Retas e Planos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG
INSTITUTO DE MATEMA´TICA, ESTATI´STICA E
FI´SICA - IMEF
FABI´OLA AIUB SPEROTTO
DAIANE SILVA DE FREITAS
EQUAC¸O˜ES DE RETAS E PLANOS
NO ESPAC¸O
1◦ Edic¸a˜o
Rio Grande
2018
 
 
 
S749e Sperotto, Fabíola Aiub 
 Equações de retas e planos no espaço [recurso eletrônico] / 
 Fabíola Aiub Sperotto, Daiane Silva de Freitas. - Rio Grande: Ed. da 
 FURG, 2018. 
 79 p. 
 
 Modo de acesso: http://www.lemas.furg.br/index.php/material-didatico 
 ISBN: 978-85-7566-528-2 
 
 
 1. Equações de retas 2.Equações de planos 3. Geometria analítica 
 I. Freitas, Daiane Silva de II. Título 
 
 
 CDU 517.9 
 Catalogação na fonte: Bibliotecária Vanessa Dias Santiago – CRB10/1583 
 
 
 
Universidade Federal do Rio Grande - FURG
EQUAC¸O˜ES DE RETAS E PLANOS NO
ESPAC¸O
Instituto de Matema´tica, Estat´ıstica e F´ısica - IMEF
Fab´ıola Aiub Sperotto
Daiane Silva de Freitas
site: www.lemas.furg.br/index.php/material-didatico
i
Suma´rio
1 Retas 1
1.1 Equac¸o˜es Parame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Reta definida por Dois Pontos . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Equac¸o˜es Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Equac¸o˜es Reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados . . . . . 11
1.4.1 Retas Paralelas aos Planos Coordenados . . . . . . . . 11
1.4.2 Retas Paralelas aos Eixos Coordenados . . . . . . . . 13
1.4.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Aˆngulo entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Condic¸o˜es de Ortogonalidade, Paralelismo e Coplanaridade
entre retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.1 Condic¸a˜o de Ortogonalidade entre duas retas . . . . . 17
1.6.2 Condic¸a˜o de Paralelismo entre duas retas . . . . . . . 17
1.6.3 Retas Coplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Posic¸o˜es relativas entre retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Intersec¸a˜o de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Reta ortogonal a duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10 Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10.1 Distaˆncia de um ponto a uma reta . . . . . . . . . . . 25
1.10.2 Distaˆncia entre retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11 Lista de Exerc´ıcios - Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Planos 32
2.1 Determinac¸a˜o da Equac¸a˜o de um Plano . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 Outra forma para determinar a equac¸a˜o geral do plano 39
2.2 Planos Paralelos aos Eixos e Planos Coordenados . . . . . . . 40
2.2.1 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados . . . . . . . . 40
ii
2.2.2 Planos Paralelos aos Planos Coordenados . . . . . . . 41
2.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Equac¸a˜o Vetorial e Equac¸o˜es Parame´tricas do Plano . . . . . 43
2.5 Aˆngulo entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Planos Paralelos e Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7 Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7.1 Aˆngulo de uma reta com um plano . . . . . . . . . . . 46
2.7.2 Condic¸o˜es de paralelismo e perpendicularismo entre
reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.3 Condic¸o˜es para que uma reta esteja contida num plano 47
2.7.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8 Intersec¸a˜o entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.9 Intersec¸a˜o de uma reta com o plano . . . . . . . . . . . . . . 49
2.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.10 Intersec¸a˜o de um Plano com os Eixos e Planos coordenados . 51
2.11 Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.11.1 Distaˆncia de um ponto a um Plano . . . . . . . . . . . 52
2.11.2 Distaˆncia entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.11.3 Distaˆncia de uma reta a um plano . . . . . . . . . . . 53
2.11.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.12 Lista de Exerc´ıcios - Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Gabaritos 58
3.1 Lista de Exerc´ıcios - Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Lista de Exerc´ıcios - Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A Retas e Planos - Exemplos 62
B Estudo da Reta no plano cartesiano 66
B.1 Conceito de Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . 66
B.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta . . . . . . . . . . . . 67
B.1.2 A Equac¸a˜o da Reta no plano . . . . . . . . . . . . . . 69
iii
Cap´ıtulo 1
Retas
No estudo da reta no plano cartesiano (R2), e´ fa´cil perceber que da-
dos dois pontos distintos obtemos uma u´nica reta, que e´ definida por uma
equac¸a˜o linear. Para maiores detalhes, revise o apeˆndice B.1.
Nosso objetivo agora e´ o estudo da reta no espac¸o (R3), que sera´ deter-
minada por um ponto e um vetor indicando a direc¸a˜o da reta, conforme a
Figura 1.1. Neste cap´ıtulo, mostraremos como usar os produtos escalares e
vetoriais para escrever equac¸o˜es para retas e segmentos de retas.
Figura 1.1: Ponto da reta e vetor direcional
Definic¸a˜o: Considere uma reta r que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) e
com direc¸a˜o do vetor na˜o nulo ~v = (a,b,c). Dado um ponto P qualquer, esse
ponto pertence a reta r se, e somente se, o vetor
−→
AP e´ paralelo ao vetor ~v.
Enta˜o,
−→
AP= t~v, para algum t real. (1.1)
1
Pela equac¸a˜o (1.1), temos que
P −A = t~v ⇒ P = A+ t~v,
ou em coordenadas,
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(a,b,c). (1.2)
A equac¸a˜o (1.2) e´ denominada equac¸a˜o vetorial da reta r no espac¸o
(R3). O vetor ~v e´ o vetor diretor ou vetor direcional da reta e t e´ denomi-
nado paraˆmetro.
A reta no R3 e´ o conjunto de todos os pontos A(x1,y1,z1) para os quais−→
AP‖ ~v (
−→
AP e´ paralelo ao vetor ~v) e o paraˆmetro t depende da localizac¸a˜o
do ponto A ao longo da reta. E o domı´nio de t e´ (−∞,∞).
Exemplo 1. Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto
A(2,3,5) e tem direc¸a˜o do vetor ~v = 3~i+ 4~j − ~k.
Soluc¸a˜o: O vetor ~v = 3~i+ 4~j −~k pode ser reescrito na forma de coorde-
nadas: ~v = (3,4,− 1).
Enta˜o, a equac¸a˜o vetorial da reta e´
(x,y,z) = (2,3,5) + t(3,4,− 1).
Se desejarmos obter pontos da reta r, atribu´ımos valores para o paraˆmetro
t. Assim, para
t = 0⇒ A(2,3,5)
t = 1⇒ B(5,7,4)
t = −1⇒ C(−1,− 1,6),
e assim sucessivamente. Se o paraˆmetro t assumir todos os valores reais
teremos todos os infinitos pontos da reta. Observe o gra´fico da Figura 1.2.
2
IMEF - FURG
1.1. EQUAC¸O˜ES PARAME´TRICAS
Figura 1.2: Pontos selecionados sobre a reta.
Exemplo 2. Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto
A(1,− 3,2) e tem direc¸a˜o do vetor ~v = 3~i+ 5~j − 4~k.
Reescrevendo o vetor na forma de coordenadas, ~v = (3,5,−4). A equac¸a˜o
vetorial da reta fica
(x,y,z) = (1,− 3,2) + t(3,5,− 4).
Observac¸a˜o: Aequac¸a˜o vetorial dos exemplos anteriores na˜o e´ u´nica.
Existem infinitas equac¸o˜es vetoriais para uma mesma reta, pois basta escre-
ver a equac¸a˜o usando outro ponto da reta ou outro vetor na˜o nulo que seja
mu´ltiplo do vetor diretor.
1.1 Equac¸o˜es Parame´tricas
Pela equac¸a˜o vetorial da reta (1.2): (x,y,z) = (x1, y1,z1) + t(a,b,c) ou
ainda (x,y,z) = (x1 + at,y1 + bt,z1 + ct) igualamos as componentes corres-
pondentes dos dois lado, e temos:
x = x1 + at
y = y1 + bt −∞ < t < +∞.
z = z1 + ct
(1.3)
As equac¸o˜es (1.3) sa˜o denominadas de Equac¸o˜es Parame´tricas. O
paraˆmetro t das equac¸o˜es parame´tricas e´ u´nico para cada ponto da reta de
coordenadas (x,y,z). Sabendo que o domı´nio do paraˆmetro t e´ (−∞,∞), as
equac¸o˜es parame´tricas nos fornecem as coordenadas de todos os pontos da
reta.
3
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1.1. EQUAC¸O˜ES PARAME´TRICAS
Exemplo 3. Dado o ponto A(4,6,− 8) e o vetor ~v = (1,− 2,3):
a) Escrever as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa por A e tem
direc¸a˜o de ~v.
b) Determinar dois pontos B e C da reta r cujos paraˆmetros sa˜o t = 1 e
t = 8, respectivamente.
Soluc¸o˜es:
a)

x = 4 + t
y = 6− 2t
z = −8 + 3t
b) Ponto B:
x = 4 + (1) = 5
y = 6− 2(1) = 4
z = −8 + 3(1) = −5
O ponto B tem coordenadas (5,4,− 5).
Ponto C:
x = 4 + (8) = 12
y = 6− 2(8) = −10
z = −8 + 3(8) = 16
O ponto C tem coordenadas (12,− 10,16).
Observac¸a˜o: O paraˆmetro t das equac¸o˜es parame´tricas pode ser inter-
pretado como o instante de tempo. Por exemplo, uma part´ıcula lanc¸ada
no espac¸o que descreve um movimento retil´ıneo uniforme m.r.u. para um
determinado vetor velocidade ~v = (a,b,c), a cada instante de tempo estara´
localizada em um determinado ponto (x,y,z) no espac¸o.
1.1.1 Reta definida por Dois Pontos
O segmento de reta definido pelos pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) e´ o
segmento de reta que passa pelo ponto A (ou pelo B) e tem direc¸a˜o do vetor:
~v =
−→
AB= (x2 − x1,y2 − y1,z2 − z1).
Exemplo 4. Parametrize o segmento de reta que liga os pontos P (−3,2,−3)
e Q(2,− 2,4).
4
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1.1. EQUAC¸O˜ES PARAME´TRICAS
Soluc¸a˜o:
−→
PQ= (2,− 2,4)− (−3,2,− 3) = (5,− 4,7).
r :

x = −3 + 5t
y = 2− 4t
z = −3 + 7t
Observe que quando t = 0 temos o ponto P e para t = 1 temos o ponto
Q. Se adicionarmos a restric¸a˜o 0 ≤ t ≤ 1 parametrizamos o segmento.
r :

