LIVRO Estatistica Basica Para Ciências Agrárias
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LIVRO Estatistica Basica Para Ciências Agrárias


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e Independe\u2c6ncia
Se dois eventos na\u2dco podem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, se a ocorre\u2c6ncia de um deles
impede a possibilidade de ocorre\u2c6ncia do outro, sa\u2dco chamados eventos mutuamente exclusivos
ou disjuntos.
Exemplo: considere os resultados do lanc¸amento de um dado, \u2126={1,2,3,4,5,6}, e os
eventos, A={1,3,5} e B={2,4,6}, enta\u2dco os eventos A e B sa\u2dco mutuamente exclusivos pois
A\u2229B=\u2205.
Exemplo: Considere como sendo \u2126 todas as espe´cies da ordem Himenoptera, e os eventos
A={espe´cies da fam\u131´lia Formicidae} e B={ espe´cies da fam\u131´lia Apidae}, enta\u2dco os eventos A
e B sa\u2dco mutuamente exclusivos, pois A\u2229B=\u2205.
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Dois eventos, associados a um experimento aleato´rio, sa\u2dco ditos independentes quando a
ocorre\u2c6ncia de um deles na\u2dco interfere na ocorre\u2c6ncia do outro.
Exemplo: vamos supor que dois alunos tentem resolver uma mesma questa\u2dco em sep-
arado, ao mesmo tempo. Os eventos que consistem em que cada um dos alunos acerte a
questa\u2dco sa\u2dco independentes, pois o fato de um aluno acertar a questa\u2dco na\u2dco influencia no fato
do outro tambe´m acertar.
Outro exemplo: Cegueira e surdez, espera-se que sejam independentes.
Em ensaios agr´\u131colas de campo, as parcelas experimentais sa\u2dco independentes, pois o
resultado de uma unidade experimental na\u2dco interfere no resultado das demais.
A definic¸a\u2dco de independe\u2c6ncia e´ important´\u131ssima em estat´\u131stica. A maioria dos testes,
pressupo\u2dcem independe\u2c6ncia entre os eventos, como veremos na sec¸a\u2dco 8.
Eventos mutuamente exclusivos sa\u2dco independentes? Na\u2dco, eventos mutuamente exclusivos
sa\u2dco dependentes, pois a ocorre\u2c6ncia de um deles impede a ocorre\u2c6ncia do outro.
3.4 A Probabilidade de Um Evento
Seja qual for o evento, por exemplo, chuva, geno´tipos homozigo´ticos, produc¸a\u2dco de uma
cultura, saiu face \u131´mpar ,etc., a probabilidade de um evento A, denotada por P(A) e´ um
nu´mero entre 0 e 1, que indica a chance de ocorre\u2c6ncia de A. Quanto mais pro´ximo de 1 e´
P(A) =\u21d2 maior e´ a chance de ocorre\u2c6ncia de A, e quanto mais pro´xima de 0 e´ P(A) =\u21d2
menor e´ a chance de ocorre\u2c6ncia do evento A. Definic¸a\u2dco:
Seja \u3b5 um experimento aleato´rio e \u2126 um espac¸o amostral associado a esse
experimento. A cada evento A associamos um nu´mero real representado por P(A)
e denominado probabilidade de A, que expressa a chance de ocorre\u2c6ncia de A .
Sempre temos as seguintes probabilidades: quando o evento e´ imposs´\u131vel, A=\u3c6 \u2212\u2192
P(A)=0; quando o evento e´ certo, A=\u2126 \u2212\u2192 P(A)=1, portanto:
0 \u2264 P (A) \u2264 1 .
3.5 Conceito de Probabilidade
Conceito de Frequ¨e\u2c6ncia Relativa
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Existem experie\u2c6ncias que podem ser repetidas muitas vezes sob condic¸o\u2dces quase con-
stantes. Sendo assim, observa-se que a frequ¨e\u2c6ncia relativa estabiliza em certos valores e
serve como estimativa da probabilidade. Nesse caso incluem-se as experie\u2c6ncias gene´ticas,
muito importante para a a´rea de biocie\u2c6ncias.
Vamos utilizar um exemplo para ilustrar o conceito de probabilidade baseado na teoria
frequ¨e\u2c6ntista.
Vamos considerar o nu´mero de nascimentos de meninas e meninos, n. O espac¸o de
resultados e´ \u2126={masc.,fem.}. Neste experimento, vamos supor que estamos interessados no
nu´mero de nascimentos de meninos, n1, enta\u2dco, n1 e´ a frequ¨e\u2c6ncia absoluta ou simplesmente a
frequ¨e\u2c6ncia de nascimentos de meninos. A frequ¨e\u2c6ncia absoluta pode ser um nu´mero qualquer
entre 0\u2264 n1 \u2264 n. Mas, como vimos anteriormente, a probabilidade de um evento, e´ um
nu´mero entre 0 e 1. Portanto, para nos aproximarmos do conceito de probabilidade, vamos
considerar a frequ¨e\u2c6ncia relativa, f1, enta\u2dco, f1=
n1
n
, isto e´,
Frequ¨e\u2c6ncia relativa de um evento =
frequ¨e\u2c6ncia observada do evento
nu´mero total de repetic¸o\u2dces do experimento
.
Agora, pode-se ver facilmente que a frequ¨e\u2c6ncia relativa, varia de 0 a 1 (0\u2264 f1 \u2264 1). A
frequ¨e\u2c6ncia relativa e´ frequ¨e\u2c6ntemente expressada em percentagem, logo, 0% \u2264 f1 \u2264 100%.
