Apostila de projeto geométrico de estradas
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Apostila de projeto geométrico de estradas


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simplificando: 
CLRL ×=×r [6.1] 
Numa concordância horizontal, os valores do raio R e do comprimento total LC da curva de 
transição são previamente fixados e, portanto, constantes. 
Representando a constante que resulta do produto (R . LC) pela grandeza positiva A2, a 
equação acima pode ser escrita na forma conhecida como equação espontânea da espiral de 
transição, dada por: 
r . L = A2 [6.2] 
onde: 
r : raio de curvatura num ponto qualquer da curva de transição (m); 
L : comprimento da curva de transição, da origem até o ponto considerado (m); 
A2 : constante positiva (m 2). 
A equação [6.2] é a expressão analítica da Clotóide, que tem a forma geométrica de uma 
espiral, tal como representada na figura 6.2. 
 
FIGURA 6.2 \u2013 FORMA GEOMÉTRICA DA CLOTÓIDE OU ESPIRAL DE TRANSIÇÃO 
 
Na literatura referente a projetos geométricos, esta curva é também conhecida como espiral 
de Van Leber, espiral de Cornu, espiral de Euler ou Radióide aos arcos; esta última denominação é 
devida ao fato de se ter admitido variações lineares de parâmetros da concordância, ao longo da curva 
de transição, proporcionalmente aos comprimentos dos arcos38. 
 
6.3 TIPOS DE TRANSIÇÃO 
A introdução de espirais de transição nas concordâncias horizontais pode ser efetuada de 
três maneiras, gerando os diferentes tipos de transição conhecidos, que são: 
§ a transição a raio e centro conservados; 
 
38 As proporcionalidades poderiam ter sido estabelecidas em função dos raios vetores, no caso de definição de pontos da curva por 
coordenadas polares, ou em função de abscissas tomadas paralelamente à tangente, no caso de definição da curva por coordenadas cartesianas, 
gerando, respectivamente, as curvas conhecidas como Lemniscata de Bernoulli e Curva Elástica (qual a lógica aparente que ajuda a explicar a escolha da 
Clotóide pelas normas do DNER, em detrimento das duas outras curvas citadas?) 
O
y
x
2
A p×
2
A p×
 
 
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§ a transição a raio conservado; e 
§ a transição a centro conservado. 
Em todos os casos, pode-se imaginar, para fins de raciocínio, uma concordância 
inicialmente feita com uma curva circular simples, de raio R, concordância esta que é aperfeiçoada 
mediante a inserção de espirais de transição entre as tangentes e a curva circular. 
A inserção das espirais somente poderá ser feita mediante o afastamento da curva circular 
em relação às tangentes que se interceptam no PI, o que demanda alguns ajustamentos na geometria 
da concordância inicial, modificando necessariamente algumas das suas condições. 
 
 
6.3.1 Transição a raio e centro conservados 
Neste tipo de transição, que está ilustrado esquematicamente na figura 6.3, procura-se 
inserir as duas espirais sem modificações no raio da curva circular nem na sua posição. 
É fácil perceber visualmente, observando a disposição da figura 6.3, que isto só é possível 
com a diminuição do trecho em curva circular, e com o afastamento das tangentes em relação à 
posição da curva circular (esta constatação pode ser confirmada analiticamente). 
À vantagem de se conseguir manter o raio da curva circular e ao menos parte do traçado 
inicial do trecho em curva circular (em que situações isto pode ser vantajoso ?), contrapõe-se a 
necessidade de se deslocar as tangentes para a acomodação das espirais. 
O deslocamento das tangentes implica na necessidade de modificações nas duas 
concordâncias adjacentes, causando óbvios transtornos. 
 
FIGURA 6.3 \u2013 TRANSIÇÃO A RAIO E CENTRO CONSERVADOS 
A utilização deste tipo de concordância só se justifica quando não se pode evitar um ponto 
obrigado situado sobre a curva circular original. 
 
