LIVRO Estatistica Basica Para Ciências Agrárias
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2\u3c32 ,\u2212\u221e < x < +\u221e
onde e representa a base dos logaritmos naturais e vale aproximadamente 2,7182, pi = 3, 1416
e \u3c3 e´ o desvio padra\u2dco. Veja a fX(x) na figura 5.8. Costuma-se representar essa varia´vel
aleato´ria por X N(µ, \u3c32).
Pode-se demonstrar que:
i) E(X) =
\u222b +\u221e
\u2212\u221e
xfX(x)dx = µ.
ii) V ar(X) = E[X \u2212 E(X)]2 = \u3c32.
iii) fX(x) e´ simetrica ao redor de x = µ, isto e´, f(µ+ x) = f(µ\u2212 x) para todo x.
Assim, observamos que os dois para\u2c6metros µ e \u3c32, que caracterizam a distribuic¸a\u2dco normal,
sa\u2dco a me´dia e a varia\u2c6ncia de X. O desvio padra\u2dco e´ calculado a partir da varia\u2c6ncia de X e
vale:
DP (X) = \u3c3 =
\u221a
\u3c32.
A distribuic¸a\u2dco normal fica completamente definida por dois para\u2c6metros: me´dia (µ) e
desvio padra\u2dco (\u3c3), enta\u2dco, e´ fa´cil perceber que para cada combinac¸a\u2dco de uma me´dia e um
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µµ-1,96\u3c3 µ+1,96\u3c3
95%
(a) A´rea de 95% na distribuic¸a\u2dco normal
µµ-2,58\u3c3 µ+2,58\u3c3
99%
(b) A´rea de 99% na distribuic¸a\u2dco normal
Figura 5.10: A´reas na distribuic¸a\u2dco normal
desvio padra\u2dco existe uma distribuic¸a\u2dco normal. Exemplos de poss´\u131veis varia´veis com dis-
tribuic¸a\u2dco normal podem ser: pesos de bovinos, pesos de frangos, quantidades de chuva
(mm), quantidades de \u3b1-globulina no plasma sangu´\u131neo de pessoas, comprimentos do ante-
brac¸o de morce\u2c6gos, etc. Portanto, na pra´tica, temos um nu´mero ilimitado de distribuic¸o\u2dces
normais.
O importante e´ que sob qualquer curva normal a a´rea total e´ igual a 1 ou 100%. Uma
propriedade importante da distribuic¸a\u2dco normal e´ que a porcentagem de observac¸o\u2dces posi-
cionados entre µ \u2212 1\u3c3, µ + 1\u3c3 e a curva e´ igual a 68%, ou seja, a a´rea e´ igual a 68%,
independentemente dos valores de µ e \u3c3. A figura 5.9 ilustra a situac¸a\u2dco. Tambe´m, a por-
centagem de observac¸o\u2dces, ou a a´rea entre os pontos µ\u2212 1, 96\u3c3, µ+1, 96\u3c3 e a curva e´ igual a
95%. Tambe´m, a porcentagem de observac¸o\u2dces ou a a´rea entre os pontos µ\u22122, 58\u3c3, µ+2, 58\u3c3
e a curva e´ igual a 99%. Estas a´reas ou porcentagens independem dos valaores de µ e \u3c3. A
ilustrac¸a\u2dco e´ dada na figura 5.10. Por exemplo, suponha que a espe´cie Harengula clupeola,
conhecida como sardinha cascuda, distribu´\u131da na Lagoa da Conceic¸a\u2dco, Floriano´polis, SC,
apresente crescimento me´dio igual a 75 mm com desvio padra\u2dco igual a 5 mm. Assumindo
que a varia´vel em estudo apresente distribuic¸a\u2dco normal, podemos esperar que aproximada-
mente 95% dos valores, ou das espe´cimes, encontram-se no intervalo [65,2;84]. Como a curva
normal e´ sime´trica em relac¸a\u2dco a me´dia, temos que a probabilidade de obtermos um valor
acima da me´dia e´ 50%, da mesma forma, a probabilidade de obter um valor abaixo da me´dia
e´ 50%.
