LIVRO Estatistica Basica Para Ciências Agrárias
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LIVRO Estatistica Basica Para Ciências Agrárias


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P (X = xi) = (0, 3333)
xi × (0, 6667)1\u2212xi .
E(X) =
\u2211
xip(xi) = 0× 0, 06667 + 1× 0, 3333 = 0, 3333.
V ar(X) = pi(1\u2212 pi) = 0, 3333× 0, 6667 = 6
9
× 3
9
=
2
9
.
4.6 A Distribuic¸a\u2dco Binomial
O objetivo inicial e´ encontrarmos a func¸a\u2dco de probabilidade (a expressa\u2dco matema´tica) da
distribuic¸a\u2dco binomial3. Para isso vamos ver como a distribuic¸a\u2dco binomial ocorre na pra´tica.
Suponha, agora, que desejamos verificar a germinac¸a\u2dco de duas sementes de trigo. Vamos
estabelecer quatro pressuposic¸o\u2dces nessa experie\u2c6ncia: primeira pressuposic¸a\u2dco: o fato de uma
semente germinar ou na\u2dco, na\u2dco tem influe\u2c6ncia no fato da outra semente germinar ou na\u2dco, isto
e´, a germinac¸a\u2dco das sementes sa\u2dco independentes; segunda pressuposic¸a\u2dco: a probabilidade
das sementes germinarem permanece constante (para isso, deve-se utilizar no experimento,
sementes bastante homoge\u2c6neas quanto a`s propriedades f´\u131sicas, qu´\u131micas e biolo´gicas) e igual
a pi (identicamente distribu´\u131das); terceira pressuposic¸a\u2dco: so´ ha´ dois resultados poss´\u131veis,
germina, ou na\u2dco germina, e a quarta pressuposic¸a\u2dco: existe n = 2 repetic¸o\u2dces. A varia´vel (X)
pode ser definida como o \u201dnu´mero de sementes que germinam\u201d e, a probabilidade de uma
semente germinar continua sendo igual a pi.
3Esta distribuic¸a\u2dco foi estudada pelo matema´tico suic¸o Jacob Bernoulli (1664-1705)
159
Observe que vamos usar as definic¸o\u2dces de P (A \u222a B) e P (A \u2229 B), onde P (A \u222a B) =
P (A) + P (B) e P (A \u2229B) = P (A)P (B), dadas nas subsec¸o\u2dces 3.6 e 3.7.
A distribuic¸a\u2dco de probabilidade fica:
Resultados xi p(xi)
GG 2 pipi=pi2(1\u2212 pi)0 \u2212\u2192p(2)=1pi2(1\u2212 pi)0= (2
2
)
pi2(1\u2212 pi)2\u22122
GG¯ 1 pi(1\u2212 pi)=pi1(1\u2212 pi)1 \u2212\u2192p(1)=2pi1(1\u2212 pi)1= (2
1
)
pi1(1\u2212 pi)2\u22121
G¯G 1 (1\u2212 pi)pi=pi1(1\u2212 pi)1
G¯G¯ 0 (1\u2212 pi)(1\u2212 pi)=pi0(1\u2212 pi)2 \u2212\u2192p(0)=1pi0(1\u2212 pi)2= (2
0
)
pi0(1\u2212 pi)2\u22120
Na tabela, o primeiro resultado mostrado e´ que as duas sementes germinam, isto e´,
temos o resultado GG. Neste caso, em que as duas sementes germinam, o valor assumido
pela varia´vel X, \u201dnu´mero de sementes que germinam\u201d, e´ x = 2. Estamos considerando que
a probabilidade de uma semente germinar e´ pi, ou seja, P (G) = pi. Assim, a probabilidade
de duas sementes germinarem independentemente e´ dada por: P (G1\u2229G2) = P (G1)P (G2) =
pipi = pi2, onde G1 e G2 representam as sementes 1 e 2, respectivamente. Esta probabilidade
pode ser reescrita como:
pi.pi = pi2(1\u2212 pi)0 =
onde os expoentes 2 e 0 indicam que duas sementes germinaram e nenhuma semente na\u2dco
germinou, respectivamente; Ainda podemos escrever:
= 1pi2(1\u2212 pi)2\u22122 =
onde o valor 1 indica que existe somente uma sequ¨e\u2c6ncia GG, e a diferenc¸a 2-2 indica que
de duas sementes ensaiadas(o primeiro dois)as duas germinaram(o segundo dois), portanto,
nenhuma na\u2dco germinou. Finalmente podemos escrever:
=
(
2
2
)
pi2(1\u2212 pi)2\u22122,
onde,
(
2
2
)
leia-se, combinac¸a\u2dco de 2(duas sementes ensaiadas), tomados 2 a 2(duas sementes
germinaram), e e´ calculada por:(
2
2
)
=
2!
