Apostila de projeto geométrico de estradas
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Apostila de projeto geométrico de estradas


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2
"50'4932tg)57,24543,0(99,24T
0
2S =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
×++= 
§ estaqueamento dos pontos singulares: 
;m79,23m79,62m18,71m97,133TPIPP0TS 1S11 +º=-=--== 
 SC1 = TS1 + LC1 = 3 + 2,79 m + 50,00 m º 5 + 12,79 m; 
 CS1 = SC1 + DC1 = 5 + 12,79 m + 40,80 m º 7 + 13,59 m; 
 ST1 = CS1 + LC1 = 7 + 13,59 m + 50,00 m º 10 + 3,59 m; 
=---+= )TTPIPI(STTS 2S1S2112 
;m44,1411)m46,97m18,71m49,199(m59,310 +º--++ 
 SC2 = TS2 + LC2 = 11 + 14,44 m + 50,00 m º 14 + 4,44 m; 
 CS2 = SC2 + DC2 = 14 + 4,44 m + 90,71 m º 18 + 15,15 m; 
 ST2 = CS2 + LC2 = 18 + 15,15 m + 50,00 m º 21 + 5,15 m; 
 .m81,1823)m46,97m12,151(m15,521)TPFPI(STPF 2S22 +º-++=--+= 
Compare os resultados encontrados com os valores referidos no exemplo 6.1. 
Observe que o desenvolvimento em curva circular da 1a concordância (DC1 = 40,80 m) 
resultou maior que a distância percorrida, à velocidade diretriz, durante o tempo de 2 s, ou seja (vide 
fórmula [6.13]: 
DC1 > Dcmín = 0,56 . 70 = 39,20 m 
(seria possível utilizar, na concordância horizontal do PI1, uma curva de transição com comprimento 
LC1 = 60,00 m? Por que?). 
Uma vez calculadas analiticamente as concordâncias com espirais de transição, a 
representação gráfica do eixo projetado em escala pode ser feito de forma simples, observando-se os 
seguintes passos para o desenho de cada concordância horizontal: 
§ assinalam-se, com auxílio de um escalímetro, as posições do TS e do ST ao longo das 
tangentes, medindo-se o comprimento da tangente exterior a partir do PI; baixam-se, 
por esses pontos, segmentos de reta perpendiculares às tangentes, para 
referenciamento das estacas correspondentes a esses pontos singulares; 
§ marcam-se as posições do SC e do CS por meio das coordenadas xC e yC; 
 
 
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§ determina-se, com auxílio de um compasso, a posição do centro (O) da curva circular, 
marcado pela interseção de arcos traçados com centro no SC e no CS, e raio (R) igual 
ao da curva circular; 
§ com centro em O, e abertura do compasso igual ao raio R, traça-se o arco de curva 
circular entre o SC e o CS; baixam-se, por esses pontos, segmentos de reta 
perpendiculares ao eixo (na direção do centro O), para fins de referenciamento desses 
pontos singulares; 
§ com auxílio de régua de curvas (ou \u201ccurva francesa\u201d), traçam-se as espirais entre TS e 
SC e entre CS e ST, tendo como referências os pontos correspondentes às origens e 
às extremidades das curvas, e as direções das tangentes às curvas nesses pontos. 
Na figura 6.19 está representado graficamente o eixo projetado conforme o exemplo 6.5, 
calculado com as curvas de transição escolhidas, desenhado de acordo com as convenções básicas 
recomendadas pelo Manual de serviços de consultoria para estudos e projetos rodoviários (DNER, 
1978, v.2). 
 
FIGURA 6.19 \u2013 DESENHO DO EIXO PROJETADO COM CURVAS DE TRANSIÇÃO 
 
O desenho do eixo projetado resulta um tanto impreciso devido ao processo de 
aproximação gráfica e às escalas convencionalmente utilizadas, mas isto não afeta o projeto da rodovia 
propriamente dito, pois essa forma de representação gráfica das concordâncias, incluindo as espirais 
de transição, visa apenas a permitir a visualização do eixo projetado numa planta plani-altimétrica, em 
escala conveniente. 
 
PF= 23 + 18,81m
PI1
0=PP
PI2
5
10 5
20
ST
2 = 21 + 5,15mT S2 = 11 + 14,44m
TS
1 = 3 + 2,79m
ST
1 = 10 + 3,59m
9.681.000
9.681.200
9.681.400
831.000 831.400831.200
NN
EE
SC
1 = 5 + 12,79m
CS
1 = 7 + 13,59m
SC
2 = 14 + 4,44m
CS
2 = 18 + 15,15m
 TABELA DE PARÂMETROS DAS CONCORDÂNCIAS 
Vértice I R 
(m) 
LC 
(m) 
q DC 
(m) 
xC 
(m) 
yC 
(m) 
p 
(m) 
q 
(m) 
TS 
(m) 
PI1 
PI2 
24012\u201940\u201d 
32049\u201950\u201d 
214,88 
245,57 
50,00 
50,00 
10052\u201945\u201d 
21009\u201953\u201d 
40,80 
90,71 
1,94 
1,70 
49,93 
49,95 
0,49 
0,43 
24,99 
24,99 
71,18 
97,46 
 
