Apostila-sacha
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curso. Nas três próximas seções calcu-
laremos as derivadas de algumas funções fundamentais. Em seguida provaremos as regras
de derivação, que permitirão calcular a derivada de qualquer função a partir das derivadas
das funções fundamentais. Em seguida comecaremos a usar derivadas na resolução de
problemas concretos.
5.3.1 Derivar as potências inteiras: x p
Mostraremos aqui que para as potências inteiras de x , x p com p \u2208 Z,
(x p)\u2032 = px p\u22121 . (5.4)
O caso p = 2 já foi tratado no Exemplo 5.3 e no Exercício 5.1:
(x2)\u2032 = lim
h\u21920
(x + h)2\u2212 x2
h
= lim
h\u21920
2xh+ h2
h
= lim
h\u21920(2x + h) = 2x .
Na verdade, para xn com n \u2208 N qualquer, já calculamos no Exercício 4.41:
(xn)\u2032 = lim
h\u21920
(x + h)n\u2212 xn
h
= nxn\u22121 . (5.5)
Por exemplo, (x4)\u2032 = 4x3, (x17)\u2032 = 17x16. Daremos uma prova alternativa da fórmula (5.4)
no Exercício 5.17 abaixo.
Observação 5.4. O caso p = 0 corresponde a x0 = 1. Ora, a derivada de qualquer constante
C \u2208 R é zero (o seu gráfico corresponde a uma reta horizontal, portanto de inclinação= 0!):
(C)\u2032 = 0 .
Para as potências negativas, x\u2212p \u2261 1
xq
obviamente não é derivável em 0, mas se x 6= 0,
\ufffd 1
xq
\ufffd\u2032 = lim
h\u21920
1
(x+h)q
\u2212 1
xq
h
= lim
h\u21920
\u22121
(x + h)q xq
(x + h)q \u2212 xq
h
=
\u22121
xq xq
qxq\u22121 =\u2212qx\u2212q\u22121 .
Isso prova (5.4) para qualquer p \u2208 Z. Veremos adiante que (5.4) vale para qualquer p,
mesmo não inteiro. Por exemplo, (x
p
2)\u2032 =
p
2x
p
2\u22121. Para alguns casos simples, uma conta
explícita pode ser feita. Por exemplo, se p =±1
2
,
Exercício 5.13. Calcule (
p
x)\u2032, ( 1p
x
)\u2032.
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CAPÍTULO 5. DERIVADA 5.3. A derivada como função
5.3.2 Derivar as funções trigonométricas
A derivada da função seno já foi calculada no Exercício 4.41. Por definição,
(sen)\u2032(x) = lim
h\u21920
sen(x + h)\u2212 sen x
h
.
Usando a fórmula (1.25), sen(x + h) = sen x cos h+ sen hcos x , obtemos
lim
h\u21920
sen(x + h)\u2212 sen x
h
= lim
h\u21920
sen x cos h+ sen hcos x \u2212 sen x
h
= sen x
n
lim
h\u21920
cos h\u2212 1
h
o
+ cos x
n
lim
h\u21920
sen h
h
o
.
Ora, sabemos que limh\u21920 sen hh = 1, e que limh\u21920
cos h\u22121
h
= limh\u21920 hcos h\u22121h2 = 0 (lembre o item
(5) do Exercício 4.19). Portanto, provamos que
(sen)\u2032(x) = cos x . (5.6)
Pode ser provado (ver o exercício abaixo) que
(cos)\u2032(x) =\u2212 sen x . (5.7)
Para calcular a derivada da tangente, tan x = sen x
cos x
, precisaremos de uma regra de derivação
que será provada na Seção 5.4; obteremos
(tan)\u2032(x) = 1+ tan2 x =
1
cos2 x
. (5.8)
Exercício 5.14. Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função sen x, nos pontos
P1 = (0,0), P2 = (
pi
2
, 1), P3 = (pi, 0). Confere no gráfico.
Exercício 5.15. Prove (5.7).
5.3.3 Derivar exponenciais e logaritmos
Na Seção 4.7 calculamos
lim
h\u21920
eh\u2212 1
h
= 1 , lim
h\u21920
ln(1+ h)
h
= 1 . (5.9)
Lembre que esses limites seguem diretamente da definição do número e, como o limite
e:= limn\u2192\u221e(1+ 1n)
n. Usaremos agora o primeiro desses limites para calcular a derivada de
ex : para x \u2208 R,
(ex)\u2032:= lim
h\u21920
ex+h\u2212 ex
h
= lim
h\u21920
ex eh\u2212 ex
h
= ex
n
lim
h\u21920
eh\u2212 1
h
o
= ex .
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5.4. Regras de derivação CAPÍTULO 5. DERIVADA
Portanto, está provado que a função exponencial é igual a sua derivada! Por outro lado,
para derivar o logaritmo, observe que para todo x > 0, ln(x + h) \u2212 ln(x) = ln( x+h
x
) =
ln(1+ h
x
). Logo,
(ln x)\u2032:= lim
h\u21920
ln(x + h)\u2212 ln(x)
h
= lim
h\u21920
ln(1+ h
x
)
h
.
Chamando \u3b1:= h
x
temos, usando (5.9),
(ln x)\u2032 = 1
x
n
lim
\u3b1\u21920
ln(1+\u3b1)
\u3b1
o
= 1
x
.
Calculamos assim duas derivadas fundamentais:
(ex)\u2032 = ex , (ln x)\u2032 =
1
x
.