 
6.3.2 Transição a centro conservado 
Evitando o deslocamento das tangentes para a inserção das espirais de transição, este tipo 
de transição preconiza o afastamento da curva circular, em relação às tangentes, mediante a redução 
do raio da curva circular em valor igual ao do afastamento necessário à acomodação dos ramos de 
espiral, mantendo-se inalterada a posição do centro da curva circular original, tal como se ilustra no 
esquema da figura 6.4. 
O
I
PI
(PC)
(P
T)
R
R
PI'
p
p
 
 
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A manutenção do posicionamento das tangentes é uma vantagem clara que este tipo de 
transição apresenta em relação ao anterior. No entanto, a manutenção simultânea do centro da curva 
circular demanda a redução do raio da curva original para viabilizar o seu afastamento em relação às 
tangentes, conforme se pode constatar a partir da observação do esquema da figura 6.4. 
 
FIGURA 6.4 \u2013 TRANSIÇÃO A CENTRO CONSERVADO 
 
A necessidade de redução do raio da curva circular e o conseqüente deslocamento do 
traçado em curva original para o lado de dentro da concordância são as principais desvantagens 
decorrentes do uso deste tipo de transição. A mais significativa é a redução do raio de curva, pois 
geralmente a escolha do raio original é feita com algum propósito relevante (por exemplo, a escolha de 
um raio fracionário tal que resulte em deflexões inteiras). O deslocamento do traçado em curva é 
relativamente pequeno e não representa, em geral, transtornos significativos, exceto quando há pontos 
obrigados a serem atingidos pelo traçado. 
O fato de se manter o centro da curva circular na posição original não representa vantagem 
relevante, já que o centro não é utilizado para quaisquer fins práticos de locação ou de controle do eixo. 
 
 
6.3.3 Transição a raio conservado 
A inserção das espirais de transição sem alterar a posição das tangentes pode também ser 
feita sem que seja alterado o raio da curva circular. 
Isto implica, naturalmente, na necessidade de deslocamento da curva circular para o lado 
de dentro da concordância, para que se dê o afastamento necessário à a comodação dos ramos de 
espiral, o que reduz também a extensão do trecho em curva circular, como se pode observar no 
esquema da figura 6.5. 
 Sendo mantido o raio da curva circular, o afastamento da curva implica também no 
deslocamento do centro da curva \u2013 o que não afeta a qualidade da concordância . O próprio 
deslocamento da curva, a exemplo do que ocorre no tipo de transição anterior, é relativamente 
pequeno e, exceto nas situações especiais já comentadas, não representa transtornos significativos na 
prática. 
A vantagem de possibilitar a manutenção do raio da curva circular no valor originalmente 
desejado, sem alterar a posição das tangentes que se interceptam, torna este tipo de transição o 
preferido para uso normal nos projetos das concordâncias. Os outros tipos têm utilização esporádica, 
em casos especiais. 
 
O
I
PI(PC)
(P
T)
R'
R
p
p
 
 
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FIGURA 6.5 \u2013 TRANSIÇÃO A RAIO CONSERVADO 
 
As fórmulas e procedimentos de cálculo para o projeto da transição a raio conservado, que 
serão vistos detalhadamente mais adiante, são facilmente adaptáveis para o projeto dos outros tipos de 
transição. 
 
 
6.4 ESQUEMA DA TRANSIÇÃO COM A ESPIRAL 
Com a inserção de dois ramos de espiral entre a curva circular e as tangentes adjacentes, a 
concordância com curva de transição apresenta 4 pontos singulares a serem definidos (ao invés do PC 
e do PT, no caso da concordância com curva circular simples), correspondentes aos pontos de contato 
das tangentes com as espirais e destas com a curva circular. 
 Na figura 6.6 está representado o esquema de uma concordância com espiral de 
transição, envolvendo o caso básico em que os dois ramos de espiral são iguais, resultando numa 
concordância simétrica. 
Observado o sentido de percurso (sentido de estaqueamento) assinalado nessa figura, os 4 
pontos singulares referidos são designados39, pela ordem, por: 
§ TS (sigla oriunda da denominação original, em inglês, Tangent \u2013 to \u2013 Spiral),