Apostila de projeto geométrico de estradas
146 pág.

Apostila de projeto geométrico de estradas


DisciplinaEstradas3.224 materiais8.574 seguidores
Pré-visualização41 páginas
As posições dos pontos da espiral de transição, numa concordância, podem ser então 
caracterizados por coordenadas cartesianas (x e y), sendo as ordenadas medidas ao logo da tangente, 
a partir do TS (ou do ST), e as abcissas medidas perpendicularmente à tangente, como se indica na 
figura 6.17. 
Tomando um ponto qualquer da espiral, com coordenadas x e y, e imaginando um arco 
elementar de comprimento dL no entorno desse ponto, tal como representado na figura 6.17, pode-se 
definir, a partir do triângulo elementar destacado no círculo, as seguintes relações trigonométricas: 
dy = dL . cos(S) 
dx = dL. sen(S) 
 
FIGURA 6.17 \u2013 COORDENADAS CARTESIANAS DA ESPIRAL 
 
 
Lembrando que S pode ser expresso em função de L (fórmula [6.15]), pode-se obter as 
expressões para as coordenadas x e y por meio das integrais definidas: 
ò ×÷÷
ø
ö
çç
è
æ
××
=
L
0 C
2
dL
LR2
Lsenx 
ò ×÷÷
ø
ö
çç
è
æ
××
=
L
0 C
2
dL
LR2
L
cosy 
calculando as integrais e desenvolvendo as expressões resultantes em série, tem-se: 
×××+
××
-
××
+
××
-
××
= 7
C
7
15
5
C
5
11
3
C
3
7
C
3
LR800.676.9
L
LR240.42
L
LR336
L
LR6
L
x 
×××+
××
-
××
+
××
-= 6
C
6
13
4
C
4
9
2
C
2
5
LR040.599
L
LR456.3
L
LR40
LLy 
 
dL
S
dy
dx
S
c
TS
SC
r= R
S
r=¥
r
x
y
Ly
yc x
xc
dL
S
 
 
105
Estas expressões podem ser simplificadas, lembrando a relação expressa pela fórmula 
[6.15], reduzindo-se-as para: 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-+-×
×
= ...
200.25
S
440
S
14
S
1
3
SL
x
642
 [6.19] 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-+-×= ...
360.9
S
216
S
10
S
1Ly
642
 [6.20] 
As coordenadas cartesianas do ponto osculador, na extremidade da espiral (SC ou CS), 
representadas pela notação yC e xC, podem ser então calculadas por meio das fórmulas acima, pois 
nesse ponto S = SC e L = LC. 
Resultam daí as fórmulas seguintes, já se desconsiderando as parcelas menos 
significativas: 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-+-×
×
= ...
440
S
14
S
1
3
SL
x
4
C
2
CCC
C [6.21] 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-+-×= ...
216
S
10
S
1Ly
4
C
2
C
CC [6.22] 
onde: 
yC : ordenada da extremidade da espiral (m); 
xC : abcissa da extremidade da espiral (m); 
LC : comprimento da espiral (m); 
SC : ângulo central da espiral (radianos). 
 
 
6.7.5 Parâmetros do recuo da curva circular 
Na concordância com curva de transição, como já visto, a introdução dos ramos de espiral é 
viabilizada geometricamente mediante o afastamento da curva circular em relação às tangentes. 
 
FIGURA 6.18 \u2013 PARÂMETROS DA TRANSIÇÃO A RAIO CONSERVADO 
 
TS
SC
CS
ST
O
O'
A B C D
E
F
G H
Y t
I
PI
(PC)
(PC')
p
q
d
yc
xc
TS
I /2
S c
Sc
qq
S c
 
 
106
Na figura 6.18 está representada esquematicamente uma concordância inicial imaginária 
com curva circular simples que foi convertida em concordância com transição, mediante o recuo da 
curva circular e a inserção de dois ramos de espiral. 
Tudo se passa como se o PC da concordância original (imaginária) com curva circular 
simples (ponto C na figura 6.18) fosse recuado para a posição PC\u2019 ( ponto G na figura 6.18). 
Em relação ao mesmo sistema de eixos cartesianos que referencia as coordenadas (x,y) da 
espiral de transição, pode-se definir as coordenadas (p,q) do PC recuado (PC\u2019). 
Assim, a abcissa p mede o afastamento da curva circular em relação à tangente. 
Como a concordância é simétrica, no caso, o mesmo ocorre com o PT, que é recuado para 
a posição PT\u2019, afastando-se da tangente de um valor medido pela abcissa p. 
A coordenada q corresponde à ordenada do ponto recuado (PC\u2019 ou PT\u2019), medida sobre a 
tangente, a partir da origem da espiral (TS ou ST). 
Ao afastamento (p) da curva circular, em relação às tangentes, corresponde um recuo da 
curva circular, em relação à sua posição inicial imaginária, designado pela letra t. 
Da figura 6.18 pode-se inferir diretamente as seguintes relações geométricas simples: 
§ abcissa (p) do PC recuado ou do PT recuado: 
[ ])Scos(E'OG'OBF)F'OG'O(BFFGBFBGp C×--=--=-== 
ou: 
[ ])Scos(1Rxp CC -×-= [6.23] 
onde: 
p : afastamento da curva circular, ou abcissa do PC\u2019 ou do PT\u2019 (m); 
xC : abcissa da extremidade da espiral (m); 
R : raio da curva circular (m); 
SC : ângulo central da espiral (radianos); 
§ ordenada (q) do PC recuado ou do PT recuado: 
)S(senE'OADFEADBDADABq C×-=-=-== 
ou: 
)S(senRyq CC ×-= [6.24] 
onde: 
q : ordenada do PC\u2019 ou do PT\u2019 (m); 
yC : ordenada da extremidade da espiral (m); 
R : raio da curva circular (m); 
SC : ângulo central da espiral (radianos); 
§ recuo (t) da curva circular: 
( )2cos
GB
CGHYt
I
=== 
ou: 
( )2cos
p
t
I
= [6.25] 
onde: 
p : afastamento da curva circular, ou abcissa do PC\u2019 ou do PT\u2019 (m); 
I : deflexão no PI. 
 
