Apostila-sacha
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Apostila-sacha


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cos x = limx\u21920+ 1cos x = 1, O Teorema 4.2 implica limx\u21920+
sen x
x
= 1. Como sen x
x
é par, temos também limx\u21920\u2212 sen xx = 1. Portanto, provamos (4.19).
Exercício 4.19. Usando (4.19), calcule os limites
1. limx\u21920 tan xx
2. limx\u21920 sen xtan x
3. limx\u21920 sen 2xcos x
4. limx\u21920 sen 2xx cos x
5. limx\u21920 1\u2212cos xx2
6. limx\u21920+ cos xx
7. limx\u21920+ sen(x
2)
x
4.5 Limites laterais infinitos, assíntotas verticais
Vimos casos em que limites laterais são iguais, casos em que eles são diferentes, e casos em
que eles nem existem. Vejamos agora casos em que eles são infinitos.
Exemplo 4.25. Considere primeiro f (x) = 1
x
. Já vimos que a f não é limitada, e à medida
que x > 0 tende a zero, 1
x
cresce e toma valores positivos arbitrariamente grandes. Por
outro lado se x < 0 tende a zero, 1
x
decresce e toma valores negativos arbitrariamente
grandes:
lim
x\u21920+
1
x
=+\u221e , lim
x\u21920\u2212
1
x
=\u2212\u221e .
De modo geral, qualquer x p com potência inteira negativa p =\u2212q, q > 0:
lim
x\u21920+
1
xq
=+\u221e , lim
x\u21920\u2212
1
xq
=
(
+\u221e se q é par ,
\u2212\u221e se q é ímpar .
Exercício 4.20. Tente definir rigorosamente limx\u2192a+ f (x) = +\u221e, limx\u2192a+ f (x) =\u2212\u221e.
Definição 4.6. Se pelo menos um dos limites limx\u2192a+ f (x) ou limx\u2192a\u2212 f (x) é ±\u221e, diremos
que a reta vertical de equação x = a é assíntota vertical da função f .
Exemplo 4.26. Como limx\u21920+ loga x =\u2212\u221e se a > 1, =+\u221e se 0< a < 1, x = 0 é assíntota
vertical da função loga.
Exemplo 4.27. A função tangente possui infinitas assíntotas verticais, de equações x =
pi
2
+ kpi, k \u2208 Z, já que para todo k \u2208 Z,
lim
x\u2192(pi
2
+kpi)\u2212
tan x =+\u221e , lim
x\u2192(pi
2
+kpi)+
tan x =\u2212\u221e .
Cálculo 1, Versão 1.01 (3 de agosto de 2014). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
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CAPÍTULO 4. LIMITES 4.5. Limites laterais infinitos, assíntotas verticais
Exercício 4.21. Calcule os limites.
1. limx\u21922+ x
2+5x+6
x+2
2. limx\u2192\u22122+ x
2+5x+6
x+2
3. limx\u2192\u22122± x
2+5x\u22126
x+2
4. limx\u21922+ x\u22122
(
p
x2\u22124)2
5. limx\u2192\u22122\u2212 x\u22122
(
p
x2\u22124)2
6. limt\u21920+ ln t \u2212 t
7. limt\u21920\u2212 ln t \u2212 t
8. limt\u21920± 1sen t
9. limt\u21920± tsen t
10. limt\u21920+
sen 1t
t
11. limz\u21920± 9
1
z
12. limx\u21920+ ln 1x
13. limx\u21920 log(x2)
14. limx\u21920 e
x\u22121
x
Exercício 4.22. Na Teoria da Relatividade Restrita (ou Especial), cujo principal postulado
é que a velocidade da luz é uma constante c > 0 para qualquer observador, é provado que
a massa efetiva de uma partícula em movimento uniforme depende da sua velocidade. Se a
massa no repouso é m0, então a sua massa efetiva quando a partícula tem uma velocidade
constante v é dada por
mv =
m0Æ
1\u2212 v2
c2
.