x = −3 + 5t
y = 2− 4t 0 ≤ t ≤ 1
z = −3 + 7t
Figura 1.3: Parametrizac¸a˜o do segmento de reta PQ
Exemplo 5. Parametrize o segmento de reta r que passa por A(3,− 1,− 2)
e B(1,2,4).
Soluc¸a˜o:
Primeiramente, calculando o vetor
−→
AB= B −A = (1,2,4)− (3,− 1,− 2) = (−2,3,6).
Agora escolhemos um dos pontos, A ou B e escrevemos as equac¸o˜es
parame´tricas da reta. Neste caso escolheremos o ponto B.
x = 1− 2t
y = 2 + 3t − 1 ≤ t ≤ 0.
z = 4 + 6t
5
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1.2. EQUAC¸O˜ES SIME´TRICAS
1.2 Equac¸o˜es Sime´tricas
Pelas equac¸o˜es parame´tricas (1.3),
x = x1 + at
y = y1 + bt.
z = z1 + ct
Sendo as componentes do vetor diretor na˜o nulas, podemos escrever a
equac¸a˜o da reta como
t =
x− x1
a
, t =
y − y1
b
, t =
z − z1
c
,
e, sabendo que para cada ponto da reta corresponde um u´nico valor para o
paraˆmetro t:
x− x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
. (1.4)
As equac¸o˜es (1.4) sa˜o denominadas Equac¸o˜es Sime´tricas da reta. Ob-
serve que para escrever a equac¸a˜o 1.4, as componentes do vetor, (a, b, c),
devem ser na˜o nulas.
Exemplo 6. Escreva as equac¸o˜es sime´tricas da reta que passa pelo ponto
A(−2,4,0) e tem direc¸a˜o do vetor ~v = −2~i+~j − 3~k.
Soluc¸a˜o:
Substituindo as coordenadas do vetor direc¸a˜o e o ponto A temos:
x+ 2
−2 = y − 4 =
z
−3 .
Exemplo 7. Seja o triaˆngulo de ve´rtices A(−1,4,−2), B(3,−3,6) e C(2,−
1,4). Escrever as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto me´dio
do lado AB e pelo ve´rtice C.
Soluc¸a˜o:
Primeiro, vamos calcular o ponto me´dio M , entre A e B:
M = (
(−1) + 3
2
,
4 + (−3)
2
,
(−2) + 6
2
) = (1,
1
2
,2).
Agora vamos calcular o vetor diretor da reta, o vetor ~v com origem no
ponto M e extremidade em C.
~v = C −M = (2,− 1,4)− (1,1
2
,2) = (1,− 3
2
,2).
6
IMEF - FURG
1.2. EQUAC¸O˜ES SIME´TRICAS
Por fim, escreveremos as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa no
ponto C e tem vetor diretor ~v.
x = 2 + t
y = −1− 32 t.
z = 4 + 2t
Figura 1.4: Reta que passa pelo ve´rtice C do triaˆngulo ABC.
Exemplo 8. Verificar se M(13,17,− 14) pertence a reta r : (x,y,z) = (1,−
3,2) + t(3,5,− 4).
Soluc¸a˜o:
Reescrevendo a equac¸a˜o da reta r na forma parame´trica e isolando o
paraˆmetro t, temos: 
x = 1 + 3t −→ t = x−13
y = −3 + 5t −→ t = y+35
z = 2− 4t −→ t = z−24 .
Igualando o paraˆmetro t, vamos escrever a equac¸a˜o na forma sime´trica:
t =
x− 1
3
=
y + 3
5
=
−z + 2
4
.
Agora, vamos substituir o ponto M e verificar se ele satisfaz a equac¸a˜o:
13− 1
3
=
17 + 3
5
=
14 + 2
4
= 4.
Logo, verificamos que o ponto M(13,17,− 4) pertence a reta r.
7
IMEF - FURG
1.3. EQUAC¸O˜ES REDUZIDAS
1.2.1 Agora tente resolver!
1. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas e sime´tricas da reta:
(a) que passa pelos pontos P (−3,− 4,6) e Q(5,3,2);
(b) que passa pelo ponto P (3,5, − 6) e e´ paralela a reta que passa
pelos pontos A(2,3,1) e B(3,− 2,1);
(c) que passa pelo ponto (−4,2,5) e e´ paralela a` reta r : x− 1
2
=
y + 3
3
=
z − 7
4
;
(d) que passa na origem e e´ paralela a` reta r :
x− 3
5
=
y − 2
−3 =
z + 2
−2 .
2. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas dos eixos coordenados.
3. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa no ponto (3,0,4)
e pelo ponto me´dio do segmento AB, sendo A(2,7,9) e B(2,3,5).
1.3 Equac¸o˜es Reduzidas
Podemos isolar duas varia´veis em func¸a˜o de uma terceira, desta forma
temos outra maneira de escrever a equac¸a˜o da reta. Partindo das equac¸o˜es
sime´tricas (1.4) vamos escrever a equac¸a˜o da reta em func¸a˜o da varia´vel x.
Enta˜o:
y − y1
b
=
x− x1
a
y − y1 = b
a
(x− x1)
y − y1 = b
a
x− b
a
x1
y =
b
a
x− b
a
x1 + y1
y = mx+ n.
Portanto,
y = mx+ n. (1.5)
Observando que
b
a
= m e − b
a
x1 + y1 = n. De forma ana´loga, temos
z − z1
a
=
x− x1
c
⇒ z = px+ q (1.6)
As equac¸o˜es (1.5 e 1.6) sa˜o denominadas como Equac¸o˜es Reduzidas
da reta em na varia´vel x.
Sendo assim,
8
IMEF - FURG
1.3. EQUAC¸O˜ES REDUZIDAS
{
y = mx+ n
z = px+ q
Observac¸a˜o: Como determinar um ponto e um vetor dada a equac¸a˜o
reduzida da reta:
Podemos isolar a varia´vel independente nas equac¸o˜es reduzidas e com-
para´-las com as equac¸o˜es sime´tricas da reta.
• Se a equac¸a˜o reduzida esta´ em func¸a˜o da varia´vel x:{
y = mx+ n
z = px+ q
enta˜o, x =
y − n
m
e x =
z − q
p
.
Enta˜o, a sua forma sime´trica e´ dada por
x =
y − n
m
=
z − q
p
.
Agora fica fa´cil perceber que a reta passa pelo ponto P (0,n,q) ∈ y0z e
seu vetor diretor e´ ~v = (1,m,p).
Exemplo 9.
{
y = 3x− 4
z = 4x+ 3
Soluc¸a˜o: P (0,− 4,3) o ponto P e´ obtido fazendo x = 0, ~v = (1,3,4).
• Se a equac¸a˜o reduzida esta´ em func¸a˜o da varia´vel y:{
x = m1y + n1
z = p1y + q1
enta˜o, y =
x− n1
m1
e y =
z − q1
p1
.
Portanto,
x− n1
m1
= y =
z − q1
p1
.
A reta passa no ponto P (n1,0,q1) ∈ x0z e seu vetor ~v = (m1,1,p1).
• Se a equac¸a˜o reduzida esta´ em func¸a˜o da varia´vel z:{
x = m2z + n2
y = p2z + q2
enta˜o, z =
x− n2
m2
e z =
y − q2
p2
.
Assim, reescrevendo na forma sime´trica temos
x− n2
m2
=
y − q2
p2
= z.
A reta passa no ponto P (n2,q2,0) ∈ x0y e tem ~v = (m2,p2,1).
9
IMEF - FURG
1.3. EQUAC¸O˜ES REDUZIDAS
Exemplo 10. Estabelecer as equac¸o˜es reduzidas da reta r que passa
por A(4,2,1) etem direc¸a˜o do vetor ~v = (3,1,1).
Soluc¸a˜o:
Primeiramente, vamos escrever a equac¸a˜o na forma sime´trica:
x− 4
3
= y − 2 = z − 1
Agora, reescrevendo as equac¸o˜es na varia´vel x:
x− 4
3
= y − 2⇒ y = x
3
+
2
3
e,
x− 4
3
= z − 1⇒ z = x
3
− 1
3
Portanto,

y =
x
3
+
2
3
z =
x
3
− 1
3
.
Agora tente resolver!
1. Escrever equac¸o˜es reduzidas na varia´vel x da reta que passa pelos
pontos M(3,− 1,4) e N(4,0,5).
2. Determinar equac¸o˜es reduzidas na varia´vel y da reta que passa pelos
pontos M(−1,5,7) e N(8,6,9).
3. Escreva equac¸o˜es reduzidas da reta l:

x = 1 + t
y = 2 + 3t
z = 3− t
4. Escreva equac¸o˜es reduzidas da reta s:

x = 2 + 2t
y = 1− 4t
z = 6− t
5. Escreva as equac¸o˜es reduzidas da reta s que passa no ponto P (3,1,−3)
e tem direc¸a˜o do vetor ~s = (3,− 6,4):
a. na varia´vel z,
b. na varia´vel y.
10
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1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS
COORDENADOS
6. Escrever um ponto e o vetor diretor de cada uma das retas:
a. r :
{
x = 3y − 2
3
z = −y + 2
b. s :

y = −6x− 2
5
z =
1
2
x+ 3
c. t :

x = 3z +
4
3
y =
3
7
z − 2
d. p :

x = 52z
y = z − 3
2
e. m :
{
x = −y3 + 53
z = 23y − 13
1.4 Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coor-
denados
1.4.1 Retas Paralelas aos Planos Coordenados
Uma das componentes do vetor diretor e´ nula: O vetor diretor ~v e´ orto-
gonal a um dos eixos coordenados, e a reta r e´ paralela ao plano dos outros
eixos.
1. Se a=0, ~v = (0,b,c) ⊥ Ox ∴ r ‖ yOz.
Equac¸o˜es:
{
x = x1
y − y1
b
=
z − z1
c
Exemplo 11.
 x = 4y − 3−3 = z − 34
11
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1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS
COORDENADOS
Figura 1.5: Reta paralela ao plano yOz.
2. Se b = 0, ~v = (a,0,c) ⊥ Oy ∴ r ‖ xOz.
Equac¸o˜es:
{
y = y1
x− x1
a
=
z − z1
c
Exemplo 12.
{
y = 4
x− 2
3
=
z − 3
4
Figura 1.6: Reta paralela ao plano xOz.
3. Se c = 0, ~v = (a,b,0) ⊥ Oz ∴ r ‖ xOy.
Equac¸o˜es:
{
z = z1
x− x1
a
=
y − y1
b
Exemplo 13.
 z = 4x− 4 = y − 2−2
12
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1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS
COORDENADOS
Figura 1.7: Reta paralela ao plano xOy.
1.4.2 Retas Paralelas aos Eixos Coordenados
Duas componentes do vetor diretor sa˜o nulas: O vetor diretor ~v tem
direc¸a˜o de um dos vetores ~i ou ~j ou ~k e a reta e´ paralela ao eixo que tem
direc¸a˜o de ~i ou ~j ou ~k.
1. Se a = b = 0, ~v = (0,0,c) ‖ ~k ∴ r ‖ Oz.
Equac¸o˜es:

x = x1
y = y1
z = z1 + ct
Figura 1.8: Reta paralela ao eixo Oz
Exemplo 14. r :
{
x = 3
y = 6
13
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1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS
COORDENADOS
2. Se a = c = 0, ~v = (0,b,0) ‖ ~j ∴ r ‖ Oy.
Equac¸o˜es:

x = x1
y = y1 + bt
z = z1
Exemplo 15. r :
{
x = 1
z = 2
Figura 1.9: Reta paralela ao eixo Oy
3. Se b = c = 0, ~v = (a,0,0) ‖~i ∴ r ‖ Ox.
Equac¸o˜es:

x = x1 + at
y = y1
z = z1
Exemplo 16. r :
{
y = −2
z = 3
Observac¸a˜o: Os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, sa˜o retas particulares:
• a reta Ox passa pela origem O(0,0,0) e tem direc¸a˜o do vetor −→i =
(1,0,0).
Equac¸o˜es parame´tricas:

x = t
y = 0
z = 0
14
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1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS
COORDENADOS
• a reta Oy passa pela origem O(0,0,0) e tem direc¸a˜o do vetor −→j =
(0,1,0).
Equac¸o˜es parame´tricas:

x = 0
y = t
z = 0
• a reta Oz passa pela origem O(0,0,0) e tem direc¸a˜o do vetor −→k =
(0,0,1).
Equac¸o˜es parame´tricas:

x = 0
y = 0
z = t
Exemplo 17. Determinar as equac¸o˜es sime´tricas da reta que passa no ponto
A(−2,3,− 2) e tem direc¸a˜o do vetor ~v = 3~i+ 2~k.
Soluc¸a˜o:
Pelo vetor ~v percebemos que a reta e´ perpendicular ao plano Oy e para-
lelo ao eixo xOz, enta˜o as equac¸o˜es sime´tricas sa˜o:{
y = 3
x+ 2
3
=
z + 2
2
1.4.3 Agora tente resolver!
1. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelos pontosA(7,4,3)
e B(7,5,4).
2. Escreva as equac¸o˜es da reta que passa pelo ponto A(6,8,9) e tem
direc¸a˜o do vetor ~v = 7~j.
3. Determine a posic¸a˜o relativa das retas em relac¸a˜o aos eixos ou planos
coordenados, e escreva um ponto e um vetor diretor para cada uma
das retas:
a. r :
{
x = 4
y + 1
8
=
z + 1
6
b. s :
 y = 2x
4
=
z − 18
−12
c. p :
{
z = 4
x = −2y + 4
15
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1.5. AˆNGULO ENTRE RETAS
d. m :
{
y = −8
z = 6
e. n :
{
x = −4
y = 4
f. o :
{
x = 6
z = −3
4. Determinar a equac¸a˜o da reta, em todas as suas formas poss´ıveis, que
passa no ponto R(2,− 6,8) e
(a) tem direc¸a˜o de ~u = (2,0,− 3)
(b) e´ paralela (‖) ao eixo Oz
5. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas das retas nos seguintes casos:
a. Passa pelo ponto (7,8,6) e e´ perpendicular ao plano xOz.
b. Passa pelo ponto (4,− 4,5) e e´ paralela ao eixo x.
c. Passa pelo ponto (6,− 3,4) e e´ paralela ao eixo z.
d. Passa pelo ponto (5,5,2) e tem direc¸a˜o do vetor 2~i−~j.
e. Passa pelo ponto (1,3,4) e tem direc¸a˜o do vetor 2~j
6. Considere a reta s :

x = 1 + 2t
y =
3
2
+ t
z = 3 +
3
2
t
encontre a intersec¸a˜o da reta s
com o plano coordenado xy.
1.5 Aˆngulo entre Retas
Considere duas retas, a reta r que passa pelo ponto A1 e tem direc¸a˜o
do vetor ~v1 e a reta s que passa pelo ponto A2 e tem direc¸a˜o do vetor ~v2.
Denomina-se aˆngulo de duas retas o menor aˆngulo formado por r e s, isto e´,
o menor aˆngulo de um vetor diretor de r e de um vetor diretor de s. Sendo
assim:
cos(θ) =
|~v1 · ~v2|
|~v1||~v2| , 0 ≤ θ ≤
pi
2
Exemplo 18. Calcular o aˆngulo entre as retas
r :