A probabilidade de uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a\u2dco normal tomar um valor entre
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x1 x2 x
Figura 5.11: A probabilidade de x estar entre os pontos x1 e x2 e a curva corresponde a a´rea
achurada da figura.
dois pontos quaisquer, por exemplo, entre os pontos x1 e x2, e´ igual a` a´rea sob a curva normal
compreendida entre aqueles dois pontos. Veja a figura 5.11. Suponha, enta\u2dco, que X N(µ, \u3c32)
e queiramos determinar a probabilidade de X estar entre x1 e x2, portanto, como estamos
interessados em obter uma a´rea, devemos realizar o seguinte ca´lculo:
P (x1 < X < x2) =
\u222b x2
x1
1
\u3c3
\u221a
2pi
e\u2212
(x\u2212µ)2
2\u3c32 dx.
Acontece que essa integral na\u2dco pode ser calculada exatamente, consequ¨entemente, a prob-
abilidade so´ pode ser obtida aproximadamente, e por me´todos nume´ricos. Podemos obter
estas probabilidades com o uso de programas computacionais estat´\u131sticos, entre os quais
podemos citar o Statistica, Minitab e o Statgraphics.
Para padronizar todas as distribuic¸o\u2dces normais numa u´nica distribuic¸a\u2dco e apresentar as
probabilidades numa u´nica tabela, foi realizado uma transformac¸a\u2dco na varia´vel aleato´ria X,
originando uma nova varia´vel aleato´ria, denominada de varia´vel aleato´ria normal padronizada
e representada pela letra Z, cuja distribuic¸a\u2dco denomina-se de distribuic¸a\u2dco normal padra\u2dco, a
qual passaremos a estudar.
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5.3.2 A Distribuic¸a\u2dco Normal Padra\u2dco
A transformac¸a\u2dco realizada para padronizar as distribuic¸o\u2dces normais e´ feita tendo a me´dia
como origem, refere\u2c6ncia do novo sistema, e o desvio padra\u2dco como medida de afastamento a
contar da me´dia, ou seja, a nova unidade de medida sera´ o desvio padra\u2dco, isto e´, o quanto
em desvios padro\u2dces o valor de X se afasta da me´dia µ. Esta nova escala e´ chamada de escala
Z e e´ definida como sendo:
Z =
X \u2212 µ
\u3c3
,
onde:
Z = nu´mero de desvios padro\u2dces a contar da me´dia;
X = e´ a varia´vel na unidade original;
µ = e´ a me´dia da populac¸a\u2dco;
\u3c3 = e´ o desvio padra\u2dco da populac¸a\u2dco.
Exemplo: consideremos uma distribuic¸a\u2dco normal com me´dia µ = 100 e desvio padra\u2dco
\u3c3 = 10. Para x = 100, temos:
z =
100\u2212 100
10
= 0.
Para x = 120, temos:
z =
120\u2212 100
10
= 2,
e assim por diante. A figura 5.12 apresenta a distribuic¸a\u2dco de X e de Z.
Definic¸a\u2dco: se X : N(µ, \u3c32), enta\u2dco a varia´vel aleato´ria Z definida por:
Z =
X \u2212 µ
\u3c3
tem uma distribuic¸a\u2dco N(0, 1), isto e´, tem distribuic¸a\u2dco normal com me´dia µ = 0 e varia\u2c6ncia
\u3c32 = 1, cuja func¸a\u2dco densidade de probabilidade e´ dada por:
fZ(z) =
1\u221a
2pi
e\u2212
1
2
z2 \u2212\u221e \u2264 z \u2264 +\u221e.
A seguir fazemos a demonstrac¸a\u2dco do valor me´dia e da varia\u2c6ncia na distribuic¸a\u2dco normal
padra\u2dco.
