LIVRO Estatistica Basica Para Ciências Agrárias
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LIVRO Estatistica Basica Para Ciências Agrárias


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\u222b 90
90
dx =
1
360
x|9090 =
1
360
(90\u2212 90) = 0
360
= 0.
De modo geral, dados dois nu´meros x1 e x2 quaisquer a P (x1 \u2264 X \u2264 x2) = x2\u2212x13600 .
Exemplo 3: A distribuic¸a\u2dco de Weibull tem muitas aplicac¸o\u2dces em teoria da confiabilidade,
onde estuda-se sistemas e seus componentes, por exemplo, sistemas biolo´gicos, como o corpo
humano.
Definic¸a\u2dco: se a func¸a\u2dco densidade de probabilidade de uma varia´vel aleato´ria for dada por:
fX(x) =
{
\u3b2x\u3b2\u22121e\u3b2x para x \u2265 0
0 para x < 0
onde \u3b2 e´ uma constante positiva, dizemos que X tem distribuic¸a\u2dco de Weibull, ou segue o
modelo de Weibull. Os gra´ficos para \u3b2 = 1 e \u3b2 = 2 sa\u2dco dados na figura 5.5.
190
 0,00
 0,32
 0,65
 0,97
 1,30
 0,50 1,00 1,49 1,99
(a) Distribuic¸a\u2dco de Weibull para
\u3b2 = 1
 0,00
 0,32
 0,65
 0,97
 1,30
 0,50 1,00 1,49 1,99
(b) Distribuic¸a\u2dco de Weibull para
\u3b2 = 2
Figura 5.5: A distribuic¸a\u2dco de Weibull para \u3b2 = 1 e \u3b2 = 2
Como vimos, obtemos a probabilidade de que a varia´vel aleato´ria X caia no intervalo
[x1, x2], calculando a a´rea entre [x1, x2] e a curva, e isso e´ feito atrave´s do ca´lculo da integral
da func¸a\u2dco fX(x) entre os pontos x1 e x2, enta\u2dco:
P (x1 \u2264 X \u2264 x2) =
\u222b x2
x1
fX(x)dx.
Atualmente temos softwares que calculam estas probabilidades. Tabelas com as proba-
bilidades sa\u2dco dadas nos ape\u2c6ndices deste livro.
Qual a probabilidade de uma medida de \u3b1-globulina ser exatamente igual a 0, 86666?
P (X = 0, 86666) =
\u222b 0,86666
0,86666
fX(x)dx = 0
pois a a´rea sob um ponto do eixo x e´ zero. Na\u2dco ha´ contradic¸a\u2dco nesse resultado, pois e´ ex-
tremamente improva´vel que X assuma esse valor particular. Ale´m do mais, existem infinitos
outros nu´meros na vizinhanc¸a de 0,86666, de tal forma que a probabilidade e´ ta\u2dco pequena
que tende a desaparecer. Enta\u2dco, para varia´veis aleato´rias cont´\u131nuas, tanto faz escrever:
P (x1 \u2264 X \u2264 x2) = P (x1 \u2264 X < x2) = P (x1 < X \u2264 x2) = P (x1 < X < x2).
A seguir apresentamos de forma formal (matema´tica) a definic¸a\u2dco de varia´vel aleato´ria
cont´\u131nua.
Definic¸a\u2dco: diz-se que X e´ uma varia´vel aleato´ria cont´\u131nua, se existir uma func¸a\u2dco f(.) de-
nominada func¸a\u2dco densidade de probabilidade (fdp) de X que satisfac¸a as seguintes condic¸o\u2dces:
a) fX(x) \u2265 0 para todo x (na\u2dco-negativa)
191
b)
\u222b +\u221e
\u2212\u221e
fX(x)dx = 1
c) para quaisquer x1 e x2, com\u2212\u221e < x1 < x2 <=\u221e, teremos: P (x1 \u2264 X \u2264 x2) =
\u222b x2
x1
fX(x)dx.
Pode-se construir modelos teo´ricos probabil´\u131sticos para varia´veis aleato´rias, escolhendo-
se adequadamente as func¸o\u2dces densidades de probabilidades. Teoricamente, qualquer func¸a\u2dco
f(.), que seja na\u2dco-negativa e cuja a´rea total sob a curva seja igual a` unidade, caracterizara´
uma varia´vel aleato´ria cont´\u131nua.
5.2 A Me´dia de Uma Varia´vel Aleato´ria Cont´\u131nua
Podemos estender todas as definic¸o\u2dces feitas para varia´vel aleato´ria discreta, de modo
equivalente, a`s varia´veis aleato´rias cont´\u131nuas.
Se X e´ uma varia´vel aleato´ria cont´\u131nua, define-se a me´dia de X, como sendo:
E(X) = µX =
\u222b +\u221e
\u2212\u221e
xfX(x)dx.
A me´dia de X tambe´m e´ conhecida como esperanc¸a matema´tica e pode ser entedida
como um \u201dcentro de distribuic¸a\u2dco de probabilidade\u201d.
A expressa\u2dco para a varia\u2c6ncia de varia´veis aleato´rias cont´\u131nuas e´ dada por:
V ar(X) = \u3c32X = E
[
(X \u2212 E(X))2] = \u222b +\u221e
\u2212\u221e
[X \u2212 E(X)]2 fX(x)dx
ou,
V ar(X) = \u3c32X = E(X
2)\u2212 [E(X)]2
onde:
E(X2) =
\u222b +\u221e
\u2212\u221e
x2fX(x)dx.
O desvio padra\u2dco e´ dado por:
DP (X) = \u3c3X =
\u221a
V ar(X).