x = 3 + 3t
y = −6t
z = −1− 2t
s :
{
x+ 2
2
=
y − 3
1
=
z
−2
16
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1.6. CONDIC¸O˜ES DE ORTOGONALIDADE, PARALELISMO E
COPLANARIDADE ENTRE RETAS
Soluc¸a˜o:
O vetor diretor da reta r e´ ~v1 = (3,− 6,− 2) e o vetor diretor da reta s
e´ ~v2 = (2,1,− 2), enta˜o:
cos(θ) =
|(3,− 6,− 2) · (2,1,− 2)|
|(3,− 6,− 2)||(2,1,− 2)| =
4
21
θ = arccos
(
4
21
)
≈ 79,01◦.
1.6 Condic¸o˜es de Ortogonalidade, Paralelismo e
Coplanaridade entre retas
1.6.1 Condic¸a˜o de Ortogonalidade entre duas retas
Dadas duas retas r e s e seus respectivos vetores diretores ~v1 = (a1,b1,c1)
e ~v2 = (a2,b2,c2), a condic¸a˜o de ortogonalidade (Cap´ıtulo de Produto Esca-
lar) diz que se
~v1 · ~v2 = 0 ou a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 .
enta˜o as retas r e s sa˜o ortogonais.
Exemplo 19. Verifique se as retas a seguir sa˜o ortogonais.
r :
{
y = −2x+ 1
z = 4x
s :

x = 3− 2t
y = 4 + t
z = t
Soluc¸a˜o:
O vetor diretor da reta r e´ ~v1 = (1, − 2,4) e o vetor diretor da reta s e´
~v2 = (−2,1,1), enta˜o:
(1,− 2,4) · (−2,1,1) = −2− 2 + 4 = 0, logo as retas sa˜o ortogonais.
1.6.2 Condic¸a˜o de Paralelismo entre duas retas
Se duas retas r e s sa˜o paralelas, enta˜o seus vetores ~v1 e ~v2 sa˜o paralelos:
~v1 = m~v2 ou
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
.
17
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1.6. CONDIC¸O˜ES DE ORTOGONALIDADE, PARALELISMO E
COPLANARIDADE ENTRE RETAS
Figura 1.10: Retas paralelas
Exemplo 20. Sejam ~u = (8,− 6,2) e ~v = (−4,3,− 1) vetores diretores das
retas r e s respectivamente. Essas retas sa˜o paralelas?
Soluc¸a˜o:
Observe que,
8
−4 =
−6
3
=
2
−1 = −2
logo as retas sa˜o paralelas.
1.6.3 Retas Coplanares
Dadas as retas r que passa pelo ponto A1 e tem direc¸a˜o do vetor ~v1 =
(a1,b1,c1) e s que passa pelo ponto A2 e tem direc¸a˜o do vetor ~v2 = (a2,b2,c2),
elas sera˜o coplanares se os vetores ~v1, ~v2 e
−→
A1A2 forem coplanares, isto e´, se
for nulo o produto misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2).
Exemplo 21. Determinar o valor de m para que as retas r :
{
y = mx+ 1
z = 3x− 1
s :

x = t
y = 1 + 2t
z = −2tsejam coplanares.
Soluc¸a˜o:
18
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1.7. POSIC¸O˜ES RELATIVAS ENTRE RETAS
O vetor diretor de r e´ ~v1 = (1,m,3) e de s ~v2 = (1,2,− 2) e o vetor
−→
A1A2
e´ A2 −A1 = (0,1,0)− (0,1,− 1) = (0,0,1). O produto misto mostra que:
((1,m,3),(1,2,− 2),(0,0,1)) =
∣∣∣∣∣∣
1 m 3
1 2 −2
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0 = 2−m
⇒ m = 2
Portanto, para que as retas sejam coplanares m deve ser igual a 2.
1.7 Posic¸o˜es relativas entre retas
Suponha duas retas r e s no espac¸o. Elas podem ser:
1. Retas Coplanares: Situadas no mesmo plano. Podem ser: Paralelas,
Concorrentes, Coincidentes.
2. Retas Na˜o Coplanares: Sa˜o as retas reversas, enta˜o r ∩ s = ∅.
� Como classificar cada uma:
1. Analisar os vetores direcionais das retas dadas.
2. Se os vetores forem colineares enta˜o as retas sa˜o paralelas (r ∩ s = ∅)
ou coincidentes.
3. Se as retas forem paralelas e o produto misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2) = 0
enta˜o, as retas sa˜o coplanares. Se as retas na˜o forem paralelas e
o produto misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2) = 0 enta˜o, as retas sa˜o concorrentes,
mas se o produto misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2) 6= 0 sa˜o reversas.
Exemplo 22. Estudar a posic¸a˜o relativa das retas:
r :
{
x
2
=
y − 1
−1 = z s :

x = 2− 4t
y = 2t
z = −2t+ 1
Soluc¸a˜o:
O vetor diretor de r e´ ~v1 = (2, − 1,1) e de s e´ ~v2 = (−4,2, − 2), temos
que:
2
−4 =
−1
2
=
1
−2 = −
1
2
.
Logo as retas sa˜o paralelas. Pergunta: Sera´ que elas sa˜o coincidentes?
19
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1.7. POSIC¸O˜ES RELATIVAS ENTRE RETAS
Vamos escolher um ponto da reta s, para t = 1, teremos:
s :

x = −2
y = 2
z = −1
Agora vamos substituir os pontos em r:
r :
{ −2
2
=
1
−1 = −1
Temos um ponto em comum entre as duas retas, vamos testar para outro
ponto de s, escolhemos t = 0.
s :

x = 2
y = 0
z = 1
r :
{
2
2
=
−1
−1 = 1
Temos outro ponto em comum, logo as retas sa˜o coincidentes.
1.7.1 Agora tente resolver!
1. Estudar a posic¸a˜o relativa das retas:
r :
{
x− 2
2
=
y
3
=
z − 5
4
s :

x = 5 + t
y = 2− t
z = −7− 2t
2. Verificar se as seguintes retas sa˜o paralelas ou ortogonais(perpendiculares):
a. r :
x+ 3
4
=
y − 4
−3 = z − 2 s : M(−1,2,− 3) e N(−5,5,4)
b. l :
{
x− 3
2
=
y − 3
4
=
z + 1
6
l :
x
1
=
y + 1
1
=
z − 3
−1
c. r :

x = 1 + 10t
y = −2 + 16t
z = 18t
s :

x = 2 + 5t1
y = −2 + 8t1
z = 9t1
d. r1 :

x = 2 + 2h
y = 3 + h
z = 1
r2 :

x = 4
y = 1
z = t
3. A reta r :
{
y = mx+ 3
z = x− 1 e´ perpendicular a reta s determinada pe-
los pontos A(1,0, − 3) e B(−2,2m,2m). Determinar m e as equac¸o˜es
parame´tricas da reta s.
20
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1.8. INTERSEC¸A˜O DE DUAS RETAS
4. Verificar se a retas r :
x− 2
2
=
y
3
=
z − 5
4
e s :
{
x = −y − 8
z = 3y + 15
sa˜o
ortogonais.
5. Determinar a equac¸a˜o da reta t que passa no ponto T (−1,0,−2) e´ orto-
gonal ao vetor ~v = (2,1,−1) e coplanar com a reta l :
{
x = z − 3
y = −3z + 1 .
1.8 Intersec¸a˜o de duas retas
Duas retas r e s coplanares e na˜o paralelas sa˜o concorrentes, logo existe
um ponto em comum entre elas.
Figura 1.11: Intersec¸a˜o de duas retas
Exemplo 23. Encontrar o ponto de intersec¸a˜o das retas:
r :
{
y = −3x+ 2
z = 3x− 1 s :

x = −t
y = 1 + 2t
z = −2t
Soluc¸a˜o:
Vamos determinar seu ponto de intersec¸a˜o I(x,y,z), as coordenadas deste
ponto satisfazem o sistema formado pelas equac¸o˜es das respectivas retas.
Sendo assim, primeiramente vamos reescrever a equac¸a˜o da reta s na forma
reduzida: {
y = 1− 2x
z = 2x
21
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1.9. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS
Agrupando todas as equac¸o˜es, temos um sistema a resolver:
y = −3x+ 2
z = 3x− 1
y = 1− 2x
z = 2x
Igualando a segunda equac¸a˜o com a quarta equac¸a˜o, temos:
3x− 1 = 2x⇒ x = 1
Logo, y = −1 e z = 2.
Por fim, o ponto de intersec¸a˜o e´ I(1,− 1,2).
1.8.1 Agora tente resolver!
1. Encontrar a equac¸a˜o da reta t, em todas as suas formas, que passa na
intersec¸a˜o das retas r :
{
x = y − 1
z = −y + 3 e s :
x+ 1
2
= y − 1 = z − 2−1 e
e´ paralela a reta m :
{
x = y − 1
z = −y + 5
2. Dois foguetes FA e FB sa˜o lanc¸ados de suas plataformas situadas nos
pontos A(4,2, − 6) e B(−2,4,2) respectivamente. Sabe-se que suas
trajeto´rias sa˜o retil´ıneas e seus vetores velocidades sa˜o ~vA = (−1,3,1)
e ~vB = (2,2,− 3), pergunta-se:
a. Sera´ que suas trajeto´rias interceptam-se?
b. Caso afirmativo, em que ponto ocorre?
c. Sendo os vetores dados em km/h, quantas horas apo´s o lanc¸amento
ocorrera´ a colisa˜o?
3. Encontrar o ponto de intersec¸a˜o das retas:
r :

x = 2 + 2h
y = 3h
z = 5 + 4h
s :
x− 5
1
=
y − 2
−1 =
z − 7
−2 .
1.9 Reta ortogonal a duas retas
Suponha duas retas na˜o paralelas r e s sendo ~v1 e ~v2 seus vetores dire-
tores. Se uma terceira reta t e´ simultaneamente ortogonal as retas dadas,
enta˜o o vetor diretor da reta t e´ paralelo ou igual ao vetor ~v1× ~v2. Neste caso,
e´ poss´ıvel determinar a equac¸a˜o da reta t conhecendo um de seus pontos.
22
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1.9. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS
Exemplo 24. Dadas as retas:
r :
{
y = 2x− 3
z = −3x+ 1 s :
x− 1
5
=
y + 3
−1 = z + 2.
Determine a equac¸a˜o da reta t que passa pelo ponto M(3,− 6,7) e e´ simul-
taneamente ortogonal a`s retas r e s.
Soluc¸a˜o:
Observe que os vetores diretores das retas r e s na˜o sa˜o paralelos:
1
5
6= 2−1 6=
−3
1
Como a reta t e´ simultaneamente ortogonal as retas r e s, o vetor diretor
~vt sera´:
~vt = ~vr × ~ss
Portanto,
~vt = ~vr × ~vs =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 2 −3
5 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = −~i− 16~j − 11~k
~vt = (−1,− 16,− 11) = (1,16,11)
Assim, ficam determinadas as equac¸o˜es parame´tricas da reta t:
x = 3 + t
y = −6 + 16t
z = 7 + 11t
No caso em que as retas r e s sejam paralelas, existem infinitas retas que
passam por um ponto e esta˜o em um plano ortogonal as retas r e s.
Figura 1.12: Retas ortogonais a retas paralelas
23
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1.9. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS
Exemplo 25. O ponto M(10,8,− 9) pertence a reta t e sabe-se que o vetor
diretor ~vt = (a,b,c) e´ perpendicular as retas r e s onde as equac¸o˜es das retas
sa˜o:
r :
{
x = y
z = 2y + 3
s :

x = 2− t
y = 3− t
z = −2t
Determine a equac¸o˜es da reta t.
Soluc¸a˜o: Um ponto e o vetor da reta r sa˜o: Pr(0,0,3) e ~vr = (1,1,2). Um
ponto e o vetor da reta s sa˜o: Ps = (2,3,0) e ~vs = (−1,− 1,− 2). Observem
que as reta sa˜o paralelas,
1
−1 =
1
−1 =
2
−2 ∴ −1 = −1 = −1,
logo, α = −1. Enta˜o, temos infinitas possibilidades para as equac¸o˜es da reta
t. Por exemplo, sabendo que M ∈ t e sendo a reta t ortogonal a reta r:
~vt ⊥ ~vr ⇒ ~vt · ~vr = 0⇒ (a,b,c) · (1,1,2) = 0.
Resolvendo o produto escalar:
a+ b+ 2c = 0⇒ a = −b− 2c.
Uma poss´ıvel soluc¸a˜o: se b = 1 e c = 2 ⇒ a = −5 e ~vt = (−5,1,2)
t :

x = 10− 5t
y = 8 + t
z = −9 + 2t
Outra soluc¸a˜o: se b = 0 e c = −1 ⇒ a = 2 e ~vt = (2,0,− 1)
t :

x = 10 + 2t
y = 8
z = −9− t
Observac¸a˜o: Podemos obter uma soluc¸a˜o particular dando-se outra
condic¸a˜o, por exemplo, dizendo que a reta t e´ ortogonal ao plano de r e
s.
Se t e´ ortogonal ao plano de r e s, podemos determinar o vetor diretor da
reta t fazendo:
~vt = ~vr×
−→
PrPs
24
IMEF - FURG
1.10. DISTAˆNCIAS
~vt = ~vr × ~vs =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 1 2
2 3 −3
∣∣∣∣∣∣ = −9~i+ 7~j + ~k
Desta forma, as equac¸o˜es parame´trica da reta sa˜o
t :

x = 10− 9t
y = 8 + 7t
z = −9 + t
1.9.1 Agora tente resolver!
1. Determine as equac¸o˜es sime´tricas da reta que passa pelo pontoA(−2,1,3)
e e´ ortogonal a`s retas na˜o paralelas
t :