Estude mv quando v se aproxima da velocidade da luz.
Exercício 4.23. Considere f (x) = x+1
x\u22121 . Estude os limites relevantes e ache as assíntotas
(horizontais e verticais) de f . A partir dessas informações, monte o gráfico de f .
Exercício 4.24. Dê o domínio e ache as assíntotas (horizontais e verticais), caso existam, das
funções
1. 2x + 1
2. 1
x+1
3. x
2\u22129
x\u22123
4. 2x\u22123
x
5. 1\u2212x
x+3
6. x
x
7. log5(2\u2212 x)
8. x3+ 1
x
9. sen x
x
10. cos x
x
11. x
2+4x\u221221
x2\u2212x+6
12. ln(1\u2212 x2)
13. 1
2+x
+ln(1\u2212 x2)
14. 6\u22122x
(1\u2212x2)(x\u22123)
15. 1
ln(1\u2212x2)
16.
p
x2+1
x
17. 1p
1\u2212x2
18. ln(1+e
x )
x
Exercício 4.25. (Primeira prova, Turmas D, 15 de abril de 2011) Defina assíntota horizon-
tal/vertical de uma função f , e ache as assíntotas das funções
|x \u2212pi|
pi+ x
,
2+ sen x \u2212 3x2
x2\u2212 x + 20 ,
p
x(x \u2212 1)
x \u2212 1 .
Exercício 4.26. Dê exemplos de funções f que tenham x = \u22121 e x = 3 como assíntotas
verticais, e y =\u22121 como assíntota horizontal.
Cálculo 1, Versão 1.01 (3 de agosto de 2014). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
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4.6. Mudar de variável CAPÍTULO 4. LIMITES
4.6 Mudar de variável
O cálculo de um limite pode ser às vezes simplificado transformando ele em outro limite,
via uma mudança de variável.
Exemplo 4.28. Suponha que se queira calcular o limite de sen2x
x
quando x \u2192 0. Um jeito
possível é de usar a identidade sen 2x = 2 sen x cos x , escrevendo
lim
x\u21920
sen2x
x
= lim
x\u21920 2
sen x
x
cos x = 2 · 1 · 1= 2 .
Um outro jeito de proceder é de introduzir a nova variável y:=2x . Ao fazer essa mudança,
é preciso reescrever o limite limx\u21920 sen 2xx somente usando a variável y . Como x \u2192 0 implica
y \u2192 0, e como x = y/2,
lim
x\u21920
sen2x
x
= lim
y\u21920
sen y
y/2
= 2 lim
y\u21920
sen y
y
= 2 · 1= 2.
Exemplo 4.29. Considere o limite limx\u21920 cos
3 x\u22121
cos x\u22121 . Chamando z:= cos x , ao x \u2192 0 temos
z\u2192 1. Logo,
lim
x\u21920
cos3 x \u2212 1
cos x \u2212 1 = limz\u21921
z3\u2212 1
z\u2212 1 = 3 (ver Exemplo 4.17).
Vejamos também como um limite lateral pode ser transformado em um limite no infinito:
Exemplo 4.30. Considere os limites laterais calculados no Exercício 4.15: limx\u21920+ 9
1
x ,
limx\u21920\u2212 9
1
x . Chamemos z:= 1
x
. Se x \u2192 0+, então z\u2192+\u221e. Logo,
lim
x\u21920+ 9
1
x = lim
z\u2192\u221e9
z =+\u221e .
Por outro lado, se x \u2192 0\u2212, então z\u2192\u2212\u221e, e
lim
x\u21920\u2212 9
1
x = lim
z\u2192\u2212\u221e9
z = 0 .
Exercício 4.27. Calcule os limites fazendo uma mudança de variável.
