partes da barra ABC são feitas de um alumínio para o qual E = 70 GPa. Sabendo que a intensidade de P é 4 kN, determine (a) o valor de Q de modo que o deslocamento em A seja zero e (b) o deslocamento correspondente de B. Resp: (a) 32,8 kN. (b) 0,0728 mm TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: a) O membro AB está em tração: ଶ ଶ ି ଶ ଶ ଶ ିଷ ଶ ଷ ଽ ି ି TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: a) O membro BC está em compressão: ଽ ିଷ ିଽ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: a) Para ter um deslocamento em A = 0 temos: ିଽ ି ଷ ଷ ଷ ଷ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: b) Temos que: ି TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Cada uma das barras AB e CD é feita de alumínio (E = 75 GPa) e tem uma seção transversal com área de 125 mm2. Sabendo que elas suportam a barra rígida BC, determine o deslocamento do ponto E. Resp: 0,1095 mm TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução Diagrama de corpo livre em BC FAB FCD C+ B+ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução Para as barras temos: ଷ ଽ ି ି ଷ ଽ ି ି FAB FCD TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução Deslocamento em E: Então: B E C θ ି ି ா ) ா ି ି) ா ି TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Uma barra de 250 mm de comprimento e seção transversal retangular de 15 X 30 mm é formada por duas camadas de alumínio de 5 mm de espessura, e uma camada central de latão de mesma espessura. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Se o conjunto é submetido a forças centradas de intensidade P = 30 kN, e sabendo que Ealum = 70 GPa e Elatão = 105 GPa, determine a tensão normal (a) nas camadas de alumínio e (b) na camada de bronze. Resp: (a) -57,1 Mpa (a) -85,7 MPa TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução Para cada camada temos: Designando: A deformação é: ଶ ି ଶ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução A força total é: Resolvendo para Pa e Pl: a) Temos: b) Temos: ଷ ି ଷ ି TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Forças de compressão centradas de 178 kN são aplicadas em ambas as extremidades do conjunto mostrado na figura por meio de placas rígidas. Sabendo que Eaço = 200 GPa e Ealum = 69,6 GPa, determine (a) as tensões normais no núcleo de aço e no tubo de alumínio (b) a deformação do conjunto. Resp: (a) saço = 124,2 MPa, salum = 43,2 MPa. (b) 0,1577 mm. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: Designando: Temos que: Força total: ௧ ௧ ௧ ௧ ௧ ௧ ௧ ௧ ௧ ௧ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: Lembrando que: Temos que: pode ser expressa como: Calculando as áreas: ௧ ௧ ௧ ௧ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: Temos que: a) Temos: b) Então: ଷ ଽ ଽ ି ଽ ି) ଽ ି) ି) ି TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios O bloco de plástico mostrado está colado a uma base fixa e a uma chapa horizontal rígida à qual é aplicada uma força P. Sabendo que o plástico utilizado tem módulo de elasticidade transversal G = 379,2 MPa, determine o deslocamento da chapa quando P = 40,0 kN. Resp: 0,475 mm. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: Calculando a área: Tensão de cisalhamento: Deformação de cisalhamento: ଷ ିଷ ିଷ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercícios Solução: Então: P P d h PRIMEIRA PROVA RESOLUÇÃO Exercício 1 O vínculo horizontal BC tem 6,4 mm de espessura e é feito de aço. Qual deverá ser a largura w do vínculo, se a estrutura mostrada for projetada para suportar uma carga P = 36 kN com um coeficiente de segurança igual a 3?. (2,5 pontos) PRIMEIRA PROVA RESOLUÇÃO Exercício 1 Solução: Do gráfico temos Então: Comportamento tensão-deformação para um corpo de provas de aço PRIMEIRA PROVA RESOLUÇÃO Exercício 1 Solução FCB D+ Dx Dy Primeira Prova Resolução Exercício 2 A variação no diâmetro de um grande parafuso de latão é cuidadosamente medida enquanto a porca é apertada. Sabendo que n = 0,29, determine a força interna no parafuso, quando se observa que o diâmetro diminuiu em 13 mm. (2,5 pontos). Primeira Prova Resolução Exercício 2 Solução Temos que: Primeira Prova Resolução Exercício 2 Solução: Temos que: Também: ௬ ି ௬ ௬ ି ିଷ ௬ ି ௬ ௫ ௫ ௬ ି ି Primeira Prova Resolução Exercício 2 Solução: Então: Também: Temos: ௫ ௫ ௫ ଽ ି ଶ ଷ ଶ ௫ ଶ ିଷ ଶ ௫ ିଷ ଷ Primeira Prova Resolução Exercício 3 Duas barras cilíndricas, uma de aço e outra de latão, são unidas em C e contidas por apoios rígidos em A e E. Para o carregamento indicado na figura, determine (a) as reações em A e E e (b) o deslocamento do ponto C (3,0 pontos). PRIMEIRA PROVA RESOLUÇÃO Exercício 3 Solução: Do gráfico temos Do exercício 2 temos: Comportamento tensão-deformação para um corpo de provas de aço ç ç ௧ã TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício 3 Solução: Temos: RERA ா ா TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício 3 Solução: • De A a B: RERA ଽ ିଷ ିଵ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício 3 Solução: • De B a C: ଷ ଷ ଽ ିଷ ିଵଶ ି RERA TENSÃOE DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício 3 Solução: • De C a D: ଷ ଷ ଽ ି ିଽ ି RERA TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício 3 Solução: • De D a E: ଷ ଷ ଽ ି ିଽ ି RERA TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício 3 Solução: • De A a E: • Sabendo que a) ா େୈ େୈ ா ିଽ ି ா ିଽ ି ா ଷ TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL Exercício 3 Solução: b) Lembrando que: ିଽ ି ି ିଷ FLEXÃO Flexão pura Elemento prismático submetido a momentos fletores atuando no plano de simetria FLEXÃO Flexão pura FLEXÃO Flexão pura FLEXÃO Flexão pura • Essencial no estudo de vigas • Intensidade de M dada por M = Px FLEXÃO Barra simétrica em flexão pura • Barra submetida aos conjugados M e M´. • Positivo quando a concavidade estiver para cima. FLEXÃO Barra simétrica em flexão pura • Barra submetida aos conjugados M e M´. • O conjugado é chamado de momento fletor; FLEXÃO Barra simétrica em flexão pura • A soma das componentes em qualquer direção é 0 • Componentes em x • Momentos em torno de y • Momentos em torno de z • Negativo (horário) FLEXÃO Deformações em uma barra de seção simétrica em flexão pura • Haverá flexão no plano de simetria mas permanecerá simétrico no outros. • Como M é o mesmo em qualquer seção transversal, a flexão será uniforme. • Linha AB muda para arco. FLEXÃO Deformações em uma barra de seção simétrica em flexão pura Seção vertical, longitudinal Seção horizontal, longitudinal FLEXÃO Deformações em uma barra de seção simétrica em flexão pura Seção vertical, longitudinal Seção transversal : Raio do arco DE DE: Comprimento da viga L FLEXÃO Deformações em uma barra de seção simétrica em flexão pura Temos que: (DE) (JK) FLEXÃO Deformações em uma barra de seção simétrica em flexão pura O valor de ex atinge o valor máximo quando o valor de y é máximo: c: maior distância da superfície neutra (superfície superior ou inferior da viga). Então temos: FLEXÃO Tensões e deformações no regime elástico Lembrando que: E fazendo: Temos: Onde sm: valor máximo absoluto da tensão FLEXÃO Tensões e deformações no regime elástico Lembrando que: Temos: Então: a linha neutra passará pelo centro geométrico, ou centroide, da seção transversal. FLEXÃO Tensões e deformações no regime elástico Lembrando também que: Temos: Então: FLEXÃO Tensões e deformações no regime elástico Lembrando que em flexão pura a linha neutra passa pelo centro geométrico da seção transversal. Sabendo que: Temos: Então: pode ser escrita como FLEXÃO Tensões e deformações no regime elástico A relação I/c depende somente da geometria da seção transversal. Essa relação é chamada de módulo de resistência e é representada por W Então: Como sm é inversamente proporcional W, está claro que as vigas devem ser projetadas com um valor de W o maior possível. FLEXÃO Tensões e deformações no regime elástico Temos que: FLEXÃO Tensões e deformações no regime elástico Perfis americanos tipo S e W Com esses valores podemos determinar: • A maior parte de suas seções transversais está localizada bem longe da linha neutra • Proporcionam valores altos de I e consequentemente de W. • W achado em tabelas FLEXÃO Tensões e deformações no regime elástico • A deformação da viga provocada por M é medida pela curvatura da superfície neutra. • A curvatura é definida como o inverso do raio de curvatura . Lembrando que: • Temos: • No regime elástico temos que em = sm/E, então: • ou FLEXÃO Exercício • Uma barra de aço de seção transversal retangular medindo 20,3 mm x 63,5 mm está submetida a dois momentos fletores iguais e opostos atuando no plano vertical de simetria da barra. • Determine o valor do momento fletor M que provoca escoamento na barra. Considere sE = 248 MPa. FLEXÃO Exercício Solução: FLEXÃO Exercício • Uma barra de alumínio com uma seção transversal semicircular de raio r = 12 mm é flexionada até atingir a forma de um arco de circunferência de raio médio = 2,5 m. • Sabendo que a face plana da barra está virada para o centro de curvatura do arco, determine as tensões máximas de tração e compressão na barra. Use E = 70 GPa. FLEXÃO Exercício Solução: Calculando o centroide: A linha neutra é: Então: FLEXÃO Exercício Solução: Aplicando a lei de Hooke obtemos a sm a tração: sm a compressão: FLEXÃO Exercício O tubo retangular mostrado