x = 2− t
y = 1 + 2t
z = −3t
s :
x− 1
−3 =
y + 1
2
=
z
−2
2. Determinar as equac¸o˜esda reta t ortogonal ao plano das retas r :{
y = 2x− 3
z = 3x− 5 e s : x =
y
2
=
z
3
e que passa no ponto T (2,− 1,6).
1.10 Distaˆncias
1.10.1 Distaˆncia de um ponto a uma reta
Dados um ponto P1(x1,y1,z1) e uma reta r. Seja P0(x0,y0,z0) um ponto
qualquer no espac¸o na˜o pertencente a reta r. O vetor diretor ~v da reta
e o vetor
−→
P1P0 determinam um paralelogramo cuja altura corresponde a`
distaˆncia d de P0 a r que pretendemos calcular:
Sabemos que a a´rea do paralelogramo e´ definida pela multiplicac¸a˜o da
base do paralelogramo pela sua altura,
A = d · |~v|.
Ou pela interpretac¸a˜o geome´trica do produto vetorial:
A = |~v×
−→
P1P0 |,
comparando os dois, temos:
d = d(P0,r) =
|~v×
−→
P1P0 |
|~v| . (1.7)
25
IMEF - FURG
1.10. DISTAˆNCIAS
Figura 1.13: Distaˆncia entre ponto e reta
Exemplo 26. Calcular a distaˆncia do ponto P (2,3,-1) a` reta r :

x = 3 + t
y = −2t
z = 1− 2t
.
Soluc¸a˜o:
Primeiro, vamos calcular o vetor
−→
P1P= P − P1 = (2,3, − 1) − (3,0,1) =
(−1,3,− 2). Desta forma,
d = d(P,r) =
|(1,− 2,− 2)× (−1,3,− 2)|
|(1,− 2,− 2)| =
|(10,4,1)|
|(1,− 2,− 2)| =
√
117
3
u.c.
Sendo assim, d(P,r) =
√
117
3
u.c.
1.10.2 Distaˆncia entre retas
A distaˆncia entre retas so´ esta´ definida se as retas forem paralelas ou
reversas:
Retas Paralelas: A distaˆncia entre duas retas paralelas se reduz ao ca´lculo
da distaˆncia de ponto a uma reta.
•
r
s
�
�
�
�
�
�
�
���
•|
|
|
|
|
|
P1
P0
d
26
IMEF - FURG
1.10. DISTAˆNCIAS
Retas reversas: Consideremos duas retas: a reta r que passa pelo ponto
P1(x1,y1,z1) e tem direc¸a˜o do vetor ~u, e a reta s que passa pelo ponto
P2(x2,y2,z2) e tem direc¸a˜o do vetor ~v. Os vetores ~u, ~v e
−→
P1P2 determinam
um paralelep´ıpedo, cuja base e´ definida por ~u e ~v e a altura a` distaˆncia d
entre as retas r e s.
O volume deste paralelep´ıpedo e´ dado pelo produto da sua a´rea da base
multiplicado pela sua altura:
V = |~u× ~v|d
ou de acordo com a interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo do produto misto:
V = |(~u,~v,
−→
P1P2)|.
Comparando os dois, temos:
d = d(r,s) =
|(~u,~v,
−→
P1P2)|
|~u× ~v| . (1.8)
Figura 1.14: Distaˆncia entre retas reversas
Exemplo 27. Calcular a distaˆncia entre as retas r e s onde: r :

x = 1− t
y = 2 + 3t
z = −t
e s: e´ o eixo Ox.
Soluc¸a˜o:
Um ponto do eixo OX e´ P (1,0,0) e o vetor e´ ~vx =~i = (1,0,0).
Um ponto da reta r e´ Pr(1,2,0) e o vetor e´ ~vr = (−1,3,− 1).
27
IMEF - FURG
1.11. LISTA DE EXERCI´CIOS - RETAS
Calculando o vetor
−→
PPr= (0,2,0) e aplicando na equac¸a˜o, temos:
d = d(r,s) =
|(~i,~vr,
−→
PPr)|
|~i× ~vr|
=
2√
10
√
10√
10
=
√
10
5
Portanto, d(r,s) =
√
10
5
u.c.
1.11 Lista de Exerc´ıcios - Retas
1. Escrever as equac¸o˜es parame´tricas e sime´tricas da reta que passa por
A(6,3,9) e e´ paralela a` reta r : (x,y,z) = (4,5,2) + t(2,− 6,− 1).
2. Representar graficamente as seguintes retas de equac¸o˜es:
(a) 
x = 2 + t
y = −1 + 2t
z = 3 + 3t
(1.9)
(b) 
x = 3
y = 1 + t
z = 2t
(1.10)
(c) {
y = 4
z = 3
(1.11)
(d) {
x = 4
z = 2
(1.12)
3. Obter as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel x, das seguintes retas:
(a) Que passa por A(8,2,− 2) e tem direc¸a˜o de ~v = (4,8,7).
(b) Pelos pontos A(3,2,1) e B(6,− 1,0).
4. Escrever as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel z da reta que passa por
A(−1,6,3) e B(2,2,1).
5. Escrever equac¸o˜es parame´tricas das retas que passam pelo pontoA(4,−
5,3) e sa˜o, respectivamente, paralelas aos eixos Ox, Oy, Oz.
6. Determinar o aˆngulo entre as seguintes retas:
28
IMEF - FURG
1.11. LISTA DE EXERCI´CIOS - RETAS
(a) r1 :

x = −2− t
y = t
z = 3− 2t
r2 :
{
x
2
=
y + 6
1
=
z − 1
1
(b) r2 :
{
y = −x+ 5
z = 3x− 2 r2 :
{
x− 2 = y = z + 3
2
7. Determine o valor de m sabendo que as retas sa˜o coplanares:
r1 :
{
y = 4x− 3
z = −2x+ 1 r2 :
{
x− 4 = y
m
= z + 2
8. Verificar se as retas sa˜o concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar
o ponto de intersec¸a˜o:
(a) r1 :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 5 r2 :
{
y = −3x+ 7
z = x+ 1
(b) r1 :

x = 2− t
y = 3− 5t
z = 6− 6t
r2 :

x = −3 + 6h
y = 1 + 7h
z = −1 + 13h
9. Determinar as equac¸o˜es das seguintes retas:
(a) que passa por A(1,− 2,4) e e´ paralela ao eixo dos x;
(b) que passa por B(3,2,1) e e´ perpendicular ao plano xOz;
(c) que passa por A(4,− 1,2) e tem direc¸a˜o do vetor ~i−~j;
(d) que passa pelos pontos M(2,− 3,4) e N(2,− 1,3).
10. Determine o ponto de intersec¸a˜o das seguintes retas:
r1 :
{
y = −3x+ 3
z = 3x− 2 r2 :

x = −t
y = 1 + 2t
z = −2t
11. Determine o ponto de intersec¸a˜o das seguintes retas:
r1 :

x = 4 + t
y = 1− t
z = 1 + t
r2 :

x = 9− 4h
y = 2 + h
z = 2− 2h
12. Calcular a distaˆncia do ponto P (4,2,1) a` reta:
r :

x = 1− 2t
y = 3 + t
z = 6− 2t
29
IMEF - FURG
1.11. LISTA DE EXERCI´CIOS - RETAS
13. Calcular a distaˆncia entre as duas retas:
r1 :

x = 2− t
y = 3 + 2t
z = 2− 2t
r2 :
{
y = x− 2
z = −x+ 3
14. Dado o triaˆngulo de ve´rtices A(3, − 4,4), B(4, − 7,2), C(1, − 3,2)
determinar:
(a) As Equac¸o˜es sime´tricas da reta suporte do lado AB.
(b) O ponto em que a reta fura o plano xOy.
15. Calcule o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
(a) r :
{
y = mx− 3
z = x− 1 s :
{
y = 4x−m
z = x
16. Dadas as retas l :
{
x = 2z − 4
y = −3z + 6 e t :
{
x− 4
2
= y + 2 =
z − 2
−1 ,
determinar a equac¸a˜o da reta m simultaneamente ortogonal as retas
dadas e que passa no ponto de intersec¸a˜o das mesmas.
17. Determinar a equac¸a˜o da reta t que passa pelo ponto M(3,3,-2) e´
concorrente com o eixo Oy e ortogonal a` reta m :
{
y = −x
z = x+ 3
.
18. Sendo A(1,0,1), B(2,−1,1), C(−1,0,2), D(3,2,2) ve´rtices de um tetra-
edro, pede-se:
(a) as equac¸o˜es parame´tricas da reta r, suporte da altura hD do te-
traedro de base ABC relativa ao ve´rtice D.
(b) as equac¸o˜es parame´tricas da mediana relativa ao ve´rtice C do
triaˆngulo ABC.
19. Sendo A(1, − 2,2), B(3,0,1), C(3, − 2,0) ve´rtices de um triaˆngulo, de-
terminar a equac¸a˜o da reta suporte da altura baixada do ve´rtice C.
(Dica: aplicar duas vezes o produto vetorial)
20. Dados os ve´rtices de um triaˆngulo A(−1,1,3), B(2,1,4), C(3,− 1,− 1),
obter as equac¸o˜es sime´tricas das retas suportes dos lados AB, AC,
BC.
21. Estudar a posic¸a˜o relativa das retas e calcular a distaˆncia entre as
retas r :
{
x− 3
3
=
y − 5
3
=
z − 1
−8 e s :

x = −2 + 3t
y = −t
z = −2
30
IMEF - FURG
1.11. LISTA DE EXERCI´CIOS - RETAS
22. Determine a equac¸a˜o da reta t que passa no ponto A(1,− 3,2) e´ con-
corrente com o eixo Oz que passa na origem e e´ ortogonal a reta
m :
{
y = x+ 2
z = 2x− 1
23. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa pelo ponto A(4,−
4,2) e´ ortogonal ao vetor −→v = (10,10, − 1) e intercepta a reta s :{
y = −x+ 3
z = 4x− 4
24. Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto P (2,− 3,4), e´ con-
corrente com o eixo Ox e ortogonal a` reta s :