Se o nu´mero de repetic¸o\u2dces do experimento for muito grande, a frequ¨e\u2c6ncia f1 estabiliza em
certos valores, por exemplo, para n=100.000 nascimentos, temos que f1 = 53%, este valor e´
usado como estimativa da probabilidade, a frequ¨e\u2c6ncia relativa converge para a probabilidade.
Existem regras que demonstram como tal estimativa e´ confia´vel.
Definic¸a\u2dco: Se apo´s n repetic¸o\u2dces de um experimento, com n suficientemente grande, se
verificar n1 ocorre\u2c6ncias de um evento, enta\u2dco a probabilidade de ocorre\u2c6ncia desse evento sera´
a frequ¨e\u2c6ncia relativa n1
n
.
Exemplo 1: Se cruzarmos dois indiv´\u131duos com geno´tipos AA e Aa, o gene A do in-
div´\u131duo AA encontra o gene \u201dA\u201d ou o gene \u201da\u201d do indiv´\u131duo Aa. O espac¸o dos resultados
desse experimento e´ \u2126={AA,Aa}. Fatores experimentais demonstram que os dois resultados
ocorrem com a mesma probabilidade, isto e´:
P (AA) =
1
2
= 50% e P (Aa) =
1
2
= 50%
Para completar nosso modelo probabil´\u131stico, duas condic¸o\u2dces sempre devem ser respeitadas:
1. 0\u2264 P (Ei) \u2264 1;
2.
\u2211
P (Ei)= 1.
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Onde, Ei representa um evento qualquer. Como vemos, a probabilidade total do experimento
deve ser igual a 1. Estas duas condic¸o\u2dces sa\u2dco necessa´rias, a fim de que o nosso modelo seja
consistente com o conceito de frequ¨e\u2c6ncia relativa. No exemplo de cruzamentos de indiv´\u131duos,
temos que 0\u2264P(AA)\u22641 e a 0\u2264P(Aa)\u22641 e P(AA) + P(Aa)=0.5 + 0.5=1.
Exemplo 2: foram colhidas amostras aleato´rias de indiv´\u131duos de uma populac¸a\u2dco e verifi-
cado os seus grupos sangu´\u131neos: A, B, AB e O. Enta\u2dco o \u2126={A,B,AB,O}. Foram encontradas
as frequ¨e\u2c6ncias 40%, 10%, 5%, 45% para os grupos A, B, AB e O, repectivamente, podemos
dizer que a probabilidade de sortear um indiv´\u131duo da populac¸a\u2dco com grupo sangu´\u131neo A e´
de 40% e assim por diante.
Exerc´\u131cio resolvido: considere o experimento de cruzamentos de geno´tipos Aa×Aa, e
os eventos A={AA,aa} e B={Aa}, tais que P(A)=1
2
, P(B)=1
2
e P(A\u2229 B)=0. Calcular:
a) P (Ac).
b) P (Bc).
c) P (Ac \u2229Bc).
d) P (Ac \u222aBc).
e) P (Ac \u2229B)
Soluc¸ao:
a) 1\u2212 P (A) = 1\u2212 1
2
= 1
2
.
b) 1\u2212 P (B) = 1\u2212 1
2
= 1
2
.
c) P [(A \u222aB)c] = 1\u2212 P (A \u222aB) = 1\u2212 1 = 0.
d) P [(A \u2229B)c] = 1\u2212 P (A \u2229B) = 1\u2212 0 = 1.
e) Como na\u2dco temos uma operac¸a\u2dco direta, descrevemos da seguinte forma:
B = (A \u2229B) \u222a (Ac \u2229B)
P (B) = P (A \u2229B) + P (Ac \u2229B)
logo,
P (Ac \u2229B) = P (B)\u2212 P (A \u2229B) = 1
2
\u2212 0 = 1
2
.
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3.6 A Regra da Adic¸a\u2dco
Introduziremos a noc¸a\u2dco de adic¸a\u2dco de eventos atrave´s de um exemplo. Considere um
censo realizado nos domic´\u131lios da comunidade polonesa de Dom Pedro, pro´ximo a` Curitiba,
para se estudar a mortalidade dos residentes na colo\u2c6nia. A mortalidade foi verificada sobre
o marido, a mulher, marido e mulher e filhos. Em me´dia o estudo foi realizado sobre tre\u2c6s
gerac¸o\u2dces. Os dados esta\u2dco mostrados na tabela 3.2.
Tabela 3.2: Mortalidade dos residentes na colo\u2c6nia polonesa de Dom Pedro, Curitiba, Parana´.
Idade Sexo Total
Masculino(M) Feminino(F)
0 a 1(A) 33 28 61
2 a 4(B) 4 7 11
5 a 9(C) 2 2 4
10 a 14(D) 0 1 1
15 a 29(E) 1 6 7
> 29 (G) 7 8 15
Total 47 52 99
O evento A indica o evento que acontece quando, ocorrer uma morte na colo\u2c6nia, esta
pessoa deve ter ate´ um ano de idade. O evento M acontece quando, ocorrer uma morte na
colo\u2c6nia, esta pessoa for do sexo masculino. Os demais eventos tem significados ana´logos.
Sendo assim, a probabilidade de ocorre\u2c6ncia do evento A, isto e´, a pessoa falecida tiver idade
entre 0 e 1 ano e´ dada por,
P (A) =
61
99
= 61, 62%.
A probabilidade de ocorre\u2c6ncia do evento M, isto e´, a pessoa falecida ser do sexo masculino
vale,
P (M) =
47
99
= 47, 47%.
E´ fa´cil ver tambe´m que a probabilidade da ocorre\u2c6ncia de A e M, simultaneamente vale,
P (A \u2229M) = 33
99
= 33, 33%,
isto e´, temos uma probabilidade de 33,33% da pessoa falecida ser do sexo masculino e ter
ate´ um ano de idade.
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