na figura é um extrudado de uma liga de alumínio para a qual sE = 275 MPa, sL = 414 MPa e E = 73 GPa. FLEXÃO Exercício Desprezando o efeito dos adoçamentos, determine a) o momento fletor M para o qual o coeficiente de segurança será de 3,00 e b) o raio de curvatura correspondente do tubo. FLEXÃO Exercício Solução: Momento de Inercia: Tensão admissível: FLEXÃO Exercício Solução: a) Momento Fletor: Temos que: Então: FLEXÃO Exercício Solução: b) Raio de curvatura: FLEXÃO Exercício Solução Alternativa: b) Raio de curvatura: Lembrando que: FLEXÃO Deformações em uma seção transversal • Lembrando que: • E também que: • Temos: FLEXÃO • As deformações na direção z horizontal, a expansão dos elementos localizados acima da superfície neutra e a correspondente contração dos elementos localizados abaixo daquela superfície resultarão em várias linhas horizontais encurvadas em arcos de circunferência. • A seção transversal se curvara em um arco de circunferência de raio: Deformações em uma seção transversal FLEXÃO • O inverso do raio de curvatura ´ representa a curvatura da seção transversal e é chamado de curvatura anticlástica • Caso ideal: Deformações em uma seção transversal Resistência à Flexão: É a tensão no momento da fratura M = momento fletor máximo c = distância do centro do corpo de provas até as fibras mais externas I = momento de inércia da seção transversal F = carga aplicada FLEXÃO Ensaio de Flexão FLEXÃO Ensaio de Flexão – Exercício Prático Um ensaio de flexão em três pontos é realizado em uma amostra de vidro (E = 69 GPa) que possui uma seção transversal retangular com altura d = 5 mm e largura b= 10 mm; a distância entre os pontos de apoio é de 45 mm. a) Calcule a resistência à flexão (tensão no momento da fratura) se a carga na fratura é de 290 N. b) O ponto com deflexão máxima Δy ocorre no centro da amostra e pode ser descrito pela relação Calcule Δy para uma carga de 266 N FLEXÃO Ensaio de Flexão – Exercício Prático Solução a) Resistência à flexão Para uma amostra retangular temos que: FLEXÃO Ensaio de Flexão – Exercício Prático Solução b) Calculando a deflexão (Δy) Lembrando que: Então: FLEXÃO FLEXÃO Exercício Uma peça de máquina feita de ferro fundido está submetida a um momento fletor de 3 kNm conforme mostra a figura. Sabendo que E = 165 GPa e desprezando o efeito dos adoçamentos, determine (a) as tensões de tração e compressão máximas na peça fundida e (b) o raio de curvatura dessa peça. FLEXÃO Exercício Solução: Centroide FLEXÃO Exercício Solução: Momento de inercia FLEXÃO Exercício Solução: Tensão de tração máxima Tensão de compressão máxima FLEXÃO Exercício Solução: Raio de curvatura FLEXÃO Exercício Proposto Duas forças verticais são aplicadas à viga com a seção transversal mostradana figura. Determine as tensões de tração e de compressão máximas na parte BC da viga. FLEXÃO Exercício Solução: Considerando: Calculando A 1 11612,88 127 1474836 2 11612,88 25,4 294967,2 23225,76 1769803 1 2 1 2 FLEXÃO Exercício Solução: Calculando I: 1 2 1 2 FLEXÃO Exercício Solução: Calculando I: 1 2 1 2 FLEXÃO Exercício Solução: Temos que: Calculando M: 1 2 1 2P P = M FLEXÃO Exercício Solução: Calculando as tensões: Compressão Tração FLEXÃO Exercício Proposto Duas forças verticais são aplicadas à viga com a seção transversal mostrada na figura. Determine as tensões de tração e de compressão máximas na parte BC da viga. Resp: 106,18 MPa; 71,61 MPa. FLEXÃO Exercício Solução: Considerando: Calculando A 1 5161,28 190,5 983223,84 2 3870,96 101,6 393328,54 3 2580,64 12,7 32774,17 11612,88 1409287,5 1409287,5 11612,88 1 2 3 FLEXÃO Exercício Solução: Calculando I: 1 2 3 FLEXÃO Exercício Solução: Calculando I: 1 2 3 FLEXÃO Exercício Solução: Calculando I: 1 2 3 FLEXÃO Exercício Solução: Temos que: Calculando M: R P = M 1 2 3 FLEXÃO Exercício Solução: Calculando as tensões: Compressão Tração FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais • Não podemos supor que a L.N passe pelo centroide; • Como os E, são diferentes, temos: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais • Temos que a força dF1 que atua no elemento de área dA a parte superior é: • E a força dF2 que atua no elemento de área dA a parte inferior é: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais • Chamando n a relação de E2/E1 temos: • Comparando com: • Temos: • se n > 1, alargamento • se n < 1, estreitamento FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais • A linha neutra será traçada através do centroide da seção transformada • a tensão sx em qualquer ponto da seção da barra homogênea fictícia será: s1 = sx s2 = sx*n • A curvatura da barra