2!(2\u2212 2)! =
2!
2!0!
=
1× 2
1× 2× (1) = 1.
Para o segundo resultado, em que uma semente germina (G) e a outra na\u2dco germina (G¯),
a probabilidade e´ dada por:
P (G \u2229 G¯) = P (G)P (G¯) = pi(1\u2212 pi) = pi1(1\u2212 pi)1.
160
Observe que, temos duas combinac¸o\u2dces poss´\u131veis em que uma semente germina e a outra na\u2dco
germina, GG¯ e G¯G, portanto, a probabilidade vale:
P (GG¯ \u222a G¯G) = 2pi1(1\u2212 pi)1 =
(
2
1
)
pi1(1\u2212 pi)2\u22121.
Neste ca´lculo usamos combinac¸o\u2dces pois a ordem dos resultdos na\u2dco importa. Na verdade, em
termos de resultados, corresponde a um u´nico resultado, qual seja: uma semente germina e
a outra na\u2dco germina.
Usamos o mesmo procedimento para calcular a P (G¯ \u2229 G¯).
Vamos, agora, verificar a germinac¸a\u2dco de tre\u2c6s sementes de trigo (vamos repetir o ex-
perimento 3 vezes); considerando verdadeira a hipo´tese de independe\u2c6ncia e probabilidades
constantes, pi, a distribuic¸a\u2dco de probabilidade fica:
Resultados xi P (X = xi) = p(xi)
GGG 3 pipipi = pi3(1\u2212 pi)0 \u2212\u2192 1pi3(1\u2212 pi)0= (3
3
)
pi3(1\u2212 pi)3\u22123
GGG¯ 2 pipi(1\u2212 pi) = pi2(1\u2212 pi)1 \u2212\u2192 3pi2(1\u2212 pi)1= (3
2
)
pi2(1\u2212 pi)3\u22122
GG¯G 2 pi(1\u2212 pi)pi = pi2(1\u2212 pi)1
G¯GG 2 (1\u2212 pi)pipi = pi2(1\u2212 pi)1
GG¯G¯ 1 pi(1\u2212 pi)(1\u2212 pi) = pi1(1\u2212 pi)2 \u2212\u2192 3pi1(1\u2212 pi)2= (3
1
)
pi1(1\u2212 pi)3\u22121
G¯GG¯ 1 (1\u2212 pi)pi(1\u2212 pi) = pi1(1\u2212 pi)2
G¯G¯G 1 (1\u2212 pi)(1\u2212 pi)pi = pi1(1\u2212 pi)2
G¯G¯G¯ 0 (1\u2212 pi)(1\u2212 pi)(1\u2212 pi) = pi0(1\u2212 pi)3 \u2212\u2192 1pi0(1\u2212 pi)3= (3
0
)
pi0(1\u2212 pi)3\u22120
Total 1 1
Generalizando para n ensaios. Vamos agora verificar a germinac¸a\u2dco de n sementes de
trigo (n repetic¸o\u2dces do experimento, ou, tambe´m, podemos dizer, n ensaios independentes de
Bernoulli), a probabilidade de k sementes de trigo germinar e, portanto, n\u2212 k sementes na\u2dco
germinar, nesta sequ¨e\u2c6ncia:
G,G, ..., G,\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
k
G¯, G¯, ..., G¯\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
n\u2212k
e´ dada por:
pik(1\u2212 pi)n\u2212k.