 
 
 
107
6.7.6 Tangente exterior 
Da observação da figura 6.18, pode-se deduzir a fórmula para o cálculo da tangente exterior 
(TS), por meio das seguintes relações geométricas imediatas: 
÷
ø
ö
ç
è
æ I
×+=+===
2
tgB'OAB)PI(BAB)PI(A)PI)(TS(TS 
÷
ø
ö
ç
è
æ I
×++=
2
tg)GBG'O(ABTS 
ou, finalmente: 
÷
ø
ö
ç
è
æ I
×++=
2
tg)Rp(qTS [6.26] 
onde: 
TS : tangente exterior (m); 
q : ordenada do PC\u2019ou do PT\u2019 (m); 
p : abcissa do PC\u2019 ou do PT\u2019 (m); 
R : raio da curva circular (m); 
I : deflexão no PI. 
 
 
EXEMPLO 6.5 : Projetando-se o eixo de uma rodovia nova, em região de relevo ondulado, na Classe II 
do DNER, a partir dos alinhamentos representados na figura 4.3, e utilizando-se os raios de curva R1 = 
214,88 m e R2 = 245,57 m, ambas as concordâncias horizontais deverão ser feitas com curvas de 
transição (vide tabela 6.1). 
Os comprimentos de transição, para ambas as concordâncias, poderão ser definidos no 
intervalo 50,00 m £ LC £ 150,00 m, conforme visto no exemplo 6.4. 
Escolhendo-se, para os dois casos, o menor valor, isto é, LC1 = 50,00 m e LC2 = 50,00 m, as 
concordâncias com espirais de transição poderão ser analiticamente calculadas, de acordo com a 
seguinte seqüência: 
§ ângulos centrais das espirais (fórmula [6.16]): 
 "58'396rd344.116,0
88,2142
00,50
S 01C ==×
= 
 "59'495rd804.101,0
57,2452
00,50
S 02C ==×
= 
§ ângulos centrais das curvas circulares (fórmula [6.17]): 
q1 = 24012\u201940\u201d \u2013 2 . (6039\u201958\u201d) = 10052\u201944\u201d 
q2 = 32049\u201950\u201d \u2013 2 . (5049\u201959\u201d) = 21009\u201952\u201d 
§ desenvolvimentos em curvas circulares (fórmula [6.18]): 
DC1 = (10052\u201944\u201d) . (p/1800) . 214,88 = 40,80 m 
DC2 = (21009\u201952\u201d) . (p/1800) . 245,57 = 90,71 m 
§ coordenadas xC e yC (fórmulas [6.21] e [6.22]): 
;m94,1...
440
344.116,0
14
344.116,0
1
3
344.116,000,50
x
42
1C =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-+-×
×
= 
;m93,49...
216
344.116,0
10
344.116,0
100,50y
42
1C =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-+-×= 
 
 
108
;m70,1...
440
804.101,0
14
804.101,0
1
3
804.101,000,50
x
42
2C =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-+-×
×
= 
;m95,49...
216
804.101,0
10
804.101,0
100,50y
42
1C =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-+-×= 
§ parâmetros p e q (fórmulas [6.23] e [6.24]): 
p1 = 1,94 \u2013 214,88 . [1 \u2013 cos(6039\u201958\u201d)] = 0,49 m; 
q1 = 49,93 \u2013 214,88 . sen(6039\u201958\u201d) = 24,99 m; 
p2 = 1,70 \u2013 245,57 . [1 \u2013 cos(5049\u201959\u201d)] = 0,43 m; 
q2 = 49,95 \u2013 245,57 . sen(5049\u201959\u201d) = 24,99 m; 
§ tangentes exteriores (fórmula [6.26]): 
;m18,71
2
"40'1224tg)88,21449,0(99,24T
0
1S =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
×++= 
;m46,97