x− 5
−1 = y + 2
z = 4
25. Determinar a equac¸a˜o da reta r que passa pelo ponto P (3,3, − 2) e´
concorrente com o eixo Oy e ortogonal a` reta s :
{
y = −x
z = x+ 3
26. Os itens a seguir mostram pontos e um vetor diretor. Para cada item,
escreva as equac¸o˜es parame´tricas das retas e fac¸a o estudo da posic¸a˜o
relativa das mesmas em relac¸a˜o aos eixos ou planos coordenados, sa-
bendo que as retas passam pelo ponto me´dio do segmento AB:
(a) A(−1,− 2,− 3), B(1,3,5) e −→v = (2,0,3)
(b) A(−2,− 2,4), B(2,2,− 4) e −→v = (1,0,0)
(c) A(3,− 2,1), B(5,1,4) e −→v = (0,2,1)
(d) A(1,4,1), B(7,8,5) e −→v = (3,2,0)
(e) A(2,1,4), B(8,2,10)e −→v = (0,1,0)
27. Dadas as seguintes retas:
r :
{
y = 3x− 1
z = 2x+ 1
s :
{
y = 4x− 2
z = 3x
(a) escreva os respectivos vetores diretores das retas;
(b) fac¸a o estudo da posic¸a˜o relativa das retas;
(c) determine o ponto de intersec¸a˜o das retas;
(d) parametrize o segmento de reta que passa pelo ponto de intersec¸a˜o
(item c) e pelo ponto (5,0,1).
31
IMEF - FURG
Cap´ıtulo 2
Planos
A equac¸a˜o geral ou cartesiana de um plano pi no espac¸o e´ determinada
conhecendo-se um ponto sobre o plano e sua inclinac¸a˜o ou orientac¸a˜o. Essa
inclinac¸a˜o e´ definida especificando-se um vetor que seja perpendicular ou
normal ao plano, observe a Figura 2.1.
Figura 2.1: Plano
Portanto, o plano pode ser definido como o conjunto de todos os pontos
P (x,y,z) ∈ R3, onde o vetor −→AP e´ ortogonal ao vetor −→n .
Notac¸a˜o: Usamos letras gregas pi, α, β, para representar as equac¸o˜es
dos planos. O vetor normal ao plano e´ dado por ~n = (a,b,c).
Definic¸a˜o: Considere A(x0,y0,z0) um ponto pertencente a um plano pi
e um vetor normal ~n = (a,b,c), na˜o nulo, ortogonal ao plano que determina
sua inclinac¸a˜o ou orientac¸a˜o, observe a Figura 2.2:
32
Figura 2.2: Definic¸a˜o de Plano no Espac¸o
Sendo o vetor ~n ortogonal ao plano pi, ~n sera´ ortogonal a todo vetor
representado no plano pi. Dado um ponto P (x,y,z) qualquer, esse ponto
pertencera´ a pi se, e somente, se o vetor
−→
AP e´ ortogonal a ~n, isto e´,
~n·
−→
AP= 0. (2.1)
A igualdade acima e´ va´lida pela condic¸a˜o de ortogonalidade (ver produto
escalar). Reescrevendo, temos
~n · (P −A) = 0 (2.2)
ou, em coordenadas
(a,b,c) · (x− x0,y − y0,z − z0) = 0, (2.3)
resolvendo o produto escalar, chegamos a seguinte expressa˜o
ax+ by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0. (2.4)
Fazendo −ax0 − by0 − cz0 = d, obtemos
ax+ by + cz + d = 0. (2.5)
A equac¸a˜o 2.5 e´ denominada equac¸a˜o geral ou cartesiana do plano.
Exemplo 28. pi : 2x− 5y + z − 3 = 0. Os coeficientes 2,− 5,1 da equac¸a˜o
geral representam as componentes do vetor normal ao plano, enta˜o, ~n =
(2, − 5,1). Esse mesmo vetor e´ ortogonal a qualquer plano paralelo a ele.
Desta forma, todos os infinitos planos paralelos a pi teriam como equac¸a˜o
geral 2x− 5y + z + d = 0.
33
IMEF - FURG
2.1. DETERMINAC¸A˜O DA EQUAC¸A˜O DE UM PLANO
2.1 Determinac¸a˜o da Equac¸a˜o de um Plano
Agora sabemos que um plano e´ determinado por um de seus pontos e
pelo seu vetor normal. Vamos analisar situac¸o˜es que tambe´m ficam evidentes
para a determinac¸a˜o da equac¸a˜o do plano.
A. O plano passa por um ponto A e e´ paralelo a dois vetores ~v1 e ~v2, na˜o
colineares: o vetor normal sera´ determinado
~n = ~v1 × ~v2 (2.6)
Neste caso, os vetores ~v1 e ~v2 sa˜o chamados de vetores de base do
plano e para determinar o vetor normal usamos a definic¸a˜o de produto
vetorial, visto que e´ o u´nico dos produtos de vetores que determina um
vetor simultaneamente ortogonal aos vetores dados (ver propriedades
do produto vetorial).
34
IMEF - FURG
2.1. DETERMINAC¸A˜O DA EQUAC¸A˜O DE UM PLANO
Exemplo 29. Determine a equac¸a˜o do plano que passa por A(2,1,4)
e e´ paralelo aos vetores ~u = (2,1,− 1), ~v = (3,2,− 4).
Soluc¸a˜o:
~n = ~v1 × ~v2 = (2,1,− 1)× (3,2,− 4) = (−2,5,1).
Portanto, temos a equac¸a˜o: pi : −2x + 5y + 1z + d = 0, substi-
tuindo o ponto A, temos que d = −5 e reescrevendo a equac¸a˜o:
pi : −2x+ 5y + z − 5 = 0 ou pi : 2x− 5y − z + 5 = 0.
Observac¸a˜o: Qualquer mu´ltiplo de ~n, ou seja k~n, com k 6= 0 tambe´m
e´ normal ao plano pi.
B. Se o plano passa por treˆs pontos dados A, B e C na˜o em linha reta,
neste caso os vetores
−→
AB e
−→
AC na˜o sa˜o paralelos, portanto
~n =
−→
AB ×
−→
AC (2.7)
35
IMEF - FURG
2.1. DETERMINAC¸A˜O DA EQUAC¸A˜O DE UM PLANO
Nesta situac¸a˜o os vetores
−→
AB e
−→
AC sa˜o os vetores de base e novamente
usamos o produto vetorial para determinar o vetor normal ao plano.
Exemplo 30. Determine a equac¸a˜o do plano que passa por A(2,1,−4),
B(1,− 2,− 1), C(3,0,1).
Soluc¸a˜o:
−→
AB= (−1,− 3,3) e
−→
AC= (1,− 1,5), fazendo
~n =
−→
AB ×
−→
AC= (−1,− 3,3)× (1,− 1,5) = (−12,8,4) = (−3,2,1).
Enta˜o, pi : −3x+ 2y+ z+d = 0, substituindo o ponto C, por exemplo,
temos que d = 8 portanto,
pi : −3x+ 2y + z + 8 = 0 ou pi : 3x− 2y − z − 8 = 0.
C. Conte´m duas retas concorrentes: Primeiro precisamos analisar a posic¸a˜o
relativa das retas dadas (ver cap´ıtulo de retas). Se as retas dadas na˜o
sa˜o paralelas, mas sa˜o coplanares (ver propriedades do produto misto),
enta˜o as retas sa˜o concorrentes e o vetor normal e´ determinado da se-
guinte forma:
~n = ~v1 × ~v2 (2.8)
Exemplo 31. Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelas retas:
r :

x = t
y = −3 + 2t
z = 5− t
e s :
{
x =
y − 7
−3 = z − 1
36
IMEF - FURG
2.1. DETERMINAC¸A˜O DA EQUAC¸A˜O DE UM PLANO
Soluc¸a˜o: O vetor diretor da reta r e´ ~v1 = (1,2, − 1) e da reta s e´
~v2 = (1,−3,1). Analisando a posic¸a˜o relativas das retas dadas elas sa˜o
concorrentes (verifique!), enta˜o o vetor normal e´
~n = ~v1 × ~v2 = (−1,− 2,− 5).
Assim, pi : −x− 2y− 5z+d = 0, substituindo um ponto da reta r, por
exemplo (0,− 3,5), temos que d = 19 e a equac¸a˜o:
pi : −x− 2y − 5z + 19 = 0 ou pi : x+ 2y + 5z − 19 = 0.
D. Conte´m duas retas r1, r2 paralelas: Verificar se os vetores diretores das
respectivas retas satisfazem a condic¸a˜o de paralelismo, e determinar o
vetor normal ao plano usando:
~n =
−→
AB ×~v (2.9)
onde, A e B sa˜o pontos respectivamente das retas r1 e r2. O vetor ~v
sera´ o vetor diretor da reta r1 ou da reta r2.
Exemplo 32. Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelas retas
r : x = y = z + 3 e s :
{
x = y + 3
z = y − 2
Soluc¸a˜o: Um ponto da reta r e´ A(0,0, − 3) e um ponto da reta s
e´ B(3,0, − 2), enta˜o
−→
AB= (3,0,1) e usando o vetor diretor de r,
~vr = (1,1,1), temos:
~n =
−→
AB ×~vr = (−1,− 2,3)
Portanto, pi : −x− 2y + 3z + d = 0, substituindo um ponto da reta r,
por exemplo A(0,0,− 3), temos que d = 9 e:
pi : −x− 2y + 3z + 9 = 0.
E. Conte´m uma reta r e um ponto B /∈ r, desta forma A sera´ um ponto
na reta r e v o vetor diretor da reta. Assim,
~n = ~v×
−→
AB (2.10)
Exemplo 33. Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m a reta r :{
x = −2y
z = 4y + 1
e um ponto P (3,0,− 1).
37
IMEF - FURG
2.1. DETERMINAC¸A˜O DA EQUAC¸A˜O DE UM PLANO
Soluc¸a˜o: Sendo A(0,0,1) um ponto de r, o vetor
−→
AP= (3,0, − 2). O
vetor diretor de r e´ ~v = (−2,1,4),
~n = ~v×
−→
AP= (−2,8,− 3).
Temos a equac¸a˜o, pi : −2x+ 8y − 3z + d = 0, substituindo o ponto P ,
temos que d = 3. Desta forma,
pi : −2x+ 8y − 3z + 3 = 0.
F. Passa por dois pontos A e B e e´ paralelo a um vetor na˜o colinear ao
vetor
−→
AB:
~n = ~v×
−→
AB (2.11)
Exemplo 34. Determine a equac¸a˜o do plano que passa por A(2,1,3)
e B(4,5,0) e e´ paralelo ao vetor ~u = (2,− 1,2).
Soluc¸a˜o:
−→
AB= (4,5,0)− (2,1,3) = (2,4,− 3)
~n = ~u×
−→
AB= (2,− 1,2)× (2,4,− 3) = (−5,10,10).
Assim, pi : −5x + 10y + 10z + d = 0, substituindo o ponto B, temos
que d = −30 enta˜o,
pi : −5x+ 10y + 10z − 30 = 0 ou x− 2y − 2z + 6 = 0.
Observac¸a˜o: Nos casos acima fica claro que o vetor normal ~n e´ sempre
dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no plano.
2.1.1 Agora tente resolver!
1. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelos pontosA(3,1,2), B(−1,2,−
2), C(2,1,− 2).
2. Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P (5,2,3) e e´ per-
pendicular a` reta r :