Me´dia e Varia\u2c6ncia da Varia´vel Aleato´ria Z
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100 110 120 130 14090807060
x
z
0 41 32
-4 -3 -2 -1
Média da variável z Esta observação afasta-se 1
desvio padrão da média
Figura 5.12: Distribuic¸a\u2dco das varia´veis X e Z
Demonstrac¸a\u2dco:
E(Z) = E(
X \u2212 µ
\u3c3
) =
1
\u3c3
E(X \u2212 µ) = 1
\u3c3
[E(X)\u2212 E(µ)] = 1
\u3c3
(µ\u2212 µ) = 0.
V (Z) = E(Z2)\u2212 [E(Z)]2
= E(Z2)
= E
(
X \u2212 µ
\u3c3
)2
=
1
\u3c32
E(X \u2212 µ)2 = 1
\u3c32
E(X2 \u2212 2µX + µ2)
=
1
\u3c32
[E(X2)\u2212 2µE(X) + µ2]
=
1
\u3c32
[E(X2)\u2212 µ2] = 1
\u3c32
[E(X2)\u2212 [E(X)]2]
=
1
\u3c32
\u3c32 = 1.
5.3.3 O Uso da Tabela da Distribuic¸a\u2dco Normal Padra\u2dco
No ape\u2c6ndice 3, temos a tabela da distribuic¸a\u2dco normal padra\u2dco. Esta tabela da´ a a´rea entre
a me´dia (zero), o valor de z e a curva, isto e´, a tabela da´ a probabilidade de um valor cair no
intervalo [0 a z]. Veja a figura 5.13, na qual a a´rea achurada corresponde a probabilidade.
A distribuic¸a\u2dco normal padra\u2dco ou reduzida, e´ absolutamente sime´trica em relac¸a\u2dco a me´dia
(origem), em func¸a\u2dco disso, a tabela so´ e´ dada para valores positivos de z. Se o valor calculado
de z for negativo, basta considera´-lo como positivo e entrar diretamente na tabela. A a´era
200
Figura 5.13: Distribuic¸a\u2dco normal padra\u2dco. A a´rea achurada corresponde a probabilidade de
uma observac¸a\u2dco estar no intervalo [0;z]
total vale 100% ou 1, assim, acima de µ temos 50% da a´rea e abaixo de µ temos os outros
50%. A seguir vamos calcular probabilidades usando a tabela da distribuic¸a\u2dco normal padra\u2dco.
Exemplo 1. Vamos determinar a a´rea entre 0(me´dia) e z=1,25, isto e´, P (0 \u2264 z \u2264
1, 25). O que desejamos saber e´ a a´rea achurada da figura 5.14. Essa a´rea corresponde a
probabilidade P (0 \u2264 z \u2264 1, 25). Na tabela, encontramos para z = 1, 25, P (0 \u2264 z \u2264 1, 25) =
0, 3944.
Exemplo 2. Qual a a´rea entre 0 (me´dia) e z = 1, 73, isto e´, a P (0 \u2264 z \u2264 1, 73). O que
desejamos e´ a a´rea entre 0 e 1,73 e a curva da figura 5.15. Com o aux´\u131lio da tabela para
z = 1, 73 temos P (0 \u2264 z \u2264 1, 73) = 0, 4582.
Exemplo 3. Qual e´ a probabilidade de z estar entre -1,73 e 0 (P (\u22121, 73 \u2264 z \u2264 0))? Como
a curva da distribuic¸a\u2dco normal padra\u2dco e´ absolutamente sime´trica, essa probabilidade pode
ser obtida calculando-se a P (0 \u2264 z \u2264 1, 73). Como vimos no exemplo 2 essa probabilidade
vale 0,4582.
Exemplo 4. Qual e´ o valor de P (z \u2265 1, 73)? Essa probabilidade corresponde a a´rea
achurada da figura 5.16. A