é: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Uma barra obtida unindo-se duas peças de aço (Eaço = 203 GPa) e latão (Elatão = 105 GPa) tem a seção transversal da figura. Determine a tensão máxima no aço e no latão quando a barra estiver em flexão pura com um momento fletor M = 4,5 kNm. FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Solução: Calculando n: A largura da parte central é: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Solução: Calculando I: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Solução: Calculando sm: Então: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Duas placas de aço foram soldadas para formar uma viga em forma de T que foi reforçada aparafusando-se firmemente a ela duas pranchas de carvalho, conforme mostra a figura. O módulo de elasticidade é de 12,5 GPa para a madeira e de 200 GPa para o aço. FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Sabendo que um momento fletor M = 50 kNm é aplicado à viga composta, determine: (a) a tensão máxima na madeira e (b) a tensão no aço ao longo da borda superior. FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Solução: Seção transformada: Linha neutra: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Solução: Momento de inercia: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Solução: a) Tensão máxima na madeira: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Solução: b) Tensão no aço: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais • Concreto reforçado Momento estático deve ser zero ou FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Uma laje de piso de concreto é reforçada por barras de aço de 16 mm de diâmetro colocadas 40 mm acima da face inferior da laje, com 150 mm de espaço entre seus centros. O módulo de elasticidade é de 25 GPa para o concreto usado e de 205 GPa para o aço. FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Sabendo que é aplicado um momento fletor de 4,5 kNm a cada 300 mm de largura da laje, determine (a) a tensão máxima no concreto e (b) a tensão no aço. FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Solução: Seção transformada: Então: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Solução: Linha Neutra: Momento de inercia centroidal: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exemplo Solução: a) Tensão máxima no concreto: b) Tensão no aço: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exercício A viga de concreto reforçado mostrada na figura está submetida a um momento fletor positivo de 175 kNm. Sabendo que o módulo de elasticidade é de 25 GPa para o concreto e de 200 GPa para o aço, determine (a) a tensão no aço e (b) a tensão máxima no concreto. FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exercício Calculando n Área do aço: FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exercício Achando L.N. 480 mm x ç FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exercício Achando I Lembrando que: 480 mm x ç FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exercício Achando as tensões Para o aço: 480 mm x ç FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exercício Achando as tensões Para o concreto: 480 mm x ç Flexão de barras constituídas de vários materiais Exercício 750 mm 600 mm 125 mm 300 mm 25 60 mm FLEXÃO Sabendo que o momento fletor em uma viga de concreto reforçado é de +200 kNm e que o módulo de elasticidade é de 25 GPa para o concreto e 200 GPa para o aço, determine (a) a tensão no aço e (b) a tensão máxima no concreto. Flexão de barras constituídas de vários materiais Exercício Solução Temos: Tensão máxima ç ଽ ଽ 750 mm 600 mm 125 mm 300 mm 25 60 mmç ଶ ଶ ç ଶ ç ଶ FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exercício Solução Achando a linha neutra ଵ ଶ ç ç 1 2 ଶ ଶ 3 FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exercício Solução Calculando I ç 1 2 ଵ ଵ ଵ ଷ ଵ ଵ ଶ 3 ଵ ଷ ଶ ଵ ଶ ଶ ଶ ଷ ଷ ଶ ସ ଷ ଷ ଷ ଶ ସ ଶ ସ ଵ ଶ ଷ ଽ ସ FLEXÃO Flexão de barras constituídas de vários materiais Exercício Solução a) Tensão no aço: b) Tensão no concreto ç 1 2 3 ç ଷ ିଷ ç ଷ ିଷ FLEXÃO FLEXÃO Concentrações de Tensão FLEXÃO Concentrações de Tensão FLEXÃO Concentrações de Tensão Exemplo Devem ser feitas ranhuras de 10 mm de profundidade em uma barra de aço que tem 60 mm de largura e 9 mm de espessura. FLEXÃO Concentrações de Tensão Exemplo Determine a menor largura admissível das ranhuras considerando que a tensão na barra não deve ultrapassar 150 Mpa quando o momento fletor for igual a 180 Nm. FLEXÃO Concentrações de Tensão Exemplo Solução: Temos que: Calculando I FLEXÃO Concentrações de Tensão Exemplo Solução: Então: Lembrando que:
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