 
 
110
6.8 LOCAÇÃO DA ESPIRAL DE TRANSIÇÃO 
A marcação das espirais de transição no campo, a exemplo do que já foi visto para o caso 
das concordâncias com curvas circulares simples, deve ser feita com recursos (e precisão) 
topográficos, por meio de medidas de ângulos e comprimentos. 
Há diferentes formas de se marcar pontos de uma espiral de transição no terreno, sendo as 
mais comuns a marcação de pontos por coordenadas cartesianas, e a marcação de pontos por meio de 
medidas de deflexões e comprimentos. 
A marcação de uma espiral por coordenadas cartesianas pode ser feita por meio das 
coordenadas (x,y) que podem ser calculadas pelas fórmulas [6.15], [6.19] e [6.20] para diferentes 
pontos (estacas) ao longo da espiral. 
Para a marcação por meio de medidas de deflexões e comprimentos, utiliza-se 
preferencialmente, no Brasil, o procedimento de locação por deflexões acumuladas, já descrito no item 
4.2.2 para o caso de locação de curvas circulares. 
 
 
6.8.1 Locação com o teodolito na origem da espiral 
No processo de locação por deflexões acumuladas, como se recorda, a posição de cada 
ponto da curva é definida pelo alinhamento que corresponde ao ângulo de deflexão em relação à 
tangente à curva onde está instalado o teodolito, e pela distância, medida ao longo da curva, desde o 
teodolito até o ponto em questão. 
Na figura 6.20 está representada esquematicamente uma espiral de transição, referida, da 
forma convencional, a um sistema de eixos cartesianos, que tem origem no TS, eixo das ordenadas 
coincidente com a direção da tangente à espiral na origem (onde o raio é in finito), e eixo das abcissas 
perpendicular à curva nesse ponto (coincidente com a direção do raio). 
 
FIGURA 6.20 \u2013 LOCAÇÃO DE PONTOS DA ESPIRAL 
 
 
Nessa figura, estão assinaladas as coordenadas cartesianas (xi,yi) , as deflexões 
acumuladas (ii) e os ângulos centrais (S i) correspondentes a três pontos (1, 2 e 3) da espiral. 
Para a locação, por coordenadas cartesianas, das estacas referentes a esses pontos (bem 
assim aos pontos subseqüentes) assinalados ao longo da espiral, pode-se calcular as coordenadas 
S 3
O (TS)
S 2
x
y
y2
S 1
y3
y1
x1
x2
x3
i1
i3
i2
1
3
2
 
 
111
(xi,yi) que lhes correspondem, por meio das fórmulas já vistas, uma vez que sejam conhecidos os 
comprimentos dos respectivos arcos (L01, L02, L03, ...) da espiral. 
Caso se desejasse efetuar a locação dos pontos pelo método das deflexões acumuladas, 
os ângulos de deflexão poderiam ser calculados, uma vez conhecidos os valores das coordenadas 
(xi,yi), pois para qualquer ponto i tem-se que: 
i
i
i y
x
)i(tg = 
ou: 
i
i
i y
x
tg.arci = 
onde: 
ii : deflexão acumulada correspondente a um ponto i da espiral; 
xi : abcissa do ponto i da espiral (m); 
y i : ordenada do ponto i da espiral (m). 
 
EXEMPLO 6.6 : Admita-se, para fins ilustrativos, que na figura 6.20 esteja representada uma espiral de 
transição projetada com comprimento LC = 40,00 m e raio de curva R = 61,41 m na extremidade da 
espiral; admita-se, também, que os pontos 1, 2 e 3 (bem assim os subseqüentes) sejam eqüidistantes, 
compreendendo arcos inteiros de 5,00 m ao longo da curva, a partir da origem. 
Com auxílio das fórmulas [6.15], [6.19] e [6.20] pode-se calcular os ângulos centrais da 
espiral (Si), as coordenadas (xi , yi) e os respectivos ângulos de deflexão acumulados, correspondentes 
a esses pontos eqüidistantes. 
Na tabela 6.4 estão discriminados os resultados encontrados para o caso ilustrado (verifique 
ao menos alguns desses cálculos!). 
Conhecidos esses ângulos de deflexão, a locação dos pontos poderá ser efetuada 
seqüencialmente, lembrando que as medidas dos arcos são substituídas pelas medidas das cordas ao 
longo da curva43. 
 
TABELA 6.4 \u2013 VALORES PARA LOCAÇÃO DA ESPIRAL 
COORDENADAS 
PONTOS 
ARCO 
ACUMULADO