Apostila-sacha
265 pág.

Apostila-sacha


DisciplinaCálculo I81.677 materiais1.423.220 seguidores
Pré-visualização50 páginas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.5.1 Integração por Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.5.2 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.6 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.7 Sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.7.1 Aproximação por cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.7.2 Aproximação por cascas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.7.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.8 Áreas de superfícies de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.9 Integração de funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.10 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.10.1 Integrais impróprias em intervalos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.10.2 As integrais
\u222b\u221e
a
d x
x p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.10.3 O critério de comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.10.4 Integrais impróprias em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.10.5 Integrais impróprias em intervalos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.11 Integrar potências de funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.11.1 Primitivas das funções senm x cosn x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.11.2 Primitivas das funções tanm x secn x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.12 Substituições trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.12.1 A primitiva
\u222b p
1\u2212 x2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.12.2 A primitiva
\u222b p
1+ x2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.12.3 A primitiva
\u222b p
x2\u2212 1 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
A Soluções dos Exercícios 203
Cálculo 1, Versão 1.01 (3 de agosto de 2014). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
v
SUMÁRIO SUMÁRIO
Cálculo 1, Versão 1.01 (3 de agosto de 2014). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
vi
Prefácio
Oriundo principalmente do estudo da mecânica e da astronomia, o Cálculo, chamado tam-
bém Cálculo infinitesimal, nasceu no fim do século XVII, com os trabalhos de Newton 1 e
Leibniz 2. Hoje em dia, ele é usado em todas as áreas da ciência, e fundamental nas áreas
da engenharia.
A presente apostila contém a ementa da matéria Cálculo I, como ensinada no Departa-
mento de Matemática da UFMG. Ela tem como objetivo fornecer ao aluno um conheci-
mento básico dos conceitos principais do Cálculo que são: limites, derivadas e integral. Ela
também prepara o aluno para as outras matérias que usam Cálculo I nos cursos de ciências
exatas (física e matemática) e engenharia, tais como Cálculo II e III, EDA, EDB, EDC...
A apostila começa com um capítulo sobre fundamentos, fazendo uma revisão de vários
conceitos básicos em princípio já conhecidos pelo aluno: equações, inequações, plano carte-
siano e trigonometria. A partir do Capítulo 2, o conceito de função é introduzido. A noção
central de limite é abordada no Capítulo 4, e a de derivada no Capítulo 5. O resto do texto é
sobre o objeto central desse curso: a noção de integral, o Teorema Fundamental do Cálculo,
e as suas aplicações.
O texto contém bastante exercícios, cuja compreensão é fundamental para a assimilação
dos conceitos. As soluções, às vezes detalhadas, se encontram num apêndice.
Essa apostila está em fase de elaboração. Qualquer sugestão, crítica ou correção é bem
vinda: sacha@mat.ufmg.br.
Agradeço às seguinte pessoas pelas suas contribuições: Euller Tergis Santos Borges, Fe-
lipe de Lima Horta Radicchi, Fernanda de Castro Maia, Hugo Freitas Reis, Marina Werneck
Ragozo, Mariana Chamon Ladeira Amancio, Pedro Silveira Gomes de Paiva, Toufic Mahmed
Pottier Lauar, Prof. Carlos Maria Carballo, Prof. Fábio Xavier Penna (UNIRIO), Prof. Fran-
cisco Dutenhefner, Prof. Hamilton Prado Bueno, Prof. Jorge Sabatucci, Profa. Viviane
Ribeiro Tomaz da Silva, Prof. Viktor Bekkert.
Alguns vídeos, criados uma vez para atender a uma classe online, se encontram em
www.youtube.com/chachf. Esses vídeos contêm uma boa parte do conteúdo da presente
apostila, mas alguns são de qualidade baixa e precisam ser regravados....
1Sir Isaac Newton (Woolsthorpe-by-Colsterworth, 4 de janeiro de 1643 \u2014 Londres, 31 de março de 1727).
2Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julho de 1646 \u2014 Hanôver, 14 de novembro de 1716).
1
SUMÁRIO SUMÁRIO
Cálculo 1, Versão 1.01 (3 de agosto de 2014). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
2
Capítulo 1
Fundamentos
\u201cA good course is a course with many stupid questions.\u201d
Wendelin Werner, medalhista Fields 2006
\u201cQuem faz uma pergunta boba fica com vergonha 5 segundos. Quem não
pergunta nada fica bobo para sempre...\u201d
Um faxineiro do ICEx, 2008
Cálculo lida com funções de uma ou mais variáveis reais. Portanto, ele necessita de uma
compreensão boa das principais propriedades dos números reais, e suas manipulações na
resolução de problemas elementares.
Esse capítulo contém lembretes sobre a aritmética elementar dos números reais, assim
como a descrição de certos conjuntos do plano cartesiano, como retas e círculos. Não pre-
tendemos dar uma exposição completa sobre esses assuntos, mas apenas lembrar alguns fatos
e estabelecer notações a respeito de coisas elementares conhecidas pelo leitor.
A matéria desse capítulo será usada constantemente no restante da apostila: é importante
o leitor verificar que ele consegue fazer todos os exercícios.
1.1 Números reais
O conjunto dos números reais, R, pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real,
que serão em geral denotados por letras minúsculas: x , y, s, t, u, etc. R é munido de qua-
tro operações aritméticas básicas: adição (+), subtração (\u2212), multiplicação (× ou ·) e
divisão (÷, ou simplesmente /).
Lembremos a importância de dois números com papel relevante com respeito à adição e
multiplicação. Primeiro, o elemento 0 (\u201czero\u201d) é tal que x +0= 0+ x = x , x ·0= 0 · x = 0
para todo x . Um real x diferente de zero será às vezes chamado de não-nulo.
Por outro lado, o elemento 1 (\u201cum\u201d) é tal que x · 1 = 1 · x = x para todo x \u2208 R. É impor-
tante lembrar que a divisão por zero não é definida. Portanto, símbolos do tipo x/0 ou 0/0
3
1.1. Números reais CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
não fazem sentido. No entanto, 0/x = 0 para todo x 6= 0.
Os subconjuntos de R serão em geral denotados usando letras mai\ufffd\ufffdsculas. Por exemplo,
A= {0,1, 2} é o conjunto que contém os três números reais 0,1 e 2, e B = (0, 2) é o inter-
valo aberto que contém todos os reais entre 0 e 2 (ver abaixo). O conjunto dos números
naturais é 1
N:={1, 2,3, . . . } ,
e o conjunto dos inteiros é
Z:={. . . ,\u22123,\u22122,\u22121,0, 1,2, 3, . . . } .
As operações entre conjuntos são: interseção (\u2229), união (\u222a), diferença (\). O conjunto
vazio será denotado por \u2205.
1.1.1 Equações do primeiro e segundo grau
Considere a equação do primeiro grau:
1+ 4x =\u22127 . (1.1)
Resolver essa equação significa achar o(s) valor(es) da variável x para os quais a igualdade
em (1.1) é verdadeira. Esse conjunto de valores será denotado por S e chamado conjunto
de soluções. A resolução é bem conhecida: isolando x obtemos uma única solução x =\u22122.
Portanto, o conjunto das soluções de (1.1) é S = {\u22122}.
Considere em seguida a equação do segundo grau:
x2 = 9 . (1.2)
Aqui, sabemos que existem duas soluções, x =±p9=±3, logo S = {+3,\u22123}.
Agora, já que um número negativo não possui raiz quadrada,