Observação 5.5. A interpretação geométrica dos limites em (5.9) é a seguinte: a inclinação
da reta tangente ao gráfico de ex no ponto (0, 1) e a inclinação da reta tangente ao gráfico
de ln x no ponto (1, 0) ambas valem 1 (lembre que o gráfico do logaritmo é a reflexão do
gráfico da exponencial pela bisetriz do primeiro quadrante):
ex
ln x
Uma olhada nos esboços das funções ax na página 51 mostra que ex é a única com essa
propriedade. Às vezes, livros definem \u201ce\u201d como sendo a única base a que satisfaz a essa
propriedade: a inclinação da reta tangente a ax na origem é igual a 1.
5.4 Regras de derivação
Antes de começar a usar derivadas, é necessário estabelecer algumas regras de derivação,
que respondem essencialmente à seguinte pergunta: se f e g sáo deriváveis, f \u2032 e g \u2032 conheci-
das, como calcular ( f + g)\u2032, ( f · g)\u2032, ( f
g
)\u2032, ( f \u25e6 g)\u2032? Nesta seção, será sempre subentendido
que as funções consideradas são deriváveis nos pontos considerados. Comecemos com o
caso mais fácil:
Regra 1. (\u3bb f (x))\u2032 = \u3bb f \u2032(x) para toda constante \u3bb \u2208 R.
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CAPÍTULO 5. DERIVADA 5.4. Regras de derivação
Demonstração. Usando a definição de (\u3bb f (x))\u2032 e colocando \u3bb em evidência,
(\u3bb f (x))\u2032:= lim
h\u21920
\u3bb f (x + h)\u2212\u3bb f (x)
h
= \u3bb lim
h\u21920
f (x + h)\u2212 f (x)
h
\u2261 \u3bb f \u2032(x) .
Por exemplo, (2x5)\u2032 = 2(x5)\u2032 = 2 · 5x4 = 10x4.
Regra 2. ( f (x) + g(x))\u2032 = f \u2032(x) + g \u2032(x).
Demonstração. Aplicando a definição e rearranjando os termos,
( f (x) + g(x))\u2032:= lim
h\u21920
\ufffd
f (x + h) + g(x + h)
\ufffd\u2212 \ufffd f (x) + g(x)\ufffd
h
= lim
h\u21920
n f (x + h)\u2212 f (x)
h
+
g(x + h)\u2212 g(x)
h
o
= lim
h\u21920
f (x + h)\u2212 f (x)
h
+ lim
h\u21920
g(x + h)\u2212 g(x)
h
= f \u2032(x) + g \u2032(x) .
Por exemplo, (2x5+ sen x)\u2032 = (2x5)\u2032+ (sen x)\u2032 = 10x4+ cos x .
Regra 3. ( f (x)g(x))\u2032 = f \u2032(x)g(x) + f (x)g \u2032(x) (Regra do produto de Leibniz).
Demonstração. Por definição,
( f (x)g(x))\u2032:= lim
h\u21920
f (x + h)g(x + h)\u2212 f (x)g(x)
h
.
Para fazer aparecer as derivadas respectivas de f e g, escrevamos o quociente como
f (x + h)g(x + h)\u2212 f (x)g(x)
h
=
f (x + h)\u2212 f (x)
h
g(x + h) + f (x)
g(x + h)\u2212 g(x)
h
Quando h\u2192 0, temos f (x+h)\u2212 f (x)
h
\u2192 f \u2032(x) e g(x+h)\u2212g(x)
h
\u2192 g \u2032(x). Como g é derivável em x ,
ela é também contínua em x (Teorema 5.1), logo limh\u21920 g(x + h) = g(x). Assim, quando
h\u2192 0, o quociente inteiro tende a f \u2032(x)g(x) + f (x)g \u2032(x).
Por exemplo,
(x2 sen x)\u2032 = (x2)\u2032 sen x + x2(sen x)\u2032 = 2x sen x + x2 cos x .
Exercício 5.16. Dê contra-exemplos para mostrar que em geral, ( f g)\u2032 6= f \u2032g \u2032.
Exercício 5.17. Mostre a fórmula (xn)\u2032 = nxn\u22121 usando indução e a regra de Leibniz. (Dica:
xn+1 = x · xn.)
Estudemos agora a derivação de funções compostas:
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5.4. Regras de derivação CAPÍTULO 5. DERIVADA
Regra 4. ( f (g(x)))\u2032 = f \u2032(g(x))g \u2032(x) (Regra da cadeia).
Demonstração. Fixemos um ponto x . Suporemos, para simplificar, que g(x +h)\u2212 g(x) 6= 0
para todo h suficientemente pequeno 1. Podemos escrever
( f (g(x)))\u2032:= lim
h\u21920
f (g(x + h))\u2212 f (g(x))
h
= lim
h\u21920
f (g(x + h))\u2212 f (g(x))
g(x + h)\u2212 g(x)
g(x + h)\u2212 g(x)
h
. (5.10)
Sabemos que o segundo termo g(x+h)\u2212g(x)
h
\u2192 g(x) quando h \u2192 0. Para o primeiro termo
chamemos a:=g(x) e z:=g(x + h). Quando h\u2192 0, z\u2192 a, logo
lim
h\u21920
f (g(x + h))\u2212 f (g(x))
g(x + h)\u2212 g(x) = limz\u2192a
f (z)\u2212 f (a)
z\u2212 a \u2261 f
\u2032(a) = f \u2032(g(x)) .
Para aplicar a regra da cadeia, é importante saber identificar quais são as funções envolvi-
das, e em qual ordem elas são aplicadas (lembre do Exercício 2.21).
Exemplo 5.7. Suponha por exemplo que queira calcular a derivada da função sen(x2), que
é a composta de f (x) = sen x com g(x) = x2: sen(x2) = f (g(x)). Como f \u2032(x) = cos x e
g \u2032(x) = 2x temos, pela regra da cadeia,
(sen(x2))\u2032 = f (g(x))\u2032 = f \u2032(g(x))g \u2032(x) = cos(x2) · (2x) =