Mas, uma outra sequ¨e\u2c6ncia de k sementes que germinam e n\u2212 k sementes que na\u2dco germinam
e´:
G,G,G, ..., G¯, G¯, G, G¯..., G¯.
161
O valor da probabilidade continua sendo pik(1\u2212 pi)n\u2212k.
Uma outra sequ¨e\u2c6ncia poderia ser:
G,G,G, ..., G¯, G, G¯, G¯..., G¯.
Novamente, o valor da probabilidade nesta sequ¨e\u2c6ncia e´ pik(1\u2212 pi)n\u2212k.
Mas, existem: (
n
k
)
=
n!
k!(n\u2212 k)!
de tais sequ¨e\u2c6ncias, onde k sementes germinam e n\u2212k sementes na\u2dco germinam, de modo que
a probabilidade de k sementes germinarem e´ dada por:
P (X = k) =
(
n
k
)
pik(1\u2212 pi)n\u2212k (4.2)
para k = 0, 1, 2, 3.., n.
Observac¸o\u2dces:
1) a denominac¸a\u2dco binomial decorre do fato de os coeficientes
(
n
k
)
serem exatamente os coe-
ficientes do desenvolvimento binomial das n pote\u2c6ncias (a+ b);
2) o ca´lculo dos coeficientes, para n e k grandes, sa\u2dco dif´\u131ceis de serem realizados, por vezes
necessita da ajuda de computadores, sendo assim, sera´ estudado na sec¸a\u2dco 4.8 o uso de uma
aproximac¸a\u2dco para a distribuic¸a\u2dco binomial.
Estas probabilidades tambe´m podem ser indicadas por:
b(k : n; pi).
Os poss´\u131veis valores de k = 0, 1, 2, 3..., n e as probabilidades P (X = k), dadas em 4.2
constituem a chamada distribuic¸a\u2dco binomial.
Quando uma varia´vel aleato´ria X tem distribuic¸a\u2dco binomial com os para\u2c6metros n e pi
escrevemos:
X : b(n; pi).
Suposic¸o\u2dces do modelo binomial:
1. Existem n repetic¸o\u2dces ou provas ide\u2c6nticas do experimento. Exemplo: nu´mero de plantas
sadias colhidas em parcelas de 20m2 (foram plantadas 27 plantas em cada parcela),
X : 0, 1, 2, ..., 27, enta\u2dco, n e´ o nu´mero total de casos poss´\u131veis da varia´vel que estamos
estudando.
2. So´ ha´ dois tipos de resultados poss´\u131veis (plantas sadias ou doentes).
162
3. As probabilidades pi de sucesso e 1\u2212pi de fracasso permanecem constantes em todas as
repetic¸o\u2dces. Na pra´tica na\u2dco temos certeza absoluta disso, mas consideramos verdadeira
esta suposic¸a\u2dco desde que as probabilidades sejam pro´ximas.
4. Todos os resultados das repetic¸o\u2dces sa\u2dco independentes uns dos outros.
Exemplo 1. Num rebanho bovino 30% dos animais esta\u2dco atacados de febre aftosa.
Retira-se ao acaso, uma amostra de 10 animais.
1)Verifique se a varia´vel \u201dnu´mero de animais doentes\u201d pode ser estudada pelo modelo bino-
mial. Justifique.
2) Estruturar a func¸a\u2dco de probabilidade e representar a distribuic¸a\u2dco de probabilidade num
gra´fico.
3) Qual a probabilidade de se encontrar 6 animais doentes?
Primeiramente vamos verificar se a varia´vel X: nu´mero de animais com febre aftosa,
pode ser estudada pelo modelo binomial.
1) Temos n = 10 animais, enta\u2dco X : 0, 1, 2, ..., 10.
2) Uma animal esta´ ou na\u2dco esta´ com febre aftosa.
3) A probabilidade para cada animal, de ter febre aftosa, e´ constante.
4) Os 10 animais sa\u2dco selecionados aleatoriamente, ao acaso, isso garante a independe\u2c6ncia.
Assim,
X : b(10; 0, 30).
Temos:
pi = 0, 30
1\u2212