x = 5 + 2t
y = 1 + t
z = −2t
.
3. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto A(2, − 2,3) e e´
perpendicular ao vetor da origem O(0,0,0) ate´ o ponto A.
38
IMEF - FURG
2.1. DETERMINAC¸A˜O DA EQUAC¸A˜O DE UM PLANO
4. Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P (2, − 1,2) e e´
paralelo ao planopi : 3x+ 2y + z = 7.
5. Dado o plano pi : 2x − y + 5z − 10 = 0 determinar um vetor normal
ao plano e um ponto do plano. E, verifique se M(1,-3,5) pertence ao
plano pi.
6. Determinar a equac¸a˜o do plano perpendicular ao segmento AB que
passa no ponto me´dio do mesmo, sendo A(5,3,− 1) e B(−1,− 1,− 3).
7. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelos pontosA(1,2,3) eB(−2,0,1)
sabendo que o plano e´ paralelo ao vetor ~u = (2,3,− 1).
8. Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m as retas:
r1 :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 5 r2 :
{
y = −3x+ 7
z = x+ 1
2.1.2 Outra forma para determinar a equac¸a˜o geral do plano
Dados dois vetores de base do plano, por exemplo, ~v1 e ~v2 e um ponto
P (x,y,z) ∈ pi, se o plano passa pelo ponto A, o produto misto entre os
seguintes vetores deve ser nulo, isto e´, (
−→
AP ,~v1, ~v2) = 0, pois esses vetores sa˜o
coplanares. Dados, A(x1,y1,z1), ~v1 = (a1,b1,c1), ~v2 = (a2,b2,c2), e´ poss´ıvel
obter a equac¸a˜o geral do plano desenvolvendo o seguinte determinante:
(
−→
AP ,~v1, ~v2) =
x− x1 y − y1 z − z1a1 a2 a3
b1 b2 b3
 = 0
(x− x1)
[
b1 c1
b2 c2
]
− (y − y1)
[
a1 c1
a2 c2
]
+ (z − z1)
[
a1 b1
a2 b2
]
= 0
Portanto, ax+ by + cz + d = 0.
Exemplo 35. Sendo A(0,2,−4) e os vetores ~v = (2,4,−6), ~u = (−1,−1,5),
determine a equac¸a˜o do plano.
Soluc¸a˜o:
(
−→
AP ,~v, ~u) =
 x y − 2 z + 42 4 −6
−1 −1 5
 = 0
Desenvolvendo o determinante acima temos que a equac¸a˜o do plano e´:
14x− 4y + 2z + 16 = 0.
Observac¸a˜o: Um plano cuja equac¸a˜o tenha a forma:
39
IMEF - FURG
2.2. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E PLANOS COORDENADOS
1. ax+ by + d = 0, e´ perpendicular ao plano xOy;
2. by + cz + d = 0, e´ perpendicular ao plano yOz;
3. ax+ cz + d = 0, e´ perpendicular ao plano xOz.
Isto e´, se uma das varia´veis na˜o figurar na equac¸a˜o, o plano sera´ perpendi-
cular ao plano coordenado correspondente a`s duas varia´veis presentes.
2.2 Planos Paralelos aos Eixos e Planos Coorde-
nados
2.2.1 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados
Considere ~n = (a,b,c). No caso de uma componente do vetor normal ser
nula, o vetor normal sera´ ortogonal a um dos eixos coordenados. E o plano
sera´ paralelo ao mesmo eixo.
A. Plano paralelo ao eixo Ox: a = 0, ~n = (0,b,c) ⊥ Ox e pi ‖ Ox
Equac¸a˜o: by + cz + d = 0.
Equac¸a˜o do plano que conte´m o eixo Ox: by + cz = 0, onde d = 0, o
plano passa na origem O. Observe a Figura 2.3, a equac¸a˜o do plano e´
pi : 3y + 2z + 4 = 0, portanto ~n = (0,3,2).
40
IMEF - FURG
2.2. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E PLANOS COORDENADOS
Figura 2.3: Plano paralelo ao eixo Ox pi : 3y + 2z + 4 = 0
B. Plano paralelo ao eixo Oy: b = 0, ~n = (a,0,c) ⊥ Oy e pi ‖ Oy
Equac¸a˜o: ax+ cz + d = 0.
Equac¸a˜o do plano que conte´m o eixo Oy: ax+ cz = 0, onde d = 0, ja´
que o plano passa na origem O.
C. Plano paralelo ao eixo Oz: c = 0, ~n = (a,b,0) ⊥ Oz e pi ‖ Oz
Equac¸a˜o: ax+ by + d = 0.
Equac¸a˜o do plano que conte´m o eixo Oz: ax + by = 0, onde d = 0, o
plano passa na origem O.
2.2.2 Planos Paralelos aos Planos Coordenados
Quando duas componentes do vetor normal sa˜o nulas, o vetor normal e´
colinear a um dos vetores
−→
i ou
−→
j ou
−→
k . Sendo assim, temos:
A. Plano paralelo ao plano xOy: Se a = b = 0, ~n = (0,0,c) ∴ ~n =
(0,0,1) = ~k ∴ pi ‖ xOy.
Equac¸a˜o: cz+d = 0 ∴ z = −dc . Os planos cujas equac¸o˜es sa˜o da forma
z=k representam planos paralelos ao plano xOy. Observe a Figura
2.4.
41
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2.2. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E PLANOS COORDENADOS
Figura 2.4: Plano paralelo ao plano xOy
B. Paralelo ao plano xOz: Se a = c = 0, ~n = (0,b,0) ∴ ~n = (0,1,0) = ~j
portanto, pi ‖ xOz. Veja Figura 2.5.
Equac¸a˜o: y=k.
Figura 2.5: Plano paralelo ao plano xOy
C. Paralelo ao plano yOz: Se b = c = 0, ~n = (a,0,0) ∴ ~n = (1,0,0) = ~i,
portanto, pi ‖ yOz. A equac¸a˜o para estes planos e´ da forma x=k.
Observe a Figura 2.6.
42
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2.3. AGORA TENTE RESOLVER!
Figura 2.6: Plano paralelo ao plano xOy
2.3 Agora tente resolver!
1. Determine a posic¸a˜o relativa dos seguintes planos em relac¸a˜o aos eixos
e ou planos coordenados:
(a) z − 7 = 0;
(b) x− 3y = 0;
(c) 3y − 2 = 0;
(d) −3x+ z − 4 = 0;
(e) 4y − 8z + 5 = 0;
(f) x = −4
(g) y − 8 = 0
2. Nos itens a seguir, obter a equac¸a˜o geral do plano:
(a) paralelo ao eixo y que contenha os pontos A(3,1,2) e B(4,0,3);
(b) paralelo ao eixo x que contenha os pontos A(2,1,1) e B(4,0,3).
2.4 Equac¸a˜o Vetorial e Equac¸o˜es Parame´tricas do
Plano
Seja A(x0,y0,z0) um ponto pertencente a um plano pi e ~u = (a1,b1,c1) e
~v = (a2,b2,c2) dois vetores paralelos ao plano pi, pore´m, ~u e ~v sa˜o vetores
na˜o paralelos entre si.
43
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2.5. AˆNGULO ENTRE DOIS PLANOS
Para um ponto P (x,y,z) pertencer ao plano pi, os vetores
−→
AP , ~u e ~v
devem ser coplanares. Sendo assim, um ponto P (x,y,z) pertence a pi se, e
somente se, existem nu´meros reais h e t tais que P −A = h · ~u+ t ·~v ou, em
coordenadas
(x,y,z) = (x0,y0,z0) + h(a1,b1,c1) + t(a2,b2,c2), h, t ∈ R (2.12)
A equac¸a˜o 2.12 e´ denominada equac¸a˜o vetorial do plano pi. Os vetores
~u e ~v sa˜o vetores de base do plano pi.
Pela equac¸a˜o 2.12,
(x,y,z) = (x0 + a1h+ a2t,y0 + b1h+ b2t,z0 + c1h+ c2t)
obtemos, 
x = x0 + a1h+ a2t
y = y0 + b1h+ b2t
z = z0 + c1h+ c2t
(2.13)
as equac¸o˜es 2.13 que sa˜o as equac¸o˜es parame´tricas do plano.
Exemplo 36. Determinar as equac¸o˜es parame´tricas, vetorial e geral do
plano que passa por A(1,2,5) e B(3,3,5) e e´ paralelo a ~v = (1,1,2).
Soluc¸a˜o: (x,y,z) = (1,2,5) + h(1,1,2) + t(2,1,0) e
x = 1 + h+ 2t
y = 2 + h+ t
z = 5 + 2h
Para encontrar a equac¸a˜o geral do plano resolvemos: ~n = ~v×
−→
AB, desta
forma:
~n = ~v×
−→
AB=
~i ~j ~k1 1 2
2 1 0
 = −2~i+ 4~j − ~k.
Portanto, a equac¸a˜o geral do plano e´ −2x+4y−z+d = 0, como A(1,2,5) ∈ pi
tem-se −2x+ 4y − z − 1 = 0 ou 2x− 4y + z + 1 = 0.
2.5 Aˆngulo entre dois planos
Sejam: pi1 : a1x+b1y+c1z+d1 = 0 e pi2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0, e ~n1 =
(a1,b1,c1) e ~n2 = (a2,b2,c2) sa˜o os vetores normais a pi1 e pi2, denominamos
aˆngulo de dois planos como sendo o menor aˆngulo que um vetor normal de
um plano forma com o outro, observe a Figura 2.7, desta forma
44
IMEF - FURG
2.6. PLANOS PARALELOS E PERPENDICULARES
cos(θ) =
| ~n1 · ~n2|
| ~n1| · | ~n2| , com 0 ≤ θ ≤
pi
2
(2.14)
Figura 2.7: Aˆngulo de dois planos
2.6 Planos Paralelos e Perpendiculares
Considere os seguintes planos pi1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e pi2 :
a2x+ b2y + c2z + d2 = 0. Sabe-se que
~n1 = (a1,b1,c1) ⊥ pi1 e ~n2 = (a2,b2,c2) ⊥ pi2
Enta˜o, as condic¸o˜es de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos
sa˜o
i. Se pi1 ‖ pi2 ⇒ ~n1 ‖ ~n2 ∴ a1a2 = b1b2 = c1c2
Se ale´m disso, a1a2 =
b1
b2
= c1c2 =
d1
d2
os planos sa˜o coincidentes.
ii. Se pi1 ⊥ pi2 ⇒ ~n1 ⊥ ~n2 ∴ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
Exemplo 37. Planos paralelos:
45
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2.7. RETAS E PLANOS
Figura 2.8: pi1 : 3x+ 6y + 9z − 5 = 0 e pi2 : x+ 2y + 3z + 8 = 0
Exemplo 38. Planos Perpendiculares:
Figura 2.9: pi1 : y = 0 e pi2 : z = 0
2.7 Retas e Planos
2.7.1 Aˆngulo de uma reta com um plano
Dados uma reta r e um plano pi. Considere α sendo o aˆngulo entre a
reta e o plano. Como α e´ o complemento do aˆngulo θ que a reta forma com
46
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2.7. RETAS E PLANOS
uma reta normal ao plano (θ + α = 90◦ → α = 90◦ − θ), da trigonometria
cos(θ) = sin(α), portanto,
sin(α) =
|~v · ~n|
|~v| · |~n| , com 0 ≤ α ≤
pi
2
(2.15)
Exemplo 39. Encontre o aˆngulo formado pela reta
{
y = −2x
y = 2x+ 1
e pi :
x− y + 5 = 0
Soluc¸a˜o:
sin(α) =
|(1,− 2,2) · (1,− 1,0)|√
1 + 4 + 4
√
1 + 1
⇒ α = arcsen(
√
2
2
)
2.7.2 Condic¸o˜es de paralelismo e perpendicularismo entre
reta e plano
i. Se r ‖ pi, ~v ⊥ ~n.
ii. Ser ⊥ pi, ~v ‖ ~n.
2.7.3 Condic¸o˜es para que uma reta esteja contida num plano
i. O vetor ~v de r e´ ortogonal ao vetor ~n.
ii. Um ponto A pertence a r pertence tambe´m ao plano.
2.7.4 Agora tente resolver!
1. Determinar o aˆngulo entre os planos:
(a) pi1 : 2x− 3y + z − 5 = 0 e pi2 : x+ 2y − 2z − 12 = 0
(b) pi1 : 2x− 3y + 5z − 8 = 0 e pi2 : 3x+ 2y + 5z − 4 = 0
(c) pi1 : 3x+ 2y − 6 = 0 e pi2 : plano xOz.
2. Determine se os seguintes planos sa˜o paralelos ou ortogonais:
(a) pi1 : 4x+ 6y + 8z = 0 e pi2 : 2x+ 3y + 4z − 3 = 0;
(b) pi1 : 3x− 2y + z + 4 = 0 e pi2 : 2y + 4z = 0;
(c) pi1 : 4x− 6y + 2z − 4 = 0 e pi2 : −6x+ 9y − 3z + 1 = 0;
(d) pi1 : −2x+ 3y − 2z + 1 = 0 e pi2 : −x+ 2y + 4z − 4 = 0;
3. Verifique se as retas sa˜o paralelas aos planos:
a) r :
{
x− 1
3
=
y + 1
−2 = z e pi : x+ 2y + 3 = 0
47
IMEF - FURG
2.8. INTERSEC¸A˜O ENTRE PLANOS
b) s :
{
y = 2x
z = −3x+ 7 e pi : 2x+ 5y + 4z − 12 = 0
4. Sendo r :
{
x− 1
a
=
y − 2
−1 = z + 3 e pi : 2x+3y−z+d = 0, determinar
a e d tal que a reta r esteja contida no plano pi.
2.8 Intersec¸a˜o entre Planos
Considere dois planos: pi1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e pi2 : a2x + b2y +
c2z + d2 = 0, a intersec¸a˜o de dois planos na˜o paralelos e´ uma reta r cujas
equac¸o˜es se deseja determinar.
Portanto, pi1 ∩ pi2 = {t}.
Figura 2.10: Intersec¸a˜o entre planos
Para determinar um ponto e um vetor diretor da reta t, da Figura 2.10,
encontramos suas equac¸o˜es reduzidas, isolando duas varia´veis em func¸a˜o da
terceira. Como a reta t esta´ contida nos dois planos, as coordenadas de
48
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2.9. INTERSEC¸A˜O DE UMA RETA COM O PLANO
qualquer ponto (x,y,z) ∈ t devem satisfazer, simultaneamente, as equac¸o˜es
dos dois planos. Assim, os pontos da reta constituem a soluc¸a˜o do sistema
formado pelas equac¸o˜es dos planos.
Exemplo 40. Encontre a reta de intersec¸a˜o dos planos pi1 : x+3y−z+4 = 0
e pi2 : 3x− 2y + z − 7 = 0.
Soluc¸a˜o:

x+ 3y − z + 4 = 0
3x− 2y + z − 7 = 0(+)
4x+ y − 3 = 0⇒ y = −4x+ 3
substituindo na primeira equac¸a˜o, temos:
x+ 3(−4x+ 3)− z + 4 = 0
−11x− z + 13 = 0
z = −11x+ 13
Enta˜o:
{
y = −4x+ 3
z − 11x+ 13
Estas sa˜o as equac¸o˜es reduzidas da reta intersec¸a˜o dos planos, sendo os
pontos desta intersec¸a˜o da forma: (x,− 4x+ 3,− 11x+ 13).
Observac¸a˜o: Sendo ~vr ⊥ ~n1 e ~n2, o vetor da reta pode ser obtido por
~vr = ~n1 × ~n2. (Resolva o exemplo anterior usando o produto vetorial). Um
ponto da reta r satisfaz as equac¸o˜es dos planos, sendo uma soluc¸a˜o particular
pelo sistema formado por elas.
2.9 Intersec¸a˜o de uma reta com o plano
Para ilustrar a situac¸a˜o vamos resolver o exemplo a seguir.
Exemplo 41. Considere r :
{
x = −y + 2
z = −3y + 6 e pi : 2x + y − 4z − 13 = 0.
Encontre o ponto de intersec¸a˜o entre a reta e o plano. Se existir, tera´
coordenadas que satisfac¸am simultaneamente as equac¸o˜es da reta e do plano.
49
IMEF - FURG
2.9. INTERSEC¸A˜O DE UMA RETA COM O PLANO
Resolvendo o sistema:
r ∩ pi = I ⇒

x = −y + 2
z = −3y + 6
2x+ y − 4z − 13 = 0
⇒ 2(−y + 2) + y − 4(−3y + 6)− 13 = 0.
Portanto, o ponto de intersec¸a˜o e´ I(−1,3,− 3).
RESUMO:
Posic¸a˜o relativa entre reta e plano:
a) Se ~n e ~vr sa˜o ortogonais ⇒ ~n · ~vr = 0 (~n ⊥ ~vr).
Ou r ⊂ pi ou r ‖ pi ⇒ r ∩ pi = ∅.
b) Se ~n e ~vr na˜o sa˜o ortogonais ⇒ ~n · ~vr 6= 0, r ∩ pi = I a reta intercepta
o plano.
c) Se ~n e ~vr sa˜o ortogonais, para decidir se r ⊂ pi ou r ‖ pi , verificamos se
um ponto de r pertence ao plano. Caso afirmativo, r ⊂ pi sena˜o r ‖ pi.
Posic¸a˜o relativa entre planos:
a) Se o plano pi1 coincide com pi2 : ~n1 ‖ ~n2.
pi1 ≡ pi2 se e somente se, os coeficientes a1, b1, c1, d1 e a2, b2, c2, d2
sa˜o proporcionais.
b) pi1 ‖ pi2, ~n1 ‖ ~n2 ∴ a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
, pore´m d1 e d2 na˜o tem a mesma
proporc¸a˜o.
c) ~n1 e ~n2 na˜o paralelos, pi1 ∩ pi2 = r.
2.9.1 Agora tente resolver!
1. Determinar um ponto e um vetor da reta de intersec¸a˜o com os seguintes
planos:
(a) pi1 : x− 2y + z − 8 = 0 e pi2 : 2x− y + z − 5 = 0
(b) pi1 : 3x+ y + 2z + 1 = 0 e pi2 : −x+ 3y − 2 = 0
2. Determinar a intersec¸a˜o, se houver, do planos e a reta:
(a) pi : x− 3y − 3z − 5 = 0 e r : x+13 = y+34 = z+42
50
IMEF - FURG
2.10. INTERSEC¸A˜O DE UM PLANO COM OS EIXOS E PLANOS
COORDENADOS
(b) pi : x+ y − 2z + 4 = 0 e

x = 5 + 3t
y = 2− t
z = −4 + t
(c) pi : xOy e
{
y = 2x
z = −3x+ 9
2.10 Intersec¸a˜o de um Plano com os Eixos e Pla-
nos coordenados
Considere o plano: pi : 3x+ 4y + z − 12 = 0.
Vamos encontrar a intersec¸a˜o de pi com os eixos coordenados e com
os planos coordenados
a) Com os eixos coordenados
Lembrando que:
Ox
{
y = 0
z = 0
, Oy
{
x = 0
z = 0
, Oz
{
x = 0
y = 0
(2.16)
Voltando ao exemplo, resolvendo os sistemas lineares:
1. pi ∩ 0x→