1. limx\u21921 sen(x\u22121)3x\u22123
2. limx\u21920 sen(3x)sen(5x)
3. limx\u2192\u22121 sen(x+1)1\u2212x2
4. limx\u2192a x
n\u2212an
x\u2212a
5. limx\u21924 x\u22124x\u2212px\u22122
6. limx\u21920± tanh 1x
7. limx\u21920± x tanh 1x
Exercício 4.28. Explique como o limite calculado em (A.3) pode ser calculado via uma divisão
de polinômios, após uma mudança de variável.
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CAPÍTULO 4. LIMITES 4.7. O limite e = limx\u2192\u221e
\ufffd
1+ 1
x
\ufffdx
4.7 O limite e = limx\u2192\u221e
\ufffd
1+ 1
x
\ufffdx
Mencionamos, no último capítulo, que uma das definições possíveis do número e = 2, 718...
é via o limite de (1+ 1
x
)x quando x \u2192\u221e. De fato,
x = 10 100 1000 10\u2019000
(1+ 1
x
\ufffdx = 2, 59374... 2, 70481... 2, 71692... 2.71814...
Pode ser mostrado que o limite quando x \u2192\u221e existe, e tomamos o valor do limite como
definição da base do logaritmo natural:
e:= lim
x\u2192\u221e
\ufffd
1+ 1
x
\ufffdx .
Essa caracterização de e permite calcular vários limites importantes, como por exemplo
limh\u21920+ ln(1+h)h . De fato, com a mudança de variável z =
1
h
, h\u2192 0+ implica z\u2192+\u221e:
lim
h\u21920+
ln(1+ h)
h
= lim
z\u2192+\u221e
ln(1+ 1
z
)
1
z
= lim
z\u2192+\u221e ln
\ufffd
(1+ 1
z
)z
\ufffd
= ln e = 1 . (4.20)
Um outro limite que pode ser calculado é limx\u21920+ e
x\u22121
x
. Dessa vez, chamando z = ex ,
x \u2192 0+ implica z\u2192 1+:
lim
x\u21920+
ex \u2212 1
x
= lim
z\u21921+
z\u2212 1
ln z
= lim
z\u21921+
1
ln z
z\u22121
Mas agora se h:=z\u2212 1, então z\u2192 1+ implica h\u2192 0+, e por (4.20),
lim
z\u21921+
ln z
z\u2212 1 = limh\u21920+
ln(1+ h)
h
= 1 .
Portanto,
lim
x\u21920+
ex \u2212 1
x
= 1 . (4.21)
Observe que o limite lateral a esquerda se obtém facilmente: chamando y:=\u2212 x ,
lim
x\u21920\u2212
ex \u2212 1
x
= lim
y\u21920+
e\u2212y \u2212 1
\u2212y = limy\u21920+
e y \u2212 1
y
e\u2212y
=
\ufffd
lim
y\u21920+
e y \u2212 1
y
\ufffd\ufffd
lim
y\u21920+ e
\u2212y\ufffd= 1 · 1= 1 .
Exercício 4.29. Mostre que para todo a > 0,
lim
h\u21920
loga(1+ h)
h
=
1
ln a
, lim
x\u21920
ax \u2212 1
x
= ln a . (4.22)
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4.8. Continuidade CAPÍTULO 4. LIMITES
4.8 Continuidade
Continuidade é o conceito fundamental da análise. Sem saber, já nos deparamos com con-
tinuidade em vários lugares ao longo desse capítulo.
Exemplo 4.31. No Exemplo 4.16 estudamos a função f (x) = x
2
+1 na vizinhança de a = 1.
Lá, vimos que
lim
x\u21921 f (x) =
3
2
.
Já tinhamos observado que esse fato parecia óbvio, já que no ponto a = 1, a função f toma
o valor f (1) = 3
2
. Logo, o que acontece para essa função no ponto a = 1 é que
lim
x\u21921 f (x) = f (1) .
Diremos que f é contínua em a = 1. Em palavras, isso significa que nos pontos x perto de 1,
a função