Exemplo. Determine a esperanc¸a e a varia\u2c6ncia da varia´vel aleato´ria X, a\u2c6ngulo entre o norte
e a direc¸a\u2dco tomada pelos pa´ssaros (azimute), em graus, cuja f.d.p. e´ dada por:
fX(x) =
{
1
360
, 0 \u2264 x \u2264 360
0, caso contra´rio.
192
E(X) =
\u222b +\u221e
\u2212\u221e
xfX(x)dx =
\u222b 360
0
x
1
360
dx.
E(X) =
1
360
\u222b 360
0
xdx
E(X) =
1
360
x2
2
|3600
E(X) =
1
360
(360)2
2
E(X) =
360
2
E(X) = 1800
Passamos agora para o ca´lculo da varia\u2c6ncia.
E(X2) =
\u222b 360
0
x2
1
360
dx.
E(X2) =
1
360
\u222b 360
0
x2dx
E(X2) =
1
360
x3
3
|3600
E(X2) =
1
360
3603
3
E(X2) =
3602
3
E(X2) = 432000 (5.1)
Retornando, temos que:
V ar(X) = 43200\u2212 1802
V ar(X) = 10800.
O desvio padra\u2dco vale 103, 920.
5.3 A Distribuic¸a\u2dco Normal
193
24,2 25,8 27,4 29,0 30,6 32,2 33,9 35,5
Altura de plantas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N
úm
er
o 
de
 o
bs
er
va
çõ
es
Figura 5.6: Distribuic¸a\u2dco de frequ¨e\u2c6ncia da altura de plantas de Amaranthus, em cm
5.3.1 Introduc¸a\u2dco
O modelo normal ocupa uma posic¸a\u2dco de grande destaque tanto a n´\u131vel teo´rico como
pra´tico, isso porque o modelo normal representa com boa aproximac¸a\u2dco muitos feno\u2c6menos
da natureza como, por exemplo, a caracter´\u131stica altura de plantas de Amaranthus, cuja
distribuic¸a\u2dco de frequ¨e\u2c6ncia e´ dada na figura 5.6. Observe que existe uma tende\u2c6ncia das
observac¸o\u2dces se concentrarem pro´ximo do valor central, ou seja, da me´dia da distribuic¸a\u2dco,
e esta concentrac¸a\u2dco vai diminuindo a medida que os valores de altura va\u2dco aumentando e
diminuindo, ou seja, existe baixa concentrac¸a\u2dco de plantas baixas, assim como de plantas
altas. A distribuic¸a\u2dco e´ aproximadamente sime´trica, isto e´, tomando a me´dia como ponto
central, a lado esquerdo e´ aproximadamente igual ao lado direito.
Outra raza\u2dco da importa\u2c6ncia do modelo normal e´ que as distribuic¸o\u2dces amostrais de es-
tat´\u131sticas como me´dias e proporc¸o\u2dces, podem ser aproximadas pela distribuic¸a\u2dco normal, isto e´
muito importante para o estudo de infere\u2c6ncia estat´\u131stica. Esses resultados sera\u2dco vistos com
mais detalhes no estudo de distribuic¸o\u2dces amostrais, no pro´ximo cap´\u131tulo.
O ca´lculo de probabilidades das distribuic¸o\u2dces binomial e Poisson, pode ser feito com boa
aproximac¸a\u2dco, atrave´s da distribuic¸a\u2dco normal. A aproximac¸a\u2dco da distribuic¸a\u2dco binomial pela
distribuic¸a\u2dco normal sera´ vista na sec¸a\u2dco 5.3.4.
A distribuic¸a\u2dco normal surgiu a aproximadamente duas centenas de anos passados, e
de que forma? Cientistas coletando um grande nu´mero de observac¸o\u2dces de uma varia´vel
194
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Figura 5.7: Distribuic¸a\u2dco de frequ¨e\u2c6ncia em forma de sino
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Função densidade
de probabilidade
Distribuição
Normal 
Figura 5.8: Uma curva cont´\u131nua que aproxima a distribuic¸a\u2dco de frequ¨e\u2c6ncias observadas
e construindo sua distribuic¸a\u2dco de frequ¨e\u2c6ncia, verificaram que repetidamente o histograma
apresentava a forma da figura 5.7. A distribuic¸a\u2dco de frequ¨e\u2c6ncias da figura 5.7 e´ conhecida
como distribuic¸a\u2dco em forma de sino.
Mais tarde, esse fato foi transformado em termos matema´ticos, isto e´, numa expressa\u2dco
matema´tica que representasse aqueles feno\u2c6menos de forma bem aproximada. Esse modelo
matema´tico pode ser visto na figura 5.8. Observa-se na figura 5.8 uma curva cont´\u131nua,
sime´trica em torno do seu ponto central, isto e´, da sua me´dia. Costuma-se designar essa
distribuic¸a\u2dco por distribuic¸a\u2dco Gaussiana devido ao seu criador, Karl F. Gauss (1777-1855).
Em termos formais, matema´ticos, temos a seguinte definic¸a\u2dco para varia´vel aleato´ria
cont´\u131nua com distribuic¸a\u2dco normal.
195
x
f X
(x)
µµ\u2212\u3c3 µ+\u3c3
68%
Figura 5.9: A distribuic¸a\u2dco normal com me´dia µ e pontos de inflexa\u2dco µ± \u3c3
Definic¸a\u2dco: dizemos que uma varia´vel aleato´ria cont´\u131nua X tem distribuic¸a\u2dco normal,
com para\u2c6metros µ e \u3c32, onde \u2212\u221e < µ < +\u221e e 0 < \u3c32 < +\u221e, representam a me´dia e a
varia\u2c6ncia da populac¸a\u2dco X, respectivamente, se a sua func¸a\u2dco densidade de probabilidade for
dada por:
fX(x) =
1
\u3c3
\u221a
2pi
exp\u2212
(x\u2212µ)2