3x+ 4y + z − 12 = 0
y = 0
z = 0
→ Px(4,0,0)
2. pi ∩ 0y → Py(0,3,0)
3. pi ∩ 0z → Pz(0,0,12)
51
IMEF - FURG
2.11. DISTAˆNCIAS
Figura 2.11: Intersec¸a˜o do plano com os eixos
b) Com os planos coordenados
Lembrando que as equac¸o˜es dos planos coordenados sa˜o respectiva-
mente: xOy : z = 0, xOz : y = 0 e yOz : x = 0.
1. pi ∩ x0y = r →
{
3x+ 4y + z − 12 = 0
z = 0
→
{
y = −34x+ 3
z = 0
2. pi ∩ x0z = r →
{
3x+ 4y + z − 12 = 0
y = 0
→
{
z = −3x+ 12
y = 0
3. pi ∩ y0z = r →
{
3x+ 4y + z − 12 = 0
x = 0
→
{
z = −4x+ 12
x = 0
2.11 Distaˆncias
2.11.1 Distaˆncia de um ponto a um Plano
Dado um ponto A(x0,y0,z0) na˜o pertencente a pi e o plano pi : ax+ by+
cz + d = 0, queremos determinar a distaˆncia de A ao plano pi. Se P (x,y,z)
e´ um ponto no plano e ~n a normal ao plano enta˜o a distaˆncia de qualquer
ponto A ao plano, d(A,pi), e´ o mo´dulo da projec¸a˜o ortogonal
−→
PA na direc¸a˜o
de ~n. Observe a Figura 2.12.
52
IMEF - FURG
2.11. DISTAˆNCIAS
Figura 2.12: Distaˆncia de ponto a plano
d(A,pi) =
∣∣∣proj~n ~PA∣∣∣ = ∣∣∣∣−→PA · ~n|~n|
∣∣∣∣ (2.17)
d(A,pi) =
∣∣∣∣(x0 − x,y0 − y,z0 − z)(a,b,c)√a2 + b2 + c2
∣∣∣∣
d(A,pi) =
∣∣∣∣a(x0 − x) + b(y0 − y) + c(z0 − z)√a2 + b2 + c2
∣∣∣∣
Como P ∈ pi, suas coordenadas satisfazem a equac¸a˜o do plano, enta˜o
d = −ax− by − cz. Portanto,
d(A,pi) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
(2.18)
Observe que a expressa˜o do numerador se obte´m substituindo as coordena-
das do ponto A. Esse valor sera´ sempre positivo, pois no numerador temos
o mo´dulo do nu´mero e o denominador e´ o mo´dulo do vetor normal ao plano.
2.11.2 Distaˆncia entre dois planos
A distaˆncia entre dois planos so´ e´ definida se os planos sa˜o paralelos,
portanto, a distaˆncia d entre eles e´ a distaˆncia de um ponto qualquer de um
dos planos ao outro: d(pi1,pi2) = d(A,pi2) com A ∈ pi1.
2.11.3 Distaˆncia de uma reta a um plano
So´ e´ definida quando a reta e´ paralela ao plano, enta˜o a distaˆncia da
reta ao plano e´ a distaˆncia de um ponto qualquer da reta ao plano, d(r,pi) =
d(A,pi) com A ∈ r.
53
IMEF - FURG
2.12. LISTA DE EXERCI´CIOS - PLANOS
2.11.4 Agora tente resolver!
1. Encontrar a distaˆncia da reta: r :
{
x = 3
y = 4
a) Ao plano x0z
b) Ao plano y0z
c) Ao plano pi : x+ y − 12 = 0
2.12 Lista de Exerc´ıcios - Planos
1. Escrever a equac¸a˜o do plano que passa por A(3,2,3) e e´ perpendicular
ao segmento que liga este ponto ao ponto P (4,4,6).
2. Determinar a equac¸a˜o geral do plano perpendicular a` reta r :
{
y = 3x+ 2
z = 4x− 2
e que contenha o ponto A(3,1,2).
3. Determinar a equac¸a˜o geral do plano que passa pelo ponto me´dio do
segmento de extremos A(4,3,6), B(2,1,0) e seja perpendicular a ele.
4. Dadas as equac¸o˜es parame´tricas

x = 3 + 2h+ t
y = 4− h+ t
z = 6− h+ 2t
, obter uma equac¸a˜o
geral do plano.
5. Escrever uma equac¸a˜o geral e as equac¸o˜es parame´tricas do plano de-terminado pelos pontos: A(2,1,6), B(−1,4,8), C(1,− 1,− 1).
6. Determinar uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m as retas:
r1 :
{
y = 2x+ 2
z = 3x− 1 r2 :
{
x− 1
2
=
y − 4
1
=
z − 2
2
7. Determinar uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m as retas:
r1 :
{
x = 2y − 2
z = y − 3 r2 :
{
y = 2x+ 1
z = −3x− 2
8. Determinar a equac¸a˜o geral do plano que contenha o ponto e a reta
dados:
(a) A(3,4,6) e r

x = t
y = 3− t
z = 3 + 2t
(b) A(4,5,2) e o eixo z
54
IMEF - FURG
2.12. LISTA DE EXERCI´CIOS - PLANOS
9. Obter uma equac¸a˜o geral do plano paralelo ao eixo dos x e que conte-
nha os pontos A(−4,1,2), B(0,− 3,4).
10. Determinar a posic¸a˜o relativa dos seguintes planos, em relac¸a˜o aos
planos e eixos coordenados:
(a) 3x− 2y + 6 = 0
(b) x− 3z = 0
(c) 2y + z − 9 = 0
(d) z − 3 = 0
(e) y = 0
(f) x+ 5 = 0
11. Determine as intersec¸o˜es dos planos com os eixos coordenados e repre-
sente graficamente:
(a) 5x+ 2y − 10 = 0
(b) y + 2z − 4 = 0
(c) x− 5 = 0
(d) z = 3
(e) 3x+ 2y + 4z = 12
(f) 4x+ 2y + 6z = 12
(g) y + z = 5
(h) x+ y − z = 0
12. Determine a equac¸a˜o do plano que passa:
(a) pelo ponto P (5,6,2) e e´ paralelo ao plano xOy;
(b) pelo ponto P (2,3,3) e e´ paralelo ao plano xOz;
(c) pelo ponto P (1,− 2,2) e e´ paralelo ao plano yOz.
13. Dados os seguintes planos: pi : ax + by − 4z + 3 = 0 e α : 3x + 2y −
2z + 20 = 0, calcule:
(a) a e b para que os planos sejam paralelos.
(b) a distaˆncia entre eles.
14. Determinar a equac¸a˜o geral do plano que passa pelo ponto A(−4,2,9)
e e´ perpendicular ao eixo Oz.
15. Determinar a equac¸a˜o geral do plano mediador do segmento retil´ıneo
que tem por extremidades os pontos A(4,3,− 4), B(2,3,− 4).
55
IMEF - FURG
2.12. LISTA DE EXERCI´CIOS - PLANOS
16. Escreva a equac¸a˜o do plano paralelo ao eixo Ox e que passa pelos
pontos A(6,1,2) e B(6,− 1,3).
17. Determinar a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto A(3,1, − 1) e e´
perpendicular ao plano 2x− 2y + z + 4 = 0, tendo sua intersec¸a˜o com
o eixo Oz no ponto de cota igual a −3.
18. Determine a equac¸a˜o do plano que passa pela origem e e´ perpendicular
aos planos xOy e y − 2 = 0.
19. Escreva a equac¸a˜o do plano determinado pelas retas r : x2 = y + 1 =
z − 3 e (x,y,z) = (−1,1,0) + t(4,2,2).
20. Determinar a intersec¸a˜o da reta r : (x,y,z) = (0,1,0) + t(1, − 2, − 1),
como plano pi : 2x+ y − z − 4 = 0.
21. Escreva a equac¸a˜o do plano:
(a) paralelo ao plano xy, 10 unidades acima dele;
(b) perpendicular ao eixo dos z, no ponto (0,0,− 15);
(c) paralelo ao plano xz, 8 unidades atra´s dele.
22. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta r, intersec¸a˜o dos planos:
pi1 : 2x+ y − z = 0 e pi1 : x− 2y + z − 1 = 0.
23. Determinar a equac¸a˜o do plano pi, paralelo ao plano α : 2x + 5y +
z − 4 = 0, sabendo-se que passa pelo ponto de intersec¸a˜o da reta
r : (x,y,z) = (1,0,3) + t(2,− 1,3) com o plano pi2 : x+ 3y − z − 2 = 0.
24. O ponto A(3,2,2) ∈ pi e o plano pi e´ paralelo aos vetores ~u = (3,2,− 1)
e ~v = (2,2,3). Escreva a equac¸a˜o vetorial, as equac¸o˜es parame´tricas e
a equac¸a˜o geral do plano pi.
25. Determine as equac¸o˜es parame´tricas do plano pi : 3x+ 2y− z + 6 = 0.
26. Determine a equac¸a˜o geral do plano pi de equac¸o˜es:
x = 1 + 3h+ t
y = −1 + h+ 2t
z = −h+ 3t
27. Escrever uma equac¸a˜o geral e as equac¸o˜es parame´tricas dos planos
determinados pelos seguintes pontos:
(a) A(2,0,− 1), B(3,1,2), C(4,− 1,− 3)
(b) A(3,2,1), B(1,− 2,1), C(0,2,3)
56
IMEF - FURG
2.12. LISTA DE EXERCI´CIOS - PLANOS
28. Escreva uma equac¸a˜o geral do plano paralelo ao eixoOx e que contenha
A(2,3,0) e B(1,0,− 1).
29. Determine uma equac¸a˜o geral para o plano pi que conte´m A(2,1,− 1)
e B(3,2,3) e e´ perpendicular ao plano α : 3x− y + 2z = 0.
30. Determine a distaˆncia dos pontos aos respectivos planos:
(a) P (2,3,6) e pi : x+ y + z = 0
(b) P (2,− 1,2) e pi : 2x− 2y − z + 3 = 0
(c) P (−3,1,2) e pi : 2x− 3y + 6z − 42 = 0
31. Verifique se os planos sa˜o paralelos, caso afirmativo calcule a distaˆncia
entre os mesmos: pi1 : x+ y + z = 4 e pi2 : 2x+ 2y + 2z = 5.
32. Determine a distaˆncia da reta r ao plano pi: r :

x = 4 + 3t
y = −1 + t
z = t
pi :
x− y − 2z + 4 = 0.
57
IMEF - FURG
Cap´ıtulo 3
Gabaritos
3.1 Lista de Exerc´ıcios - Retas
1. x = 6 + 2t, y = 3− 6t, z = 9− t; x− 6
2
=
y − 3
−6 =
z − 9
−1
2. gra´ficos
3. a.y = 2x− 14, z = 7
4
x− 16; b. y = −x+ 5, z = −1
3
x+ 2
4. x = −3
2
z +
7
2
, y = 2z
5. Paralela ao eixo x : x = 4 + t, y = −5,z = 3 ou y = −5,z = 3. Paralela
ao eixo y : x = 4, y = −5 + t, z = 3 ou x = 4, z = 3. Paralela ao eixo
z : x = 4, y = −5,z = 3 + t ou x = 4, y = −5.
6. a. θ = arccos(
1
2
); b. θ = arccos(
√
66
11
).
7. m = −19
5
8. a. I(2,1,3); b. h = 1, t = −1, I(3,8,12)
9. a. y = −2, z = 4; b. x = 3, z = 1; c. x = 4 + t, y = −1 − t, z = 2; d.
x = 2, y = −3 + 2t, z = 4− t.
10. I(2,− 3,4)
11. I(1,4,− 2)
12.
√
306
3
u.c.
13. 2
√
2u.c.
58
3.2. LISTA DE EXERCI´CIOS - PLANOS
14. a.
x− 3
1
=
y + 4
−3 =
z − 4
−2 ; b. (5,− 10,0)
15. m = 4
16. x = 2 + 2t, y = −3 + 4t, z = 3 + 8t
17. Uma soluc¸a˜o: −→v = (−3,− 1,2);x = 3− 3t, y = 3− t, z = −2 + 2t
18. a. x = 3− t, y = 2− t, z = 2− 2t; b. x = −1 + 5
2
t, y = −1
2
t, z = 2− t
19. −→v = (−−→AB×−→AC)×−−→AB = (6,− 12,− 12);x = 3 + 6t, y = −2− 12t, z =
−12t
20.
−−→
AB = (3,0,1),
x+ 1
3
= z − 3, y = 1; −→AC = (4, − 2, − 4), x+ 1
4
=
y − 1
−2 =
z − 3
−4 ;
−−→
BC = (1,− 2,− 5), x− 2 = y − 1−2 =
z − 4
−5
21. 7u.c.
22. −→v = (1,− 3,1);x = 1 + t, y = −3− 3t, z = 2 + t
23. −→v = (1,− 2
5
,6);x = 4 + t, y = −4− 2
5
t, z = 2 + 6t
24.
x− 2
3
=
y + 3
3
=
z − 4
−4
25.
x− 3
3
= y − 3 = z + 2−2
26. a. Pm(0,
1
2
,1), x = 2t, y =
1
2
,z = 1 + 3t; b. Pm(0,0,0), x = t, y = 0, z =
0; c. Pm(4,− 1
2
,
3
2
); d. Pm(4,6,3); e. Pm(5,
3
2
,7)
27. Na˜o sa˜o paralelas, sa˜o coplanares, ponto de intersec¸a˜o I(1,2,3), para-
metrizac¸a˜o:

x = 1 + 2t
y = 2− t 0 ≤ t ≤ 2.
z = 3− t
3.2 Lista de Exerc´ıcios - Planos
1. x+ 2y + 3z − 16 = 0
2. x+ 3y + 4z − 14 = 0
3. x+ y + 3z − 14 = 0
4. x+ 5y − 3z − 5 = 0
59
IMEF - FURG
3.2. LISTA DE EXERCI´CIOS - PLANOS
5. 17x+ 23y − 9z − 3 = 0
6. x+ 4y − 3z − 11 = 0
7. 5x− 7y − 3z − 1 = 0
8. a. 5x− 3y − 4z + 21 = 0; b.5x− 4y = 0
9. 2y + 4z − 10 = 0
10. a. plano paralelo Oz; b.plano paralelo Oy; c. plano paralelo Ox; d.
plano paralelo ao plano xOy; e. plano paralelo ao plano xOz; f. plano
paralelo ao plano yOz
11. Gra´ficos.
12. a. z − 2 = 0; b. y − 3 = 0; c. x− 1 = 0
13. a. a = 6, b = 4
14. z − 9 = 0
15. x− 3 = 0
16. y + 2z − 5 = 0
17. 5x+ y − 8z − 24 = 0
18. x = 0
19. 5x− 5y − 5z + 10 = 0
20. P (3,− 5,− 3)
21. a. z = 10; b. z = −15; c. y = −8
22. y = 3x− 1, z = 5x− 1
23. 2x+ 5y + z − 3 = 0
24. 8x− 11y + 2z − 6 = 0
25. x = t, y = h, z = 6 + 3t+ 2h
26. x− 2y + z − 3 = 0
27. a.x+ 8y − 3z − 5 = 0; b. 2x− y + 3z − 7 = 0
28. y − 3z − 3 = 0
29. 6x+ 10y − 4z − 26 = 0
60
IMEF - FURG
3.2. LISTA DE EXERCI´CIOS - PLANOS
30. a.
11
√
3
3
u.c.; b.
7
3
u.c.; c.
39
7
u.c.
31.
√
3
2
u.c.
32.
3
√
6
2
u.c.
Bibliografia
1. Steinbruch, A.; Winterle, P. Geometria Anal´ıtica, Sa˜o Paulo: Pearson
Makron Books, 1987.
2. Winterle, P. Vetores e Geometria Anal´ıtica, Sa˜o Paulo: Makron Books,
2 ed., 2014.
3. Boulos, P. Geometria Anal´ıtica: um tratamento vetorial, Sa˜o Paulo:
McGraw-Hill, 1987.
4. Weir, Maurice D. Ca´lculo (George B. Thomas), Volume II, Sa˜o Paulo:
Addison Wesley, 2009.
61
IMEF - FURG
Apeˆndice A
Retas e Planos - Exemplos
Exemplos de retas e planos:
Exemplo 42. A intersec¸a˜o dos planos pi : 3x − 6y − 2z − 15 = 0 eα :
2x+ y − 2z − 5 = 0 e´ a reta r : (x,y,z) = (2.8,− 1.02,− 0.1) + t(14,2,15).
Figura A.1: Intersec¸a˜o entre planos.
62
Exemplo 43. Treˆs pontos na˜o alinhados pertencentes a um plano.
Figura A.2: Pontos pertencentes a um plano.
63
IMEF - FURG
Exemplo 44. Intersec¸a˜o entre retas. Essas retas sa˜o tambe´m ortogonais.
Figura A.3: Retas ortogonais.
64
IMEF - FURG
Exemplo 45. Reta perpendicular ao plano xOy. O ponto A ∈ xOy.
Figura A.4: Reta perpendicular ao plano xOy.
65
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Apeˆndice B
Estudo da Reta no plano
cartesiano
B.1 Conceito de Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, (A×B)
e´ o conjunto formado por todos os pares ordenados (a,b), em que a ∈ A e
b ∈ B:
A×B = {(a,b)|∀a ∈ A;∀b ∈ B}
Exemplo 46. Considere os seguintes conjuntos: A = {1,3,5} e B = {2,3}.
A×B = {(1,2),(1,3),(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)}
Produtos cartesianos importantes:
Sendo R - conjunto dos reais.
Indica-se por R2 o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), em que
x e y sa˜o nu´meros reais. O produto cartesiano: R× R = R2 = {(x,y)|∀x ∈
R; ∀y ∈ R}.
O nu´mero x e´ a primeira coordenada (abscissa) e o nu´mero y a segunda
coordenada (ordenada) do par (x,y).
Indica-se por R3 o conjunto formado pelos ternos ordenados (x,y,z), em
que x,y e z sa˜o nu´meros reais.
O produto cartesiano: R× R× R = R3 = {(x,y,z)|∀x ∈ R,∀y ∈ R,∀z ∈
R}.
66
B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
O nu´mero x e´ a primeira coordenada (abscissa) e o nu´mero y a segunda
coordenada (ordenada) e z e´ a terceira coordenada (cota) do terno (x,y,z).
B.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta
Uma reta orientada e´ uma reta na qual tomamos um sentido positivo de
percurso (flecha).
Figura B.1: Reta Orientada.
Como vimos, cada ponto no plano (R2) possui uma abscissa e uma or-
denada, portanto, o ponto P e´ um par ordenado (x,y). Note que o plano
cartesiano e´ formado a partir de duas retas mutuamente perpendiculares. O
eixo x e´ perpendicular ao eixo y.
Figura B.2: Plano cartesiano.
Exemplo 47. Pontos no plano cartesiano.
67
IMEF - FURG
B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Suponha que deseja-se marcar o ponto A(1, − 3) no plano cartesiano.
Para isso, imagine uma reta vertical passando pelo ponto 1 do eixo x e uma
reta horizontal passando pelo ponto −3 do eixo y. A intersec¸a˜o dessas duas
retas e´ o ponto A.
Figura B.3: Ponto no plano cartesiano.
Distaˆncia entre dois pontos
Para falar em distaˆncia entre dois pontos devemos lembrar do Teorema
de Pita´goras, que relaciona as medidas dos lados de um triaˆngulo retaˆngulo.
Os lados que formam um aˆngulo reto sa˜o denominados catetos e o lado
oposto ao aˆngulo reto e´ chamado de hipotenusa. Assim, temos
a2 = b2 + c2.
Pela figura abaixo, considere os pontos P (x1,y1) e Q(x2,y2)
Figura B.4: Distaˆncia entre dois pontos.
68
IMEF - FURG
B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
|−−→PQ|2 = |x2 − x1|2 + |y2 − y1|2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
|−−→PQ| =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Ponto Me´dio
Considere treˆs pontos sobre uma reta A(x1,y1), B(x2,y2), P (x,y), onde
P e´ o ponto me´dio entre A e B, enta˜o AP = PB. Portanto,
x =
(x1 + x2)
2
, y =
(y1 + y2)
2
P =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
Figura B.5: Ponto me´dio.
B.1.2 A Equac¸a˜o da Reta no plano
E´ fa´cil perceber que dois pontos distintos definem uma u´nica reta. Con-
sidere a reta definida por A(x0,y0) e B(x1,y1). Um ponto P (x,y) esta´ sobre
a reta desde que A,B e P sejam colineares, como podemos observar pela
figura abaixo.
Tal condic¸a˜o de alinhamento e´ satisfeita se os triaˆngulos ABM e APN
forem semelhantes,
PN
AN
=
BM
AM
Portanto,
y − y0
x− x0 =
y1 − y0
x1 − x0 .
69
IMEF - FURG
B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Figura B.6: Definic¸a˜o da equac¸a˜o da reta.
Onde, x0,y0,x1,y1 sa˜o nu´meros conhecidos. Tal constante e´ o coefici-
ente angular da reta a e pode ser calculado dividindo-se a variac¸a˜o 4y das
ordenadas dos pontos conhecidos da reta pela variac¸a˜o4x de suas abscissas.
a =
4y
4x =
y1 − y0
x1 − x0 .
Enta˜o,
y1 − y0
x1 − x0 = a ou y − y0 = a(x − x0) e´ a equac¸a˜o na forma ponto
coeficiente angular. Isolando y, temos y = ax− ax0 + y0, onde ax0 + y0 = b,
enta˜o a forma da equac¸a˜o reduzida da reta e´ dada por
y = ax+ b.
Sendo assim, a e´ o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear. Di-
zer que y = ax+b e´ uma equac¸a˜o de uma dada reta significa que todo ponto
da reta tem coordenadas que satisfazem sua equac¸a˜o. Reciprocamente, todo
par ordenado que satisfaz sua equac¸a˜o e´ um ponto da reta.
Declividade ou coeficiente angular
Considere uma reta r na˜o paralela ao eixo Oy e α sua inclinac¸a˜o, o
coeficiente angular a e´ o nu´mero real que expressa a tangente trigonome´trica
de sua inclinac¸a˜o α.
a = tgα
Observe a seguir os casos com 0◦ ≤ α < 180◦ :
A equac¸a˜o da reta horizontal e´ y = b.
70
IMEF - FURG
B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Figura B.7: Reta horizontal.
Figura B.8: Reta com coeficiente angular negativo.
71
IMEF - FURG
B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Figura B.9: Reta com coeficiente angular positivo.
Figura B.10: Reta vertical.
A equac¸a˜o da reta vertical e´ x = c.
Observamos que uma reta com coeficiente angular positivo dirige-se para
cima e para direita, e, uma reta com coeficiente angular negativo dirige-se
para baixo e para direita.
Exemplo 48. Como calcular o coeficiente angular: Dados dois pontos da
reta, por exemplo, A(2,3) e B(4,7), enta˜o:
a =
7− 3
4− 2 =
4
2
= 2
Equac¸a˜o da reta conhecidos um ponto e a declividade:
72
IMEF - FURG
B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Considere P (x,y) um ponto gene´rico sobre a reta e a a declividade (co-
eficiente angular), temos
tgα = a =
y − y1
x− x1 ⇒ y − y1 = a(x− x1)
Exemplo 49. Se o ponto A(3,2) pertence a reta r e o coeficiente angular
da reta e´ 2, usando a equac¸a˜o (y − y1) = a(x− x1), temos:
(y − 2) = 2(x− 3)⇒ (y − 2) = 2x− 6⇒ y = 2x− 4.
Equac¸a˜o Geral da reta:
Toda reta possui uma equac¸a˜o na forma ax+ by + c = 0 na qual a,b e c
sa˜o constantes e a e b na˜o sa˜o simultaneamente nulos, chamada de equac¸a˜o
geral da reta.
Retas paralelas
Duas retas sa˜o paralelas quando na˜o existe um ponto comum a elas. Por-
tanto, duas retas sa˜o paralelas se, e somente se, possuem a mesma inclinac¸a˜o
a e cortam o eixo Oy em pontos diferentes.
Figura B.11: Retas paralelas.
Retas concorrentes
Exemplo 50. Dadas as retas r : 3x + 2y − 7 = 0 e s : x − 2y − 9 = 0,
determinar o ponto P de intersec¸a˜o das retas r e s.
73
IMEF - FURG
B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Figura B.12: Retas concorrentes.
Soluc¸a˜o: Resolver o seguinte sistema:{
3x+ 2y − 7 = 0
x− 2y − 9 = 0
Temos: 4x − 16 = 0 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4, substituindo na segunda
equac¸a˜o, y =
−5
2
. Portanto, P (4,
−5
2
).
Retas perpendiculares
Duas retas sa˜o perpendiculares quando o aˆngulo entre elas e´ 90◦. Sejam,
r : y = ax+ b e s : y = mx+ n, r e s sa˜o perpendiculares se ma = −1.
Figura B.13: Retas perpendiculares.
74
IMEF - FURG